2.1.2 有理数的减法 知识清单 2026--2027学年人教版七年级数学上册

2.1.2 有理数的减法　知识清单2026-2027 学年七年级数学上册人教版 （复习提纲 · 中考基础考法覆盖版） 一、复习目标与重难点 维度 内容 知识目标 1. 理解并掌握有理数减法法则，会进行有理数的减法运算；2. 会把加减混合运算统一成加法，并运用加法运算律简化计算。 能力目标 能熟练完成"减法转加法"，会处理省略括号与加号的写法；能按运算顺序准确计算。 重点 有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。 难点 减法转加法时"两个符号同时改变"；加减混合运算中省略括号的符号处理。 考查形式 选择题、填空题、计算题为主（约 4~6 分），常与加法、混合运算综合命题。 二、为什么"减法"要转成"加法" 小学学过的减法如 5 − 3 = 2，差一定比被减数小。但引入负数以后，情况变了： · 3 − (−2) 减去的竟然是负数，差还会变小吗？ · 0 − 5 又等于多少？ 为了统一处理，数学上把减法转化成已经学过的加法来算。这样只要掌握加法法则，加减法就全都能算了。 先用数轴体会"减去一个数"相当于"怎么走"： 三、有理数的减法法则（核心） 有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。 字母表示：a − b = a + (−b)（其中 a、b 表示任意有理数） 这个转化的关键是"两变"——同时改变两个符号： 变化部分 原来 变成 说明 运算符号 减号 "−" 加号 "＋" 减法变加法 减数的性质符号 减数 b 它的相反数 −b 正变负、负变正 被减数 a a（不变） 被减数与原数不变 特别注意：一定是两个符号同时改变，只改一个必错。例如 3 − (−2) = 3 + 2 = 5（减号变加号、−2 变 +2）。 对照下表，可以看清"减法结果"与"加法结果"是一致的： 减法原式 转成加法 按加法法则计算 结果 5 − 3 5 + (−3) 异号，取 "＋"，5 − 3 2 5 − (−3) 5 + 3 同号（同正），5 + 3 8 (−5) − 3 (−5) + (−3) 同号（同负），−(5 + 3) −8 (−5) − (−3) (−5) + 3 异号，|−5| 大，取 "−"，−(5 − 3) −2 四、有理数减法的运算步骤 做减法时，按"三步走"处理，绝不硬减： 步骤 做法 第一步：转加法 把"减去一个数"改写成"加上这个数的相反数"（两个符号同时改变） 第二步：判类型 看转化后的两个加数是同号、异号，还是互为相反数 第三步：按加法算 用加法法则算出结果（先定符号，再算绝对值） 记忆口诀："减法变加法，减数变相反；符号两变不能少，变成加法再计算。" 五、有理数的加减混合运算 一个式子里同时有加法和减法，如 (−8) − (−10) + (−6) − (+4)，处理方法分两步： 第一步：全部统一成加法 把式子里所有的减法都转成加法，得到一个"纯加法"的式子： (−8) + 10 + (−6) + (−4) 第二步：写成省略括号的形式（读作"代数和"） 省略括号和加号，注意： 原式中的数 写成省略形式 说明 + 10 ＋10 写成 10 正数的加号可省略，直接写 10 + (−6) 写成 −6 省略 "+" 和括号，保留负号 + (−4) 写成 −4 同上 于是上式写成：−8 + 10 − 6 − 4。 读法与含义："−8 + 10 − 6 − 4" 读作"负 8 加 10 减 6 减 4"，也可以看成(−8)、10、(−6)、(−4) 四个数的和。因此 它可以直接运用加法的交换律、结合律进行简便计算。 运用运算律简算上面的式子： −8 + 10 − 6 − 4　（把负数先合、正数先合） = (−8 − 6 − 4) + 10 = (−18) + 10 = −8。 点评：统一成加法后，就可以像 2.1.1 那样"凑整、同号归类"来简算。 六、分层例题精讲 【第一层：直接算减法】 例 1　计算： （1）(−3) − (−5)；　（2）0 − 7；　（3）7.2 − (−4.8)；　（4）(−) − 。 解：（1）(−3) − (−5) = (−3) + 5 = 2； 　　（2）0 − 7 = 0 + (−7) = −7； 　　（3）7.2 − (−4.8) = 7.2 + 4.8 = 12； 　　（4）(−) − = (−) + (−) = −。 点评：每一步都先"减法转加法"，再按加法法则计算，尤其注意"两变"。 例 2　计算：(−2) − (+3) − (−6)。 解：原式 = (−2) + (−3) + 6（全部转成加法） 　　= [(−2) + (−3)] + 6 = (−5) + 6 = 1。 点评：减法转加法后，可以把同号的先合，算起来更清楚。 【第二层：加减混合运算】 例 3　计算：(−8) − (−10) + (−6) − (+4)。 解：原式 = (−8) + 10 + (−6) + (−4)（统一成加法） 　　写成省略形式：−8 + 10 − 6 − 4 　　= (−8 − 6 − 4) + 10 = (−18) + 10 = −8。 点评："统一成加法 → 省略括号 → 用运算律简算"是混合运算的标准流程。 例 4　把下列算式写成省略括号的和的形式，并计算： (−5) − (−4) + (−7) − (−2)。 解：先统一成加法 = (−5) + 4 + (−7) + 2， 省略括号和加号得：−5 + 4 − 7 + 2 = (−5 − 7) + (4 + 2) = (−12) + 6 = −6。 点评："省略括号"时只有两种结果：原数是正的写成带 "＋"的数，原数是负的写成带 "−"的数。 例 5　计算：(−0.5) − 2 + 1.5 − 。 解：原式 = (−0.5) + (−2) + 1.5 + (−) 　　　 = [(−0.5) + 1.5] + [(−2) + (−)] 　　　 = 1 + (−3) = −2。 点评：把"小数与小数""分数与分数"分别归并、凑整，是分数小数混合运算的常用技巧。 【第三层：判断与说理】 例 6　判断："两个数相减，差一定小于被减数。"这句话对吗？请举例说明。 解：不对。 例如 3 − (−2) = 5，差 5 比被减数 3 大；再如 0 − (−5) = 5，差 5 比被减数 0 大。 结论：减去一个正数，差小于被减数；减去一个负数，差大于被减数；减去 0，差等于被减数。 例 7　下列说法正确的是（　　） A. 减去一个数，等于加上这个数 B. 减去一个数，等于加上这个数的相反数 C. 减法转加法时，只需改变运算符号 D. 两个数相减，差一定比被减数小 思路：A 错，是加上"相反数"而不是原数；C 错，运算符号与减数的性质符号须同时改变；D 错，减去负数时差会变大。 答案：B。 【第四层：实际应用】 例 8　某地某天的最高气温是 5 ℃，最低气温是 −3 ℃，求这一天的温差（最高气温减最低气温）。 解：温差 = 最高气温 − 最低气温。 5 − (−3) = 5 + 3 = 8（℃）。 答：这一天的温差是 8 ℃。 点评："温差 = 最高 − 最低"是常见模型；减去一个负数，结果反而变大，说明温差是 8 ℃ 而不是 2 ℃。 例 9　某水库的水位第一天上升了 3.5 cm，第二天下降了 2.5 cm，第三天又下降了 4 cm。规定上升为正，求三天后水位总共的变化量。 解：上升记为正、下降记为负。 3.5 − 2.5 − 4 = 3.5 + (−2.5) + (−4) = (−2.5 − 4) + 3.5 = (−6.5) + 3.5 = −3（cm）。 答：三天后水位总共下降了 3 cm。 例 10　一物体从某点出发，先向左运动 3 米，再向右运动 7 米（规定向右为正）。求物体最终相对出发点的位移。 解：向右为正、向左为负。 (−3) + 7 = 4（米）。 答：物体在出发点右侧 4 米处。 点评："先向左、后向右"可以写成 −3 + 7，一次运动用加法表示，方向相反用正负区分。 七、方法总结与知识结构 内容 要点 减法法则 a − b = a + (−b)，减去一个数等于加上它的相反数 关键动作 "两变"：运算符号 − → +，减数变为它的相反数 运算步骤 先转加法 → 再判类型 → 最后按加法算 混合运算 全部统一成加法，再写成省略括号的形式 省略写法 ＋10 写成 10；＋(−6) 写成 −6 简算依据 统一成加法后可用交换律、结合律，凑整、同号归类 减法与大小 减去正数差变小，减去负数差变大，减去 0 差不变 三句口诀：① 减法变加法，减数变相反，符号两变不能少；　② 混合先统一，括号可省略，正数照写负数带号； ③ 统一成加法，交换结合一起上，凑整归类算得快。 易错清单（考前必看）： ① 只变一个符号——把 5 − (−3) 错算成 5 + (−3) = 2，应同时改变两个符号，正确是 5 + 3 = 8； ② 混淆"减去"与"加上相反数"——减去一个数等于加上它的相反数，不要漏掉"相反"这一步； ③ 省略括号出错——把 −(−7) 省略成 −7，正确应为 +7；符号要看数的正负，不能一律照抄； ④ 负分数减法不转加法——(−) − 硬减导致结果出错，应先转成加法再通分； ⑤ 混合运算顺序乱——不先统一成加法就跳步计算，容易在符号上栽跟头。 学科网（北京）股份有限公司 $