4.2.2 等差数列前n项和（第2课时）（教学设计）数学人教A版选择性必修第二册

4.2.2 等差数列前n项和（第2课时） 教学设计 教学内容 本节课是《等差数列的前n项和公式》第2课时，重点在于公式的深化应用与性质探究。课程引导学生利用公式解决实际问题，如报告厅座位安排、资源规划等，建立等差数列模型。关键内容涉及前n项和的最值问题（通过通项符号分析或二次函数性质求解），以及重要性质如片段和性质（成等差数列）和求和比值关系。此外还专门探讨了含绝对值的等差数列求和问题，需要分段讨论处理。课程强调数形结合与函数思想，通过综合例题培养学生的逻辑推理、数学运算及数学建模核心素养，体现了数学知识在实际生活中的应用价值。 内容解析 本节课是《等差数列的前n项和公式》的第二课时，属于公式的深化应用与性质拓展阶段。内容分析表明，其知识本质在于利用等差数列的“对称性”和“等差性”进行公式变形与应用，将不同数的求和问题转化为相同数的运算。教学内容主要涵盖三个层面：一是公式的实际应用，通过报告厅座位、织布问题等现实情境建立数学模型，体现数学建模思想；二是前n项和的性质探究，包括片段和性质（如()成等差）、和比关系以及最值问题（可通过分析通项符号或利用其二次函数特征求解）；三是综合问题的处理，特别是含绝对值的求和，需要分段讨论，这要求学生具备分类整合的数学思想。 本节课贯穿了函数与方程、数形结合、分类讨论等核心数学思想方法。其育人价值在于通过从实际背景抽象出数学模型，再到严谨的代数推导与性质证明，培养学生逻辑推理、数学运算的核心素养，并使其深刻体会数学的应用价值与系统性。教学关键在于引导学生实现从掌握基本公式到灵活运用性质解决复杂问题的能力跃升。 基于以上分析，确定本节课的教学重点为：探究等差数列前n项和的性质，并运用其解决最值与实际应用问题。 教学目标 （1）通过等差数列的前n项和公式的变形应用，体会等差数列前n项和与一元二次函数表达式的关联，培养学生的逻辑推理核心素养； （2）通过等差数列的前n项和的性质的探究与应用，进一步培养学生的数学运算核心素养； （3）通过等差数列的前n项和公式在实际生活中的应用，使学生再一次认识到数学来源于生活，又服务于生活，同时发展学生善于观察生活的优秀品格，培养学生数学建模核心素养。 目标解析 （1）该目标旨在引导学生将代数公式与函数图象建立联系。通过将和公式变形为Sₙ = An² + Bn，学生能直观理解其二次函数特征，如图象开口、对称轴与最值的关系。这一过程不仅深化对公式结构的理解，更通过数形结合提升从代数形式到几何直观的逻辑推理能力。 （2）此目标聚焦等差数列片段和（Sₘ，S₂ₘ-Sₘ，S₃ₘ-S₂ₘ成等差数列）等性质的发现与推导。要求学生进行精确的代数运算，从特殊案例归纳一般规律，并严谨证明。这能有效训练其运算技巧和从具体到抽象的归纳能力，是数学运算素养的关键培养路径。 （3）该目标强调数学建模的完整过程。学生需从"共享单车停放""报告厅座位安排"等现实问题中识别等差模型，抽象为数学问题，利用公式求解并回归实际解释结果。这深刻体现了数学的应用价值，培养学生观察生活、提炼模型的意识和能力。 达成上述目标的标志是： （1）能将前n项和公式Sₙ变形为Sₙ = An² + Bn，说出其二次函数特征（开口方向、对称轴、最值）。 （2）能证明片段和性质：Sₘ，S₂ₘ - Sₘ，S₃ₘ - S₂ₘ仍构成等差数列，并利用该性质求值。 （3）能由通项符号分析法或二次函数法求出等差数列前n项和的最大（小）值及对应的n。 （4）能处理含绝对值的等差数列求和问题，正确分段讨论并求出前n项和的绝对值之和。 （5）能将共享单车停放、报告厅座位等实际问题抽象为等差数列模型，用公式或性质求解并回归实际。 已有知识及掌握程度 学生已系统学习过等差数列的概念、通项公式以及前n项和公式（第1课时），能够运用公式进行基本计算。对数列作为特殊函数的性质有初步认知，并具备一次函数、二次函数的图象与性质的知识基础。多数学生能解决已知首项、公差、项数求和的直接应用问题，但对公式的深层结构和函数背景理解尚浅。 预估教学困难 性质理解的抽象性：学生难以自发发现并理解“片段和性质”（如成等差）等抽象规律，其推导过程涉及整体代换与逻辑推理，易产生思维障碍。 公式与函数的关联障碍：将前n项和公式Sₙ视为关于n的二次函数，并利用其对称性、最值等函数性质解决数列问题，需要实现从离散数列到连续函数的思维跨越，此为关键难点。 实际应用中的建模困难：将“报告厅座位安排”等实际问题准确转化为等差数列模型，并灵活选用公式或性质求解，对学生分析问题和建立数学模型的能力提出较高要求，易出现题意理解偏差或模型建立不准确的情况。 解决策略，针对上述困难，教学中将采用以下策略： 搭建认知阶梯：通过具体数字计算特殊案例（如计算S₃, S₆-S₃, S₉-S₆），引导学生观察、归纳规律，再过渡到一般性证明，化解抽象性。 强化数形结合：并列呈现Sₙ的数值表格与对应的二次函数图象，直观展示项数n与和Sₙ的对应关系，辅以几何画板等工具动态演示，帮助学生建立函数模型。 深化建模引导：采用问题串形式，引导学生逐层分析实际问题中的已知量（如排数、公差）、未知量（如首项），明确建模步骤，通过典型例题的变式训练巩固应用能力。 基于以上分析，确定本节课的教学难点为：将前n项和公式与二次函数性质关联，并运用片段和等性质解决实际应用中的最值问题。 知识点　　等差数列前n项和的性质 1．数列{an}为等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)⇔数列为等差数列． [说明]　设等差数列{an}的公差为d，则数列的公差为. 2．等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，那么数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…(m∈N*)是等差数列，其公差等于m2d． 3．若两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则＝. 4．(1)等差数列的项数若为2n(n∈N*)项，则S2n＝n(a1＋a2n)且S偶－S奇＝nd，＝． (2)等差数列的项数若为2n＋1(n∈N*)项，则S2n＋1＝(2n＋1)an＋1且S奇－S偶＝an＋1，＝． 5．在公差为d的等差数列{an}中，若a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值． 课堂导入1：生活情境——共享单车阶梯停放区（引出“求和应用”） 情境描述：阳光小区建阶梯式停车区：第 1 排 20 位，每排多 5 位，共 15 排。各排车位 20,25,30,…,90 构成等差数列。 思考：15 排总共能停多少辆？这要用哪个公式、已知哪些量？ 预设：已知 a₁=20,d=5,n=15，用 Sₙ = n a₁ + n(n−1)d/2，得 S₁₅ = 15×20+15×14×5/2 = 825。 追问：如果问“修多少排能停 1000 辆”，又该怎么处理？ 预设：已知 Sₙ=1000，反解关于 n 的方程，这是“知和求项数”，属公式应用。 【设计意图】以社区真实问题驱动，巩固前两课公式，让学生体会“提取首项/公差/项数→建模求和”的完整流程，自然是本课应用与性质的入口。 【教学建议】引导学生先提取三量、选公式、再计算。 课堂导入2：生活情境——投篮积分何时封顶（引出“Sₙ 最值”） 情境描述：某积分活动每天得分成等差，前期递增、后期递减：得分依次为 10,12,14,…,到某天后开始减少。问累计总分何时最大？ 思考：累计和 Sₙ 会不会一直增大？什么时候“加上去反而变小”？ 预设：当某项 aₙ≥0 而 aₙ₊₁≤0 时，Sₙ 达到最大；也可用 Sₙ 抛物线顶点判断。 追问：用通项符号和用二次函数顶点，哪种更通用？二者一致吗？ 预设：一致；aₙ 变号法（aₙ≥0 且 aₙ₊₁≤0）与顶点法都可行，本质都是研究 Sₙ 最值。 【设计意图】以“积分封顶”制造最值悬念，把生活直觉（加到某项开始变负就停）转化为 Sₙ 最值的两种求法，激发探究欲。 【教学建议】引导学生想象“每天加减分”，找转折点。 情境引入 小明家的‘阳光小区’就遇到了一个‘甜蜜的烦恼’：共享单车的停放问题，停放区设计不够合理，高峰期车辆经常摆放混乱，甚至溢出到人行道上，既不美观，也存在安全隐患。” 小明设计了：阶梯式的共享单车停放区，第一排放20辆车位，往后每一排都比前一排多5个车位。 物业采纳小明的设计，需要向小区管委会申请建设资金，必须准确计算出：如果这个新停放区计划修建15排，那么总共能停放多少辆共享单车？ 这个总数直接关系到预算的审批。” 教师：这就需要用到本节课要学习的等差数列的前n项和公式的应用. 预设：建立等差数列模型解决实际问题 设阶梯式停车从第1排到第15排，各排的停车位数依次排成一列， 构成数列，其前15项和为. 根据题意，数列是一个公差为5的等差数列，且． 由， 因此，修建15排，总共能停放825辆共享单车. 【设计意图】以社区真实问题为背景，激发学习兴趣，引导学生自然进入等差数列求和的实际应用情境，体会数学建模价值. 【教学建议】建议先引导学生自主提取关键信息（首项、公差、项数），尝试列式，再小组讨论不同解法。教师最后点拨公式选择依据，强化建模思维. 例7 某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多2个座位．问第1排应安排多少个座位． 师生：教师引导学生分析问题，将实际问题转化成等差数列的求和问题，即建立等差数列模型：将第1排到第20排的座位数依次排成一列，构成数列．设数列的前项和为．由题意可知，是等差数列，且公差及前20项的和已知，所以可利用等差数列的前项和公式求首项． 预设：设报告厅的座位从第1排到第20排，各排的座位数依次排成一列，构成数列，其前项和为根据题意，数列是一个公差为2的等差数列，且． 由，可得． 因此，第1排应安排21个座位 【设计意图】通过实际生活情境问题引入新课，引导学生利用等差数列模型刻画实际问题，进一步体会等差数列前n项和公式的应用. 问题1：从上述引例情境和例8的的探究中，你能总结一下建立数列模型解决实际问题的基本步骤吗? 师生：教师引导学生归纳 1）先将实际问题转化为数列问题，即用一个等差数列来表示实际问题中呈等差关系变化的量； 2）利用等差数列的通项公式和前n项和公式建立关于未知量的方程； 3）通过解方程使问题获解. 例9. 已知等差数列的前项和为，若，公差，则是否存在最大值?若存在，求的最大值及取得最大值时的值；若不存在，请说明理由． 分析：由和，可以证明是递减数列，且存在正整数，使得当时，，递减．这样，就把求的最大值转化为求的所有正数项的和． 另一方面，等差数列的前项和公式可写成，所以当时，可以看成二次函数当时的函数值．如图4.2-4，当时，关于的图象是一条开口向下的物物线上的一些点．因此，可以利用二次函数求相应的，的值． 解法1：由，得，所以是递减数列． 又由，可知： 当时，；当时，；当时，． 所以 ． 也就是说，当或6时，最大． 因为，所以的最大值为30． 解法2：因为． 所以，当取与最接近的整数即5或6时，最大，最大值为30． 方法规律：等差数列前项和的最值 (1)在等差数列中, 当时,有最大值,使取得最值的可由不等式组确定; 当时,有最小值,使取到最值的可由不等式组确定. (2),若,零的二次函数的角度中:当时,有最小值;当时,有最大值.当取最接近对称轴的正整数时,取到最值. 等差数列前n项和公式的函数特征 思考：已知数列的前项和为，其中，，为常数，且，求数列的通项公式，并说说你有什么发现？ 师生：教师和学生一起复习已知前n项和求通项公式的方法，即，再结合通项公式探究. 当时，， 当时，. 所以，当时，，满足， 即：，此时数列为等差数列，且公差为. 当时，，不满足， 即：，此时数列从第二项起为等差数列，且公差为. 综上，已知数列的前项和为，其中，，为常数，且， 当时，数列为等差数列，且首项为，公差为. 当时，数列从第二项起为等差数列，且公差为. 等差数列的前n项和，其中. 题型一：片段和性质的应用 例题：若等差数列的前m项的和为20，前3m项的和为90，则它的前2m项的和为（    ） A．30 B．70 C．50 D．60 预设：∵在等差数列中，，，也成等差数列， ∴ ， ∴ ，∴． 故选:C. 题型二：“和比”求“项比” 例题 等差数列的前项和分别为，已知，则的值为 . 解析：由等差数列性质可得，同理可得， 所以，由可得；因此. 题型三：等差数列前n项和的单调性与对称性问题 例题：在等差数列中，是其前n项和，且，，则正整数k为（    ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 解析：等差数列的前n项和是关于n的二次函数，由二次函数的对称性及，，得， 解得，所以正整数k为2023．故选：D 题型四：等差数列，求数列的前n项和问题 例题 已知数列的前项和. (1)求数列的通项公式，判断这个数列是否是等差数列，并说明理由; (2)记数列的前项和为，若，求. 预设：（1）当时，， 当时，有， 又因为，所以当时，也成立， 因此数列的通项公式为， 数列是等差数列，理由如下： 因为， 所以数列是等差数列； （2）令，解得且， 当时，， 可得； 所以，又因为，所以， 当时，， 可得 ， 令，解得或（舍去）， 所以. 方法规律：等差数列，求数列的前n项和问题 求数列的的前n项和实际上是求数列前n项和的绝对值之和.由绝对值的意义，我们必须分清这个数列的哪些项是负数，哪些项是非负数，然后再分段求前项各项的绝对值之和. 1.（25-26高二下·广东汕尾·期中）已知等差数列的前项和为，，，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】等差数列片段和的性质及应用 【详解】利用等差数列重要性质：，，成等差数列， 则，所以，所以．故C正确． 2.（25-26高二下·辽宁鞍山·期中）设是等差数列的前项和，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】等差数列片段和的性质及应用 【分析】根据题意及等差数列的片段和性质，设，从而求出，，进而即可得到答案． 【详解】由等差数列的片段和性质知，，，，···是等差数列， 由，不妨设，则，所以，，，，···，依次为，，，，···，所以，所以． 3.（25-26高二下·河南新乡·期末）已知数列为等差数列，为其前项和，且，则（    ） A．200 B．400 C．320 D．160 【答案】D 【知识点】等差数列片段和的性质及应用 【详解】因为数列是等差数列，所以成等差数列， 则，即，所以. 4.（2026·陕西西安·三模）已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】等差数列片段和的性质及应用 【分析】根据条件，利用等差数列的“片段和性质”，即可求解. 【详解】因为是等差数列的前项和，则，，成等差数列， 又，得到，所以，，所以， 则. 5.（25-26高二下·安徽·阶段检测）已知数列的通项公式是，且，则数列的前15项和为（    ） A．81 B．84 C．165 D．168 【答案】D 【知识点】求等差数列前n项和、含绝对值的等差数列前n项和、分组（并项）法求和 【详解】令，得，解得. 所以. 所以. 6.（25-26高二下·山东东营·期末）已知等差数列的前n项和为，若，，则使得取得最大值的n的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【知识点】求等差数列前n项和的最值、等差数列前n项和的基本量计算、等差数列片段和的性质及应用 【分析】利用等差数列的前n项和为的性质求解本题. 【详解】，，故，， 所以，当时，最大. 7.（25-26高二下·江西赣州·期中）已知数列，通项公式为，那么的最小值是(    ). A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求等差数列前n项和的最值、二次函数法求等差数列前n项和的最值 【分析】先求出首项，再利用等差数列前项和公式，求出关于的二次函数表达式，根据二次函数的性质求出的值，最后确定答案即可. 【详解】因为，则， 则， 所以当时，取得最小值，即. 8.（25-26高三上·江西南昌·期末）设是等差数列的前n项和，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、二次函数法求等差数列前n项和的最值 【分析】利用等差数列的通项公式、前n项和公式及二次函数的单调性即可求解. 【详解】由题意等差数列的公差， 则，当时等号成立． 故选：B 9.（25-26高二上·天津南开·期末）已知等差数列的前项和分别为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由Sn求通项公式、两个等差数列的前n项和之比问题 【分析】根据等差数列的前项和的公式特征，结合，可设，，得，再利用数列的前项和与通项的关系求出再计算即得. 【详解】因分别是等差数列的前项和，由， 可设，，则，于是， ，则.故选：A. 10. （25-26高三下·北京·阶段检测）设为等差数列的前项和，已知，，则（    ） A．为递减数列 B．数列为递减数列 C．为递增数列 D．数列为递增数列 【答案】C 【知识点】等差数列的单调性、等差数列前n项和的二次函数特征 【详解】因为数列为等差数列，所以，所以. 所以，， 所以数列为递增数列，故A错，C正确； 又当时，所以当时，单调递减； 当时，，单调递增，故B，D错误. 1.（25-26高三上·江苏·开学考试）已知数列的前项和为，首项，若，则（    ） A．10 B．40 C．70 D．100 【答案】D 【知识点】由Sn求通项公式 【分析】由题意利用和的关系将用表示，得到，得到是等差数列，利用等差数列通项公式求出，从而得到. 【详解】，又， ，，，，，是公差为1的等差数列，首项为，，，.故选：D 2.（2026·湖南郴州·三模）设等差数列的前项和为，公差为，若，则（    ） A．15 B．14 C．13 D．12 【答案】A 【知识点】等差数列前n项和的基本量计算、前n项和与n的比所组成的等差数列 【详解】，由等差数列前项和的性质可知，即， 又，，，，. 3.（26-27高三上·江苏泰州·开学考试）北京天坛圜丘坛分为上、中、下三层.上层中心为天心石，环绕天心石的第一环有9块扇面形石板，以后每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，且每层内部各环也依次增加9块.每层环数相同，且下层石板总数比中层多729块.则每层的环数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】等差数列前n项和的基本量计算、求等差数列前n项和、利用定义求等差数列通项公式 【分析】利用等差数列通项公式与等差数列前项和公式及性质分析求解即可. 【详解】设每层共有环，各环石板数构成等差数列， 其中首项为，公差，所以每环石板数为：， 由题意可得：上、中、下三层的石板总数分别为：，又下层石板总数比中层多729块，所以，即， 化简得：，解得：. 4.（25-26高二下·四川攀枝花·期末）已知等差数列的前项和为，若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用等差数列的性质计算、等差数列前n项和的基本量计算、等差数列片段和的性质及应用 【分析】方法一用等差数列片段和性质. 方法二用等差数列的基本量计算. 【详解】方法一：因为等差数列的前项和为，由片段和性质可知 、、、也成等差数列.因为，，所以， 所以，，所以 ，. 方法二：因为等差数列中，， 所以，解得，所以. 一、知识清单 1. 片段和性质：若{aₙ}是等差数列，则Sₘ，S₂ₘ - Sₘ，S₃ₘ - S₂ₘ仍构成等差数列，且公差为m²d。 2. 函数特征：Sₙ = An² + Bn（常数项为零的二次函数），点(n，Sₙ)在抛物线上。 3. 最值：符号分析法（aₙ ≥ 0 ≥ aₙ₊₁ 或 aₙ ≤ 0 ≤ aₙ₊₁）与二次函数法结合。 4. 和比关系：aₙ/bₙ = S₂ₙ₋₁/T₂ₙ₋₁。 5. 含绝对值求和：确定符号分界点，分段用 -Sₖ 与 Sₙ - 2Sₖ 处理。 二、方法归纳 （1）建模三步：实际问题→等差数列模型→列方程求解→回归实际； （2）最值两法：符号分析法、二次函数法（取最接近对称轴的正整数）； （3）由Sₙ求aₙ：aₙ = Sₙ - Sₙ₋₁（n ≥ 2），验证n = 1；C = 0时整体为等差数列； （4）|aₙ|求和：先定分界，再分段整体代换。 三、易错误区 （1）片段和性质中公差是m²d，勿写成md； （2）由Sₙ = An² + Bn + C（C ≠ 0）判断数列时，勿遗漏"从第二项起为等差数列"且a₁需单独验证； （3）求最值时，当aₖ = 0时最值对应两个n（如S₅ = S₆），勿漏解； （4）含绝对值求和时，勿忘判断n = 8（a₈ = 0）这类临界项应归入非负段。 作业1：教科书第24页练习第3题；教科书第25页习题4.2第7、8题。 作业2：预习4.3.1 等比数列的概念（第1课时）。 4.2.2 等差数列的前n项和公式（第2课时） 1. 片段和性质：Sₘ，S₂ₘ - Sₘ， S₃ₘ - S₂ₘ成等差（公差m²d） 2. 函数特征：Sₙ = An² + Bn 3. 最值：符号分析法 / 二次函数法 4. 含绝对值求和：分段讨论 5. 和比关系：aₙ/bₙ = S₂ₙ₋₁/T₂ₙ₋₁ 例题区（学生板演区域） 例7：报告厅座位（求首项） 例：最值问题（两种解法） 例：片段和性质（求S₂ₘ） 例：和比求项比（a₆/b₆） 例：含绝对值求和（Tₙ） 课堂小结：性质——函数——应用 1. 现存问题 （1）函数关联障碍：部分学生在将离散的数列求和与连续的二次函数性质进行关联时存在思维障碍，对"倒序相加法"推导性质的理解不够深入。 （2）分类讨论意识不足：在解决含绝对值的求和问题时，学生的分类讨论意识有待加强，易漏判临界项。 （3）建模能力欠缺：从实际问题中抽象出等差数列模型时，部分学生存在题意理解偏差或模型建立不准确的情况。 （4）性质应用不灵活：片段和性质、和比关系等抽象性质的应用不够熟练，遇到综合题时难以自主联想。 2. 改进措施 （1）增加数形结合的直观演示，如利用图形计算器动态展示Sₙ随n的变化趋势，帮助学生建立函数模型。 （2）设计更多小组合作探究活动，让学生在交流中突破认知难点，加强含绝对值求和的分段讨论专项训练。 （3）加强从实际问题中抽象出等差数列模型的训练，采用问题串引导建模步骤，提升数学应用能力。 （4）设计性质应用的变式训练，先示范再独立完成，引导学生归纳"何时用片段和、何时用和比关系"，提升灵活迁移能力。 学科网（北京）股份有限公司 $