31.3 相似三角形的应用 课件 2026-2027学年人教版数学九年级下册

已确认：你用的是**人教版（2024新教材）九年级下册**，该版把"相似"编为**第三十一章**，"31.3 相似三角形的应用"对应旧版的"相似三角形应用举例"，重点是**测高度（影子法、标杆法、平面镜法）、测河宽、内接矩形最值**。下面按此范围出题。 --- # 人教版数学九年级（2024新教材）31.3 相似三角形的应用 专项练习 **【知识要点速记】** ① 影子测高：同一时刻太阳光平行，物高与影长成正比；② 标杆/平面镜测高：构造相似三角形，抓住"视线、顶端、参照点三点共线"或"入射角=反射角"；③ 测河宽：在河岸构造平行截线得相似三角形；④ 内接矩形：平行于底的线段截出的小三角形与原三角形相似，对应高之比等于相似比。 --- ## 一、填空题 **1.** 同一时刻，小刚身高 1.5m，测得自己的影长为 0.75m，同时测得操场旗杆的影长为 6m，则旗杆高为______m。 *解析：* 物高与影长成正比，旗杆高 ÷ 6 = 1.5 ÷ 0.75 = 2，故旗杆高 = 6 × 2 = **12m**。 **2.** 如图，小明把平面镜放在距大树底部 B 点 20m 的地面 C 处，自己站在距平面镜 2m 的 D 点，眼睛 E 距地面 1.5m，恰好从镜中看到树顶 A，则树高 AB =______m（入射角＝反射角）。 *解析：* 由反射定律，△ABC∽△EDC，AB ÷ BC = ED ÷ DC，即 AB ÷ 20 = 1.5 ÷ 2，AB = 20 × 1.5 ÷ 2 = **15m**。 ## 二、解答题 **3.（测河宽）** 为估算河宽，在河对岸选定目标点 P，在近岸取点 Q、S，使 P、Q、S 共线且 PS⊥河岸；在过 S 且垂直于 PS 的直线上取点 T，确定 PT 与过 Q 且垂直于 PS 的直线交点 R。测得 QS = 45m，ST = 90m，QR = 60m，求河宽 PQ。 *解：* ∵∠PQR＝∠PST＝90°，∠P＝∠P，∴△PQR∽△PST。 ∴ PQ÷PS = QR÷ST，即 PQ ÷（PQ＋45）= 60 ÷ 90 = 2/3。 ∴ 3PQ = 2(PQ＋45)，PQ = **90m**。答：河宽约为 90m。 **4.（测楼高·影子法）** 某时刻在同一地点，测得教学楼影长 24m，同时测得一根高 2m 的竹竿影长 1.2m，求教学楼高度。 *解：* 楼高 ÷ 24 = 2 ÷ 1.2，楼高 = 24 × 2 ÷ 1.2 = **40m**。答：教学楼高 40m。 **5.（内接矩形最值）** 在△ABC 中，BC = 30cm，BC 边上的高 AD = 20cm。矩形 EFGH 内接于△ABC，其中 EF 在 BC 上，顶点 H、G 分别在 AB、AC 上。设矩形的高为 x cm，面积为 S cm²。 （1）求 S 关于 x 的函数关系式；（2）x 取何值时 S 最大？最大值是多少？ *解：*（1）∵HG∥BC（矩形对边平行），∴△AHG∽△ABC，且对应高的比等于相似比。 △AHG 的高 = 20 − x，故 HG ÷ BC =（20 − x）÷ 20，HG = 30×(20−x)÷20 = 1.5(20−x)。 ∴ S = HG·x = 1.5x(20−x) = −1.5x² + 30x。 （2）配方：S = −1.5(x−10)² + 150。故当 x = **10cm** 时，S 最大 = **150cm²**（恰为△ABC 面积 300cm² 的一半）。 **6.（综合·标杆法测楼高）** 小明想测量楼 CD 的高度。在距楼底 C 点 30m 的 A 处立一根高 2m 的标杆 AB，他站在标杆后方，使眼睛 E、标杆顶 B、楼顶 D 三点恰好在一条直线上。已知眼睛 E 距标杆底部水平距离 3m，眼睛高 1.6m，求楼高 CD。 *解：* 眼睛 E 到标杆顶 B 的竖直高度差 = 2 − 1.6 = 0.4m。设楼顶 D 相对眼睛的高度为 y，则 y ÷（3+30）= 0.4 ÷ 3。 y = 33 × 0.4 ÷ 3 = 4.4m。故楼高 CD = y + 1.6 = 4.4 + 1.6 = **6m**。答：楼高 6m。 --- **【易错提醒】** ① 影子测高时，被测量的物体与影子必须**同时、同地**测得，否则不成比例；② 平面镜法中，人眼高度、到镜距离要与树的对应线段严格对应（树高对应眼高、树距镜面对应人距镜面）；③ 内接矩形求最值，务必用"平行线截相似三角形"写出**对应高的比**，不要误用底边直接相乘。 --- **内容说明**：共 6 题（2 填空 + 4 解答），覆盖"影子测高、平面镜测高、标杆测高、测河宽、内接矩形最值"五类必考应用，每题附完整解析与答案，正文约 **1500 字**。如需我把它整理成 Word/文档、或再补 2~3 道易错选择题和变式训练，告诉我即可。 人教版（新教材）数学九年级下册 31.3 相似三角形的应用 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/12 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第三十一章 相似 能运用三角形相似的性质定理与判定定理进行简单的几何推理. 进一步了解数学建模思想，能够将实际问题转化为相似三角形的数学模型，能利用相似三角形的知识设计方案解决一些简单的实际问题，如高度和宽度的测量问题. 学习目标 测量金字塔高度 知识点1 例4 据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度。 探究新知 如图，木杆EF长2m，它的影长FD为3m，测得OA为201m，求金字塔的高度BO. 　　怎样测出 OA 的长？ 金字塔的影子可以看成一个等腰三角形，则OA等于这个等腰三角形的高与金字塔的边长一半的和。 探究新知 　　解：太阳光是平行光线，因此 　　∠BAO=∠EDF. 　　又　∠AOB=∠DFE=90°, 　　∴　△ABO∽△DEF. 　　∴　　　=　　 ， 　　∴　BO =　　　 =　　　 =134（m）. 　　因此金字塔的高度为 134 m. 探究新知 练习 1.在某一时刻，测得一根高为1.8 m的竹竿的影长为3 m，同时测得一栋楼的影长为90 m，这栋楼的高度为多少？ 解得x = 54. 竹竿1.8m 高 楼 3m 影长90m 解:设这栋高楼的高度为x. 因此这栋楼的高度是54m. 探究新知 返回 1．如图，为了测量一池塘的宽DE，在岸边找到一点C，测得CD＝30 m，在DC的延长线上找一点A，测得AC＝5 m，过点A作AB∥DE，交EC的延长线于点B，测出AB＝8 m，则池塘的宽DE为(　　) A．32 m B．36 m C．48 m D．56 m C 举一反三 7 返回 2．[2025成都成华区期末]如图，为了测量学校的旗杆高度，数学综合与实践活动小组在观察者与旗杆之间的水平地面上直立一根标杆，观察者适当调整位置，使旗杆的顶端、标杆的顶端与自己的眼睛恰好在一条直线上．已知观察者的眼睛离地面的高度为1．6 m，观察者与标杆的水平距离为3 m，观察者与旗杆的水平距离为18 m，标杆的高度为3 m，则旗杆的高度为(　　) A．7 m B．8.4 m C．8.6 m D．10 m D 举一反三 8 返回 3．[2025郑州金水区期末]如图，小明为了测量一凉亭的高度AB(顶端A到水平地面BD的距离)，在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC等高的台阶DE(DE＝BC＝1 m，A，B，C三点共线)，把一面镜子水平放置在台阶上的点G处，测得CG＝10 m，然后沿直线CG后退到点E处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A，测得EG＝2 m，小明身高EF＝1．7 m，则凉亭的高度约为(　　) A．8．5 m B．9 m C．9．5 m D．10 m C 举一反三 9 测量河的宽度 知识点2 在无法过河的条件下，怎样估算河的宽度？ 探究新知 　　例5　如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点 P，在近岸取点 Q 和 S，使点 P，Q，S 共线且直线 PS 与河垂直，接着在过点 S 且与 PS 垂直的直线 a 上选择适当的点 T，确定 PT 与过点 Q 且垂直 PS 的直线 b 的交点 R. 已测得 QS = 45 m， ST = 90 m，QR = 60 m，请 根据这些数据，计算河宽 PQ. 探究新知 　　解：∵ ∠PQR=∠PST=90°，∠P=∠P， 　　∴　△PQR∽△PST. ∴ ， 　　即　　　　　 ， , 　　　　PQ×90=（PQ+45）×60. 　　解得　PQ=90（m）. 　　因此，河宽大约为 90 m. 探究新知 练习 1.如图，测得BD=120 m，DC=60 m，EC=50 m，求河宽AB. 解：∵∠ABD=∠ECD=90°，∠ADB=∠EDC, ∴△ABD∽△ECD. ∴ ， 即 . 因此河宽AB为100m. 探究新知 2.为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如右图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于D，C在BD上.有四位同学分别测量出以下四组数据：①BC，AC； ②EF，DE，BD；③DE，DC，BC ；④DC，DB，AC.能根据所测数据求出A，B间距离的有（ ） A.1组 B.2组 C.3组 D.0组 B 探究新知 14 4．如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形MNPQ拼成的一个大正方形ABCD．直线MP交正方形ABCD的两边于点E，F，记正方形ABCD的面积为S1，正方形MNPQ的面积为S2．若BE＝kAE(k＞1)， 举一反三 15 举一反三 返回 举一反三 返回 5．如图所示是凸透镜成像的原理示意图，且AD∥l∥BC，光屏上显示的缩小的实像高CG为8 cm．若物体AH到焦点F1的距离HF1与焦点F1到凸透镜中心线DB的距离OF1之比为5: 4，则物体的高AH为(　　) A．10 cm B．8 cm C．12 cm D．9 cm A 举一反三 18 6．在某一时刻测得1 m长的竹竿竖直放置时影长为1．2 m，同一时刻旗杆AB的影长不全落在水平地面上，有一部分落在楼房的墙上，如图，他测得落在地面上的影长BD＝9．6 m，落在墙上的影长CD＝2 m，则旗杆的高度为(　　) A．9 m B．9．6 m C．10 m D．10．2 m C 举一反三 19 7．西周数学家商高用“矩”(如图①)测量物高的方法：把矩的两边放置成如图②所示的位置，从矩的一端A(人眼)望点E，使视线通过点C，记人站立的位置为点B，量出BG的长，即可算得物高EG．经测量，得CD＝60 cm，AD＝120 cm，AB＝1．5 m．设BG＝x(m)，EG＝y(m)，则y与x之间的函数关系式为_____________． y＝0.5x＋1.5 举一反三 20 8．[2025西安新城区三模]小安和大智想利用所学的几何知识测量一座古塔的高度，测量方案如下：如图，小安位于大智和古塔之间，直线BM上平放一平面镜，在镜面上做一个标记，记为点C，镜子不动，小安看着镜面上的标记来回走动，走到点D时，看到塔顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记重合，此时测得小安眼睛与地面的高度ED＝1．6 m，CD＝2．8 m． 举一反三 21 同时，在阳光下，古塔AB的影子与大智的影子顶端H恰好重合，测得大智的身高FG为1．8 m，影长FH为3．6 m，已知AB⊥BM，ED⊥BM，GF⊥BM，DH＝21．2 m，A，H，G三点共线，且测量时所用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据图中提供的相关信息， 求出古塔AB的高度． 举一反三 22 举一反三 返回 举一反三 解题思路 根据题意建立相似三角形模型 证明三角形相似 得比例线段 列方程求值 课堂小结 谢谢观看 THANKS 则用含k的式子表示的值是______________． 【点拨】如图，过点A作AG∥BP，交FE的延长线于点G．∵AG∥BP， ∴∠GAE＝∠PBE，∠AGE＝∠BPE．∴△AGE∽△BPE．∴＝＝．设AG＝1，则BP＝k．易得∠AGM＝∠NPM＝45°， ∠AMG＝∠NMP＝45°， ∴∠AGM＝∠AMG． ∴AM＝AG＝1．易知MD＝AN＝BP＝k， ∴MN＝k－1． ∵S1＝AD2＝MD2＋AM2＝k2＋1，S2＝MN2＝(k－1) 2，∴＝． 【解】由题意，得∠BCA＝∠ECD，∠ABC＝∠EDC， ∴△ABC∽△EDC．∴＝． ∴＝． 又∵ED＝1．6 m，CD＝2．8 m， ∴＝＝．∴AB＝BC． ∵AB⊥BM，GF⊥BM，∴GF∥AB． ∴易知△GFH∽△ABH．∴＝． ∴＝＝，解得BC＝168 m． 经检验，BC＝168 m是该分式方程的解且符合实际意义， 故AB＝BC＝×168＝96 (m) ． 因此，古塔AB的高度为96 m． $