精品解析：上海交通大学附属中学2026-2027学年第一学期高二数学调研测试卷

2026-2027学年度第一学期 高二数学调研测试卷 (满分150分，150分钟/120分钟．答案一律写在答题纸上．) 本套试卷另附答题纸，每道题的解答必须写在答题纸的相应位置，本卷上的解答不作评分依据．标的是校本原题．本试卷解答题中，凡采用空间向量方法求解者，最多得一半． 一、填空题（本大题满分54分，前6题每题4分，后6题每题5分，填错或不填在正确的位置一律得零分） 1. 已知全集U，A，B，那么 ________. 【答案】 【解析】 【分析】先计算出，再计算即可得解. 【详解】由题意得，所以. 故答案为：. 【点睛】本题考查了集合的混合运算，细心计算即可，属于基础题. 2. 函数的定义域为__________． 【答案】 【解析】 【详解】由有意义，可得，解得， 故函数的定义域为. 3. “直线经过平面上的一点”用集合的语言和符号可以表述为____________． 【答案】， 【解析】 【详解】“直线经过平面上的一点”，则， . 4. 已知平面向量，且，，则在方向上的投影向量为______________．（用坐标表示） 【答案】 【解析】 【分析】直接套用投影向量公式，先算出两向量数量积与模的平方，求出系数再乘向量，得到坐标． 【详解】在方向上的投影向量为． 5. 若是函数的极值点，则_________ 【答案】 【解析】 【详解】函数的定义域为，. ∵ 是的极值点, ∴ , 即 ,解得 . 验证: 当时, , . 当时, , 单调递增; 当时, , 单调递减; 当时, , 单调递增, 故是的极小值点, 符合题意. 6. 函数的图象向右平移个单位长度后与原图象重合，则正实数的最小值为______. 【答案】8 【解析】 【详解】函数的图象向右平移个单位长度后解析式为： ， 要使其与原图象重合，即，， 所以，， 因为是正实数， 所以，当时，最小为8. 7. 正方体中，异面直线与所成角的大小为________． 【答案】 【解析】 【分析】设，线段的中点为，求直线和的夹角即可. 【详解】设，线段的中点为， 因为为正方形，所以为中点，则是的中位线，则， 因为，所以、全等， 则，则，则， 故异面直线与所成角的大小为. 8. 设为异面直线，外一点，那么过与，同时相交的直线有_____________条． 【答案】0或1 【解析】 【详解】先过点P和异面直线作平面，过点和异面直线作平面，两个平面的交线为过的直线， 分两种情况讨论： 若直线恰好与、都相交，此时这条直线就是同时过且与、都相交的直线，可这样的直线是唯一的； 若交线平行于或平行于，此时不存在任何过的直线能同时与、都相交，满足条件的直线条数为0； 综上，符合要求的直线条数为0或1. 9. 平面外有一个三角形，三个顶点到的距离分别为，，．则这个三角形的重心到的距离为_____________． 【答案】，或 【解析】 【分析】利用三角形重心分中线的比例关系，结合已知三个顶点到平面的距离来计算重心到平面的距离. 【详解】设平面为平面，将三角形三个顶点的坐标分别对应它们到平面的距离， 当三个点都在平面的同一侧， 三个顶点的坐标分别为，，， 根据三角形重心的坐标公式，重心的坐标为三个顶点坐标的算术平均值， 即， 当两个距离为的点在平面的一侧，距离为的点在平面的另一侧， 此时距离为的点的坐标取负值，代入重心距离公式可得： ， 当单个距离为的顶点在平面一侧， 另一个距离为的顶点和距离为的顶点在平面另一侧时， 重心到平面的距离为， 综上所述，三角形的重心到的距离为，或. 10. 设，是实系数一元二次方程的两个根，若是虚数，是实数，则______． 【答案】-2 【解析】 【分析】设（s，，）．则．则，．利用是实数，可得．于是，．，取，则，．代入化简即可得出． 【详解】设（s，，）．则． 则，． ∵是实数， ∴， ∴． ∴，． ∴， ∴， 取， 则， ∴． 则 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了实系数一元二次方程的虚根成对定理，考查了复数的概念，考查了复数的性质，属于中档题. 11. 如图，在中，，．在边上取一点（不含、），将沿线段折起，得到．当平面垂直于平面时，则到平面距离的最大值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】设，则，到平面距离为，由题意根据可得，根据二次函数性质计算可得最大值. 【详解】在中，因为，，所以． 由余弦定理可得．设，则，． 在中，由余弦定理可得． 在中，，，， 设到平面的距离为， 因为平面垂直于平面，所以到平面的距离即为的高， 则， 解得， 由，令，， 当时，函数有最小值为，因为，所以． 12. 已知四面体中，，．给出下列四个命题： ①； ②； ③四面体的四个面中至少有一个是直角三角形； ④空间中恰好存在7个不同的平面，使得四面体的四个顶点到其中每个平面的距离均相等； 其中所有正确命题的序号为___________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】设四面体中，，，，根据已知条件得到：，对于①：求出，从而得到；对于②：分别求出，，，从而得到；对于③：举出反例即可；对于④：分两类讨论：型和型，最后求和. 【详解】设四面体中，，，， 又因为：，即，即； ，即，即， 令. 对于①：，， ， 因此，①正确； 对于②：，， ， ，， ， ，， ， 所以.②正确； 对于③：正四面体，满足，， 但正四面体的四个面均为等边三角形.③错误； 对于④：存在7个不同的平面使四个顶点到平面的距离相等， 分两类： 型：1个点在平面一侧，3个点在平面另一侧，共个； 型：2个点在平面一侧，2个点在平面另一侧，共个. 总计个平面，④正确. 二、选择题（本大题满分18分，前2题每题4分，后2题每题5分，每题有且仅有一个正确选项） 13. 若，且，则下列不等式中，恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】对于A，当时，不成立，故A错误， 对于B，，由基本不等式得， 当且仅当时，等号成立，故B正确， 对于C，当时，不成立，故C错误， 对于D，当时，不成立，故D错误. 14. 已知点在角的终边上，将的终边绕原点逆时针旋转得到角的终边，则＝（ ） A. － B. － C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求出，再根据诱导公式可求出结果. 【详解】依题意得，又，所以. 15. 表示平面，为直线，下列命题中为真命题的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助长方体模型，结合线面垂直的判定定理、面面平行的性质逐一判断即可. 【详解】A：在长方体中，设表示平面， 分别表示平面和平面，显然满足， 但是，因此本选项不正确； B：在长方体中，设表示平面， 分别表示平面和平面，显然满足， 但是，因此本选项不正确； C：设， 设点是平面任意一点，在平面内过做，垂足为， 因为，，， 所以，而，所以，同理， 而，所以，因此本选项正确； D：在长方体中， 分别表示平面、平面、平面、平面， 显然满足，但是，因此本选项不正确， 故选：C 16. 设，是两条异面直线，它们所成的角为，其中．对于，，考察直线与，所成的角．给出下列命题： ①若，则存在恰好两组点对，使得与，所成的角均为； ②若，则存在恰好两组点对，使得与，所成的角均为； ③若，则存在恰好两组点对，使得与，所成的角均为． 则上述命题中正确的个数为（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】通过平移将异面直线等角截线问题转化为共顶点双圆锥的交线计数问题，依据目标角与，的大小关系判定解的组数，从而验证三个命题的正误. 【详解】圆锥的轴与所有母线的夹角都相等，由此推广：空间中，过定点且与定直线成固定角的所有直线，会构成一个以定直线为轴、为半顶角的圆锥面，圆锥的每一条母线都和轴成角. 要找“与、所成角均为的直线PQ”，本质就是找两个圆锥面的公共母线： 圆锥1：以为轴，半顶角为；圆锥2：以为轴，半顶角为。 两个圆锥面的交线条数，就是满足条件的直线PQ的条数，对应点对的组数. 异面直线所成角只由方向决定，与位置无关。我们可以把、平移到相交于同一点，夹角仍为.此时过点且同时与两直线成角的直线数量，和原题中满足条件的直线PQ组数完全相等.这样就把异面直线问题，转化成了“共顶点两个圆锥的交线计数”问题. 两个圆锥共顶点，轴的夹角为，半顶角均为，交线数量分种情况： 当时：两个圆锥开口都太小，没有公共母线，条交线； 当时：两个圆锥仅在两轴的夹角内侧相交，有条对称交线； 当时：两个圆锥在内侧、外侧各有条交线，共条交线； 当时：只有垂直于两轴所在平面的条直线，条交线. 命题①：，，由得，且，满足，对应条交线，即组点对，正确； 命题②：，，由得，且，满足，对应条交线，即组点对，正确； 命题③：，又，则，，由得，满足，对应条交线，即组点对，不是组，错误. 综上，正确的命题为①②，共个. 三、解答题（本大题满分78分，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要步骤） 17. 已知数列是等差数列，，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据通项公式列方程求解； （2）采用分组求和方法即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为d． 由题意得，解得， 所以． 数列的通项公式为． 【小问2详解】 由题意可得： 所以数列的前n项和为. 18. 在△ABC中，，，. （1）求BC边的长； （2）求AB边上的中线CD的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知结合同角平方关系求sinC，进而可求sinA，由正弦定理即可求解； （2）由正弦定理可求AB，然后结合余弦定理可求. 【小问1详解】 由得， ， 由正弦定理得； 【小问2详解】 由正弦定理得，， 由余弦定理得 19. 如图，底面是等腰梯形，，，，是平面外一点，是边长为的等边三角形． （1）在图中作出平面与平面的交线为（保留作图痕迹）； （2）若，求证：平面平面． 【答案】（1）延长，交于点，连接，直线即为所求交线． （2） 在平面内，过点作于， ，，所以， 在中，，，， 在中，， 所以， 因为，所以， 又，，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面． 【解析】 【分析】（1）利用平面基本性质，找两平面的两个公共点，连线就是交线； （2）在底面等腰梯形中，计算边长，用勾股逆定理证，结合已知证得平面，再由面面垂直判定定理完成证明． 【小问1详解】 延长，交于点，连接，直线即为所求交线． 是两平面一个公共点， 因为平面，平面， 所以是两平面另一个公共点， 因此直线为平面与平面的交线． 【小问2详解】 略 20. 如图，在四棱锥中，平面底面，是边长为4的等边三角形，，，，是棱上的点，且，． （1）若平面，求的值； （2）若，设二面角的大小为，求的值； （3）若，求点到平面的距离． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，连接，利用平面与平面垂直的性质定理得到平面，求出四边形是矩形，建立空间直角坐标系，利用求出的坐标，求出平面的法向量，利用平面得到，从而求出的值； （2）求出平面和平面的法向量，利用向量的数量积和同角关系式求解； （3）求平面的法向量，利用点到平面的向量距离公式求解. 【小问1详解】 取的中点，连接，连接， 因为是边长为4的等边三角形，所以，且，， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 又因为，，所以. 因为，所以，则， 因为，所以四边形是矩形， 以为原点，，，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，. 设，因为，所以， 解得，则. 设平面的法向量为， 则，. 则，即，， 取，解得， 则平面的一个法向量， ， 因为平面，所以，即， 所以，即，解得. 【小问2详解】 当时，，平面的法向量， 平面的法向量取， 设二面角的大小为，， 则，所以. 【小问3详解】 当时，，， 设平面的法向量为， 则，即，即， 解得，取，解得，则， 点，，， 设点到平面的距离为， 则， 所以点到平面的距离为. 21. 已知函数的定义域为， （1）若，求函数的零点构成的集合； （2）若，且当时，求函数在上的最小值； （3）已知对一切恒成立， 求证：“函数存在正整数周期”的充要条件是“函数存在正整数周期”． 【答案】（1） （2） （3） 先证必要性： 若有正整数周期，则， 于是， 所以也有正整数周期； 再证充分性： 若有正整数周期，则， 即， 整理得， 设，则， 所以对任意整数平移都不变． 假设存在某个使，设，即, 则,, 于是对任意正整数，， 当时,，这与矛盾． 故假设不成立，即，都有，故， 所以也有正整数周期． 综上，“有正整数周期”的充要条件是“函数存在正整数周期”． 【解析】 【分析】（1）由题意可得 ，进而求解； （2）由题意可得，利用换元法求得，结合二次函数的图象与性质即可求解； （3）易证必要性；证充分性，若，则，（设），利用反证法证明，即，即可证明. 【小问1详解】 当时， ， 所以 故零点集合为 【小问2详解】 由 ，知 ， 对，有，所以， 令，则， 因此 ， 则， 因，故当时，取得最小值； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期 高二数学调研测试卷 (满分150分，150分钟/120分钟．答案一律写在答题纸上．) 本套试卷另附答题纸，每道题的解答必须写在答题纸的相应位置，本卷上的解答不作评分依据．标的是校本原题．本试卷解答题中，凡采用空间向量方法求解者，最多得一半． 一、填空题（本大题满分54分，前6题每题4分，后6题每题5分，填错或不填在正确的位置一律得零分） 1. 已知全集U，A，B，那么 ________. 2. 函数的定义域为__________． 3. “直线经过平面上的一点”用集合的语言和符号可以表述为____________． 4. 已知平面向量，且，，则在方向上的投影向量为______________．（用坐标表示） 5. 若是函数的极值点，则_________ 6. 函数的图象向右平移个单位长度后与原图象重合，则正实数的最小值为______. 7. 正方体中，异面直线与所成角的大小为________． 8. 设为异面直线，外一点，那么过与，同时相交的直线有_____________条． 9. 平面外有一个三角形，三个顶点到的距离分别为，，．则这个三角形的重心到的距离为_____________． 10. 设，是实系数一元二次方程的两个根，若是虚数，是实数，则______． 11. 如图，在中，，．在边上取一点（不含、），将沿线段折起，得到．当平面垂直于平面时，则到平面距离的最大值为______． 12. 已知四面体中，，．给出下列四个命题： ①； ②； ③四面体的四个面中至少有一个是直角三角形； ④空间中恰好存在7个不同的平面，使得四面体的四个顶点到其中每个平面的距离均相等； 其中所有正确命题的序号为___________． 二、选择题（本大题满分18分，前2题每题4分，后2题每题5分，每题有且仅有一个正确选项） 13. 若，且，则下列不等式中，恒成立的是（ ） A. B. C. D. 14. 已知点在角的终边上，将的终边绕原点逆时针旋转得到角的终边，则＝（ ） A. － B. － C. D. 15. 表示平面，为直线，下列命题中为真命题的是（ ） A. B. C. D. 16. 设，是两条异面直线，它们所成的角为，其中．对于，，考察直线与，所成的角．给出下列命题： ①若，则存在恰好两组点对，使得与，所成的角均为； ②若，则存在恰好两组点对，使得与，所成的角均为； ③若，则存在恰好两组点对，使得与，所成的角均为． 则上述命题中正确的个数为（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 三、解答题（本大题满分78分，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要步骤） 17. 已知数列是等差数列，，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 18. 在△ABC中，，，. （1）求BC边的长； （2）求AB边上的中线CD的长. 19. 如图，底面是等腰梯形，，，，是平面外一点，是边长为的等边三角形． （1）在图中作出平面与平面的交线为（保留作图痕迹）； （2）若，求证：平面平面． 20. 如图，在四棱锥中，平面底面，是边长为4的等边三角形，，，，是棱上的点，且，． （1）若平面，求的值； （2）若，设二面角的大小为，求的值； （3）若，求点到平面的距离． 21. 已知函数的定义域为， （1）若，求函数的零点构成的集合； （2）若，且当时，求函数在上的最小值； （3）已知对一切恒成立， 求证：“函数存在正整数周期”的充要条件是“函数存在正整数周期”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $