4.2.2 等差数列的前n项和公式（第2课时）（导学案）数学人教A版2019选择性必修第二册

该高中数学导学案聚焦“等差数列的前n项和公式（第2课时）”，涵盖公式变形应用、与二次函数关联、性质探究、实际应用及前n项和最值问题。通过共享单车停放区设计、报告厅座位安排等生活情境导入，衔接已学公式，搭建从实际问题到数学模型的学习支架。 资料突出逻辑推理、数学运算、数学建模核心素养培养，设置“思考”“牛刀小试”引导自主探究，融合《张丘建算经》古代算题与真题感知，题型多样且注重方法规律总结。帮助学生用数学眼光观察现实世界，用数学思维解决问题，提升学习效率与学科素养。

4.2.1 等差数列的前n项和公式（第2课时） 导学案 （1）通过等差数列的前n项和公式的变形应用，体会等差数列前n项和与一元二次函数表达式的关联，培养学生的逻辑推理核心素养； （2）通过等差数列的前n项和的性质的探究与应用，进一步培养学生的数学运算核心素养； （3）通过等差数列的前n项和公式在实际生活中的应用，使学生再一次认识到数学来源于生活，又服务于生活.同时发展学生善于观察生活的优秀品格，培养学生数学建模核心素养. 情境引入 小明家的‘阳光小区’就遇到了一个‘甜蜜的烦恼’：共享单车的停放问题，停放区设计不够合理，高峰期车辆经常摆放混乱，甚至溢出到人行道上，既不美观，也存在安全隐患。” 小明设计了：阶梯式的共享单车停放区，第一排放20辆车位，往后每一排都比前一排多5个车位。 物业采纳小明的设计，需要向小区管委会申请建设资金，必须准确计算出：如果这个新停放区计划修建15排，那么总共能停放多少辆共享单车？ 这个总数直接关系到预算的审批。” 预设：建立等差数列模型解决实际问题 设阶梯式停车从第1排到第15排，各排的停车位数依次排成一列， 构成数列，其前15项和为. 根据题意，数列是一个公差为5的等差数列，且． 由， 因此，修建15排，总共能停放825辆共享单车. 例7 某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多2个座位．问第1排应安排多少个座位． 预设：设报告厅的座位从第1排到第20排，各排的座位数依次排成一列，构成数列，其前项和为根据题意，数列是一个公差为2的等差数列，且． 由，可得． 因此，第1排应安排21个座位 思考：从上述引例情境和例8的的探究中，你能总结一下建立数列模型解决实际问题的基本步骤吗? 1）先将实际问题转化为数列问题，即用一个等差数列来表示实际问题中呈等差关系变化的量； 2）利用等差数列的通项公式和前n项和公式建立关于未知量的方程； 3）通过解方程使问题获解. 牛刀小试： 练1：《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有这样一个问题：“今有女善织，日益功疾。初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何?”其意思为：“有个女子织布，每天比前一天多织相同量的布.第一天织5尺，一个月(按30天计)共织390尺，问：每天多织多少布?”已知1匹=4丈，1丈=10尺，试计算该女子每天多织的布为多少尺. 预设：设该女子从第1天到第30天，各天的织布数数依次排成一列，构成数列，其前项和为根据题意，数列是一个首项为的等差数列，且． 由，可得． 因此，该女子每天多织的布为尺. 例9.已知等差数列的前项和为，若，公差，则是否存在最大值?若存在，求的最大值及取得最大值时的值；若不存在，请说明理由． 分析：由和，可以证明是递减数列，且存在正整数，使得当时，，递减．这样，就把求的最大值转化为求的所有正数项的和． 另一方面，等差数列的前项和公式可写成，所以当时，可以看成二次函数当时的函数值．如图4.2-4，当时，关于的图象是一条开口向下的物物线上的一些点．因此，可以利用二次函数求相应的，的值． 解法1：由，得，所以是递减数列． 又由，可知： 当时，；当时，；当时，． 所以 ． 也就是说，当或6时，最大． 因为，所以的最大值为30． 解法2：因为． 所以，当取与最接近的整数即5或6时，最大，最大值为30． 方法规律：等差数列前项和的最值 (1)在等差数列中, 当时,有最大值,使取得最值的可由不等式组确定; 当时,有最小值,使取到最值的可由不等式组确定. (2),若,零的二次函数的角度中:当时,有最小值;当时,有最大值.当取最接近对称轴的正整数时,取到最值. 等差数列前n项和公式的函数特征 思考：已知数列的前项和为，其中，，为常数，且，求数列的通项公式，并说说你有什么发现？ 师生：教师和学生一起复习已知前n项和求通项公式的方法，即，再结合通项公式探究. 当时，， 当时，. 所以，当时，，满足， 即：，此时数列为等差数列，且公差为. 当时，，不满足， 即：，此时数列从第二项起为等差数列，且公差为. 综上，已知数列的前项和为，其中，，为常数，且， 当时，数列为等差数列，且首项为，公差为. 当时，数列从第二项起为等差数列，且公差为. 等差数列的前n项和，其中. 牛刀小试 练2. 在等差数列中，，，求的最小值以及相对应的n值． 预设：方法一（单调性法）设等差数列的首项为，公差为d， 则有解得， 则， ∴ 当即时，有最小值， 解得， ∴当或时，取得最小值，最小值为． 方法二（配方法）由方法一得 ∴， ∴当或时，取得最小值，最小值为． 题型一：片段和性质的应用 例题：若等差数列的前m项的和为20，前3m项的和为90，则它的前2m项的和为（    ） A．30 B．70 C．50 D．60 预设：∵在等差数列中，，，也成等差数列， ∴ ， ∴ ，∴． 故选:C. 题型二：前n项和与n的比所组成的等差数列 例题 在等差数列中,,其前项和为,则 . 预设：由题知为等差数列,记数列, 所以,由,可知, 所以是以2为首项,1为公差的等差数列, 所以, 所以,所以. 故答案为:110 题型三：根据等差数列前n项和的最值求参数 例题：在等差数列中，是其前n项和，且，，则正整数k为（    ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 解析：等差数列的前n项和是关于n的二次函数，由二次函数的对称性及，，得， 解得，所以正整数k为2023．故选：D 题型四：等差数列，求数列的前n项和问题 例题 已知数列的前项和. (1)求数列的通项公式，判断这个数列是否是等差数列，并说明理由; (2)记数列的前项和为，若，求. 预设：（1）当时，， 当时，有， 又因为，所以当时，也成立， 因此数列的通项公式为， 数列是等差数列，理由如下： 因为， 所以数列是等差数列； （2）令，解得且， 当时，， 可得； 所以，又因为，所以， 当时，， 可得 ， 令，解得或（舍去）， 所以. 方法规律：等差数列，求数列的前n项和问题 求数列的的前n项和实际上是求数列前n项和的绝对值之和.由绝对值的意义，我们必须分清这个数列的哪些项是负数，哪些项是非负数，然后再分段求前项各项的绝对值之和. 题型五：等差数列前n项和公式的应用 例题 北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则中下两层共有扇面形石板（     ） A．2699块 B．3474块 C．3402块 D．2997块 预设：设第n环天石心块数为，上层共有n环，为的前n项和， 则是首项为9，公差为9的等差数列，，， 上层、中层、下层的块数分别为， 由下层比中层多729块，得， 即， 解得， 所以中下两层共有扇面形石板（块）. 故选：D 1．（25-26高三上·河北·月考）设等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 预设：因为是等差数列，且，，所以，，所以. 故选：A. 2．（25-26高二上·江苏苏州·月考）设等差数列的前项和分别为．若，则（    ） A． B． C． D．2 预设：由题意得，因为，所以，故A正确. 故选：A. 3．（2025高三·全国·专题练习）已知等差数列的前n项和为，若，，则的最大值为 ． 预设：设公差为，因，，则， 即，解得，，当时，取得最大值，最大值为49． 故答案为：49. 4．（24-25高二上·天津滨海新·期末）（多选）设等差数列的前项的和为，公差为，已知，，，则（     ） A． B． C． D．时，的最小值为14 预设：由题意，，而，可以判断是递减数列，所以，C正确，而，D错误； 又，所以，B错误；而，A正确. 故选：AC 5．（24-25高二上·福建三明·阶段练习）已知等差数列的前项和为，其中． (1)求数列的通项公式 (2)求数列的前10项的和． 预设：（1）设等差数列的公差为，由，则，公差， 所以等差数列首项，公差，∴ （2）令，得，则前2项为负数，从第3项起为正数， ∴ 1．设等差数列的公差为为其前n项和，则仍构成等差数列，且公差为 ． 【答案】 2．公式可化成关于n的表达式：．当时，关于n的表达式是一个常数项为零的二次函数式，即点在其相应的 函数的图象上，这就是说等差数列的前n项和公式是关于n的二次多项式，它的图象是抛物线上横坐标为正整数的一系列孤立的点． 【答案】 3．等差数列前n项和的最值 （1）在等差数列中， 当时，有 值，使取得最值的n可由不等式组确定；当时，有 值，使取到最值的n可由不等式组确定． （2），若，则从二次函数的角度看：当时，有 值；当时，有 值．当n取最接近对称轴的正整数时，取到最值． 答案： 学科网（北京）股份有限公司1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2.1 等差数列的前n项和公式（第2课时） 导学案 （1）通过等差数列的前n项和公式的变形应用，体会等差数列前n项和与一元二次函数表达式的关联，培养学生的逻辑推理核心素养； （2）通过等差数列的前n项和的性质的探究与应用，进一步培养学生的数学运算核心素养； （3）通过等差数列的前n项和公式在实际生活中的应用，使学生再一次认识到数学来源于生活，又服务于生活.同时发展学生善于观察生活的优秀品格，培养学生数学建模核心素养. 情境引入 小明家的‘阳光小区’就遇到了一个‘甜蜜的烦恼’：共享单车的停放问题，停放区设计不够合理，高峰期车辆经常摆放混乱，甚至溢出到人行道上，既不美观，也存在安全隐患。” 小明设计了：阶梯式的共享单车停放区，第一排放20辆车位，往后每一排都比前一排多5个车位。 物业采纳小明的设计，需要向小区管委会申请建设资金，必须准确计算出：如果这个新停放区计划修建15排，那么总共能停放多少辆共享单车？ 这个总数直接关系到预算的审批。” 例7 某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多2个座位．问第1排应安排多少个座位． 思考：从上述引例情境和例8的的探究中，你能总结一下建立数列模型解决实际问题的基本步骤吗? 牛刀小试： 练1：《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有这样一个问题：“今有女善织，日益功疾。初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何?”其意思为：“有个女子织布，每天比前一天多织相同量的布.第一天织5尺，一个月(按30天计)共织390尺，问：每天多织多少布?”已知1匹=4丈，1丈=10尺，试计算该女子每天多织的布为多少尺. 例9.已知等差数列的前项和为，若，公差，则是否存在最大值?若存在，求的最大值及取得最大值时的值；若不存在，请说明理由． 方法规律：等差数列前项和的最值 (1)在等差数列中, 当时,有最大值,使取得最值的可由不等式组_________________确定; 当时,有最小值,使取到最值的可由不等式组_________________确定. (2),若,_________为零的二次函数的角度中: 当时,有最_____值;当时,有最______值.当取最接近对称轴的_________时,取到最值. 等差数列前n项和公式的函数特征 思考：已知数列的前项和为，其中，，为常数，且，求数列的通项公式，并说说你有什么发现？ 牛刀小试 练2. 在等差数列中，，，求的最小值以及相对应的n值． 题型一：片段和性质的应用 例题：若等差数列的前m项的和为20，前3m项的和为90，则它的前2m项的和为（    ） A．30 B．70 C．50 D．60 题型二：前n项和与n的比所组成的等差数列 例题 在等差数列中,,其前项和为,则 . 题型三：根据等差数列前n项和的最值求参数 例题：在等差数列中，是其前n项和，且，，则正整数k为（    ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 题型四：等差数列，求数列的前n项和问题 例题 已知数列的前项和. (1)求数列的通项公式，判断这个数列是否是等差数列，并说明理由; (2)记数列的前项和为，若，求. 方法规律：等差数列，求数列的前n项和问题 求数列的的前n项和实际上是求数列前n项和的____________之和.由绝对值的意义，我们必须分清这个数列的哪些项是_______，哪些项是非负数，然后再__________求前项各项的绝对值之和. 题型五：等差数列前n项和公式的应用 例题 北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则中下两层共有扇面形石板（     ） A．2699块 B．3474块 C．3402块 D．2997块 1．（25-26高三上·河北·月考）设等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 2．（25-26高二上·江苏苏州·月考）设等差数列的前项和分别为．若，则（    ） A． B． C． D．2 3．（2025高三·全国·专题练习）已知等差数列的前n项和为，若，，则的最大值为 ． 4．（24-25高二上·天津滨海新·期末）（多选）设等差数列的前项的和为，公差为，已知，，，则（     ） A． B． C． D．时，的最小值为14 5．（24-25高二上·福建三明·阶段练习）已知等差数列的前项和为，其中． (1)求数列的通项公式 (2)求数列的前10项的和． 1．设等差数列的公差为为其前n项和，则仍构成等差数列，且公差为 ． 2．公式可化成关于n的表达式：．当时，关于n的表达式是一个常数项为零的二次函数式，即点在其相应的 函数的图象上，这就是说等差数列的前n项和公式是关于n的二次多项式，它的图象是抛物线上横坐标为正整数的一系列孤立的点． 3．等差数列前n项和的最值 （1）在等差数列中， 当时，有 值，使取得最值的n可由不等式组确定；当时，有 值，使取到最值的n可由不等式组确定． （2），若，则从二次函数的角度看：当时，有 值；当时，有 值．当n取最接近对称轴的正整数时，取到最值． 学科网（北京）股份有限公司1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $