第一章 有理数（六大考点+四大易错+易错训练）（知识清单）数学新教材人教版七年级上册

该初中数学第一章“有理数”知识清单系统梳理了有理数的基础内容，涵盖正数负数、有理数概念、数轴、相反数、绝对值及大小比较六大核心知识点，搭建了从概念定义到性质应用的递进式学习支架。 清单通过“知识点-易错点-对点训练”三级架构呈现知识体系，如将“非负数=正数+0”标注为易错重点，用“正去、0零、负变反”口诀化简绝对值，培养学生的抽象能力和运算能力。设计“多重符号化简步骤”“数轴距离计算模型”等实用工具，不同学生可高效掌握要点，教师能据此精准教学，提升课堂实效。

第一章 有理数 知识点一 正数和负数 1. 定义 正数：大于 0 的数；负数：在正数前加”“、小于 0 的数； 0 既不是_________，也不是_________，是正负数分界。 1. 应用：用正负数表示一组__________________（如上升/下降、收入/支出）。 1. 符号规则：正数”“可省略，负数”“不能省略。 知识点二 有理数的概念 1. 定义：_________和_________统称为有理数。 1. 分类方式 ① 按定义分 整数：_________、_________、_________； 分数：_________、_________（有限小数、无限循环小数属于分数；这类无限不循环小数不是有理数）。 ② 按正负分 _________（正整数、正分数）、_________、_________（负整数、负分数）。 1. 拓展名词 非负数 = 正数+0；非正数 = 负数+0。 知识点三 数轴 1. 三要素（缺一不可）：_________、_________、_________。 1. 核心性质 ① 所有有理数都可以用数轴上唯一的点表示； ② 数轴上_________的数一定大于_________的数。 1. 画图规范：直线、标注原点 0、统一长度单位、标出正方向箭头。 知识点四 相反数 1. 定义：只有_________不同的两个数互为相反数；数的相反数是_________。 1. 特殊值：0 的相反数是_________。 1. 核心性质：互为相反数的两数之和为 0，即_________。 1. 多重符号化简法则：_________（负号个数奇数，结果为负；偶数，结果为正）。 1. 几何意义：数轴上互为相反数的两点到原点距离相等，分布原点两侧。 知识点五 绝对值 1. 几何意义：数轴上表示数的点与原点的_________，记作，距离恒_________，。 1. 代数化简公式 1. 重要结论 ① 绝对值最小的数是_________； ② 互为相反数的两个数绝对值_________。 知识点六 有理数的大小比较 两种常用方法 1. 数轴比较法：数轴_________的数 > _________的数。 2. 法则比较法 ① 正数＞0＞负数； ② 两个负数比较：绝对值大的数，本身数值更小。 易错点1 化简多重符号 易错提醒 一、易错点总结 1. 数错负号个数，导致最终正负判断相反。 2. 误以为式子前面有负号，结果一定是负数。 3. 化简时混入绝对值、括号运算顺序，先算数字再去符号，导致出错。 4. 偶数个负号仍误判为负，奇数个负号误判为正。 二、注意事项总结 1. 严格使用奇负偶正：只数负号个数，与数字大小无关。 2. 正号可以直接全部省略，不影响结果。 3. 多重符号运算：先化简符号，再算绝对值、计算。 4. 做题不要凭感觉，一定逐个清点负号数量。 【对点训练】1．化简下列各数： （1）________； （2）________； （3）________； （4）________． 易错点2 带“非”字的有理数的分类 易错提醒 一、易错点总结 1. 最大误区：带“非”字分类习惯性漏掉 0。 2. 概念混淆：把“非负数”当成正数、“非正数”当成负数。 3. 混淆非负整数、非正整数，误把分数、小数纳入整数范围。 4. 分不清：非负数≠正数、非正数≠负数。 二、注意事项总结 1. 口诀：带“非”必含 0。 2. 非负数 = 正数 + 0；非正数 = 负数 + 0。 3. 非负整数、非正整数只包含整数，不含分数和小数。 4. 分类题一定要对照定义逐条筛选，不要凭直觉。 【对点训练】2． ，，，，0，，6，， 分数集合：__________ …； 非负整数集合：__________ …； 非正数集合：__________ …； 正有理数集合：__________ …； 自然数集合：__________ … 易错点3 利用分类讨论数学思想化简绝对值 易错提醒 一、易错点总结 1. 不分类讨论，直接去掉绝对值符号，导致结果错误。 2. 当绝对值内为负数时，忘记变号，不会整体取相反数。 3. 遗漏“等于 0”的情况，只分正负两类，讨论不完整。 4. 已知字母取值范围，仍判断错误式子正负。 二、注意事项总结 1. 含字母绝对值必须分类讨论：正数、0、负数三种情况。 2. 内部为负：去绝对值要整体加括号变号。 3. 分界点（使式子为 0 的值）一定要单独讨论，不能漏掉。 4. 化简核心口诀：正去、0 零、负变反。 【对点训练】3．请利用绝对值的性质，解决下列问题： (1)已知a，b是有理数，当时， ；当时， ． (2)已知a，b是有理数，且，求的值． (3)已知a，b，c是有理数，，，求的值． (4)已知a，b，c是有理数，当时，求的值． 易错点4 绝对值的几何意义 易错提醒 一、易错点总结 1. 最常错：认为绝对值可以为负数，如 |-6|=-6。 2. 只会代数计算，不懂几何意义是数轴上的距离。 3. 不理解距离≥0，不会判断绝对值最小值为 0。 4. 计算两点距离时忽略绝对值，出现负数结果。 二、注意事项总结 1. 绝对值本质是距离，结果一定非负数。 2. |a|：数 a 到原点的距离；|a-b|：a、b 两点距离。 3. 所有绝对值最小值都是 0，不可能为负。 4. 遇到最值、范围题，优先用数轴几何意义解题，更简单不易错。 【对点训练】4．已知、在数轴上分别表示、 (1)对照数轴填写下表： 6 2 4 0 4 、两点的距离 2 6 0 (2)若、两点间的距离记为，直接写出和、的数量关系______． (3)如果的和最小时，整数有______． (4)当为______时，代数式的最小值是7． (5)式子有最值(最大值或最小值)吗？如果有，写出这个值并指出它是最大值还是最小值； 一、单选题 1．如图，数轴上被遮挡住的整数是（    ） A．1 B． C． D．0 2．如图，在数轴上将点向右移动4个单位长度得到点，则点表示的数是（    ） A． B．1 C．2 D．3 3．正六边形在数轴上的位置如图所示，点和对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点逆时针方向在数轴上向左连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为．按此规律继续翻转下去，数轴上所对应的顶点是（   ） A． B． C． D． 4．下列说法中不正确的有（    ） ①1是绝对值最小的数；②0既不是正数，也不是负数； ③0的相反数是0；④绝对值等于本身的数是正数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图，数轴上点P所表示的数为x，则下列说法正确的是（     ） A．在x和0之间有3个负数 B．与3相比，x离0更近一些 C．在x和之间有5个整数 D．x比大 二、填空题 6．把下列各数填入相应的集合中： ，，，，0，，． 正有理数集合{_______________}； 负分数集合{_______________}； 整数集合{_______________}； 非负整数集合{_______________}． 7．点分别是数在数轴上对应的点，使线段沿数轴向右移动到，且线段的中点对应的数是3，则点对应的数是___________，点A移动的距离是___________． 8．如图，圆的周长为个单位长度，在该圆的等分点处分别标上．先让圆周上表示数字的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示的点与圆周上重合的点表示的数字是____________． 9．化简：=_______；=_______． 10．如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是__________． 三、解答题 11．将下列各数填在相应的括号里： 、5、、、、0、102、、、 分数集合：{ }； 非正有理数集合：{ }； 负数集合：{ } 12．探索研究： (1)比较下列各式的大小（用“<”或“”或“=”连接）． ①__________； ②__________； ③__________； ④__________ (2)通过以上比较，请你分析､归纳出当为有理数时，__________（用“<”或“”或“=”或“≥”或“≤”连接）． (3)根据（2）中得出的结论，当时，则的取值范围是__________． 13．【总结提炼】 小明学习了绝对值的性质后，有这样的思考和总结：当时，，则；当时，，则． 【解决问题】 （1）若，则 ． （2）若，则 ． 【拓展提升】 （3）若，计算：_________． 14．阅读下列材料：经过有理数运算的学习，我们知道可以表示5与3之差的绝对值，同时也可以理解为5与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离，可以表示5与之差的绝对值． (1)表示数轴上_____与_____所对应的两点之间的距离； (2)表示数轴上有理数所对应的点到______所对应的点之间的距离；表示数轴上有理数所对应的点到________所对应的点之间的距离； (3)利用绝对值的几何意义，请找出所有符合条件的整数，使得．这样的整数有________； (4)利用绝对值的几何意义，写出的最小值为________． 15．阅读下列材料并解决问题： 数轴是一种非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与形之间的联系，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离，可以用这两个数的差的绝对值表示，这也体现了绝对值的几何意义．若在数轴上有理数对应的点为，有理数对应的点为，则，两点之间的距离可表示为或，记为．如式子的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数的点之间的距离． 根据上述材料，回答下列问题： (1)与3的距离是_________； (2)式子的最小值是多少？ (3)应用：某一直线沿街有2014户居民（相邻两户居民间隔相同）：，，，，，，某餐饮公司想为这2014户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店，点选在_________，才能使这2014户居民到点的距离总和最小． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 有理数 知识点一 正数和负数 1. 定义 正数：大于 0 的数；负数：在正数前加”“、小于 0 的数； 0 既不是正数，也不是负数，是正负数分界。 1. 应用：用正负数表示一组相反意义的量（如上升/下降、收入/支出）。 1. 符号规则：正数”“可省略，负数”“不能省略。 知识点二 有理数的概念 1. 定义：整数和分数统称为有理数。 1. 分类方式 ① 按定义分 整数：正整数、0、负整数； 分数：正分数、负分数（有限小数、无限循环小数属于分数；这类无限不循环小数不是有理数）。 ② 按正负分 正有理数（正整数、正分数）、0、负有理数（负整数、负分数）。 1. 拓展名词 非负数 = 正数+0；非正数 = 负数+0。 知识点三 数轴 1. 三要素（缺一不可）：原点、正方向、单位长度。 1. 核心性质 ① 所有有理数都可以用数轴上唯一的点表示； ② 数轴上右边的数一定大于左边的数。 1. 画图规范：直线、标注原点 0、统一长度单位、标出正方向箭头。 知识点四 相反数 1. 定义：只有符号不同的两个数互为相反数；数的相反数是。 1. 特殊值：0 的相反数是 0。 1. 核心性质：互为相反数的两数之和为 0，即。 1. 多重符号化简法则：奇负偶正（负号个数奇数，结果为负；偶数，结果为正）。 1. 几何意义：数轴上互为相反数的两点到原点距离相等，分布原点两侧。 知识点五 绝对值 1. 几何意义：数轴上表示数的点与原点的距离，记作，距离恒非负，。 1. 代数化简公式 1. 重要结论 ① 绝对值最小的数是 0； ② 互为相反数的两个数绝对值相等。 知识点六 有理数的大小比较 两种常用方法 1. 数轴比较法：数轴右侧的数 > 左侧的数。 2. 法则比较法 ① 正数＞0＞负数； ② 两个负数比较：绝对值大的数，本身数值更小。 易错点1 化简多重符号 易错提醒 一、易错点总结 1. 数错负号个数，导致最终正负判断相反。 2. 误以为式子前面有负号，结果一定是负数。 3. 化简时混入绝对值、括号运算顺序，先算数字再去符号，导致出错。 4. 偶数个负号仍误判为负，奇数个负号误判为正。 二、注意事项总结 1. 严格使用奇负偶正：只数负号个数，与数字大小无关。 2. 正号可以直接全部省略，不影响结果。 3. 多重符号运算：先化简符号，再算绝对值、计算。 4. 做题不要凭感觉，一定逐个清点负号数量。 【对点训练】1．化简下列各数： （1）________； （2）________； （3）________； （4）________． 【答案】 【分析】本题主要考查了多重符号的化简，解题的关键是掌握多重符号的化简法则． 根据多重符号化简的法则，化简结果的符号由负号的个数决定：如果负号的个数为偶数，结果为正；如果负号的个数为奇数，结果为负． 【详解】解：（1） =3， 故答案为：3； （2）， 故答案为：； （3）， 故答案为：； （4）， 故答案为：． 易错点2 带“非”字的有理数的分类 易错提醒 一、易错点总结 1. 最大误区：带“非”字分类习惯性漏掉 0。 2. 概念混淆：把“非负数”当成正数、“非正数”当成负数。 3. 混淆非负整数、非正整数，误把分数、小数纳入整数范围。 4. 分不清：非负数≠正数、非正数≠负数。 二、注意事项总结 1. 口诀：带“非”必含 0。 2. 非负数 = 正数 + 0；非正数 = 负数 + 0。 3. 非负整数、非正整数只包含整数，不含分数和小数。 4. 分类题一定要对照定义逐条筛选，不要凭直觉。 【对点训练】2． ，，，，0，，6，， 分数集合：__________ …； 非负整数集合：__________ …； 非正数集合：__________ …； 正有理数集合：__________ …； 自然数集合：__________ … 【答案】 ，，， 【分析】根据有理数的分类标准，分数指非整数的有理数，非负整数指大于等于零的整数，非正数指小于等于零的数，正有理数指正数且有理数，自然数指非负整数（包括零）．对每个数进行化简和判断，归类到相应集合． 【详解】解：，， 分数集合． 非负整数集合． 非正数集合． 正有理数集合． 自然数集合． 故答案为：；；；； 易错点3 利用分类讨论数学思想化简绝对值 易错提醒 一、易错点总结 1. 不分类讨论，直接去掉绝对值符号，导致结果错误。 2. 当绝对值内为负数时，忘记变号，不会整体取相反数。 3. 遗漏“等于 0”的情况，只分正负两类，讨论不完整。 4. 已知字母取值范围，仍判断错误式子正负。 二、注意事项总结 1. 含字母绝对值必须分类讨论：正数、0、负数三种情况。 2. 内部为负：去绝对值要整体加括号变号。 3. 分界点（使式子为 0 的值）一定要单独讨论，不能漏掉。 4. 化简核心口诀：正去、0 零、负变反。 【对点训练】3．请利用绝对值的性质，解决下列问题： (1)已知a，b是有理数，当时， ；当时， ． (2)已知a，b是有理数，且，求的值． (3)已知a，b，c是有理数，，，求的值． (4)已知a，b，c是有理数，当时，求的值． 【答案】(1)1， (2)0 (3) (4)3或或1或 【分析】本题主要考查了绝对值是化简，解题的关键是掌握正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． （1）根据绝对值是性质可得，当时，，当时，，进行化简即可； （2），得a、b异号，设，则，和，则，讨论解答即可； （3），，可知三个数中必需有两个正数，一个负数，可设，，，解答即可； （4）根据，，，再进行分类讨论①当a、b、c均为正数时，②当a、b、c中两正一负时，③当a、b、c中一正两负时，④当a、b、c中均为负数时，四种情况讨论即可． 【详解】（1）解：当时，则，当时， 故答案为：1，； （2）， a、b异号， 若，则， ， 若，则， ； （3）a，b，c是有理数，， ，，，且三个数中必需有两个正数，一个负数， 设：，，， ； （4）解：∵a，b，c是有理数， ， ∴，，，且三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数或两个正数，一个负数或三个都为负数． ①当a，b，c都是正数，即，，时， 则：； ②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，设，，， 则：； ③当a，b，c有两个为正数，一个为负数时，设，，， 则：； ④当a，b，c三个数都为负数时，，，， 则：； 综上所述：的值为3或或1或． 易错点4 绝对值的几何意义 易错提醒 一、易错点总结 1. 最常错：认为绝对值可以为负数，如 |-6|=-6。 2. 只会代数计算，不懂几何意义是数轴上的距离。 3. 不理解距离≥0，不会判断绝对值最小值为 0。 4. 计算两点距离时忽略绝对值，出现负数结果。 二、注意事项总结 1. 绝对值本质是距离，结果一定非负数。 2. |a|：数 a 到原点的距离；|a-b|：a、b 两点距离。 3. 所有绝对值最小值都是 0，不可能为负。 4. 遇到最值、范围题，优先用数轴几何意义解题，更简单不易错。 【对点训练】4．已知、在数轴上分别表示、 (1)对照数轴填写下表： 6 2 4 0 4 、两点的距离 2 6 0 (2)若、两点间的距离记为，直接写出和、的数量关系______． (3)如果的和最小时，整数有______． (4)当为______时，代数式的最小值是7． (5)式子有最值(最大值或最小值)吗？如果有，写出这个值并指出它是最大值还是最小值； 【答案】(1)；； (2)； (3)； (4)或； (5)有最大值和最小值 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离公式、绝对值的几何意义、绝对值的化简以及利用分类讨论思想求解绝对值表达式的最值问题，关键是将绝对值表达式转化为数轴上点与点之间的距离问题，借助几何意义简化计算与分析． （1）根据数轴上两点间距离的计算方式，将给定的、值代入，通过求两数差的绝对值，直接计算出、两点的距离； （2）从（1）的具体计算实例中归纳规律，提炼出数轴上两点间的距离与表示两点的数、的数量关系； （3）的几何意义是数轴上表示的点到和3的点的距离之和，再根据几何特征确定当在和3之间(包括端点)时距离和最小，进而找出该范围内的整数即可； （4）先将转化为，明确其几何意义为数轴上表示的点到和3的点的距离之和，再结合几何性质得出该距离和的最小值为两点间的距离，结合最小值为7列方程求解的值； （5）先明确和的几何意义，再根据在数轴上的位置分左侧、与6之间、6右侧三类情况进行绝对值的化简，计算每类情况下表达式的值或取值范围，最终确定式子的最大值和最小值． 【详解】（1）解：当，时，、两点的距离为； 当，时，、两点的距离为； 故答案为：；； （2）解：由数轴上两点距离的定义，可得和、的数量关系为；故答案为：； （3）解：表示数轴上表示的点到表示和的点的距离之和，当在和之间(包括端点)时，距离之和最小，此时整数为；故答案为：； （4）解：，其几何意义是数轴上表示的点到表示和的点的距离之和， 当在这两点之间时，距离之和最小， 最小值为， 则或，解得或； 故答案为：或； （5）解：表示数轴上点到的距离，表示数轴上点到的距离． ①当点在的左侧， ，， ； ②当点在与之间（包含端点）， ，， ， 此时； ③当点在的右侧， ，， ． 综上，式子有最值，最大值为，最小值为． 一、单选题 1．如图，数轴上被遮挡住的整数是（    ） A．1 B． C． D．0 【答案】C 【分析】在数轴上，原点右侧为正数，原点左侧为负数，且数轴上的点越往右数越大，越往左数越小． 【详解】解：因为被遮住的左边是整数，右边的整数是0， 因此被遮挡的整数是． 2．如图，在数轴上将点向右移动4个单位长度得到点，则点表示的数是（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据数轴上点A对应的数为，结合平移性质可得答案． 【详解】解：由数轴知，点A对应的数为， 由平移性质，点向右移动4个单位长度得到点B，则点表示的数是2． 3．正六边形在数轴上的位置如图所示，点和对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点逆时针方向在数轴上向左连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为．按此规律继续翻转下去，数轴上所对应的顶点是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正六边形在数轴上的翻转规律探究，关键是找出向左翻转顶点的循环规律．首先根据已知条件列举前几次翻转顶点对应的负数，发现每6个为一个循环，循环内顶点依次为、、、、、；再通过计算除以的余数，结合循环规律确定对应的顶点． 【详解】解：根据题意，第1次点对应，第2次点对应，第3次点对应，第4次点对应，第5次点对应，第6次点对应，第7次点对应， 由此可得，每次翻转对应的顶点为一个循环，循环内顶点顺序为、、、、、． 数轴上所对应的顶点是正六边形经过次翻转得到的， 计算， 根据循环规律，余数为时对应的顶点是， 因此数轴上所对应的顶点是． 故选：B． 4．下列说法中不正确的有（    ） ①1是绝对值最小的数；②0既不是正数，也不是负数； ③0的相反数是0；④绝对值等于本身的数是正数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查绝对值、相反数、正负数的定义，熟练掌握绝对值、相反数、正负数的定义是解题的关键． 根据绝对值、相反数、正负数的定义判断各说法的正误即可． 【详解】对于①：绝对值最小的数是0，不是1，∴①不正确； 对于②：0既不是正数也不是负数，∴②正确； 对于③：0的相反数是0，∴③正确； 对于④：绝对值等于本身的数是非负数（包括0和正数），不一定是正数，∴④不正确； ∴不正确的有①和④，共2个， 故选：B． 5．如图，数轴上点P所表示的数为x，则下列说法正确的是（     ） A．在x和0之间有3个负数 B．与3相比，x离0更近一些 C．在x和之间有5个整数 D．x比大 【答案】C 【详解】解：A、在x和0之间有无数个负数，原说法不正确，该选项不符合题意； B、与3相比，x离0更远一些，原说法不正确，该选项不符合题意； C、在x和之间有5个整数，原说法正确，该选项符合题意； D、x比小，原说法不正确，该选项不符合题意． 二、填空题 6．把下列各数填入相应的集合中： ，，，，0，，． 正有理数集合{_______________}； 负分数集合{_______________}； 整数集合{_______________}； 非负整数集合{_______________}． 【答案】；；； 【分析】本题主要考查了有理数的分类，熟练掌握根据有理数的定义和分类方法，是解题的关键．根据正有理数包括正整数和正分数；负分数是负的分数；整数包括正整数、负整数和零；非负整数是正整数和零，进行求解即可． 【详解】解：正有理数集合{}； 负分数集合{}； 整数集合{}； 非负整数集合{}． 7．点分别是数在数轴上对应的点，使线段沿数轴向右移动到，且线段的中点对应的数是3，则点对应的数是___________，点A移动的距离是___________． 【答案】 【分析】先根据数轴上两点中点的计算方法求出原线段的中点对应的数，再求出中点移动的距离，根据线段平移的性质得到点A移动的距离，最后计算得到点对应的数． 【详解】解：根据题意，点A对应数为，点B对应数为， 由数轴上两点中点的计算公式，可得线段的中点对应的数为： 已知平移后线段的中点对应的数是，因此中点移动的距离为： 线段沿数轴平移时，线段上所有点移动的距离相等，因此点A移动的距离为 点对应的数为点A对应的数加上移动距离，即： 8．如图，圆的周长为个单位长度，在该圆的等分点处分别标上．先让圆周上表示数字的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示的点与圆周上重合的点表示的数字是____________． 【答案】 【分析】此题考查了数轴上的规律，根据从与数轴上表示的点重合的数字起，每个单位长度即为一个周期，计算到数轴上表示的点经过了多少个周期，根据余数判断此时圆周上重合的数字． 【详解】解：如图所示，每个单位长度即为一个周期， ∵数字的点与数轴上表示的点重合， ∴数字的点与数轴上表示的点重合， ∵， ∴为从数字0和数轴上表示的点重合起，第个周期后的第一个数， 即． 故答案为：． 9．化简：=_______；=_______． 【答案】 5 【分析】本题主要考查相反数 ，分数；第一个表达式通过处理括号内的符号和外部负号化简；第二个表达式先化简分数，再处理负号． 【详解】解：对于第一个表达式：，先计算内部括号：，然后外部负号：， 对于第二个表达式：，先化简分数，分子和分母同时除以最大公约数7，得，然后外部负号：， 故答案为：5，． 10．如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是__________． 【答案】 【分析】利用绝对值的非负性，得出的最小值进而确定表达式的最大值即可． 【详解】解：为有理数， ， ， ，当且仅当时，即时取等号， 最大值为． 三、解答题 11．将下列各数填在相应的括号里： 、5、、、、0、102、、、 分数集合：{ }； 非正有理数集合：{ }； 负数集合：{ } 【答案】； ； 【详解】解：分数集合：； 非正有理数集合：； 负数集合： 12．探索研究： (1)比较下列各式的大小（用“<”或“”或“=”连接）． ①__________； ②__________； ③__________； ④__________ (2)通过以上比较，请你分析､归纳出当为有理数时，__________（用“<”或“”或“=”或“≥”或“≤”连接）． (3)根据（2）中得出的结论，当时，则的取值范围是__________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了绝对值的性质与有理数的大小比较。解题关键是通过计算具体式子的绝对值，归纳出与的大小关系，再利用这一结论分析含绝对值的等式，确定未知数的取值范围． （1）每一个小题计算后进行比较； （2）由（1）的例子归纳即可； （3）由（2）的结论回答即可． 【详解】（1）解：①, ②, ③, ④, 故答案为：； （2）通过（1）的例子可归纳： 当同号（或其中一个为０）时，; 当异号时，． 故答案为：； （3）, ． 由（2）的结论，当与同号（或时，． 故答案为：． 13．【总结提炼】 小明学习了绝对值的性质后，有这样的思考和总结：当时，，则；当时，，则． 【解决问题】 （1）若，则 ． （2）若，则 ． 【拓展提升】 （3）若，计算：_________． 【答案】（1）或2（2）或1；（3）或或3 【分析】（1）分和，两种情况进行讨论求解即可； （2）分 中有一个负数和三个均为负数，两种情况进行讨论求解； （3）分，和，两种情况，进行讨论求解． 【详解】解：（1）∵， ∴同号， 当时：； 当时：； 故答案为：或2； （2）∵， ∴有两种情况：有一个负数和两个正数或三个均为负数， 当时，则：； 当有两个正数和一个负数时，假设：，则：； 故答案为：或1； （3）∵， ∴中有两正一负， ①当时：则：均为正， ∴， ∴； ②当时，则：一正一负， 若，则：，此时：； 如，则：，此时：； 综上，原式或或3． 故答案为：或或3 【点睛】本题考查化简绝对值，有理数乘法的符号法则．熟练掌握绝对值的性质，利用分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 14．阅读下列材料：经过有理数运算的学习，我们知道可以表示5与3之差的绝对值，同时也可以理解为5与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离，可以表示5与之差的绝对值． (1)表示数轴上_____与_____所对应的两点之间的距离； (2)表示数轴上有理数所对应的点到______所对应的点之间的距离；表示数轴上有理数所对应的点到________所对应的点之间的距离； (3)利用绝对值的几何意义，请找出所有符合条件的整数，使得．这样的整数有________； (4)利用绝对值的几何意义，写出的最小值为________． 【答案】(1)4，1； (2)5，； (3)，，0，1，2，3，4，5； (4)8 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的性质， （1）根据数轴上的两点距离可直接判断； （2）根据数轴上的两点距离可直接进行求解； （3）根据绝对值的几何意义，得出该式表示数轴上有理数x所对应的点到的距离和到5的距离的和为7，进而求解； （4）首先结合数轴判断出式子的几何意义，再结合数轴判断． 【详解】（1）解：由题意得：表示数轴上4与1所对应的两点之间的距离； 故答案为：4，1； （2）解：表示数轴上有理数x所对应的点到5所对应点之间的距离；表示数轴上有理数x到所对应点之间的距离． 故答案为：5，； （3）解：由题意得：表示数轴上有理数x所对应的数到数轴上与5的距离之和等于7， 又∵， ∴， 又∵x为整数， ∴x表示的数为，，0，1，2，3，4，5． 故答案为：，，0，1，2，3，4，5； （4）解：表示数轴上有理数所对应的点到和2以及5的距离的和， ∴当时，的最小，且为8． 故答案为：8． 15．阅读下列材料并解决问题： 数轴是一种非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与形之间的联系，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离，可以用这两个数的差的绝对值表示，这也体现了绝对值的几何意义．若在数轴上有理数对应的点为，有理数对应的点为，则，两点之间的距离可表示为或，记为．如式子的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数的点之间的距离． 根据上述材料，回答下列问题： (1)与3的距离是_________； (2)式子的最小值是多少？ (3)应用：某一直线沿街有2014户居民（相邻两户居民间隔相同）：，，，，，，某餐饮公司想为这2014户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店，点选在_________，才能使这2014户居民到点的距离总和最小． 【答案】(1)5 (2)5 (3)到之间（包括，两点） 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离、绝对值的几何意义，解题的关键是采用数形结合的思想． （1）根据题意，直接列式计算即可； （2）根据的几何意义是数轴上表示有理数x的点到及到3的距离之和，即可得到答案； （3）当有两户居民，时，可知，点P选在，之间（包括，这两个点）时，才能使这2户居民到点P的距离总和最小．当有四户居民，，，时，点P选在，之间（包括，这两个点）时，才能使这4户居民到点P的距离总和最小．依次类推，即可得出答案． 【详解】（1）解：， 故答案为：5． （2）解：∵的几何意义是数轴上表示有理数x的点到及到3的距离之和， 数轴如下， ∴当时，式子取得最小值，最小值为． （3）解：当有两户居民，时，可知，点P选在，之间（包括，这两个点）时，才能使这2户居民到点P的距离总和最小． 当有四户居民，，，时，点P选在，之间（包括，这两个点）时，才能使这4户居民到点P的距离总和最小． 那么由题意可知，2014户居民，，，，，中， 点P选在到之间（包括，两点），才能使这2014户居民到点P的距离总和最小． 故答案为：到之间（包括，两点）． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $