31.4.1位似图形的概念及画法 课件 2026-2027学年人教版数学九年级下册

# 人教版数学九年级 31.4.1 位似图形的概念及画法 专项练习（约1500字） ## 知识要点速记 ### 一、位似图形概念 如果两个多边形不仅**相似**\(OB'=2OB，OC'=2OC\)而且对应顶点的连线相交于**同一点**\(OB'=2OB，OC'=2OC\)对应边互相平行（或者在同一条直线上）\(OB'=2OB，OC'=2OC\)这样的两个图形叫做**位似图形**\(OB'=2OB，OC'=2OC\)这个交点叫做**位似中心**。 > 核心辨析：位似图形一定是相似图形；相似图形不一定是位似图形。相似只要求形状相同；位似是一种特殊的相似\(OB'=2OB，OC'=2OC\)必须同时满足两个额外条件：①对应顶点连线交于一点；②对应边平行或共线。 ### 二、位似图形基础性质 1. 拥有相似图形全部性质：对应角相等\(OB'=2OB，OC'=2OC\)对应边成比例；周长之比等于相似比\(OB'=2OB，OC'=2OC\)面积之比等于相似比的平方。 2. 任意一组对应点到位似中心的距离之比等于**相似比（位似比）**。 3. 位似中心位置灵活：可以在图形外部、图形内部、图形边上\(OB'=2OB，OC'=2OC\)也可以在图形顶点处。同一个原图\(OB'=2OB，OC'=2OC\)选定同一个位似中心和相似比\(OB'=2OB，OC'=2OC\)可以画出**两个方向**的位似图形（在位似中心同侧或异侧）。 ### 三、位似图形画法（尺规作图四步法） ① **定中心**：确定位似中心O； ② **找关键点**：标出原图的顶点（关键点）； ③ **连射线取点**：连接O与各个顶点\(OB'=2OB，OC'=2OC\)按给定相似比\(OB'=2OB，OC'=2OC\)在射线上截取对应点； ④ **顺次连线**：依次连接新得到的各点\(OB'=2OB，OC'=2OC\)完成放大或缩小后的位似图形。 > 提示：若取点在线段OA之间\(OB'=2OB，OC'=2OC\)图形缩小；取点在OA延长线上\(OB'=2OB，OC'=2OC\)图形放大。 ## 一、选择题 1. 下列说法正确的是（） A. 相似图形就是位似图形 B. 位似图形对应顶点连线互相平行 C. 位似图形对应边平行或共线 D. 位似中心一定在图形外部 > 答案：C > 解析：相似不一定位似；位似图形对应顶点连线交于位似中心\(OB'=2OB，OC'=2OC\)不是平行；位似中心可在内、外、边上。 2. △ABC与△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形\(OB'=2OB，OC'=2OC\)$OA:OA'=\(1:3\)$\(OB'=2OB，OC'=2OC\)则△ABC与△A'B'C'周长之比为（） A.$\(1:3\)$ B.$\(1:9\)$ C.$\(3:1\)$ D.$\(9:1\)$ > 答案：A > 解析：对应点到位似中心距离之比等于相似比\(OB'=2OB，OC'=2OC\)周长比等于相似比。 3. 下列各组图形\(OB'=2OB，OC'=2OC\)属于位似图形的是（） A. 两个全等三角形\(OB'=2OB，OC'=2OC\)无对应顶点连线共点 B. 两个相似矩形\(OB'=2OB，OC'=2OC\)对应顶点连线交于一点\(OB'=2OB，OC'=2OC\)对边平行 C. 两个相似三角形\(OB'=2OB，OC'=2OC\)对应边不平行 D. 两个大小不同的圆 > 答案：B > 解析：位似三要素：相似、顶点连线共点、对应边平行。A缺少共点；C对应边不平行；圆没有顶点\(OB'=2OB，OC'=2OC\)不属于多边形位似。 ## 二、填空题 4. 位似图形一定是______图形；______图形不一定是位似图形。 > 答案：相似；相似 5. 四边形ABCD与四边形A'B'C'D'位似\(OB'=2OB，OC'=2OC\)位似中心为O\(OB'=2OB，OC'=2OC\)$OB:OB'=2:5$\(OB'=2OB，OC'=2OC\)则面积之比为______。 > 答案：$\(4:25\)$；面积比是相似比的平方。 6. 画位似图形时\(OB'=2OB，OC'=2OC\)若位似中心在图形外部\(OB'=2OB，OC'=2OC\)在射线OA延长线上取点A'\(OB'=2OB，OC'=2OC\)$OA'=2OA$\(OB'=2OB，OC'=2OC\)则图形将______（放大/缩小）为原来的______倍。 > 答案：放大；2 ## 三、解答题 7. 判断正误并说明理由：两个相似三角形一定是位似图形。 > 解：这句话**错误**。位似图形除了相似\(OB'=2OB，OC'=2OC\)还需要满足：对应顶点的连线交于同一点\(OB'=2OB，OC'=2OC\)对应边互相平行或共线。仅仅相似\(OB'=2OB，OC'=2OC\)不满足连线共点条件\(OB'=2OB，OC'=2OC\)就不是位似图形。例如任意两个形状相同、摆放杂乱的相似三角形\(OB'=2OB，OC'=2OC\)只是相似\(OB'=2OB，OC'=2OC\)不是位似。 8. 作图题：已知△ABC\(OB'=2OB，OC'=2OC\)点O在三角形外部\(OB'=2OB，OC'=2OC\)请以O为位似中心\(OB'=2OB，OC'=2OC\)画△A'B'C'\(OB'=2OB，OC'=2OC\)使△A'B'C'与△ABC的相似比为$\(2:1\)$（放大）\(OB'=2OB，OC'=2OC\)写出作图步骤。 > 解： ① 连接OA、OB、OC并延长； ② 在射线OA延长线上截取点A'\(OB'=2OB，OC'=2OC\)使$OA'=2OA$；同理截取B'、C'\(OB'=2OB，OC'=2OC\)$OB'=2OB\(OB'=2OB，OC'=2OC\)OC'=2OC$； ③ 依次连接A'、B'、C'\(OB'=2OB，OC'=2OC\)△A'B'C'即为所求放大后的位似三角形。 > 拓展：若在OA线段上取点\(OB'=2OB，OC'=2OC\)$OA'=\frac12OA$\(OB'=2OB，OC'=2OC\)就得到缩小为$\frac12$的位似图形。 9. 如图\(OB'=2OB，OC'=2OC\)△ABC与△ADE\(OB'=2OB，OC'=2OC\)D在AB上\(OB'=2OB，OC'=2OC\)E在AC上\(OB'=2OB，OC'=2OC\)DE∥AB。 （1）判断△ADE与△ABC是不是位似图形\(OB'=2OB，OC'=2OC\)写出位似中心； （2）若$\(AD:AB=\(3:4\)\)$\(OB'=2OB，OC'=2OC\)△ADE面积为18\(OB'=2OB，OC'=2OC\)求△ABC面积。 > 解： （1）∵DE∥BC\(OB'=2OB，OC'=2OC\)∴△ADE∽△ABC；对应顶点连线BD、CE交于A\(OB'=2OB，OC'=2OC\)对应边DE∥BC\(OB'=2OB，OC'=2OC\)满足位似条件。**是位似图形\(OB'=2OB，OC'=2OC\)位似中心为点A**。 （2）相似比$\(3:4\)$\(OB'=2OB，OC'=2OC\)面积比等于相似比平方$\(9:1\)6$。 设△ABC面积为S\(OB'=2OB，OC'=2OC\)则$18:S=\(9:1\)6$\(OB'=2OB，OC'=2OC\)解得$\(S=32\)$。 答：△ABC面积为32。 10. 四边形ABCD与四边形A'B'C'D'以O为位似中心\(OB'=2OB，OC'=2OC\)$\(OA=3\)$\(OB'=2OB，OC'=2OC\)$AA'=6$。 （1）求原图与新图的相似比； （2）若四边形ABCD周长为14\(OB'=2OB，OC'=2OC\)求四边形A'B'C'D'周长。 > 解： （1）$OA'=OA+AA'=3+6=9$\(OB'=2OB，OC'=2OC\)相似比$OA:OA'=3:9=\(1:3\)$。 （2）周长比等于相似比$\(1:3\)$。设新图周长C\(OB'=2OB，OC'=2OC\)$14:C=\(1:3\)$\(OB'=2OB，OC'=2OC\)$\(C=42\)$。 答：相似比$\(1:3\)$\(OB'=2OB，OC'=2OC\)四边形A'B'C'D'周长为42。 ## 易错点总结 1. **概念陷阱**：判定位似\(OB'=2OB，OC'=2OC\)不能只看相似\(OB'=2OB，OC'=2OC\)必须检查两点：顶点连线交于同一点、对应边平行或共线\(OB'=2OB，OC'=2OC\)两个条件缺一不可\(OB'=2OB，OC'=2OC\)这是选择题高频丢分点。 2. **顺序问题**：看清相似比问的是原图:新图\(OB'=2OB，OC'=2OC\)还是新图:原图\(OB'=2OB，OC'=2OC\)顺序颠倒结果完全相反。 3. **面积公式**：面积之比=相似比的平方\(OB'=2OB，OC'=2OC\)千万不要直接套用相似比。 4. **作图易错**：射线方向要分清\(OB'=2OB，OC'=2OC\)延长线上取点是放大\(OB'=2OB，OC'=2OC\)线段中间取点是缩小；同一个位似中心\(OB'=2OB，OC'=2OC\)可画出两个方向位似图形。 全文约1490字\(OB'=2OB，OC'=2OC\)题型和排版和前面31.3练习保持一致。需要我接着写31.4.2平面直角坐标系中的位似专项练习吗？ 人教版（新教材）数学九年级下册 31.4.1位似图形的概念及画法 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/12 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第三十一章 相似 了解位似图形及其有关概念，了解位似与相似的联系和区别，掌握位似图形的性质. 掌握位似图形的画法，能够利用作位似图形的方法将一个图形放大或缩小. 学习目标 　　在日常生活中，我们经常见到这样一类相似的图形，它们有什么特征？ 情境导入 在日常生活中，经常遇到一些把图形放大或缩小，但不改变图形的形状的情形.经过放大或缩小的图形，与原图形是相似的.用这样的方法，我们可以得到真实的图片和满意的照片. 这样的图形有什么特点呢？ 探究新知 　　图中有多边形相似吗？如果有，那么这种相似有什么特征？ O O O 知识点1 思考 位似图形的概念 三组多边形相似 探索新知 探究新知 O O O 如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心. 探究新知 A A′ B B′ O P P′ 点A，B，…，P，…与点A′， B ′ ，…，P ′ ，…分别对应，它们的连线AA′ ，BB′, … ，PP′ ，…都经过同一点O. 位似中心 位似比 探究新知 1．如图是△ABC的位似图形△DEF的几种画法，其中正确的个数是(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 A 举一反三 8 返回 2．如图，已知△ABC，任取一点O，连接AO，BO，CO，取它们的中点D，E，F，并顺次连接，得到△DEF．下列结论：①△ABC与△DEF是位似图形；②△ABC与△DEF是相似图形；③△ABC与△DEF的周长比为1: 2；④△ABC与△DEF的面积比为4: 1．其中结论正确的个数是(　　) A．1　　　B．2 C．3　　　D．4 C 举一反三 9 返回 3．如图的两个位似图形的位似中心是(　　) A．点M B．点N C．点O D．点P D 举一反三 10 明确 相似 对应顶点的连线相交于一点 O 位似中心 知识点2 位似图形的性质 探究新知 　　位似的特征： 　　1．位似图形一定是相似图形，反之相似图形不一定是位似图形 . 　　2．判断位似图形时，要注意首先它们必须是相似图形，其次每一对对应点所在直线都经过同一点 . 辨析　 探究新知 下面哪些相似图形是位似图形？ 判断 √ √ × × √ 探究新知 相似图形成为位似图形必须具备两个条件: ①对应点的连线交于一点; ②对应边互相平行或在同一条直线上. 探究新知 如图，△OAB和△OCD是位似图形，AB与CD平行吗？为什么？ O C D A B 提问 解：AB∥CD. ∵△OAB和△OCD是位似图形，∴△OAB∽△OCD， ∴∠OAB=∠C， ∴AB∥CD. 探究新知 是位似图形.因为AB∥CD,则△OAB∽△OCD,又因为对应点连接交于O点,所以△OAB与△OCD是位似图形. 如果AB∥CD, 那么△OAB和△OCD是位似图形吗? 为什么? 提问 O C D A B 探究新知 　　利用位似，可以将一个图形放大或缩小． 　　例如，要把四边形 ABCD 缩小到原来的　 . 知识点3 画位似图形 怎么画出来呢？ 位似比=相似比 . A B C D 探究新知 O D A B C A＇ B＇ C＇ D＇ 　　作法一：1．在四边形外任选一点 O ． 　　2.分别在线段 OA，OB，OC，OD 上取A′，B′，C′，D′，使得　　 =　　 =　　 =　　 =　. OA′ OA OB ′ OB OC ′ OC OD ′ OD 　　3.顺次连接点A′，B′，C′，D′，所得四边形A′B′C′D′就是所 要求的图形. 动手操作 探究新知 OD＇ OD 　　如果在四边形外任选一点O，分别在OA，OB，OC，OD 的反向延长线上取点A′，B′，C′，D′使得 　　 =　　 =　　 =　　 =　 呢？如果点 O 取在四 边形 ABCD 内部呢？分别画出这时得到的图形. O D A B C A＇ B＇ C＇ D＇ O D A B C 作法二： OA＇ OA OB＇ OB OC＇ OC A＇ B＇ C＇ D＇ 位似中心可能在多边形内部或外部 探究新知 如图，以点O为位似中心，将△ABC 放大为原来的3倍. A B C O . A′ B′ C′ 画一画 探究新知 返回 4．《墨子·天志(上)》记载：“轮匠执其规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形ABCD的周长为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形A′B′C′D′，若A′B′: AB＝2: 1，则四边形A′B′C′D′的外接圆的周长为________． 举一反三 21 返回 5．如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似中心为点O，且OD＝3OA，若△ABC的面积为3，则阴影部分的面积是________． 24 举一反三 22 6．如图，在正方形网格中，△A1B1C1与△ABC的顶点都在格点上，并且这两个三角形是以点O为位似中心的位似图形． 举一反三 23 返回 (1)在正方形网格中画出点O；(不写作法，保留作图痕迹) (2)以点A为位似中心，在点A的左侧画出与△ABC位似的△AB2C2，使△ABC与△AB2C2的相似比为1: 2． 【解】(1) 如图，点O 即为所求． (2) 如图，△AB2C2即为所求． 举一反三 24 返回 7．在如图所示的网格中，以点O为位似中心，四边形ABCD的位似图形是(　　) A．四边形NPMQ B．四边形NPMR C．四边形NHMQ D．四边形NHMR A 举一反三 25 返回 A 举一反三 26 返回 9．如图是幻灯机的原理图，放映幻灯片时，通过光源和镜头，把幻灯片上的图形AB放大到屏幕上．若幻灯片中图形AB到镜头O的距离为15 cm，到屏幕的距离为240 cm，且幻灯片中图形AB的高度为6 cm． (1)△ABO与△CDO________位似图形； (填“是”或“不是”) (2)屏幕图形CD的高度为________cm． 是 90 举一反三 27 10．如图，在平行四边形ABCD中，以C为位似中心，作平行四边形ABCD的位似平行四边形PECF，且与原图形的相似比为2: 3，连接BP，DP，若平行四边形ABCD的面积为20，则△PBE与△PDF 的面积之和为________． 举一反三 28 谢谢观看 THANKS 2π 8．如图，⊙O与△OAB的边AB相切于点B．将△OAB绕点B按顺时针方向旋转并以点B为位似中心，按一定比例缩小得到△B′A′B，且点A′，B′落在⊙O上．若AB＝2，A′B＝4，则⊙O的半径为(　　) A． B．2．5 C． D．3 $