4.2.2 等差数列前n项和（第2课时）（导学案）数学人教A版选择性必修第二册

4.2.2 等差数列前n项和（第2课时） （导学案） （1）通过等差数列的前n项和公式的变形应用，体会等差数列前n项和与一元二次函数表达式的关联，培养学生的逻辑推理核心素养； （2）通过等差数列的前n项和的性质的探究与应用，进一步培养学生的数学运算核心素养； （3）通过等差数列的前n项和公式在实际生活中的应用，使学生再一次认识到数学来源于生活，又服务于生活，同时发展学生善于观察生活的优秀品格，培养学生数学建模核心素养。 教学重点：1.等差数列前n项和的性质.2.等差数列前n项和的实际应用． 教学难点：等差数列前n项和性质的应用． 阅读教材，完成以下问题： 知识点　　等差数列前n项和的性质 1．数列{an}为等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)⇔数列为等差数列． [说明]　设等差数列{an}的公差为d，则数列的公差为. 2．等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，那么数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…(m∈N*)是等差数列，其公差等于m2d． 3．若两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则＝. 4．(1)等差数列的项数若为2n(n∈N*)项，则S2n＝n(a1＋a2n)且S偶－S奇＝nd，＝． (2)等差数列的项数若为2n＋1(n∈N*)项，则S2n＋1＝(2n＋1)an＋1且S奇－S偶＝an＋1，＝． 5．在公差为d的等差数列{an}中，若a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值． 课堂导入1：生活情境——共享单车阶梯停放区（引出“求和应用”） 情境描述：阳光小区建阶梯式停车区：第 1 排 20 位，每排多 5 位，共 15 排。各排车位 20,25,30,…,90 构成等差数列。 思考：15 排总共能停多少辆？这要用哪个公式、已知哪些量？ 预设：已知 a₁=20,d=5,n=15，用 Sₙ = n a₁ + n(n−1)d/2，得 S₁₅ = 15×20+15×14×5/2 = 825。 追问：如果问“修多少排能停 1000 辆”，又该怎么处理？ 预设：已知 Sₙ=1000，反解关于 n 的方程，这是“知和求项数”，属公式应用。 【设计意图】以社区真实问题驱动，巩固前两课公式，让学生体会“提取首项/公差/项数→建模求和”的完整流程，自然是本课应用与性质的入口。 【教学建议】引导学生先提取三量、选公式、再计算。 课堂导入2：生活情境——投篮积分何时封顶（引出“Sₙ 最值”） 情境描述：某积分活动每天得分成等差，前期递增、后期递减：得分依次为 10,12,14,…,到某天后开始减少。问累计总分何时最大？ 思考：累计和 Sₙ 会不会一直增大？什么时候“加上去反而变小”？ 预设：当某项 aₙ≥0 而 aₙ₊₁≤0 时，Sₙ 达到最大；也可用 Sₙ 抛物线顶点判断。 追问：用通项符号和用二次函数顶点，哪种更通用？二者一致吗？ 预设：一致；aₙ 变号法（aₙ≥0 且 aₙ₊₁≤0）与顶点法都可行，本质都是研究 Sₙ 最值。 【设计意图】以“积分封顶”制造最值悬念，把生活直觉（加到某项开始变负就停）转化为 Sₙ 最值的两种求法，激发探究欲。 【教学建议】引导学生想象“每天加减分”，找转折点。 情境引入 小明家的‘阳光小区’就遇到了一个‘甜蜜的烦恼’：共享单车的停放问题，停放区设计不够合理，高峰期车辆经常摆放混乱，甚至溢出到人行道上，既不美观，也存在安全隐患。” 小明设计了：阶梯式的共享单车停放区，第一排放20辆车位，往后每一排都比前一排多5个车位。 物业采纳小明的设计，需要向小区管委会申请建设资金，必须准确计算出：如果这个新停放区计划修建15排，那么总共能停放多少辆共享单车？ 这个总数直接关系到预算的审批。” 教师：这就需要用到本节课要学习的等差数列的前n项和公式的应用. 预设：建立等差数列模型解决实际问题 设阶梯式停车从第1排到第15排，各排的停车位数依次排成一列， 构成数列，其前15项和为. 根据题意，数列是一个公差为5的等差数列，且． 由， 因此，修建15排，总共能停放825辆共享单车. 【设计意图】以社区真实问题为背景，激发学习兴趣，引导学生自然进入等差数列求和的实际应用情境，体会数学建模价值. 【教学建议】建议先引导学生自主提取关键信息（首项、公差、项数），尝试列式，再小组讨论不同解法。教师最后点拨公式选择依据，强化建模思维. 例7 某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多2个座位．问第1排应安排多少个座位． 师生：教师引导学生分析问题，将实际问题转化成等差数列的求和问题，即建立等差数列模型：将第1排到第20排的座位数依次排成一列，构成数列．设数列的前项和为．由题意可知，是等差数列，且公差及前20项的和已知，所以可利用等差数列的前项和公式求首项． 预设：设报告厅的座位从第1排到第20排，各排的座位数依次排成一列，构成数列，其前项和为根据题意，数列是一个公差为2的等差数列，且． 由，可得． 因此，第1排应安排21个座位 【设计意图】通过实际生活情境问题引入新课，引导学生利用等差数列模型刻画实际问题，进一步体会等差数列前n项和公式的应用. 问题1：从上述引例情境和例8的的探究中，你能总结一下建立数列模型解决实际问题的基本步骤吗? 师生：教师引导学生归纳 1）先将实际问题转化为数列问题，即用一个等差数列来表示实际问题中呈等差关系变化的量； 2）利用等差数列的通项公式和前n项和公式建立关于未知量的方程； 3）通过解方程使问题获解. 例9. 已知等差数列的前项和为，若，公差，则是否存在最大值?若存在，求的最大值及取得最大值时的值；若不存在，请说明理由． 分析：由和，可以证明是递减数列，且存在正整数，使得当时，，递减．这样，就把求的最大值转化为求的所有正数项的和． 另一方面，等差数列的前项和公式可写成，所以当时，可以看成二次函数当时的函数值．如图4.2-4，当时，关于的图象是一条开口向下的物物线上的一些点．因此，可以利用二次函数求相应的，的值． 解法1：由，得，所以是递减数列． 又由，可知： 当时，；当时，；当时，． 所以 ． 也就是说，当或6时，最大． 因为，所以的最大值为30． 解法2：因为． 所以，当取与最接近的整数即5或6时，最大，最大值为30． 方法规律：等差数列前项和的最值 (1)在等差数列中, 当时,有最大值,使取得最值的可由不等式组确定; 当时,有最小值,使取到最值的可由不等式组确定. (2),若,零的二次函数的角度中:当时,有最小值;当时,有最大值.当取最接近对称轴的正整数时,取到最值. 等差数列前n项和公式的函数特征 思考：已知数列的前项和为，其中，，为常数，且，求数列的通项公式，并说说你有什么发现？ 师生：教师和学生一起复习已知前n项和求通项公式的方法，即，再结合通项公式探究. 当时，， 当时，. 所以，当时，，满足， 即：，此时数列为等差数列，且公差为. 当时，，不满足， 即：，此时数列从第二项起为等差数列，且公差为. 综上，已知数列的前项和为，其中，，为常数，且， 当时，数列为等差数列，且首项为，公差为. 当时，数列从第二项起为等差数列，且公差为. 等差数列的前n项和，其中. 题型一：片段和性质的应用 例题：若等差数列的前m项的和为20，前3m项的和为90，则它的前2m项的和为（    ） A．30 B．70 C．50 D．60 预设：∵在等差数列中，，，也成等差数列， ∴ ， ∴ ，∴． 故选:C. 题型二：“和比”求“项比” 例题 等差数列的前项和分别为，已知，则的值为 . 解析：由等差数列性质可得，同理可得， 所以，由可得；因此. 题型三：等差数列前n项和的单调性与对称性问题 例题：在等差数列中，是其前n项和，且，，则正整数k为（    ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 解析：等差数列的前n项和是关于n的二次函数，由二次函数的对称性及，，得， 解得，所以正整数k为2023．故选：D 题型四：等差数列，求数列的前n项和问题 例题 已知数列的前项和. (1)求数列的通项公式，判断这个数列是否是等差数列，并说明理由; (2)记数列的前项和为，若，求. 预设：（1）当时，， 当时，有， 又因为，所以当时，也成立， 因此数列的通项公式为， 数列是等差数列，理由如下： 因为， 所以数列是等差数列； （2）令，解得且， 当时，， 可得； 所以，又因为，所以， 当时，， 可得 ， 令，解得或（舍去）， 所以. 方法规律：等差数列，求数列的前n项和问题 求数列的的前n项和实际上是求数列前n项和的绝对值之和.由绝对值的意义，我们必须分清这个数列的哪些项是负数，哪些项是非负数，然后再分段求前项各项的绝对值之和. 1.（25-26高二下·江西南昌·阶段检测）已知等差数列，的前n项和分别为，，且，则使得为整数的正整数的值不能为（    ） A．2 B．3 C．4 D．14 【答案】B 【知识点】两个等差数列的前n项和之比问题 【分析】由等差中项的性质和等差数列的求和公式得出，进而可得出为15的正约数，由此可得出正整数的可能取值． 【详解】由题意可得， 则， 由于为整数，则为15的正约数，则的可能取值有3、5、15， 因此，正整数的可能取值有2、4、14. 2.（25-26高二下·四川南充·期末）记等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．9 B．36 C．45 D．54 【答案】C 【知识点】等差数列片段和的性质及应用 【详解】由题意知，是等差数列，即是等差数列， 则，得. 3.（25-26高二下·江西赣州·期中）已知数列，通项公式为，那么的最小值是(    ). A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求等差数列前n项和的最值、二次函数法求等差数列前n项和的最值 【分析】先求出首项，再利用等差数列前项和公式，求出关于的二次函数表达式，根据二次函数的性质求出的值，最后确定答案即可. 【详解】因为，则， 则， 所以当时，取得最小值，即. 4.（25-26高二下·全国·课后作业）在等差数列中，是其前项和，且，，则正整数为（    ） A．2018 B．2019 C．2020 D．2021 【答案】D 【知识点】等差数列前n项和的二次函数特征 【详解】因为等差数列的前项和是关于的二次函数， 所以由二次函数的对称性及，， 可得，解得． 5.（2025高三上·河南鹤壁·专题练习）已知数列的前n项和Sn满足，则数列的前12项和为（　　） A．112 B．48 C．80 D．64 【答案】C 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、含绝对值的等差数列前n项和 【分析】根据，先求出数列的通项公式，即可判断各项的正负，然后再直接求解数列的前12项的和即可. 【详解】由，得当时，， 当时，满足上式，则，当时，；当时，， 所以 ． 故选：C 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： _________________________________________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2.2 等差数列前n项和（第2课时） （导学案） （1）通过等差数列的前n项和公式的变形应用，体会等差数列前n项和与一元二次函数表达式的关联，培养学生的逻辑推理核心素养； （2）通过等差数列的前n项和的性质的探究与应用，进一步培养学生的数学运算核心素养； （3）通过等差数列的前n项和公式在实际生活中的应用，使学生再一次认识到数学来源于生活，又服务于生活，同时发展学生善于观察生活的优秀品格，培养学生数学建模核心素养。 教学重点：1.等差数列前n项和的性质.2.等差数列前n项和的实际应用． 教学难点：等差数列前n项和性质的应用． 阅读教材，完成以下问题： 知识点　　等差数列前n项和的性质 1．数列{an}为等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)⇔数列为等差数列． [说明]　设等差数列{an}的公差为d，则数列的公差为. 2．等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，那么数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…(m∈N*)是等差数列，其公差等于 ． 3．若两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则＝. 4．(1)等差数列的项数若为2n(n∈N*)项，则S2n＝ 且S偶－S奇＝ ，＝ ． (2)等差数列的项数若为2n＋1(n∈N*)项，则S2n＋1＝ 且S奇－S偶＝ ，＝ ． 5．在公差为d的等差数列{an}中，若a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在 ． 课堂导入1：生活情境——共享单车阶梯停放区（引出“求和应用”） 情境描述：阳光小区建阶梯式停车区：第 1 排 20 位，每排多 5 位，共 15 排。各排车位 20,25,30,…,90 构成等差数列。 思考：15 排总共能停多少辆？这要用哪个公式、已知哪些量？ 追问：如果问“修多少排能停 1000 辆”，又该怎么处理？ 课堂导入2：生活情境——投篮积分何时封顶（引出“Sₙ 最值”） 情境描述：某积分活动每天得分成等差，前期递增、后期递减：得分依次为 10,12,14,…,到某天后开始减少。问累计总分何时最大？ 思考：累计和 Sₙ 会不会一直增大？什么时候“加上去反而变小”？ 追问：用通项符号和用二次函数顶点，哪种更通用？二者一致吗？ 情境引入 小明家的‘阳光小区’就遇到了一个‘甜蜜的烦恼’：共享单车的停放问题，停放区设计不够合理，高峰期车辆经常摆放混乱，甚至溢出到人行道上，既不美观，也存在安全隐患。” 小明设计了：阶梯式的共享单车停放区，第一排放20辆车位，往后每一排都比前一排多5个车位。 物业采纳小明的设计，需要向小区管委会申请建设资金，必须准确计算出：如果这个新停放区计划修建15排，那么总共能停放多少辆共享单车？ 这个总数直接关系到预算的审批。” 例7 某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多2个座位．问第1排应安排多少个座位． 问题1：从上述引例情境和例8的的探究中，你能总结一下建立数列模型解决实际问题的基本步骤吗? 例9. 已知等差数列的前项和为，若，公差，则是否存在最大值?若存在，求的最大值及取得最大值时的值；若不存在，请说明理由． 方法规律：等差数列前项和的最值 (1)在等差数列中, 当时,有最大值,使取得最值的可由不等式组确定; 当时,有最小值,使取到最值的可由不等式组确定. (2),若,零的二次函数的角度中:当时,有最小值;当时,有最大值.当取最接近对称轴的正整数时,取到最值. 等差数列前n项和公式的函数特征 思考：已知数列的前项和为，其中，，为常数，且，求数列的通项公式，并说说你有什么发现？ 题型一：片段和性质的应用 例题：若等差数列的前m项的和为20，前3m项的和为90，则它的前2m项的和为（    ） A．30 B．70 C．50 D．60 题型二：“和比”求“项比” 例题 等差数列的前项和分别为，已知，则的值为 . 题型三：等差数列前n项和的单调性与对称性问题 例题：在等差数列中，是其前n项和，且，，则正整数k为（    ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 题型四：等差数列，求数列的前n项和问题 例题 已知数列的前项和. (1)求数列的通项公式，判断这个数列是否是等差数列，并说明理由; (2)记数列的前项和为，若，求. 方法规律：等差数列，求数列的前n项和问题 求数列的的前n项和实际上是求数列前n项和的绝对值之和.由绝对值的意义，我们必须分清这个数列的哪些项是负数，哪些项是非负数，然后再分段求前项各项的绝对值之和. 1.（25-26高二下·江西南昌·阶段检测）已知等差数列，的前n项和分别为，，且，则使得为整数的正整数的值不能为（    ） A．2 B．3 C．4 D．14 2.（25-26高二下·四川南充·期末）记等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．9 B．36 C．45 D．54 3.（25-26高二下·江西赣州·期中）已知数列，通项公式为，那么的最小值是(    ). A． B． C． D． 4.（25-26高二下·全国·课后作业）在等差数列中，是其前项和，且，，则正整数为（    ） A．2018 B．2019 C．2020 D．2021 5.（2025高三上·河南鹤壁·专题练习）已知数列的前n项和Sn满足，则数列的前12项和为（　　） A．112 B．48 C．80 D．64 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： _________________________________________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $