第一章 有理数 知识清单2026--2027学年人教版七年级数学上册

第一章　有理数　知识清单 依据人教版《义务教育教科书·数学》七年级上册（2024年版新教材）编写，供复习备考使用。 一、章知识概览 【学习内容】本章共两节：1.1正数和负数；1.2有理数及其大小比较（含有理数的概念、数轴、相反数、绝对值、有理数的大小比较）。本章从具有相反意义的量引入负数，把数的范围扩大到有理数，并在有理数范围内学习数的表示与大小比较。 【考点地位】有理数的概念与分类、相反数、绝对值、有理数的大小比较是中考必考的基础内容，也是后续学习有理数运算、实数、不等式等知识的前提，属于“数与代数”领域的核心基础。 【学习目标】①理解正数、负数的意义，会用正数和负数表示具有相反意义的量；②理解有理数的概念，能对有理数进行分类；③理解数轴的概念，会用数轴上的点表示有理数；④理解相反数和绝对值的意义，掌握绝对值的基本性质；⑤掌握有理数大小比较的法则，能比较有理数的大小。 【知识结构图】一图速查本章全貌，下表按“章→节→核心知识点”三层呈现。 第一章　有理数 1.1　正数和负数 正数、负数的意义；0既不是正数，也不是负数 用正、负数表示具有相反意义的量（温度、海拔、收支、增长率、允许偏差等） 1.2　有理数及其大小比较 1.2.1　有理数的概念——整数与分数统称有理数，按符号分为正有理数、0、负有理数 1.2.2　数轴——原点、正方向、单位长度三要素；用数轴上的点表示有理数 1.2.3　相反数——只有符号不同的两个数；a与-a互为相反数，0的相反数是0 1.2.4　绝对值——数轴上表示数a的点到原点的距离；|a|的分段性质 1.2.5　有理数的大小比较——数轴法：右边总比左边大；两负相比看绝对值 二、核心公式定理 【速查表】本章核心概念、性质集中列表如下，逐条对照教材，复习时以表代翻书。 名称 公式·定理·性质内容 说明与易错提示 正数、负数 大于0的数是正数；在正数前面加上符号“－”的数是负数 0既不是正数，也不是负数，它是正数与负数的分界 有理数的概念 可以写成分数形式的数称为有理数；整数和分数统称有理数 有限小数、无限循环小数都可以化为分数，属于有理数 数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴 三要素缺一不可；原点把数轴分为正半轴和负半轴 相反数 只有符号不同的两个数互为相反数；a与-a互为相反数；0的相反数是0 -a不一定表示负数，a是负数时-a为正数 绝对值 数轴上表示数a的点与原点的距离叫作数a的绝对值，记作|a| 任意有理数的绝对值都是非负数，即|a|≥0 绝对值的性质 正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0 即：a＞0时|a|＝a；a＝0时|a|＝0；a＜0时|a|＝-a 大小比较法则 正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小 异号两数比较看正负；同号两数比较看绝对值 数轴比较法 在数轴上，右边的数总比左边的数大 数形结合：从左到右就是从小到大 三、考点知识梳理 （一）1.1　正数和负数 【知识定位】正数、负数的概念与用正负数表示具有相反意义的量，是本节核心考点，也是中考“数与式”部分的基础。 【正数、负数的概念】像3，50，7.8%这样大于0的数叫作正数；像-3，-10，-0.7%这样在正数前面加上符号“－”的数叫作负数。符号“－”是负号，读作“负”；为了明确表达与负数的相反意义，在正数的前面也可加上符号“＋”（读作“正”）。一个数前面的“＋”“－”号叫作这个数的符号。0既不是正数，也不是负数，它是正数与负数的分界。 【相反意义的量】正数和负数可以用来表示具有相反意义的量，如零上温度与零下温度、盈利与亏损、增长与减少、高于海平面与低于海平面等。表示时先确定基准（记作0），再规定一个方向为正。例如以海平面为基准，用0m表示海平面，用正数表示高于海平面，用负数表示低于海平面。 【生活中的正负数】温度（零上3℃记作＋3℃、零下3℃记作-3℃）、海拔（珠穆朗玛峰8848.86m、艾丁湖-154.31m）、收支、增长率（增长7.8%、减少0.7%）、允许偏差（乒乓球直径40mm±0.05mm表示标准直径40mm、允许偏差±0.05mm）等。 （二）1.2　有理数及其大小比较 【有理数的概念】正整数、0、负整数统称为整数；正分数、负分数统称为分数。有限小数和无限循环小数都可以化为分数，因此它们也可以看成分数。可以写成分数形式的数称为有理数。其中，可以写成正分数形式的数为正有理数，可以写成负分数形式的数为负有理数。有理数按定义分为整数和分数两类；按符号分为正有理数、0、负有理数三类。 【数轴】规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴。原点将数轴（原点除外）分成两部分：正方向一侧的部分叫作数轴的正半轴，另一侧的部分叫作数轴的负半轴。有理数可以用数轴上的点表示。一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在数轴的正半轴上，与原点的距离是a个单位长度；表示数-a的点在数轴的负半轴上，与原点的距离也是a个单位长度。 数轴 【相反数】像3和-3，和-这样只有符号不同的两个数，互为相反数。0的相反数是0。一般地，a和-a互为相反数，这里a表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0。在任意一个数前面添上“－”号，新的数就表示原数的相反数，例如-（＋5）＝-5，-（-5）＝＋5，-0＝0。 【绝对值】数轴上表示数a的点与原点的距离叫作数a的绝对值，记作|a|。例如|10|＝10，|-10|＝10，|0|＝0。绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。即：如果a是正数，那么|a|＝a；如果a是0，那么|a|＝0；如果a是负数，那么|a|＝-a。任意有理数的绝对值都是非负数，即|a|≥0。 【有理数的大小比较】在水平数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序就是从小到大的顺序，即右边的数总比左边的数大。一般地：（1）正数大于0，0大于负数，正数大于负数；（2）两个负数，绝对值大的反而小。技巧：异号两数比较大小考虑它们的正负；同号两数比较大小考虑它们的绝对值；含多重符号的先化简再比较，如-（-1）＝1，-（＋2）＝-2。 四、重点知识记忆方法 【记忆口诀】有理数分类：整数分数是一家，正负零里来分家；正数大于零，负数小于零，零是分界两边分。绝对值：正数本身负相反，零的绝对值还是零，绝对值得数非负数。大小比较：正大于零零大于负，两个负数比大小，绝对大的反而小。数轴：原点正向单位长，三要素记心间，右正左负对应好。 【对比记忆】有理数分类两视角对比如下表。 分类标准 分类结果 示例 按定义分 整数（正整数、0、负整数）；分数（正分数、负分数） 3，0，-5； 按符号分 正有理数、0、负有理数 3，0，-5 【易混对比】相反数与绝对值：相反数是符号关系（只有符号不同的两个数），绝对值是距离关系（到原点的距离）；互为相反数的两个数（除0外）绝对值相等，如|3|＝|-3|＝3。 五、解题方法总结 题型1　用正负数表示相反意义的量 【解题方法】①先确定基准量（记作0），如海平面、标准质量、0℃；②规定一个方向为正，用“＋”号表示（正数前的“＋”可省略）；③与其相反意义的量用负数表示，“－”号不能省略；④作答时说明“基准＋方向”，如“＋65g表示比标准质量多65g”。 【数学思想】转化思想：把实际问题中的相反意义转化为数的符号问题。 题型2　有理数的分类 【解题方法】①先判断数的形式：有限小数、无限循环小数能化成分数，按分数对待；②按定义（整数、分数）或按符号（正有理数、0、负有理数）分类作答；③注意0既不是正数也不是负数，但0是整数、是有理数；④填集合时逐一判断，做到不重不漏。 【数学思想】分类讨论思想：分类时标准统一、不重不漏。 题型3　用数轴表示有理数 【解题方法】①画数轴必须三要素齐全（原点、正方向、单位长度），单位长度要均匀；②正数在原点右侧、负数在原点左侧，按单位长度定位；③表示数a与-a的点关于原点对称；④求数轴上两点间的距离：同侧相减、异侧相加，如表示-3与2的点相距3＋2＝5个单位长度。 【数学思想】数形结合思想：用直线上的点直观表示数，把“数”与“形”对应起来。 题型4　相反数与多重符号化简 【解题方法】①多重符号化简规则：“奇负偶正”——负号的个数是奇数结果为负，是偶数结果为正；②化简后再求相反数，如-（-7）＝7，7的相反数是-7；③分清“化简”与“求相反数”两步。 题型5　绝对值的化简与逆向求值 【解题方法】①先判断a的符号；②按性质化简：正数绝对值是它本身、负数绝对值是它的相反数、0的绝对值是0；③逆向求值：若|a|＝m（m＞0），则a＝±m，即绝对值为正数的数有两个，它们互为相反数；④含字母的绝对值须分类讨论（a＞0、a＝0、a＜0三类）。 【典型例题指引】例：|x|＝3，则x＝±3；若|x|＝3且x＜0，则x＝-3。 题型6　有理数的大小比较 【解题方法】①异号两数：正数大于负数（正数＞0＞负数）；②同号两数：同正直接比数值，同负先取绝对值、绝对值大的反而小；③含多重符号或绝对值的先化简再比较；④多个数排序：在数轴上表示后按从左到右排列，或用“＜”连接。 【数学思想】转化思想（异号转化、化简转化）、数形结合思想（数轴法比较）。 六、易错点清单 【清单】逐条对照教材与常见易错情形，复习时先自查再对照下表。 常见易错点 正确做法 认为0是最小的数，或0“没有实际意义” 0既不是正数，也不是负数，是正数与负数的分界；0可以表示“没有”，也可以表示确定的量（如0℃、海拔0m） 把“-a”一律看作负数 a表示任意一个数：a是负数时，-a是正数；判断-a的符号必须先确定a的符号 多重符号化简时数错负号个数 数负号的个数，“奇负偶正”：-（-（-3））＝-3，-（-（-（-3）））＝3 求负数的绝对值时漏掉符号，如|-|写成- 负数的绝对值是它的相反数（正数）：|-|＝ 比较两个负数时按“数值大小”直接判断，如误认为-5＞-3 两个负数比较大小，先取绝对值，绝对值大的反而小：因为5＞3，所以-5＜-3 画数轴缺要素（漏原点、正方向或单位长度不均匀） 数轴必须三要素齐全：原点、正方向、单位长度，单位长度要选取适当且均匀 把有限小数当成“既不是整数也不是分数” 有限小数和无限循环小数都可以化为分数，属于分数（有理数） 七、高频考点速记 ①大于0的数是正数，正数前面加“－”号的数是负数，0既不是正数，也不是负数。 ②正数和负数可以表示具有相反意义的量：零上与零下、盈利与亏损、增长与减少、高于与低于海平面。 ③可以写成分数形式的数称为有理数，整数和分数统称有理数；有限小数、无限循环小数都可以化为分数。 ④数轴三要素：原点、正方向、单位长度；原点右边的数大于0，左边的数小于0。 ⑤只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，a与-a互为相反数。 ⑥数轴上表示数a的点与原点的距离叫作a的绝对值，记作|a|，|a|≥0。 ⑦正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。 ⑧正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小。 八、学情自测 （一）选择题（每题2分，共5题） 1．如图，数轴上点表示的数可能是（     ） A． B． C． D． 2．如图，点A表示的数是1．若将点A向左移动3个单位长度得到点A′，则点A′表示的数为（    ） A．-3 B．-2 C．2 D．4 3．2035的相反数是（     ） A． B． C． D． 4．的绝对值是（     ） A． B． C． D． 5．比赛用乒乓球的标准直径规定为，允许误差为．现随机抽取4个乒乓球进行检测，测得它们的直径（单位：）如下，其中符合标准的是（     ） A． B． C． D． （二）填空题（每空2分，共5题） 1．某学校组织学生去劳动实践基地摘草莓，并称重、装盒，一盒草莓的标准质量为，如果比标准质量多记作，那么比标准质量少记作__________． 2．计算：__________． 3．实数m在数轴上对应点的位置如图所示，则______0．（填“>”“=”或“<”） 4．相反数是它本身的数是_____。 5．数轴的三要素是原点、正方向和________。 （三）解答题（每题8分，共2题） 1. 把下列各数填入相应的集合内： 15，-19，-5，7，0.5，-80，12，-4.2，2.3 正有理数集合：｛　　　　　　　　　　　　　…｝； 负有理数集合：｛　　　　　　　　　　　　　…｝。 2. 比较下列各组数的大小，并写出比较过程： （1）-（-8）与-（＋9）；　　（2）-与-。 九、参考答案 【选择题】 1．【答案】C 解题步骤： ①由数轴可知，点在1和2之间， ②∴点表示的数可能是． 【知识点睛】数轴与大小比较：数轴上右边的数总比左边大，正数>0>负数。解题关键是利用数轴或法则比较，注意含绝对值、相反数的数需先化简。 2．【答案】B 解题步骤： ①∵点A表示的数是1．将点A向左移动3个单位长度得到点A′， ②∴点A′表示的数为−2， ③故选：B． 【知识点睛】数轴上的平移：点A向左移动a个单位长度，表示的数减去a；向右移动则加上a。先写出点A表示的数，再按平移方向作加减运算。 3．【答案】B 解题步骤： ①根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数 ②2035的相反数是． 【知识点睛】只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0。求一个数的相反数只需改变符号：正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。 4．【答案】B 解题步骤： ①． 【知识点睛】求绝对值时，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数。此题直接由绝对值的几何意义（数轴上该点到原点的距离）判断即可。 5．【答案】C 解题步骤： ①∵标准直径为，允许误差为． ②∴符合标准的直径满足 ． ③即 ． 【知识点睛】误差范围：符合标准的产品，其测量值应在“标准值±允许误差”的范围内。本题标准直径40 mm、允许误差±0.05 mm，故合格直径d满足39.95≤d≤40.05，逐一核对各选项即可。 【填空题】 1．【答案】−20 解题步骤： ①∵比标准质量多记作， ②∴比标准质量少应记作． 【知识点睛】有理数运算的实际应用：将实际问题转化为数学运算，注意相反意义的量用正负数表示。解题关键是理解题意、正确列式。中考常结合生活情境考查。 2．【答案】2 解题步骤： ① 由绝对值的定义可知，负数的绝对值是它的相反数， ②， ③． 【知识点睛】含绝对值的计算题，先取绝对值再参与运算。特别注意负数的绝对值是其相反数，且绝对值的结果一定非负，最后按运算顺序逐步计算。 3．【答案】＞ 解题步骤： ①∵实数m在数轴上位于原点左侧，即m是负数； ②又∵m在-1右侧，∴-1＜m＜0； ③∴m+1＞0（m在-1与0之间，故m+1在0与1之间），故填“＞”。 【知识点睛】数轴上原点左侧的数小于0；判断m+1的符号，先由m的范围确定m+1的范围，再看它与0的大小。 4．0；5．单位长度。 【解答题】 1. 解：先判断各数的符号——15、7、0.5、12、2.3都是正数（其中0.5、2.3为正分数，15、7、12为正整数）；-19、-5、-80、-4.2都是负数（其中-4.2为负分数，-19、-5、-80为负整数）。 ∴正有理数集合：｛15，7，0.5，12，2.3，…｝； 负有理数集合：｛-19，-5，-80，-4.2，…｝。 2. 解：（1）先化简：-（-8）＝8，-（＋9）＝-9。因为正数大于负数，即8＞-9，所以-（-8）＞-（＋9）。 （2）先取绝对值：|-|＝，|-|＝。因为＜，所以两个负数中绝对值大的反而小，即。 学科网（北京）股份有限公司 $