上海外国语大学附属大境中学2026-2027学年第一学期10月调研高二年级数学试题

上外附属大境中学 2026 学年度第一学期 10 月调研 高二年级数学试题 (90 分钟内完成, 总分 120 分) 一. 填空题 (本大题共 12 题, 1-6 每题 4 分, 7-9 每题 5 分, 共 54 分) 1. 用符号表示 “平面 与 相交于直线 ” . 2. 已知球的半径为 3 ,则该球的体积为. 3. 已知 ,则直线 、 的位置关系为. 4. 以边长为 2 的正方形的一边所在直线为旋转轴, 将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积为. 5. 已知正三棱锥的底面边长为 ,高为 ,则该三棱锥的侧棱长为. 6. 球的表面积为 ,用一个平面截球,使截面圆的半径为3,则截面与球心的距离是. 7. 在 的二面角的一个面上有一点 ,它到棱的距离等于 ,则点 到另一个平面的距离为 8. 已知圆锥的底面周长为 ,侧面积为 ,则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为 9. 以正棱柱两个底面的内切圆面为底面的圆柱叫作正棱柱的内切圆柱. 若正三棱柱的高为 6 ,其内切圆柱的体积为 ,则该正三棱柱的底面边长为 10. 已知一个正四面体的顶点是一个正方体的顶点, 那么正四面体的表面积是正方体表面积的倍. 11. 如图,已知正方体 的棱长为2,长为2的线段 的一个端点 在棱 上运动,点 在正方体的底面 内运动,则 的中点 的轨迹与正方体从顶点 出发的三个面所围成的几何体的表面积是. 12. 体积为 的正四面体内有一个球 ,球 与该正四面体的各面均有且只有一个公共点, , 是球 的表面上的两动点,点 在该正四面体的表面上运动,当 最大时, 的最大值是. 二. 选择题 (本大题共 4 题, 每题 4 分, 共 16 分) 13. 给定空间中的直线 及平面 ,条件“直线 与平面 内无数条直线都垂直”是“直线 与平面 垂直”的 ( )条件 A. 充要 B. 充分非必要 C. 必要非充分 D. 既非充分又非必要 14. 下列命题错误的是 ( ) A. 侧棱垂直于底面的棱柱一定是直棱柱 B. 底面是正多边形的棱柱一定是正棱柱 C. 棱柱的侧面都是平行四边形 D. 斜棱柱的侧面有可能是矩形 15. 如图,在长方体 中, , ,点E为AB上的动点,则 的最小值为( ) A. 5 B. C. D. 16. 如图,四边形 是边长为1的正方形, 平面 , 平面 , 且 , 点 为 的中点 . 则下列结论中不正确的是( ). A. B. 平面 平面 C. 直线 与 是异面直线 D. 直线 与平面 无公共点 三、解答题 (8+8+10+10+14) 17. 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=2AB=2,E是PB的中点. 求异面直线EC和AD所成的角(结果用反三角函数值表示). 18. 如图,在三棱锥 中, 分别为棱 的中点, 平面 . (1)求证: 平面 ; (2)求证:平面 平面 . 19. 如图所示,某建筑物模型无下底面,有上底面,其外观是圆柱,底部挖去一个圆锥;已知圆柱与圆锥的底面大小相同,圆柱的底面半径为 ,高为 ,圆锥母线为 . (1)计算该模型的体积; (2)现需使用油漆对100个该种模型进行涂层,油漆费用为每平方厘米0.03元,总费用是多少? 20. 如图,几何体是圆柱的一部分,它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转 得到的,G是 的中点. (1)设P是 上的一点,且 ,求 的大小; (2)当 时,求二面角 的大小。 21. 已知点P是边长为2的菱形ABCD所在平面外一点,且点P在底面ABCD上的射影是AC与BD的交点O。已知 , 是等边三角形. (1)求证: ; (2)求点D到平面PBC的距离; (3)若点E是线段AD上的动点。问:点E在何处时,直线PE与平面PBC所成的角最大?求出这个最大角,并说明点E 此时所在的位置. 2 学科网(北京)股份有限公司 $