第三章 代数式 知识清单 2026-2027学年人教版数学七年级上册

第三章　代数式　知识清单 依据人教版《义务教育教科书·数学》七年级上册（2024年版新教材）编写，供复习备考使用。 一、章知识概览 【学习内容】本章共两节：3.1列代数式表示数量关系；3.2代数式的值。主要学习用字母表示数、代数式的概念与书写规范、根据数量关系列代数式、正比例与反比例关系，以及求代数式的值。 【考点地位】列代数式、求代数式的值、用代数式表示实际数量关系是中考“数与式”部分的常考点，是由算术进入代数的关键一步，也是后续学习整式、方程、不等式、函数的直接基础。 【学习目标】①理解代数式的概念，掌握代数式的书写规范；②能分析简单问题中的数量关系，并用代数式表示；③理解正比例关系与反比例关系的意义，能判断两个量是否成反比例关系；④理解代数式的值的概念，会求代数式的值；⑤能利用公式进行简单计算。 【知识结构图】一图速查本章全貌，下表按“章→节→核心知识点”三层呈现。 第三章　代数式 3.1　列代数式表示数量关系 代数式：用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子；单独一个数或字母也是代数式 书写规范：数与字母相乘数在前、乘号写作“·”或省略；相同字母相乘写成幂 列代数式：先弄清数量关系与运算顺序，再列出代数式 正比例关系：比值一定（工作效率不变时工作量与工作时间） 反比例关系：两个相关联的量乘积一定，记xy=k（k为定值且k≠0） 3.2　代数式的值 代数式的值：用数值代替代数式中的字母，按运算关系计算出的结果 求值步骤：先代入、再计算；注意运算顺序与符号 公式：路程s=vt；图形面积、体积公式 二、核心公式定理 【速查表】本章核心概念、关系与常用公式集中列表如下，逐条对照教材，复习时以表代翻书。 名称 公式·概念·关系内容 说明与易错提示 代数式 用加、减、乘、除、乘方、开方等运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子 单独一个数或字母也是代数式；代数式中不含等号、不等号 书写规范 数与字母相乘，数写在字母前，乘号写作“·”或省略，如5×t写作5t 数字1与字母相乘时1省略，如1×a写作a 幂的简写 相同字母相乘写成幂，如a·a写作a² a²表示a×a，不是a×2 反比例关系 两个相关联的量，一个量变化另一个量也变化，且乘积一定，记xy=k（k为确定值且k≠0） 判定关键：两个量的乘积是否为定值 正比例关系 两个相关联的量，比值（商）一定 与反比例区分：正比例是比值一定，反比例是乘积一定 代数式的值 用数值代替代数式中的字母，按运算关系计算所得的结果 字母取不同值时，代数式的值一般不同 路程公式 路程＝速度×时间，即s=vt 时间=路程÷速度 三角形面积 S=()ah（a为底，h为底边上的高） 切勿漏乘 圆的周长、面积 周长C=2πr=πd；面积S=πr² r为半径，d为直径，d=2r 长方体体积 V=长×宽×高 正方体V=a³ 三、考点知识梳理 （一）3.1　列代数式表示数量关系 【代数式的概念】用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子，称为代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式，如5、t都是代数式。代数式中不含有等号或不等号。 【代数式的书写规范】①在含有字母的式子里，数与字母相乘，通常把数写在字母前面，乘号写作“·”或省略不写，如5×t写作5t；②相同字母相乘写成幂，如a·a写作a²；③除法运算结果一般写成分数形式。 【列代数式】把问题中与数量有关的词语，用含有数、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式。列代数式的关键是弄清数量关系和运算顺序，按“先读先写”的顺序列式。如“a、b两数的和与差的积”先求和a+b、求差a-b，再相乘，写作(a+b)(a-b)。本套书中a与b的差均指a-b。 【正比例关系】两个相关联的量，若它们的比值一定，则这两个量成正比例关系。如工作效率保持不变时，工作量与工作时间成正比例。 【反比例关系】两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，如果这两个量中相对应的两个数的乘积一定，这两个量就叫作成反比例的量，它们的关系叫作反比例关系。反比例关系用字母表示为xy=k（k是一个确定的值，且k≠0）。如造雪总量一定时，每天造雪量与造雪天数成反比例。 （二）3.2　代数式的值 【代数式的值的概念】用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫作代数式的值。当字母取不同的数值时，代数式的值一般也不同。 【求代数式的值】步骤：①代入——用给定的数值代替代数式中的字母；②计算——按有理数的运算顺序计算。代入负数或分数时要适当加括号，注意运算顺序，如当a=-3时a²=(-3)²=9。 【用公式计算】一些同类事物中的数量关系常用公式描述，如路程公式s=vt、长方形面积S=ab、圆的周长C=2πr、圆的面积S=πr²等。知道公式中某些量的值，就可以利用公式求出另一个量的值。 四、重点知识记忆方法 【记忆口诀】代数式书写：数前字母后，乘号点或无；相同字母乘，幂次来表示；除号变分数，单位括括号。正反比例：商一定成正比，积一定成反比。 【对比记忆】易混的代数式意义对比如下表。 代数式 意义 举例 2a+3 a的2倍与3的和 2×4+3=11 2(a+3) a与3的和的2倍 2×(4+3)=14 a²+b² a、b两数的平方和 a=3,b=4时为25 (a+b)² a、b两数和的平方 a=3,b=4时为49 【易混对比】正比例与反比例：正比例看“比值一定”，反比例看“乘积一定”。如单价一定时，总价与数量成正比例；总价一定时，单价与数量成反比例。 五、解题方法总结 题型1　列代数式表示数量关系 【解题方法】①先找出问题中的数量及数量关系（和、差、倍、分、积、商）；②抓住关键词，如“倍”“几分之几”“多”“少”“增加到”“增加了”；③按运算顺序列式，注意该加括号时加括号（如“和的积”要先和后积）；④结果是和或差且带单位时，整个式子加括号。 【数学思想】抽象概括思想、建模思想：把实际数量关系抽象为代数式。 题型2　说出代数式的意义 【解题方法】①按运算顺序从左到右读；②区分“平方和”与“和的平方”、“倍与和”与“和的倍”；③用语言准确叙述，如2(a+3)读作“a与3的和的2倍”。 题型3　求代数式的值 【解题方法】①写明“当……时”；②代入：把字母换成给定数值，负数、分数代入要加括号；③计算：严格按先乘方、再乘除、后加减的顺序；④结果写在“＝”后。 【数学思想】对应思想：字母取不同值对应不同的代数式的值。 题型4　判断成正比例或反比例关系 【解题方法】①先找两个相关联的量；②算它们的比值是否一定——一定则成正比例；③算它们的乘积是否一定——一定则成反比例；④比值、乘积都不一定，则不成比例。 【数学思想】函数思想、对应思想：从变化中找不变的关系。 六、易错点清单 【清单】逐条对照教材与常见易错情形，复习时先自查再对照下表。 常见易错点 正确做法 把含等号的式子当代数式，如把S=ab当作代数式 代数式不含等号、不等号；S=ab是等式（公式），ab才是代数式 数与字母相乘时把数写在字母后，如t×5写成t5 数写在字母前：5×t写作5t 混淆a²与2a，如认为a²=a×2 a²=a×a；2a=a+a，意义不同 列代数式时漏括号，如“a与3的和的2倍”写成2a+3 和的倍要先求和：2(a+3) 代入负数时不加括号，如a=-3时误算a²=-9 负数代入要加括号：a²=(-3)²=9 求代数式的值时不按运算顺序，如2a+3误先算a+3 先乘除后加减：2a+3先算2a再与3相加 把“和一定”误判成反比例 反比例要求乘积一定；和一定（如已走路程+剩余路程=总路程）不成反比例 七、高频考点速记 ①用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子叫代数式，单独一个数或字母也是代数式。 ②书写规范：数与字母相乘数在前、乘号省略或写作“·”；相同字母相乘写成幂。 ③列代数式关键是弄清数量关系与运算顺序，该加括号时加括号。 ④两个相关联的量乘积一定，就成反比例关系，记xy=k（k为定值且k≠0）。 ⑤用数值代替代数式中的字母，按运算关系计算出的结果叫代数式的值。 ⑥求代数式的值分两步：先代入、再计算，代入负数、分数要加括号。 ⑦正比例看比值一定，反比例看乘积一定。 八、学情自测 （一）选择题（每题2分，共5题） 1．如图，用大小相等的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形，拼第3个正方形需要16个小正方形……按照这样的方法拼成的第6个正方形需要（　　）个小正方形。 A．36 B．42 C．49 D．64 2．亮亮计划购买6筒羽毛球，若每筒元，则共需（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 3．两数的平方差用代数式可表示为（　　） A． B． C． D． 4．下列代数式中，能表示“x与y的差的平方”的是（　　） A．x²−y² B．(x−y)² C．x²−y D．x−y² 5．下列对代数式−3x的意义表述正确的是（　　） A．−3与x的和 B．−3与x的差 C．−3与x的积 D．−3与x的商 （二）填空题（每空2分，共5题） 1．近期，铁路部门推出老年人专属出行福利：60周岁及以上老年旅客，购买带有“敬”字列车的车票，可享受9折优惠。如果一张车票原售价为元，那么优惠后的票价为______元。 2．若每个篮球30元，则购买n个篮球需______元。 3．若，则______． 4．近年来，我省依托乡村e镇建设，打造农村电商新产业，提高了农民收入。某农户通过网上销售传统手工艺品布老虎，利润由原来的每个20元增加到80元。该农户通过网上售出a个布老虎，则他的利润增加了______元（用含a的代数式表示）。 5．冰糖葫芦是我国传统小吃。若大串冰糖葫芦每根穿5个山楂，小串冰糖葫芦每根穿3个山楂，则穿m根大串和n根小串冰糖葫芦需要的山楂总个数用代数式表示为______。 （三）解答题（每题8分，共2题） 1. 某商店购进一批西瓜，进价为每千克m元。售时先在进价基础上每千克加价2元标价，再按标价打八折出售。 （1）用代数式表示打折后的售价（每千克多少元）； （2）当m=3时，打折后的售价是每千克多少元？ 2. 梯形的上底为a、下底为b、高为h，面积S=(a+b)h。 （1）用代数式表示这个梯形的面积； （2）当a=2，b=4，h=5时，求这个梯形的面积。 九、参考答案 1．【答案】C 解题步骤： ①拼第1个正方形需4=2²个小正方形，第2个需9=3²个，第3个需16=4²个； ②∴拼第n个正方形需(n+1)²个小正方形； ③第6个即n=6时，需(6+1)²=7²=49（个），故选C。 【知识点睛】图形类规律探索：小正方形个数依次为2²、3²、4²…，归纳为(n+1)²，代入n=6得7²=49。注意底数比序号多1。 【知识点睛】列代数式：单价×数量=总价。本题每副3元、买a副，用乘法直接列出总价的代数式，注意数字与字母相乘时数字写在字母前面并省略乘号。 2．【答案】C 解题步骤： ①由题意，购买羽毛球6筒，每筒单价为a元，总价等于单价乘数量； ②共需费用为6×a=6a元，对照选项应选C。 【知识点睛】列代数式：总价=单价×数量。本题买6筒、每筒a元，共需6×a=6a元；数字与字母相乘时，数字写在字母前面并省略乘号。 3．【答案】A 解题步骤： ①题目要求表示“a、b两数的平方差”，运算顺序为：先分别求a、b的平方，再求两个平方的差； ②的平方为，的平方为； ③两数的平方差可表示为，故选A。 【知识点睛】“平方差”与“差的平方”不同：a、b两数的平方差是a²−b²，a、b两数的差的平方是(a−b)²。列代数式时注意运算顺序，先用上标表示平方，再写减号。 4．【答案】B 解题步骤： ①“x与y的差”是x−y； ②“差的平方”即(x−y)²，故选B。 【知识点睛】“差的平方”与“平方差”辨析：x、y的差的平方是(x−y)²；x、y的平方差是x²−y²。列代数式时先明确运算顺序，注意括号的使用。 5．【答案】C 解题步骤： ①代数式−3x中的运算符号是乘号（省略），表示−3与x相乘； ②∴−3x的意义是−3与x的积，故选C。 【知识点睛】说明代数式的意义：先看清代数式含有的运算及其顺序，再用语言表述。−3x是数−3与字母x相乘，表示−3与x的积，注意与“和、差、商”区分。 【填空题】 1．【答案】元 解题步骤： ①9折优惠即按原价的90%收费； ②优惠后的票价＝＝（元）。 【知识点睛】折扣问题：打几折就是按原价的十分之几收费，9折即原价的90%。列代数式时，数字与字母相乘数字写在前面：0.9×a写成0.9a。 2．【答案】30n 解题步骤： ①每个篮球30元，购买n个篮球，总价=单价×数量； ②∴共需30×n=30n（元）。 【知识点睛】列代数式：总价=单价×数量。30×n写作30n，数字写在字母前面并省略乘号。 3．【答案】1 解题步骤： ①， ②． 【知识点睛】已知式子的值求代数式的值：当所求代数式与已知式子有倍数关系时，用整体代入法。本题3m+6n=3(m+2n)，把m+2n=2整体代入，得3×2−5=1。 4．【答案】60a 解题步骤： ①原来每个利润20元，现在每个利润80元，每个利润增加80−20=60（元）； ②售出a个，利润共增加60×a=60a（元）。 【知识点睛】列代数式（利润变化）：单个利润增加量×数量=总利润增加量。先求每个利润增加60元，再乘数量a得60a。 5．【答案】5m+3n 解题步骤： ①m根大串每根5个山楂，共5×m=5m个； ②n根小串每根3个山楂，共3×n=3n个； ③总个数为5m+3n。 【知识点睛】列代数式（两个变量）：不同规格分别列式再相加。“每根个数×根数”先算大串5m、小串3n，再求和。 【解答题】 1. 解：（1）标价为每千克(m+2)元，打八折后的售价为每千克0.8(m+2)元。 （2）当m=3时，0.8(m+2)=0.8×(3+2)=0.8×5=4（元）。答：打折后售价为每千克4元。 2. 解：（1）梯形面积S=(a+b)h。 （2）当a=2，b=4，h=5时，S=×(2+4)×5=×6×5=15。答：梯形的面积为15。 学科网（北京）股份有限公司 $