专题02 锐角三角函数12大题型62题（期中专项训练）九年级数学上学期新教材湘教版

专题02 锐角三角函数 基础·固本强基 题型1 锐角的正弦、余弦与正切概念 题型2 同角三角函数的基本关系 题型3 特殊角的三角函数值的计算（重点） 提升·进阶突破 题型5 网格与坐标系中的三角函数 题型6 解直角三角形（重点） 题型7 仰角、俯角问题（重点） 题型8 解直角三角形（重点） 题型9 坡度（坡比）与坡角问题 题型10 方位角问题 拔高·压轴破难 题型8 构造直角三角形解斜三角形（难点） 题型9  解直角三角形的综合实际应用（难点） 题型10 动态几何与三角函数最值（重难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 锐角的正弦、余弦与正切概念（共7小题） 【模型】直角三角形边角比模型（在 中， ， ， ， ）。 【步骤】 ① 明确直角三角形及直角位置；② 找准目标锐角，分清对边、邻边与斜边；③ 代入定义式写出比值。 【易错】 ① 找错对边与邻边（尤其是斜放或翻折后的直角三角形）；② 忘记前提条件“必须在直角三角形中”。 1．（25-26九年级上·湖南郴州·阶段检测）如图是桂新高速某一隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B，AD垂直地面，垂足为点D，BC⊥AD，垂足为点C．设∠ABC＝，下列关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由锐角三角函数的定义即可得出结论． 【详解】解：在中，，， ∴，，， 故选项A、B、C不符合题意，选项D符合题意． 2．（25-26九年级下·山西·期末）在中，，现把这个三角形的三边都扩大为原来的倍，则的正弦值（   ） A．扩大为原来的3倍 B．缩小为原来的 C．不变 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了三角函数的定义，理解相似三角形中对应角不变，三角函数值不变是关键． 根据三角函数的定义，正弦值是对边与斜边的比值，当三边都扩大相同倍数时，比值不变． 【详解】∵在中，， ∵三边都扩大为原来的3倍，则新三角形中，对边变为，斜边变为， ∴， ∴的正弦值不变． 故选：C． 3．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正弦函数的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据正弦函数的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选A． 4．（25-26九年级上·甘肃天水·期末）如图，在中，，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查锐角三角函数的定义及运用，解题的关键是熟练掌握在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．根据锐角三角函数的定义解答即可． 【详解】解：∵， A、 ，∴，故A错误； B、 ，∴，故B错误； C、，∴，故C正确； D、，∴，故D错误． 故选：C． 5．（25-26九年级上·上海·单元复习）在中，，给出下列式子，①；②；③；④；⑤，其中能成立的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，解题的关键是熟记锐角三角函数的定义并能灵活运用． 利用锐角三角函数中正弦、余弦、正切的定义，对每个式子进行推导验证，判断其是否成立． 【详解】解：在中，， 根据锐角三角函数的定义： 正切：； 正弦：； 余弦：， 对式子逐一分析： 因为可得，并非，所以①不成立； 因为，等式两边同乘，可得，所以②成立； 因为，等式两边同乘，得到，所以③成立； 因为，等式两边同乘，有，所以④成立； 因为可得，不是，所以⑤不成立． 综上，②③④成立，能成立的个数有3个． 故选：B． 6．（24-25九年级下·山东日照·开学考试）在中，，所对的边分别为a、b、c，下列等式中不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义，把锐角A的对边a与斜边c的比叫做的正弦，记作．锐角A的邻边b与斜边c的比叫做的余弦，记作．锐角A的对边a与邻边b的比叫做的正切，记作． 根据三角函数的定义逐项判断即可解答． 【详解】解：∵在中，，所对的边分别为a、b、c， ∴，故A选项成立，不符合题意； ，故B选项成立，不符合题意； ，故C选项成立，不符合题意； ，故D选项不成立，符合题意． 故选D． 7．（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，中，，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据余弦和正切的定义计算即可得出结果． 【详解】解：∵中，， ∴，，故A选项正确，符合题意． 题型2 同角三角函数的基本关系（共4小题） 【模型】  互余与平方和模型（ ； ）。 【步骤】 ① 观察已知条件与所求式的结构；② 利用平方和关系或互余关系进行代数式的转化与化简；③ 代入求值。 。【易错】  ① 混淆 与 等易混值；② 乘方运算出错（如 误算为 或 ）。 8．（24-25九年级上·河南商丘·期末）若α是直角三角形的一个锐角，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把代入原式，转换为关于的式子，约分即可．本题考查了同角三角函数关系式，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：把代入原式， 则原式． 故选：C． 9．（2025九年级·全国·专题练习）已知是锐角，，则的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，熟练掌握三角函数的性质是解答本题的关键． 先通过求出的值，再将求出的代入代数式中求值即可． 【详解】解：∵是锐角，且， ∴ ， ， 原式 ． 故答案为：． 10．（24-25八年级上·江西景德镇·期中）为锐角，若，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了锐角三角函数的计算，设，则根据完全平方公式变形即可求解． 【详解】解：设，则 ∵，即 ∴ ∴ ∴ ∴， 即 故答案为：． 11．（24-25八年级下·浙江·阶段检测）已知α为锐角满足． (1)求证：； (2)求的值． 【答案】(1) 证明：如图，在直角三角形中，，设， ， ， ， ， 根据勾股定理可得， ； (2)4 【分析】本题考查了三角函数的概念，同角三角函数的关系，对（2）中式子实施不断降幂是解题的关键． （1）画出图形，利用三角函数定义和勾股定理即可解答； （2）利用三角函数的定义和（1）中结论可得，再对原式进行降幂，即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：根据图形可得， 根据（1）中结论可得，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 题型3 特殊角的三角函数值的计算（共6小题） 【模型】   记忆与代入计算模型（ 、 、 的 、 、 值）。 【步骤】 ① 准确默写特殊角的三角函数值；② 按照有理数混合运算顺序（先乘方，再乘除，后加减）代入计算；③ 将结果化为最简形式。 【易错】  ① 混淆 与 等易混值；② 乘方运算出错（如 误算为 或 ）。 12．（26-27九年级上·山东淄博·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 13．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解： ， ∵， ∴原式 14．（26-27九年级上·吉林·期中）计算：． 【答案】 【分析】分别对二次根式化简、零指数幂运算、特殊角的三角函数值进行计算，然后再合并同类二次根式． 【详解】解： ． 15．（26-27九年级上·重庆·期中）先化简，再求值：，其中 ． 【答案】， 【分析】先根据整式的混合运算以及分式的混合运算法则进行化简，再根据特殊角的三角函数值的混合运算法则求出的值，代入化简后的式子计算即可得出结果． 【详解】解： ， 又， ∴当时，原式． 16．（26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 17．（2026·西藏·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】分别计算负整数指数幂、绝对值、立方根、特殊角的三角函数值，再算加减法即可求解． 【详解】解：原式 ． 提升·进阶突破 题型4 网格与坐标系中的三角函数（共7小题） 【模型】 构造直角三角形模型（在正方形网格或平面直角坐标系中求角的三角函数）。 【步骤】① 借助网格线或作坐标轴的垂线，构造包含目标角的直角三角形；② 利用勾股定理求出所需边长；③ 代入定义式求解。 【易错】① 网格中数错格子数；② 坐标系中求线段长时忘记加绝对值或漏掉负号。 18．（2022·贵州贵阳·模拟预测）如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则等于（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图（见解析），设网格中每个小正方形的边长为1，先得出的长，再计算正弦即可． 【详解】解：设网格中每个小正方形的边长为1， 由图可知，， ∴， ∴． 19．（25-26九年级上·河北张家口·期末）如图，的顶点在正方形网格的格点上，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求一个角的正切值，先理解题意，结合网格特征，在中，，把数值代入计算，即可作答． 【详解】解：如图所示： 结合网格特征，在中，， ∴， 故选：B． 20．（23-24九年级上·广东佛山·阶段检测）如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求一个角的正切值，过点A作交延长线于D，根据正切的定义只需要求出的值即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点A作交延长线于D， 由网格的特点可知， ∴在中，，即， 故选：D． 21．（2026·辽宁铁岭·模拟预测）如图，点，，都在正方形网格的格点上，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长至格点，连接，利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，进而求解． 【详解】解：如图，延长交网格线于点，连接， 设小正方形网格的边长为1. 由图可知，、、在同一直线上，且为长4、宽2的矩形的对角线， ， 又点相对于点，水平距离为1，竖直距离为2， ， ， ， 是直角三角形，且， 在中，． 22．（23-24九年级上·河南洛阳·期末）如图，在每个小方格均为小正方形的网格中，点都在格点上，则的正切值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正切函数的定义，勾股定理及其逆定理，正确理解正切函数的定义和勾股定理及其逆定理是解答本题的关键，先根据勾股定理计算，，的值，再利用勾股定理的逆定理证明，最后根据正切函数的定义，即可得到答案． 【详解】根据勾股定理计算得 ， ， ， ， ， ， 故选A． 23．（24-25九年级上·山东淄博·期中）如图，在由小正方形组成的网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在网格的格点上，连接，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长到点D，连接，根据题意可得，，然后利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 本题考查了解直角三角形，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】如图：延长到点D，连接 由题意得∶， ， ∴ 故选：B． 24．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段的两个端点均在小正方形的顶点上． (1)在图中画出以为底、面积为12的等腰，且点在小正方形的顶点上； (2)在图中画出平行四边形，且点和点均在小正方形的顶点上，．连接，请直接写出的正弦值． 【答案】(1)如图，点即为所求， (2)如图，平行四边形即为所求， 【分析】（1）由题意可得点在线段的垂直平分线上，求出点到边的高为，再结合网格画出图形即可； （2）根据得出在以为锐角的直角三角形中，对边长度为、邻边长度为，结合网格特征以及平行四边形的性质作出平行四边形，先求出的长，再结合正弦的定义计算即可得出结果． 【详解】（1）解：由图可得， ∵为等腰三角形， ∴点在线段的垂直平分线上， 设点到边的高为， ∵等腰的面积为， ∴， ∴， 图略； （2）解：∵， ∴在以为锐角的直角三角形中，对边长度为、邻边长度为， 图略， 由勾股定理可得， ∴． 题型6 解直角三角形（共6小题） 【模型】元素互求模型（已知2个元素，其中至少1条边，求其余3个元素）。 【步骤】 ① 梳理已知条件（边边、边角）；② 选择合适的三角函数或勾股定理；③ 逐步求出未知的边和角。 【易错】  ① 已知两边求角时，选错三角函数导致计算复杂；② 角度计算结果未标明单位（ ）。 25．（26-27八年级上·辽宁大连·阶段检测）如图，在中，，点D在边上，，，，则（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】C 【分析】通过作辅助线（高线），利用等腰三角形底边上的高也是底边上的中线这一性质，构造出直角三角形，求出的长，进而得到的长；最后在中，利用角所对的直角边等于斜边的一半来求解． 【详解】解：如图，过点C作于点E， ∵，，， 根据等腰三角形“三线合一”的性质，点E是的中点， ∴， ∴． 在中， ∵， ∴， ∴， ∴． 26．（26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）如图，为矩形对角线，于点，，，则长为_____． 【答案】 【分析】如图，解，求出，再根据矩形的性质即可求解． 【详解】解：如图， 在中，，，， ∴， ∴， 又∵四边形是矩形， ∴． 27．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在中，点D是边上的一点，且，连接并取的中点E，连接，若，且，则的长为______． 【答案】 【分析】过点B作交的延长线于点F，过点D作垂足为G，先证明，从而可得，进而求出的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出，再在中求出，从而求出，的长，最后在中，利用勾股定理求出，即可解答． 【详解】解：过点B作交的延长线于点F，过点D作垂足为G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 28．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在中，，，，求的长，的值． 【答案】； 【分析】先在中由求出，再利用勾股定理求出，最后根据余弦定义求出的值即可． 【详解】解：在中，，， ∴， ∴， ∴． 29．（26-27九年级上·江苏淮安·阶段检测）如图，在中，是的中线．若，求的长． 【答案】的长为15 【分析】先由，可得的长，再由是的中线，可得的长，最后由勾股定理即可求出的长． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴点是的中点， ∴， ∵在中，， ∴． 30．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，．解这个直角三角形． 【答案】，，. 【分析】利用勾股定理求出的长度，即可求出的正弦，根据的正弦求出的度数，再根据直角三角形的两个锐角互余求出的度数． 【详解】解：在中，，，． ， ， ， ， ， 题型7 仰角、俯角问题（共7小题） 【模型】视线与水平线夹角模型； 【步骤】① 准确画出水平线与铅垂线；② 将仰角、俯角标注在图上；③ 构造直角三角形，利用三角函数列方程求解。 【易错】 ① "同一时刻"条件未用上，误用不同时间的影长；② 镜面反射时漏掉入射角等于反射角这一隐含相似条件；③ 单位不统一导致结果错误。 31．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，飞机在空中处探测到它的正下方地平面上目标，从飞机上看地平面指挥台的俯角为，此时飞机与指挥台的距离为，则此时飞行高度为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线性质得出，在中利用正弦函数定义建立与的关系． 【详解】解：由题意可知飞机水平视线与地面平行， ∴， 在中，，， ∵， ∴． 32．（2026·江苏镇江·中考真题）如图，飞机的飞行高度为，此时从飞机上看地面控制点A的俯角为，飞机到控制点的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质将俯角转化为直角三角形的内角，利用正弦函数的定义列式求解即可． 【详解】解：由题意可知，水平线与地面平行， 等于俯角，即， 在中，，， ， ， ． 33．（26-27九年级上·辽宁·期中）学校计划对旗杆进行维护升级，某综合实践小组受总务处委托，开展“旗杆高度精准测量与应用”项目研究，过程如下： 活动目标 通过合作探究，测量校园内旗杆的高度 活动准备 测角仪、卷尺、直尺、三角尺等作图工具 活动过程 组建合作团队：布置任务，制定方案 方案构思 三角函数法 相似三角形法 利用测角仪测量旗杆高度 利用影子测量旗杆高度 ①在旗杆前平地上的点处，用测角仪测量观察者（竖直站立）看旗杆顶端的仰角；②测量观察者眼睛到地面的竖直高度；③测量点到旗杆底端的水平距离；④重复上述操作，记录测量数据，取平均值．⑤利用平均值，计算旗杆的高度． ①太阳光平行，同学直立于旗杆影子的顶端处，测量该同学的身高和影长及同一时刻旗杆的影长．②多次测量各线段长度，取平均值，计算出旗杆高度．    第一次 第二次 平均值 参考数据 第一次 第二次 平均值 备注 ①图上所有点均在同一平面内；②均与地面垂直； 请选择一种方法，计算出旗杆的高度．（结果精确到） 【答案】 【分析】法一：过点作，证明四边形是矩形，得出，，在中，解直角三角形求出，即可求解； 法二：相似法，证明，根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】法一：三角函数法 解：过点作， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中∵， ∴， ∴， 答：旗杆高度大约． 法二：相似法 解：∵光线平行， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：旗杆高度大约． 34．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在建筑物上，挂着长的宣传条幅．从另一建筑物的顶部处看条幅顶端，仰角为；看条幅底端，俯角为．求两建筑物间的距离．（结果精确到） 【答案】两建筑物间的距离约为 【分析】过点作于点，设，则，，在中，根据锐角三角函数的定义即可得出结论． 【详解】解：过点作于点，则， 设， ∵， ∴在中，， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴，即 ， 解得． 答：两建筑物间的距离约为． 35．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，为了测得电视塔的高度，在D处用高为的测角仪，测得电视塔顶端A的仰角为，再向电视塔方向前进，又测得电视塔顶端A的仰角为．求这个电视塔的高度．（精确到） 【答案】219米 【分析】设，在中表示出，分别在、中利用三角函数表示出米，米，由米，可知米，据此列出关于x的方程求解即可． 【详解】解：如图：设， 在中，米， 在中，米， ∵米， ∴， 解得：， ∴米． 答：这个电视塔的高度约为219米． 36．（23-24九年级上·山东泰安·阶段检测）风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在一处坡角为的坡地新安装了一架风力发电机，如图1．某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图2为测量示意图．已知斜坡长16米，在地面点处测得风力发电机塔杆顶端点的仰角为，利用无人机在点的正上方63米的点处测得点的俯角为，求该风力发电机塔杆的高度．（参考数据：，，） 【答案】该风力发电机塔杆的高度为28米． 【分析】首先通过作辅助线构造直角三角形，将实际问题转化为数学模型；根据垂直关系证明是矩形，得到矩形对边相等；设长为未知数x，分别在和中，利用三角函数推出和的长；在中，根据已知的值，推导出；根据联立方程求出x，得到的值，从而求出． 【详解】解：如图，延长交的延长线于点F，过点B作于点G． 由题意可知，，， ∴． 又∵， ∴四边形是矩形． ∴米，． 在中，，（米）， ∴（米）． 设（米）， 在中，， ∴（米）， 在中，， ∴， ∴， ∴． 观察图形可知，， 代入数值：， 解得． ∴（米）． 答：该风力发电机塔杆的高度为28米． 37．（2026·海南·中考真题）综合与实践 项目主题 探究海边救援下水点问题 生活素材 某学校数学兴趣小组模拟了海上救援活动，探究海边救援下水点，设置了以下情境： 如图所示，在海边沙滩的点处发现海上点处有人落水，救生员从点出发前去营救．设计以下三种营救方案（忽略海浪、风向、洋流等因素影响）： 方案一：救生员从点直接跳入海中，径直游向点； 方案二：救生员从点沿沙滩向正东方向跑到点跳入海中，再径直游向点； 方案三：救生员从点沿沙滩向正东方向跑300米到达点跳入海中，再径直游向点． 已知点在点的北偏东的方向上，在点的北偏东的方向上，点在点的正北方向，救生员沙滩上奔跑的速度都是5米/秒，水中游泳的速度都是2米/秒． 问题解决 根据以上信息，解决下列问题： (1)项目任务一： ， ． (2)项目任务二： 米； 米． (3)项目任务三：三个方案中哪个方案的救生员最先到达点，通过计算说明理由．（参考数据：） 【答案】(1)； (2)；200 (3)方案二的救生员最先到达点． 解：在中，米， 在中，米， 方案一：秒， 方案二：秒， 方案三：秒， ∵， ∴方案二的救生员最先到达点． 【分析】（1）根据方向角的定义求解即可． （2）根据题意可知：米，解求出，解，求出，进而可求出． （3）解直角三角形求出，然后分别计算三个方案中所需的时间，比较时间即可得出答案． 【详解】（1）解：，． （2）解：根据题意可知：米， 由（1）知， 在中，， 即， 解得：米， 在中，， 即， 解得：米， ∴米． （3）略 题型8 坡度（坡比）与坡角问题（共6小题） 【模型】坡面直角三角形模型（坡度 ）。 【步骤】 ① 识别坡面的垂直高度 与水平宽度 ；② 将坡度转化为正切值；③ 结合勾股定理或三角函数求坡面长度或高度。 【易错】  ① 将坡度误认为是坡角（ 是比值， 是角度）；② 混淆垂直高度与斜坡长度。 38．（2026九年级上·山东·专题练习）水坝是人类治水的重要工程，类型多样．图1为某重力坝模型，图2为其横断面示意图，已知背水坡的坡度i为，坝底的水平宽度为，则背水坡的铅直高度为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据坡度的定义可得，据此可得答案． 【详解】解：，坡度i为， ， ， ． 39．（26-27九年级上·江苏淮安·阶段检测）如图，无障碍坡道的坡度为，小丽在处乘坐直升电梯竖直升高了到达点处．若小丽从点沿这条坡道步行，则需前进_________到达点处． 【答案】 【分析】先根据坡度定义求得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意，，，， ∴， ∴． 40．（25-26九年级上·四川眉山·阶段检测）如图，为方便行人过天桥，市政府在米高的天桥两端修建斜道，设计斜坡的坡度，则斜坡的长度是_________． 【答案】米 【分析】根据坡度定义求出水平宽度，再利用勾股定理计算斜边的长． 【详解】解：由题意可知，在中，，． 斜坡的坡度， ， 在中，由勾股定理得： ， 故斜坡的长度是米． 41．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，一水库大坝的横断面为梯形，坝顶宽为，坝高为，斜坡的坡度，斜坡的坡度． (1)求斜坡与坝底的长度（精确到）； (2)求斜坡的坡角α（精确到）． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）过点B作于点E，过点C作于点F，根据坡度比分别求出、的长，然后求出，根据勾股定理求出； （2）根据斜坡的坡度，得出，再求出结果即可． 【详解】（1）解：过点B作于点E，过点C作于点F，如图所示： 则，， 根据题意得：， ∵梯形中，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵斜坡的坡度，斜坡的坡度， ∴， ， ∴， 在中，根据勾股定理得： ； （2）解：∵斜坡的坡度， ∴， ∴． 42．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，某公园为了加强安全管理，决定将园内原滑梯改建为，其坡度由改为，已知原滑梯的长为，点D、B、C在同一水平面上，改善后的滑梯会加长多少米？（精确到） 【答案】改善后滑梯会加长． 【分析】根据坡度及勾股定理求出，进而计算即可． 【详解】解：在中，，， ∴ 解得：（负值舍去）， 在中，， 解得：， ∴． 即改善后滑梯会加长． 43．（2026·江苏宿迁·中考真题）如图，小亮从A地出发去B地，先沿着坡角为的坡道向前走了100米到C地，再沿着水平方向走了一段距离到E地，最后沿着坡角为的坡道向前走了150米到B地，求小亮沿垂直方向上升了多少米？（图中所有点均在同一平面内，，．参考数据：，，，，，） 【答案】小亮沿垂直方向上升了米 【分析】过点作，垂足为，过点作，垂足为，分别在直角三角形和直角三角形中，利用正弦分别求出和，于是可求出沿垂直方向上升的米数． 【详解】解：如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为， 由题意得四边形是矩形， ， 在直角三角形和直角三角形中， 、， 、， 、， （米）． 答：小亮沿垂直方向上升了米． 题型9 方位角问题（共3小题） 【模型】 方位角转化模型（北偏东/西、南偏东/西）。 【步骤】① 准确画出水平线与铅垂线；② 将仰角、俯角标注在图上；③ 构造直角三角形，利用三角函数列方程求解。 【易错】 ① 俯角是从水平线向下看，而非从铅垂线算起；② 方位角基准方向找错（如将“北偏东”误画为“东偏北”）。 44．（26-27九年级上·重庆·阶段检测）中秋乐游，明月湖畔，月圆人团圆．中秋佳节将至，明月湖公园设置了如图所示、、、四个打卡点，四个打卡点位于同一平面内，在的正东方向，在的正北方向，在的北偏东方向且在的北偏西方向，千米，千米． (1)求的长度；（结果保留根号） (2)小中和小国分别从、打卡点同时出发，小中以的速度从打卡点沿方向步行至打卡点，小国以的速度从打卡点沿方向跑步至打卡点，请通过计算说明，小中出发多少千米后恰好与小国相距千米？(结果保留小数点后两位，参考数据：，) 【答案】(1)千米 (2)千米 【分析】（）过作于，过作于，分别求出，进而即可求解； （）设出发小时后，小中到达点，小国到达点，他们之间的距离千米，则千米，千米， 连接，过点作于点，分别用含的代数式表示出，进而求出的长，再利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：如图，过作于，过作于， ∵， ∴四边形是矩形， ∴千米，， 根据题意，得，， ∵千米， ∴千米， ∴千米，（千米）， 在中，∵， ∴千米， ∴千米， 答：的长度为千米； （2）解：如图，设出发小时后，小中到达点，小国到达点，他们之间的距离千米，则千米，千米， 连接，过点作于点， 由（）可得千米， ∴千米， ∴千米，千米， ∴千米， 在中，∵， ∴， 整理，得， 解得，， 当时，，不符合题意，舍去， ∴， ∴（千米） 答：小中出发千米后恰好与小国相距千米． 45．（26-27九年级上·全国·课后作业）海船以的速度向正北方向航行，在处看灯塔在海船的北偏东处，半小时后航行到处，发现此时灯塔与海船的距离最短．画出相应的图形，并计算灯塔到处的距离．（精确到） 【答案】作图： ； 灯塔到处的距离约为． 【分析】点到直线最短得，结合方位角构造直角三角形，利用三角函数求解的长度． 【详解】解：海船速度为，航行时间为， ． 点到直线的距离中垂线段最短，航行至处时灯塔与海船距离最短， ，为直角三角形，． 在处看灯塔在北偏东处， ． 在中，， ． 代入，， 得． 答：灯塔到处的距离约为． 46．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，一辆小汽车在某城市街道上由西向东行驶，距离路边处的“车速检测仪O”测得该车从北偏西的点A行驶到北偏西的点B，所用时间为，求该车从点A到点B的平均速度． 【答案】 【分析】过点作交线段的延长线于点，求出，，根据得到，根据速度等于路程除以时间即可得到该车从点A到点B的平均速度． 【详解】解：过点作交线段的延长线于点， 由题意可得，，， 在中，， ， ∴ 在中，， ， ∴ ∴， ∴该车从点A到点B的平均速度为． 拔高·压轴破难 题型8 构造直角三角形解斜三角形（共5小题） 【模型】作高转化模型（将非直角三角形转化为两个直角三角形）。 【步骤】 ① 从非特殊角的顶点向对边作垂线（作高）；② 利用已知角和边，在两个直角三角形中分别求解；③ 将求得的线段进行相加或相减得出最终结果。 【易错】   ① 作高后破坏了原有的特殊角（如把 角一分为二）；② 垂足落在边的延长线上时，线段关系误用加法。。 47．（2024·广东汕头·一模）如图，在中，，求和的长． 【答案】， 【分析】本题考查了解直角三角形．作于点D，证明为等腰直角三角形，求得，在中利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理即可求解． 【详解】解：作于点D， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上，，． 48．（2026·江苏南通·中考真题）综合与探究： 如图1，在中，，，，点，分别在边，上，且．连接，交于点． (1)求线段的最小值． (2)如图2，．分别作线段，的垂直平分线，两直线交于点，连接，． ①求证：； ②分别记，的面积为，，求的值． 【答案】(1) (2)①证明：如图，线段，的垂直平分线分别为、，连接、， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ② 【分析】（1）根据平行四边形性质结合已知证明，可得是的中点，是定点，由此可知线段的最小值是点到的距离，过点作，可得，即可得出结论． （2）①根据已知可以计算出，，由此得出，再根据垂直平分线性质可得，，由此证明，即可得出； ②根据，结合8字型模型可以证明，得出是等边三角形，利用解三角形求出，的面积即可解题． 【详解】（1）解：∵在中， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， 过点作，如图1 ∴， ∵当时，即点与点重合时，线段取最小值， ∴线段的最小值为． （2）①略， ②解：如图，设与交于点，过点作， ∵，， ∴的面积为， ， ， ∵，， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴的面积， ∴ 【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定、解三角形等知识，综合性强，属于中考压轴题． （1）解题关键：利用平行四边形性质和已知条件（）证明，得出O为对角线的中点（），从而确定为定点．线段的最小值即为定点O到直线的最短距离——过O作的垂线段，利用含的直角三角形求解． （2）①解题关键：由已知求出；利用线段垂直平分线的性质（垂直平分线上的点到线段两端点距离相等）得、，再通过证明，进而得出． （2）②解题关键：结合①中结论和“8”字型模型，证明为等边三角形；再利用解三角形求，利用面积公式分别求出（面积）和（平行四边形面积），最终求解问题． 49．（2024·湖南邵阳·一模）【理解概念】 定义：如果三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做“准直角三角形”． (1)已知△ABC是“准直角三角形”，且． ①若，则______； ②若，则______； 【巩固新知】 (2)如图①，在中，，点D在边上，若是“准直角三角形”，求的长； 【解决问题】 (3)如图②，在四边形中，，且是“准直角三角形”，求的面积． 【答案】(1)①15；②10或25 (2)或 (3)的面积为48或24 【分析】（1）①根据三角形内角和定理求解即可； ②根据三角形内角和定理求解即可； （2）根据题意可分为①当时，过点D作于H，结合勾股定理求解；②，结合相似三角形的判定和性质求解即可； （3）过点C作于F，，交的延长线于E，设， 根据和可得，即可证明，可得，进而分情况讨论求解：当时和当． 【详解】（1）①当时，则， ∴（不合题意舍去）， 当，则， ∵， ∴， ∴， 综上所述：， 故答案为：15； ②当时，则， ∴， 当，则， ∵， ∴， ∴， 综上所述：或， 故答案为：10或25； （2）当时，如图①，过点D作于H， 在中，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述：或； （3）如图②，过点C作于F，，交的延长线于E， 设， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， 在和中， ， ∴， ∴， 当时， 又∵， ∴， 由（2）可知： ， 设，则， ∴， ∴， ∴， 当， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴ ， ∴， ∴， 综上所述：的面积为48或24． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理和三角形内角和定理，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 50．（26-27九年级上·重庆·阶段检测）中，，，D为平面中一点，连接，． (1)如图1，A，D重合时，若，求的面积； (2)如图2，D在外时，E为右侧一点，，，F为中点，连接，，求证：； (3)如图3，D在内部时，连接，，若，，当取得最大值时，直接写出的长． 【答案】(1)9 (2)证明：如图，延长到点H，使得，连接，，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴， 设，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵ ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． (3) 【分析】（1）过点B作交于点G，利用解含30度的直角三角形求出的高，从而利用三角形面积公式求出结果； （2）延长到点H，使得，连接，，，利用倍长中线模型证明四边形是平行四边形，再通过导角证得，最后利用等腰三角形的判定与性质和全等三角形的性质即可证得结论； （3）过点C作直线l，使得直线l与的夹角为，过点D作交直线l于点M，利用正弦的定义得出，再通过三角形内角和定理与已知条件得出点A，D，M三点共线，过点B作交于点N，证明出，当，即时，有最大值为6，此时点D与点N重合，由勾股定理列出方程求出未知数，从而求出最终结果． 【详解】（1）解：如图，过点B作交于点G， ∵，，A，D重合，， ∴， 在中，， ∵， ∴． （2）略 （3）解：如图，过点C作直线l，使得直线l与的夹角为，过点D作交直线l于点M， 在中，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴点A，D，M三点共线， ∴， 过点B作交于点N， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，点D在上， ∴当，即时，有最大值为6， 如图，此时点D与点N重合， 设，则， ∴， ∴， 解得：， ∴． 51．（25-26九年级下·河北衡水·阶段检测）综合与实践 【情境】已知在平行四边形中，点E为边的中点，连接． 【操作】如图1，已知四边形与四边形关于对称，连接． (1)=_______ (2)判断和的数量关系，并说明理由； (3)【探究】如图2，平行四边形中，，且，与 关于对称，与关于对称． ①结合（2）的结论，在图2的基础上用尺规作图确定点P的位置（保留作图痕迹，不写作法）； ②当以点A、B、P为顶点的三角形的某一个内角的度数为时，直接写出的长． 【答案】(1) (2)，理由如下： 由（1）可知：， ∴， ∵平行四边形， ∴， ∴， ∵四边形与四边形关于对称， ∴， ∴， 即； (3)①如图，点P即为所求； ②或 【分析】（1）延长交于点，折叠得到垂直平分，进而得到，得到为的中位线，进而得到，得到，即可得出结论； （2）根据平行线的性质，得到，折叠得到，即可得出结论； （3）①先过点B作直线的垂线，再截取即可，根据线段垂直平分线的性质即可得到； ②分和，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：延长交于点， ∵四边形与四边形关于对称， ∴垂直平分， ∴， ∵点E为边的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴； （2）略 （3）①略 ②如图，连接， ∵平行四边形中，， ∴平行四边形是矩形， ∴， 由（1）（2）可知：； 当时，则：， 在中，，， ∴， ∵点E为边的中点， ∴； 当时，则：， 在中， ，， ∴， ∵点E为边的中点， ∴； 综上：的长为或． 题型9 解直角三角形的综合实际应用（共7小题） 【模型】复杂情境建模模型（如测量不可达物体高度、航海追击问题）。 【步骤】 ① 将复杂实际问题抽象为包含两个或多个直角三角形的几何图；② 寻找公共边（如两个直角三角形的公共直角边）作为桥梁；③ 设公共边为未知数，分别列方程联立求解。 【易错】 ① 找不到两个直角三角形之间的联系（公共边）；② 结果未按要求进行近似处理（如保留整数或精确到0.1）。 52．（23-24九年级上·山东泰安·阶段检测）如图，海上观察哨所位于观察哨所正北方向，距离为海里．在某时刻，哨所与哨所同时发现一走私船，其位置位于哨所北偏东的方向上，位于哨所南偏东的方向上．若观察哨所发现走私船从处以海里／小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东的方向前去拦截，则缉私艇的速度为______海里／小时时，恰好在处成功拦截．（结果保留根号）（参考数据：，，，） 【答案】 【分析】过点作于点，根据题意可得、、三点共线，由三角形的内角和定理可得，再根据三角函数求出，进而利用三角函数求出、，再求出，根据勾股定理求出，利用线段和差求出，然后求出走私船从到所用时间，最后根据速度路程时间，即可求解． 【详解】解：过点作于点， 由题意得，，，海里，方向为正东，方向为正北， ，， 、、三点共线， 海里， 海里，海里， 海里， 海里，海里， 走私船从到所用时间为小时，缉私艇的速度为海里／小时． 53．（26-27九年级上·重庆·阶段检测）某吹风机外观如图1，主机和手柄均为圆柱形状（尺寸见标注），主机前端是出风口，小明为吹风机制作收纳架如图2，该架子的置物平面α、衔接平面β、支撑曲面γ是固定结构，底座θ与曲面γ的连接处有转轴，放置吹风机时，出风口卡在平面α的圆孔，手柄紧靠在曲面上（与相切）．其主视图中（如图3），曲面γ呈半圆形状，为直径，直线恰好经过圆心O，且．当吹风机卡在第一个圆孔时，主机顶点A与置物面顶点P重合，D落在中点处，，，若，则吹风机最高点B到底座的距离为________．为解决壁柜内部高度不足的问题，将吹风机移至第二个圆孔，手柄仍然紧靠曲面，此时点D与Q重合（如图4），再把收纳架绕N点逆时针旋转一定角度，使得顶点F恰好落在直线上．移动后，点B到底座的距离为________． 【答案】 29.4 / 【分析】①连接，过点B作于点K，延长交于点O，过点O作，过点A作，过点O作，构造直角三角形，解直角三角形求出吹风机最高点B到底座的距离； ②过点A作交延长线于点W，过点B作交延长线于点R，延长交于点L，经过圆心O，过点F作交延长线于点S，构造直角三角形，利用解直角三角形，矩形的性质，相似三角形的判定与性质及等腰直角三角形的性质求出吹风机最高点B到底座的距离． 【详解】①解：如下图所示，连接，过点B作于点K，延长交于点O，过点O作，过点A作，过点O作， 则四边形是矩形， ， 由题意可知，，，， ， ， ， ， 点D是的中点， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， 过点M作， 则， 设，则， ， ， 解得：（负值舍去）， ， ， ， ， ， 解得：（负值舍去）， ， ∴吹风机最高点B到底座的距离为； ②解：如图，过点A作交延长线于点W，过点B作交延长线于点R，延长交于点L，经过圆心O，过点F作交延长线于点S， ∴四边形是矩形， ∴，，， 过点M作交于点X，过点N作交于点Y， ∵，， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得：（负值舍去）， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 解得：， ∴，， ∴是等腰直角三角形，即， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴吹风机最高点B到底座的距离为． 54．（26-27九年级上·重庆沙坪坝·开学考试）如图是一款手推婴儿车，图是该款婴儿车的车架示意图，，为半径均为的圆形轮胎的圆心，后轮支架杆与地面所成的角为，主支架杆与所成的角度为，推手支架的支点恰好为的中点．已知．（参考数据：，，，．） (1)求主支架杆点距地面的高度；（结果精确到） (2)手推婴儿车的车把高度合适范围一般在，即握把距地面的高度范围是．若推手支架的长为，，则此手推婴儿车的车把是否符合要求，请说明理由． 【答案】(1) (2)不符合要求，理由如下： 过点作交于点，过点作于点， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∵， ∴． 在中，∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴握把距地面的高度为：， ∵， ∴不符合要求． 【分析】（1）连接， 利用勾股定理求得的长，再推出，即可求解； （2）过点作交于点，过点作于点，求得，解直角三角形即可求解． 【详解】（1）解：连接， ∵，， ∴，， 由题意得， ∴， 即， ∵的半径为， ∴主支架杆点距地面的高度为：； （2）略 55．（2026·江苏徐州·中考真题）汉画像石为徐州“汉代三绝”之一，被誉为汉代社会的石上史诗．小桐到徐州汉画像石艺术馆参观，发现一块刻有“孔子见老子”等历史故事的汉画像石，其画幅呈五边形，记作（如图）．已知，，，，，求画幅的面积（精确到）．（参考数据：，，，，） 【答案】画幅的面积约为 【分析】连接，过点A作于F，则，先证明四边形是矩形，得到， ，再求得，，然后利用锐角三角函数和线段的和与差求得，进而可求解． 【详解】解：连接，过点A作于F，则， ∵， ∴， ∴，又， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴ ∴画幅的面积约为． 56．（2026·黑龙江大庆·中考真题）为了保护视力，小萌购买了可调节书架，将书架放置在水平桌面上如图1，这种书架的侧面结构如图2，、可分别绕点B、C转动，经测量知C是的中点，且．当、转动到，时，求点D到的距离．（结果精确到；参考数据：，） 【答案】 【分析】过C作于F，过D作于G，于H，根据矩形的判定与性质得出，在中，解直角三角形求出，在中，解直角三角形求出，然后根据线段的和差关系求出的长度，即可求解． 【详解】解：过C作于F，过D作于G，于H， 则四边形是矩形， ∴， 在中，，， ∴，， ∵， ∴， ∵C是的中点，， ∴， 在中，， ∴， 即点D到的距离为． 57．（25-26九年级下·四川达州·期中）甘州木塔于隋文帝开皇二年（公元582年）重建，至今已有一千多年历史，其建筑技巧集木工、铁工、画师技法于一体，制作精巧，是甘州八景之一（如图①．某数学兴趣小组开展“测量甘州木塔高度”的实践活动，过程如下： 方案设计：如图②，木塔垂直于地面，利用测角仪在木塔同侧的测量点B，C两处分别测得木塔顶端A的仰角，的度数（O，C，B在同一条直线上），再测得B，C两点之间的距离． 数据收集：测角仪，测得． 问题解决：求甘州木塔的高度（结果精确到）． 参考数据：． 根据上述方案及数据，请你完成求解过程． 【答案】 【分析】由题意可知，四边形都是矩形可得．在中解直角三角形可得，在中解直角三角形可得，再根据列方程求得，进而求得的长即可． 【详解】解：由题意可知，四边形都是矩形． ∴． 在中， ∵， ∴． ∵在中，， ∴， ∵， ∴，解得：． ∴． 答：甘州木塔的高度约为． 58．（2022·江苏南京·模拟预测）如图①，、是两座垂直于同一水平地面且高度不同的铁塔．小明和小丽为了测量两座铁塔的高度，从地面上的点E处测得铁塔顶端A的仰角为，铁塔顶端C的仰角为，沿着向前走20米到达点F处，测得铁塔顶端A的仰角为．已知，点E、B、D构成的中，． (1)图②是图①中的一部分，求铁塔的高度； (2)小明说，在点E处只要再测量一个角，通过计算即可求出铁塔的高度，那么可以测量的角是 ，若将这个角记为α，则铁塔的高度是 ；（用含的式子表示） (3)小丽说，除了在点E处测量角的度数外，还可以在点F处再测量一条线段的长度，通过计算也可求出铁塔的高度，那么可以测量的线段是 ．（请写出两个不同的答案，可用文字描述）（参考数据：，，，，，，，，） 【答案】(1)米 (2)， (3)或点F到的距离 【分析】（1）解直角三角形表示出，，然后根据求解即可； （2）可以测量的角是，求出，然后解直角三角形表示出，最后在中，由正切可求； （3）测得长度或点F到的距离，利用解直角三角形和勾股定理分别求解即可． 【详解】（1）解：在中，，， ∴，即， 在中，，， ∴，即， ∵， ∴，即， ∴米； （2）解：可以测量的角是， ∵米； ∴（米）， 在中，，， ∴，即， 在中，，， ∴， ∴； （3）解：在点F处再测量长度或F到的距离，通过计算也可求出铁塔的高度， ①测得，如图， 在中，，（米）， ∴利用勾股定理可得，， 在中，米， ∴利用勾股定理可得，， ∴在中，； ②测得F到的距离为n，如图，过点F作于点G，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在中，． 题型10 动态几何与三角函数最值（共5小题） 【模型】动点轨迹与函数极值模型。 【步骤】 ① 用含动点变量（如时间 或线段 ）的代数式表示相关边长；② 将目标线段或面积表示为变量的三角函数或二次函数；③ 利用函数的增减性或顶点公式求最值。 【易错】 ① 动点运动范围未考虑全面，导致最值在边界取到而非顶点；② 变量代换时三角函数关系式列错。 58．（26-27九年级上·湖南·阶段检测）如图1，已知边长为的菱形中，记（）．点，分别是边，上的点，始终满足，连接． (1)若，的形状是_________三角形； (2)如图2，当，时，记，，求与之间的函数关系式； (3)在第（1）问的基础上，如图3，连接交于，交于，是边上一动点，当时，记的最小值为，的最小值为，求的值． 【答案】(1)等边 (2) (3) 【分析】（1）连接，证明和都是等边三角形，得出，，再证明，得出，结合，即可得是等边三角形； （2）延长至点，使，连接，证明，再证明，得出，结合，，表示出，，在中，利用勾股定理列出等式，化简整理即可解答． （3）过点作射线，在上截取，得出点即为点关于的对称点，即可得．在中，解直角三角形求出，即可得．过点作，在中，根据，得出，则，当且仅当时，取最小值．此时，四边形为矩形，求出，即可解答． 【详解】（1）解：连接， 当时，菱形中，， ∴，且平分， ∴， 又菱形中，， ∴和都是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）解：延长至点，使，连接． ∵菱形中，， ∴菱形是正方形， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴，，， 在中，， 化简得：． （3）解：过点作射线，如图所示， 则， 在上截取． ∵在菱形中，，， ∴，且平分， ∴，， ∴， ∴点即为点关于的对称点， ∴． ∵点即为点关于的对称点， ∴， ∴， 在中，，， ∴，即． 过点作，如图． 在中，∵， ∴， ∴， ∴当且仅当时，取最小值． ∵，， ∴此时，四边形为矩形， ∴， ∴， ∴． 59．（2026·广东广州·中考真题）如图，在四边形中，，，． (1)求的值； (2)点为边上异于点的动点，关于对称的图形为． ①当点落在四边形内部（含边界）时，求长的取值范围； ②关于对称的图形为，连接，．当时，求的周长． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）过点作于点，可得四边形是矩形，再由矩形的性质以及正弦的定义求解即可； （2）①先求出，然后找出两个临界位置，即点落在边和上，再求出此时的长即可； ②连接，延长交于点，过点作于点，连接，先解直角三角形求解，然后利用勾股定理求解，即可求解，再证明即可求解，即可求解的周长． 【详解】（1）解：过点作于点，则， ∵ ∴， ∴四边形是矩形， ∵ ∴， ∴在中，； （2）解：由对称可得，，，， 由（1）知 ∴， ∴， 当点落在边上时，则 ∴， ∴此时点P与点E重合， ∴, 当点落在边上时， 设，则 ∵， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ 解得， ∴此时 ∴当点落在四边形内部（含边界）时，长的取值范围为； ②连接，延长交于点，过点作于点，连接， 由对称可得，， ∴， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵ ∴， ∴，， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴的周长． 60．（2026·山东青岛·中考真题）如图，在矩形中，，．动点从点开始沿对角线以的速度运动，动点从点开始沿边以的速度运动．与相交于点，是的中线，连接．点和点同时出发．设动点的运动时间为（）． 解答下列问题： (1)当点在线段的垂直平分线上时，求的值； (2)设四边形的面积为，求与之间的函数关系式； (3)是否存在某一时刻，使的值最小？若存在，求出此时的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，此时的值为 【分析】（1）根据点在线段的垂直平分线上，得到，结合矩形的性质可得，得出，根据点的运动速度即可求解； （2）根据矩形的性质，结合勾股定理及正弦的定义求得，，．当动点，运动时，，，，．过点作于点，作于点，通过解直角三角形求得，，根据，结合三角形的面积公式即可求解； （3）证明，得到，因此，进而可推出，根据点是的中点，得到，从而，即当最小时，取得最小值．作点关于的对称点，连接，，，证明点，，在同一直线上，根据勾股定理求出，再由即可求解． 【详解】（1）解：∵点在线段的垂直平分线上， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，． 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵动点从点开始沿边以的速度运动， ∴， ∴，解得． （2）解：∵在矩形中，，，， ∴在中，， ， 在中，． 当动点，运动时，，， ∴，． 过点作于点，作于点， ∴在中，， 在中，， ∴ ， ∴与之间的函数关系式为． （3）解：由（2）有，，，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． ∵是的中线， ∴， ∴， ∴当最小时，取得最小值． 作点关于的对称点，连接，，， ∴，，， ∴， ∴点，，在同一直线上， ∴， ∴在中，． ∵， ∴的最小值为， 此时，的最小值为， 即存在某一时刻，使的值最小，此时的值为． 61．（2026·河北·中考真题）如图1和图2，在中，，，正方形的顶点，，分别在的三边，，上．当点从点出发沿向点移动时，点，随之分别在，上移动（正方形的大小发生变化），当点与点重合时，移动停止． (1)____________． (2)如图1，当时，求证：． (3)①如图2，当时，求的长； ②当时，直接写出正方形的边长． (4)在移动过程中，每当点移动1个单位长度时，点均移动d个单位长度，直接写出d的值． 【答案】(1) (2)证明：∵四边形是正方形， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴； (3)①；② (4) 【分析】（1）过点作于点，根据等腰三角形的性质以及勾股定理求解，再由正切的定义求解； （2）证明即可； （3）①过点作于点，过点作于点，在中，由，设，同理可设，证明即可求解； ②构造同样辅助线，如上图，由，可得方程组，解方程组求解，再由勾股定理求解； （4）先同样构造（3）问辅助线，再过点作交的延长线于点， 同理可证明，则，证明当点运动时，点到的距离不变，为，当点与点重合时，记作点，作出初始位置时的正方形，则点在同一直线上，由题意设，可得四边形是矩形，则，，那么，，解得，再由求解即可． 【详解】（1）解：过点作于点， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）略 （3）解：①过点作于点，过点作于点，则， ∴在中，，设， ∵， ∴，则设 ∵四边形是正方形， ∴ ∴ ∴ ∴ 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴； ②构造同样辅助线，如上图， ∵， ∴可得方程组， 解得， ∴， ∴； （4）解：先同样构造（3）问辅助线，再过点作交的延长线于点， 同理可证明 ∴， 由（3）可知, ∴ ∴， ∴当点运动时，点到的距离不变，为， 当点与点重合时，记作点，作出初始位置时的正方形，则点在同一直线上， 由题意设， ∵四边形是正方形， ∴， ∵ ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， 解得 ∴，， ∴ ∴d的值为． 62．（23-24九年级上·湖南邵阳·期中）已知，平行四边形中，一动点在边上，以每秒的速度从点向点运动． (1)如图1，运动过程中，若平分，，且满足． ①求的度数． ②连接并延长，与的延长线交于点，连接，如图2，求的面积． (2)如图3，另一动点在边上，以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止运动（同时点也停止），若，则为何值时，以，，，四点组成的四边形是平行四边形． 【答案】(1)①；② (2)为或或或时，以，，，四点组成的四边形是平行四边形 【分析】（1）证明是等边三角形即可． （2）由四边形是平行四边形，推出，，推出，，推出，可得由此即可解决问题． （3）分四种情形列出方程解方程即可． 【详解】（1）解：①四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ∴， ． ②如图2中，过点作于点 ∵四边形是平行四边形，， ∴ 是等边三角形，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ． （2），， 当时，四边形是平行四边形， 或或或， 解得或或或， 为或或或时，以，，，四点组成的四边形是平行四边形． $专题02 锐角三角函数 基础·固本强基 题型1 锐角的正弦、余弦与正切概念 题型2 同角三角函数的基本关系 题型3 特殊角的三角函数值的计算（重点） 提升·进阶突破 题型5 网格与坐标系中的三角函数 题型6 解直角三角形（重点） 题型7 仰角、俯角问题（重点） 题型8 坡度（坡比）与坡角问题 题型9 方位角问题 拔高·压轴破难 题型10 构造直角三角形解斜三角形（难点） 题型11  解直角三角形的综合实际应用（难点） 题型12 动态几何与三角函数最值（重难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 锐角的正弦、余弦与正切概念（共7小题） 【模型】直角三角形边角比模型（在 中， ， ， ， ）。 【步骤】 ① 明确直角三角形及直角位置；② 找准目标锐角，分清对边、邻边与斜边；③ 代入定义式写出比值。 【易错】 ① 找错对边与邻边（尤其是斜放或翻折后的直角三角形）；② 忘记前提条件“必须在直角三角形中”。 1．（25-26九年级上·湖南郴州·阶段检测）如图是桂新高速某一隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B，AD垂直地面，垂足为点D，BC⊥AD，垂足为点C．设∠ABC＝，下列关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级下·山西·期末）在中，，现把这个三角形的三边都扩大为原来的倍，则的正弦值（   ） A．扩大为原来的3倍 B．缩小为原来的 C．不变 D．不能确定 3．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，已知，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·甘肃天水·期末）如图，在中，，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·上海·单元复习）在中，，给出下列式子，①；②；③；④；⑤，其中能成立的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6．（24-25九年级下·山东日照·开学考试）在中，，所对的边分别为a、b、c，下列等式中不成立的是（   ） A． B． C． D． 7．（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，中，，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 题型2 同角三角函数的基本关系（共4小题） 【模型】  互余与平方和模型（ ； ）。 【步骤】 ① 观察已知条件与所求式的结构；② 利用平方和关系或互余关系进行代数式的转化与化简；③ 代入求值。 。【易错】  ① 混淆 与 等易混值；② 乘方运算出错（如 误算为 或 ）。 8．（24-25九年级上·河南商丘·期末）若α是直角三角形的一个锐角，，则（　　） A． B． C． D． 9．（2025九年级·全国·专题练习）已知是锐角，，则的值为______． 10．（24-25八年级上·江西景德镇·期中）为锐角，若，则的值为________． 11．（24-25八年级下·浙江·阶段检测）已知α为锐角满足． (1)求证：； (2)求的值． 题型3 特殊角的三角函数值的计算（共6小题） 【模型】   记忆与代入计算模型（ 、 、 的 、 、 值）。 【步骤】 ① 准确默写特殊角的三角函数值；② 按照有理数混合运算顺序（先乘方，再乘除，后加减）代入计算；③ 将结果化为最简形式。 【易错】  ① 混淆 与 等易混值；② 乘方运算出错（如 误算为 或 ）。 12．（26-27九年级上·山东淄博·阶段检测）计算： (1)； (2)． 13．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）先化简，再求值：，其中． 14．（26-27九年级上·吉林·期中）计算：． 15．（26-27九年级上·重庆·期中）先化简，再求值：，其中 ． 16．（26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）计算： (1) (2) 17．（2026·西藏·中考真题）计算：． 提升·进阶突破 题型4 网格与坐标系中的三角函数（共7小题） 【模型】 构造直角三角形模型（在正方形网格或平面直角坐标系中求角的三角函数）。 【步骤】① 借助网格线或作坐标轴的垂线，构造包含目标角的直角三角形；② 利用勾股定理求出所需边长；③ 代入定义式求解。 【易错】① 网格中数错格子数；② 坐标系中求线段长时忘记加绝对值或漏掉负号。 18．（2022·贵州贵阳·模拟预测）如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则等于（      ） A． B． C． D． 19．（25-26九年级上·河北张家口·期末）如图，的顶点在正方形网格的格点上，则的值为（   ） A． B． C． D． 20．（23-24九年级上·广东佛山·阶段检测）如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则等于（    ） A． B． C． D． 21．（2026·辽宁铁岭·模拟预测）如图，点，，都在正方形网格的格点上，则的值是（     ） A． B． C． D． 22．（23-24九年级上·河南洛阳·期末）如图，在每个小方格均为小正方形的网格中，点都在格点上，则的正切值是（    ）    A． B． C． D． 23．（24-25九年级上·山东淄博·期中）如图，在由小正方形组成的网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在网格的格点上，连接，则等于（    ） A． B． C． D． 24．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段的两个端点均在小正方形的顶点上． (1)在图中画出以为底、面积为12的等腰，且点在小正方形的顶点上； (2)在图中画出平行四边形，且点和点均在小正方形的顶点上，．连接，请直接写出的正弦值． 题型6 解直角三角形（共6小题） 【模型】元素互求模型（已知2个元素，其中至少1条边，求其余3个元素）。 【步骤】 ① 梳理已知条件（边边、边角）；② 选择合适的三角函数或勾股定理；③ 逐步求出未知的边和角。 【易错】  ① 已知两边求角时，选错三角函数导致计算复杂；② 角度计算结果未标明单位（ ）。 25．（26-27八年级上·辽宁大连·阶段检测）如图，在中，，点D在边上，，，，则（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 26．（26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）如图，为矩形对角线，于点，，，则长为_____． 27．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在中，点D是边上的一点，且，连接并取的中点E，连接，若，且，则的长为______． 28．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在中，，，，求的长，的值． 29．（26-27九年级上·江苏淮安·阶段检测）如图，在中，是的中线．若，求的长． 30．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，．解这个直角三角形． 题型7 仰角、俯角问题（共7小题） 【模型】视线与水平线夹角模型； 【步骤】① 准确画出水平线与铅垂线；② 将仰角、俯角标注在图上；③ 构造直角三角形，利用三角函数列方程求解。 【易错】 ① "同一时刻"条件未用上，误用不同时间的影长；② 镜面反射时漏掉入射角等于反射角这一隐含相似条件；③ 单位不统一导致结果错误。 31．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，飞机在空中处探测到它的正下方地平面上目标，从飞机上看地平面指挥台的俯角为，此时飞机与指挥台的距离为，则此时飞行高度为（     ） A． B． C． D． 32．（2026·江苏镇江·中考真题）如图，飞机的飞行高度为，此时从飞机上看地面控制点A的俯角为，飞机到控制点的距离为（     ） A． B． C． D． 33．（26-27九年级上·辽宁·期中）学校计划对旗杆进行维护升级，某综合实践小组受总务处委托，开展“旗杆高度精准测量与应用”项目研究，过程如下： 活动目标 通过合作探究，测量校园内旗杆的高度 活动准备 测角仪、卷尺、直尺、三角尺等作图工具 活动过程 组建合作团队：布置任务，制定方案 方案构思 三角函数法 相似三角形法 利用测角仪测量旗杆高度 利用影子测量旗杆高度 ①在旗杆前平地上的点处，用测角仪测量观察者（竖直站立）看旗杆顶端的仰角；②测量观察者眼睛到地面的竖直高度；③测量点到旗杆底端的水平距离；④重复上述操作，记录测量数据，取平均值．⑤利用平均值，计算旗杆的高度． ①太阳光平行，同学直立于旗杆影子的顶端处，测量该同学的身高和影长及同一时刻旗杆的影长．②多次测量各线段长度，取平均值，计算出旗杆高度．    第一次 第二次 平均值 参考数据 第一次 第二次 平均值 备注 ①图上所有点均在同一平面内；②均与地面垂直； 请选择一种方法，计算出旗杆的高度．（结果精确到） 34．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在建筑物上，挂着长的宣传条幅．从另一建筑物的顶部处看条幅顶端，仰角为；看条幅底端，俯角为．求两建筑物间的距离．（结果精确到） 35．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，为了测得电视塔的高度，在D处用高为的测角仪，测得电视塔顶端A的仰角为，再向电视塔方向前进，又测得电视塔顶端A的仰角为．求这个电视塔的高度．（精确到） 36．（23-24九年级上·山东泰安·阶段检测）风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在一处坡角为的坡地新安装了一架风力发电机，如图1．某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图2为测量示意图．已知斜坡长16米，在地面点处测得风力发电机塔杆顶端点的仰角为，利用无人机在点的正上方63米的点处测得点的俯角为，求该风力发电机塔杆的高度．（参考数据：，，） 37．（2026·海南·中考真题）综合与实践 项目主题 探究海边救援下水点问题 生活素材 某学校数学兴趣小组模拟了海上救援活动，探究海边救援下水点，设置了以下情境： 如图所示，在海边沙滩的点处发现海上点处有人落水，救生员从点出发前去营救．设计以下三种营救方案（忽略海浪、风向、洋流等因素影响）： 方案一：救生员从点直接跳入海中，径直游向点； 方案二：救生员从点沿沙滩向正东方向跑到点跳入海中，再径直游向点； 方案三：救生员从点沿沙滩向正东方向跑300米到达点跳入海中，再径直游向点． 已知点在点的北偏东的方向上，在点的北偏东的方向上，点在点的正北方向，救生员沙滩上奔跑的速度都是5米/秒，水中游泳的速度都是2米/秒． 问题解决 根据以上信息，解决下列问题： (1)项目任务一： ， ． (2)项目任务二： 米； 米． (3)项目任务三：三个方案中哪个方案的救生员最先到达点，通过计算说明理由．（参考数据：） 题型8 坡度（坡比）与坡角问题（共6小题） 【模型】坡面直角三角形模型（坡度 ）。 【步骤】 ① 识别坡面的垂直高度 与水平宽度 ；② 将坡度转化为正切值；③ 结合勾股定理或三角函数求坡面长度或高度。 【易错】  ① 将坡度误认为是坡角（ 是比值， 是角度）；② 混淆垂直高度与斜坡长度。 38．（2026九年级上·山东·专题练习）水坝是人类治水的重要工程，类型多样．图1为某重力坝模型，图2为其横断面示意图，已知背水坡的坡度i为，坝底的水平宽度为，则背水坡的铅直高度为（     ） A． B． C． D． 39．（26-27九年级上·江苏淮安·阶段检测）如图，无障碍坡道的坡度为，小丽在处乘坐直升电梯竖直升高了到达点处．若小丽从点沿这条坡道步行，则需前进_________到达点处． 40．（25-26九年级上·四川眉山·阶段检测）如图，为方便行人过天桥，市政府在米高的天桥两端修建斜道，设计斜坡的坡度，则斜坡的长度是_________． 41．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，一水库大坝的横断面为梯形，坝顶宽为，坝高为，斜坡的坡度，斜坡的坡度． (1)求斜坡与坝底的长度（精确到）； (2)求斜坡的坡角α（精确到）． 42．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，某公园为了加强安全管理，决定将园内原滑梯改建为，其坡度由改为，已知原滑梯的长为，点D、B、C在同一水平面上，改善后的滑梯会加长多少米？（精确到） 43．（2026·江苏宿迁·中考真题）如图，小亮从A地出发去B地，先沿着坡角为的坡道向前走了100米到C地，再沿着水平方向走了一段距离到E地，最后沿着坡角为的坡道向前走了150米到B地，求小亮沿垂直方向上升了多少米？（图中所有点均在同一平面内，，．参考数据：，，，，，） 题型9 方位角问题（共3小题） 【模型】 方位角转化模型（北偏东/西、南偏东/西）。 【步骤】① 准确画出水平线与铅垂线；② 将仰角、俯角标注在图上；③ 构造直角三角形，利用三角函数列方程求解。 【易错】 ① 俯角是从水平线向下看，而非从铅垂线算起；② 方位角基准方向找错（如将“北偏东”误画为“东偏北”）。 44．（26-27九年级上·重庆·阶段检测）中秋乐游，明月湖畔，月圆人团圆．中秋佳节将至，明月湖公园设置了如图所示、、、四个打卡点，四个打卡点位于同一平面内，在的正东方向，在的正北方向，在的北偏东方向且在的北偏西方向，千米，千米． (1)求的长度；（结果保留根号） (2)小中和小国分别从、打卡点同时出发，小中以的速度从打卡点沿方向步行至打卡点，小国以的速度从打卡点沿方向跑步至打卡点，请通过计算说明，小中出发多少千米后恰好与小国相距千米？(结果保留小数点后两位，参考数据：，) 45．（26-27九年级上·全国·课后作业）海船以的速度向正北方向航行，在处看灯塔在海船的北偏东处，半小时后航行到处，发现此时灯塔与海船的距离最短．画出相应的图形，并计算灯塔到处的距离．（精确到） 46．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，一辆小汽车在某城市街道上由西向东行驶，距离路边处的“车速检测仪O”测得该车从北偏西的点A行驶到北偏西的点B，所用时间为，求该车从点A到点B的平均速度． 拔高·压轴破难 题型10 构造直角三角形解斜三角形（共5小题） 【模型】作高转化模型（将非直角三角形转化为两个直角三角形）。 【步骤】 ① 从非特殊角的顶点向对边作垂线（作高）；② 利用已知角和边，在两个直角三角形中分别求解；③ 将求得的线段进行相加或相减得出最终结果。 【易错】   ① 作高后破坏了原有的特殊角（如把 角一分为二）；② 垂足落在边的延长线上时，线段关系误用加法。。 47．（2024·广东汕头·一模）如图，在中，，求和的长． 48．（2026·江苏南通·中考真题）综合与探究： 如图1，在中，，，，点，分别在边，上，且．连接，交于点． (1)求线段的最小值． (2)如图2，．分别作线段，的垂直平分线，两直线交于点，连接，． ①求证：； ②分别记，的面积为，，求的值． 49．（2024·湖南邵阳·一模）【理解概念】 定义：如果三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做“准直角三角形”． (1)已知△ABC是“准直角三角形”，且． ①若，则______； ②若，则______； 【巩固新知】 (2)如图①，在中，，点D在边上，若是“准直角三角形”，求的长； 【解决问题】 (3)如图②，在四边形中，，且是“准直角三角形”，求的面积． 50．（26-27九年级上·重庆·阶段检测）中，，，D为平面中一点，连接，． (1)如图1，A，D重合时，若，求的面积； (2)如图2，D在外时，E为右侧一点，，，F为中点，连接，，求证：； (3)如图3，D在内部时，连接，，若，，当取得最大值时，直接写出的长． 51．（25-26九年级下·河北衡水·阶段检测）综合与实践 【情境】已知在平行四边形中，点E为边的中点，连接． 【操作】如图1，已知四边形与四边形关于对称，连接． (1)=_______ (2)判断和的数量关系，并说明理由； (3)【探究】如图2，平行四边形中，，且，与 关于对称，与关于对称． ①结合（2）的结论，在图2的基础上用尺规作图确定点P的位置（保留作图痕迹，不写作法）； ②当以点A、B、P为顶点的三角形的某一个内角的度数为时，直接写出的长． 题型11 解直角三角形的综合实际应用（共7小题） 【模型】复杂情境建模模型（如测量不可达物体高度、航海追击问题）。 【步骤】 ① 将复杂实际问题抽象为包含两个或多个直角三角形的几何图；② 寻找公共边（如两个直角三角形的公共直角边）作为桥梁；③ 设公共边为未知数，分别列方程联立求解。 【易错】 ① 找不到两个直角三角形之间的联系（公共边）；② 结果未按要求进行近似处理（如保留整数或精确到0.1）。 52．（23-24九年级上·山东泰安·阶段检测）如图，海上观察哨所位于观察哨所正北方向，距离为海里．在某时刻，哨所与哨所同时发现一走私船，其位置位于哨所北偏东的方向上，位于哨所南偏东的方向上．若观察哨所发现走私船从处以海里／小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东的方向前去拦截，则缉私艇的速度为______海里／小时时，恰好在处成功拦截．（结果保留根号）（参考数据：，，，） 53．（26-27九年级上·重庆·阶段检测）某吹风机外观如图1，主机和手柄均为圆柱形状（尺寸见标注），主机前端是出风口，小明为吹风机制作收纳架如图2，该架子的置物平面α、衔接平面β、支撑曲面γ是固定结构，底座θ与曲面γ的连接处有转轴，放置吹风机时，出风口卡在平面α的圆孔，手柄紧靠在曲面上（与相切）．其主视图中（如图3），曲面γ呈半圆形状，为直径，直线恰好经过圆心O，且．当吹风机卡在第一个圆孔时，主机顶点A与置物面顶点P重合，D落在中点处，，，若，则吹风机最高点B到底座的距离为________．为解决壁柜内部高度不足的问题，将吹风机移至第二个圆孔，手柄仍然紧靠曲面，此时点D与Q重合（如图4），再把收纳架绕N点逆时针旋转一定角度，使得顶点F恰好落在直线上．移动后，点B到底座的距离为________． 54．（26-27九年级上·重庆沙坪坝·开学考试）如图是一款手推婴儿车，图是该款婴儿车的车架示意图，，为半径均为的圆形轮胎的圆心，后轮支架杆与地面所成的角为，主支架杆与所成的角度为，推手支架的支点恰好为的中点．已知．（参考数据：，，，．） (1)求主支架杆点距地面的高度；（结果精确到） (2)手推婴儿车的车把高度合适范围一般在，即握把距地面的高度范围是．若推手支架的长为，，则此手推婴儿车的车把是否符合要求，请说明理由． 55．（2026·江苏徐州·中考真题）汉画像石为徐州“汉代三绝”之一，被誉为汉代社会的石上史诗．小桐到徐州汉画像石艺术馆参观，发现一块刻有“孔子见老子”等历史故事的汉画像石，其画幅呈五边形，记作（如图）．已知，，，，，求画幅的面积（精确到）．（参考数据：，，，，） 56．（2026·黑龙江大庆·中考真题）为了保护视力，小萌购买了可调节书架，将书架放置在水平桌面上如图1，这种书架的侧面结构如图2，、可分别绕点B、C转动，经测量知C是的中点，且．当、转动到，时，求点D到的距离．（结果精确到；参考数据：，） 57．（25-26九年级下·四川达州·期中）甘州木塔于隋文帝开皇二年（公元582年）重建，至今已有一千多年历史，其建筑技巧集木工、铁工、画师技法于一体，制作精巧，是甘州八景之一（如图①．某数学兴趣小组开展“测量甘州木塔高度”的实践活动，过程如下： 方案设计：如图②，木塔垂直于地面，利用测角仪在木塔同侧的测量点B，C两处分别测得木塔顶端A的仰角，的度数（O，C，B在同一条直线上），再测得B，C两点之间的距离． 数据收集：测角仪，测得． 问题解决：求甘州木塔的高度（结果精确到）． 参考数据：． 根据上述方案及数据，请你完成求解过程． 58．（2022·江苏南京·模拟预测）如图①，、是两座垂直于同一水平地面且高度不同的铁塔．小明和小丽为了测量两座铁塔的高度，从地面上的点E处测得铁塔顶端A的仰角为，铁塔顶端C的仰角为，沿着向前走20米到达点F处，测得铁塔顶端A的仰角为．已知，点E、B、D构成的中，． (1)图②是图①中的一部分，求铁塔的高度； (2)小明说，在点E处只要再测量一个角，通过计算即可求出铁塔的高度，那么可以测量的角是 ，若将这个角记为α，则铁塔的高度是 ；（用含的式子表示） (3)小丽说，除了在点E处测量角的度数外，还可以在点F处再测量一条线段的长度，通过计算也可求出铁塔的高度，那么可以测量的线段是 ．（请写出两个不同的答案，可用文字描述）（参考数据：，，，，，，，，） 题型12 动态几何与三角函数最值（共5小题） 【模型】动点轨迹与函数极值模型。 【步骤】 ① 用含动点变量（如时间 或线段 ）的代数式表示相关边长；② 将目标线段或面积表示为变量的三角函数或二次函数；③ 利用函数的增减性或顶点公式求最值。 【易错】 ① 动点运动范围未考虑全面，导致最值在边界取到而非顶点；② 变量代换时三角函数关系式列错。 58．（26-27九年级上·湖南·阶段检测）如图1，已知边长为的菱形中，记（）．点，分别是边，上的点，始终满足，连接． (1)若，的形状是_________三角形； (2)如图2，当，时，记，，求与之间的函数关系式； (3)在第（1）问的基础上，如图3，连接交于，交于，是边上一动点，当时，记的最小值为，的最小值为，求的值． 59．（2026·广东广州·中考真题）如图，在四边形中，，，． (1)求的值； (2)点为边上异于点的动点，关于对称的图形为． ①当点落在四边形内部（含边界）时，求长的取值范围； ②关于对称的图形为，连接，．当时，求的周长． 60．（2026·山东青岛·中考真题）如图，在矩形中，，．动点从点开始沿对角线以的速度运动，动点从点开始沿边以的速度运动．与相交于点，是的中线，连接．点和点同时出发．设动点的运动时间为（）． 解答下列问题： (1)当点在线段的垂直平分线上时，求的值； (2)设四边形的面积为，求与之间的函数关系式； (3)是否存在某一时刻，使的值最小？若存在，求出此时的值；若不存在，说明理由． 61．（2026·河北·中考真题）如图1和图2，在中，，，正方形的顶点，，分别在的三边，，上．当点从点出发沿向点移动时，点，随之分别在，上移动（正方形的大小发生变化），当点与点重合时，移动停止． (1)____________． (2)如图1，当时，求证：． (3)①如图2，当时，求的长； ②当时，直接写出正方形的边长． (4)在移动过程中，每当点移动1个单位长度时，点均移动d个单位长度，直接写出d的值． 62．（23-24九年级上·湖南邵阳·期中）已知，平行四边形中，一动点在边上，以每秒的速度从点向点运动． (1)如图1，运动过程中，若平分，，且满足． ①求的度数． ②连接并延长，与的延长线交于点，连接，如图2，求的面积． (2)如图3，另一动点在边上，以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止运动（同时点也停止），若，则为何值时，以，，，四点组成的四边形是平行四边形． $