上海市黄浦区格致中学2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

格致中学二〇二六学年度第一学期第一次测验 高二年级数学试卷 （测试90分钟内完成，总分100分，试后交答题卷） 友情提示：昨天，你既然经历了艰苦的学习，今天，你必将赢得可喜的收获/机体：诚实守信，沉着冷静，细致踏实，自信自强，去迎接胜利 一、填空题：（本大题共12小题，其中第1-6小题，每题3分，第7-12小题，每题4分，满分42分） 1. 若（其中表示虚数单位），则__________. 2. 若向量，，则______．（结果用反三角表示） 3. 如图：矩形的长为，宽为，是的中点，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则四边形的周长为_________. 4. 小明在期中复习时，对常见的“角”进行了简要梳理：①两条异面直线所成的角；②直线与平面所成的角；③二面角；④两个非零向量的夹角．则上述各种“角”的取值范围是的有______（请填写序号） 5. 圆柱的轴截面是边长为4cm的正方形，则该圆柱的表面积为________． 6. ，则______________． 7. 函数在区间上的对称轴方程是______． 8. 已知函数是定义在上的奇函数，且满足，若，则___________． 9. 一个无穷等比数列，已知，且，则公比q的取值范围是________ 10. 图1所示为文件边角夹，其由两个全等的，直角边长为4厘米的等腰直角三角形塑料板（不考虑厚度）通过贴片耦合而成．图2展示了文件边角夹的工作原理，在使用文件边角夹时，通过按压使三角形塑料板绕着其中位线顺时针旋转，直至与三角形塑料板所在平面平行时无法转动．若要让边角夹按压后能够夹起总厚度为1.2厘米的一沓纸张，则边角夹的两个塑料板所在的半平面构成的二面角的平面角的最小值为___________．（结果精确到） 11. 已知正方体的棱长为1，点在棱上，点为棱的中点，若过点的平面截该正方体所得的截面为五边形，则线段的取值范围为___________． 12. 如图，在直三棱柱中，，分别为的中点，过点作与垂直的平面，且平面与该三棱柱的侧面的交线为线段，则___________ 二、选择题：（本大题共4小题，第13、14题，每题3分，第15、16题，每题4分，满分14分） 13. 若a、b、，且，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 14. 下列命题正确的是（ ） A. 过平面上任意一点作平面与交线的垂线，则； B. 与两条异面直线都平行的两个平面平行； C. 三个平面两两相交，得到三条交线，则这三条交线两两平行； D. 有一对互相平行的面，且这两个面是两个全等的三角形或平面多边形，同时，其他的面是平行四边形的多面体是棱柱． 15. 对于定义在上的函数，给出以下三个陈述句：存在且，对任意，均有；函数是严格减函数，且对任意，均有；函数是严格增函数，且存在，使得，则以下说法正确的是（ ） A. 、都是的充分条件 B. 、都不是的充分条件 C. 仅有是的充分条件 D. 仅有是的充分条件 16. 学习立体几何能够锻炼直观想象的数学核心素养，小唐在研究正方体的时候发现过空间中的一点，存在条过点的直线，满足与正方体的每条棱所成角的大小都相等；小宋在研究正方体的时候发现过空间中的一点，存在个过点的平面，满足与正方体的每个面所成锐二面角的大小都相等；则下列判断正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 三、解答题：（本题共有4大题，满分44分．解题时要有必要的解题步骤） 17. 已知、、为的三个内角，、、是其三条边，，． （1）若，求、； （2）若，求． 18. 如图，在长方体中，为的中点． （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离． 19. 如图，已知斜棱柱中，，． （1）求证：侧面是矩形； （2）若，底面是边长为2的正三角形，侧棱，求斜棱柱的体积； （3）在第（2）题的条件下，求二面角的大小． 20. 对于定义域在上的函数，定义．设区间，对于区间上的任意给定的两个自变量的值、，当时，总有，则称是的“函数”． （1）求证：函数不存在“函数”，请说明理由； （2）若非常值函数，是奇函数，求证：存在“函数”的充要条件是存在常数，使得； （3）若函数与函数的定义域都为，且均存在“函数”，求实数的值． 格致中学二〇二六学年度第一学期第一次测验 高二年级数学试卷 （测试90分钟内完成，总分100分，试后交答题卷） 友情提示：昨天，你既然经历了艰苦的学习，今天，你必将赢得可喜的收获/机体：诚实守信，沉着冷静，细致踏实，自信自强，去迎接胜利 一、填空题：（本大题共12小题，其中第1-6小题，每题3分，第7-12小题，每题4分，满分42分） 【1题答案】 【答案】2 【2题答案】 【答案】 （或） 【3题答案】 【答案】20 【4题答案】 【答案】③④ 【5题答案】 【答案】 【6题答案】 【答案】 ## 【7题答案】 【答案】 【8题答案】 【答案】5 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 二、选择题：（本大题共4小题，第13、14题，每题3分，第15、16题，每题4分，满分14分） 【13题答案】 【答案】D 【14题答案】 【答案】B 【15题答案】 【答案】A 【16题答案】 【答案】C 三、解答题：（本题共有4大题，满分44分．解题时要有必要的解题步骤） 【17题答案】 【答案】（1）， （2） 【18题答案】 【答案】（1）证明：连接，设，连接. 由题意可知四边形为正方形，所以为的中点， 在中，为的中点，所以. 又平面，平面内，所以平面. （2） 【19题答案】 【答案】（1）如图，连接，，取中点，连接，， 在与中，因为，，， 所以，则，在中，因为， 所以，在中，因为，所以， 因为，平面，平面，所以平面， 因为平面，所以，又因为侧面是平行四边形，且有一个角为直角， 所以侧面是矩形. （2） （3） 【20题答案】 【答案】（1）由题意，，则，因此： ， 取​计算得： ， 不满足，因此函数不存在“函数” （2）因为是定义域为的奇函数，故，因此， 且，即是偶函数. 充分性：若（，非常值），此时，为常数函数， 对任意、，当时，总有，满足， 必要性：若存在“函数”即在上单调不减， 由是奇函数得：，即是偶函数， 若不为常数函数，对任意两个正数，则， 但此时，，不满足“函数”的定义. 因此恒为常数，此时. 综上，原命题得证. （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $