精品解析：吉林长春市第一O三中学校2026-2027学年上学期九年级10月数学学科大练习A

九年级10月数学学科大练习A 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式里面被开方数即可求解． 【详解】解：由题意知：被开方数， 解得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，必须保证被开方数大于等于0． 2. 下列方程中是关于 x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、方程不是整式方程，不是一元二次方程，故不符合题意； B、当时，方程不是一元二次方程，故不符合题意； C、方程化为，不是一元二次方程，故不符合题意； D、方程即是一元二次方程，故符合题意； 故选：D． 3. 已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，则的值为（ ） A. 5 B. C. 8 D. 【答案】A 【解析】 【分析】无需解方程，利用根与系数的关系直接计算两根之和. 【详解】解：一元二次方程中，，， 由根与系数的关系得，． 4. 已知，则代数式的值为（ ） A. B. C. 0 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘方运算，解题的关键是掌握二次根式乘方运算的法则． 利用二次根式的乘方运算法则进行计算即可． 【详解】解：将代入得， ， 故选：C． 5. 将一元二次方程化为一般形式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟记一元二次方程的一般形式为是解题的关键． 将方程移项即可得到一元二次方程的一般形式． 【详解】解：一元二次方程化为一般形式为， 故选：B． 6. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，逐一验证各选项的正确性解答即可． 本题考查了二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：A. 与的被开方数不同，无法合并，错误，不符合题意； B. ，错误，不符合题意； C. ，正确，符合题意； D. ，错误，不符合题意， 故选：C． 7. 用配方法解方程 时，配方结果正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查用配方法解一元二次方程．需利用完全平方公式将方程左边配成完全平方式，关键是掌握配方法的基本步骤，把方程化为，再进一步求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D 8. 初中毕业前夕，某数学学习兴趣小组的成员互赠纪念卡片作为毕业礼物．小组里每两名成员之间互相赠送一张卡片（即A送给B一张，B也送给A一张）．已知全组共赠送了306张卡片，如果该兴趣小组的人数为x人，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用．每两名成员之间互相赠送一张卡片，即每对成员之间交换两张卡片．总卡片数等于成员数乘以每人赠送的卡片数，再考虑互赠关系即可建立方程． 【详解】解：设兴趣小组有人，每名成员需要给其他人各赠送一张卡片，因此每人赠送张卡片．全组共有人，总赠送卡片数为． 根据题意，总卡片数为306张，故方程为， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 若最简二次根式与是同类二次根式，则________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 根据同类二次根式的定义，即几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式，所以让的被开方数等于的被开方数，进而求解． 【详解】解：因为最简二次根式与是同类二次根式， 所以， 解得． 故答案为：． 10. 已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义：“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程”，熟练掌握一元二次方程的定义是解题关键． 由一元二次方程的定义得到，，由此即可求解． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴，， ∴， 故答案为：． 11. 已知，，为一个等腰三角形的三条边长，并且，满足，则此等腰三角形的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，等腰三角形的定义，构成三角形的条件，根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0得到，则，，再分腰长为2和腰长为6两种情况，根据构成三角形的条件和三角形周长计算公式求解即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， ∴， ∴， 当腰长为2时，则等腰三角形的三边长为， ∵， ∴此时不能构成三角形，不符合题意； 当腰长为6时，则等腰三角形的三边长为， ∵， ∴此时能构成三角形，符合题意 ∴此等腰三角形的周长为； 综上所述，此等腰三角形的周长为． 故答案为：． 12. 在实数范围内定义一种运算“※”，其规则为，根据这个规则，若，则x的值为___________． 【答案】2或8 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程．先根据新定义得出方程，再分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∴， ∴或， 解得，， 故答案为：2或8． 13. 共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多辆．设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为，则所列方程为__________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意得：， 即． 故答案为． 14. 对于一元二次方程，下列说法：①若，则；②若是方程的一个根，则一定有成立；③若，则它有一个根是；④若一元二次方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根，其中正确的是________（填序号）． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义、根的判别式，熟练掌握一元二次方程的相关知识是解题的关键．根据一元二次方程的根的定义、根的判别式等知识，对每个说法逐一进行分析判断． 【详解】解：①若，则是方程的一个根，所以方程有实数根，故，①正确． ②若是方程的一个根，则，当时，；当时，，则不一定等于，②错误． ③若，则当时，，所以它有一个根是，③正确． ④若一元二次方程有两个不相等的实数根，则，即．对于方程，其判别式，因为，，所以，故方程必有两个不相等的实数根，④正确． 故答案为：①③④． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 16. 解方程 （1） （2） 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【小问1详解】 解：， 因式分解得， 则或， 解得，； 【小问2详解】 解：整理得， 因式分解得， 则或， 解得，． 17. 如图，在某地的清明上河园景区，有一个用于表演豫剧的矩形舞台，其面积为平方米，长为米． （1）求这个舞台的宽（结果化为最简二次根式）； （2）为了增加舞台效果，准备在舞台的中央建造一个边长为米的正方形升降台，舞台的剩余部分（图中阴影部分）铺设地板，已知地板的价格为每平方米200元，求铺设地板需花费的总费用． 【答案】（1）这个舞台的宽是米 （2）铺设地板需花费的总费用为14400元 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）利用二次根式的除法解题即可； （2）先算出阴影部分面积，再计算铺设地板需花费的总费用即可． 【小问1详解】 解：这个舞台的宽为（米）， 答：这个舞台的宽为米； 【小问2详解】 解：阴影部分的面积平方米， 铺设地板需花费元． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论为何值，该一元二次方程都有两个不相等的实数根； （2）若时，该一元二次方程的两个根恰好是等腰三角形的两边，求等腰三角形的周长． 【答案】（1） 证明：中， ，，， ， 无论为何值，该一元二次方程都有两个不相等的实数根； （2）6 【解析】 【分析】（1）证明根的判别式恒大于0即可； （2）将代入方程，求出方程的两个根，再分情况讨论，结合三角形的三边关系求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：将代入， 得，即， 因式分解得， 解得，， 当为等腰三角形的腰时，三条边长分别为，，1，符合三角形的三边关系， 等腰三角形的周长； 当1为等腰三角形的腰时，三条边长分别为，1，1， ，不符合三角形的三边关系，即这种情况不存在， 综上可知，等腰三角形的周长是6． 【点睛】本题考查一元二次方程的根的判别式，解一元二次方程，三角形的三边关系，等腰三角形的定义等，解题的关键是注意分情况讨论，利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形． 19. 若是方程的两个根，求下列各式的值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）10 【解析】 【分析】（1）根据韦达定理判断出两根之和，两根之积，将所求式子因式分解，代入两根之和，两根之积即可求出答案． （2）根据韦达定理判断出两根之和，两根之积，再按照完全平方公式将式子展开，代入两根之和，两根之积即可求出答案． 【小问1详解】 解：是方程的两个根， ，， ； 【小问2详解】 解：是方程的两个根， ，， ． 20. 某小区计划建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为米的墙，另三边用总长为59米的篱笆围成．围成的花圃是如图所示的矩形，并在边上留有一扇1米宽的门．若围成的花圃面积为400平方米，求的长． 【答案】的长为20米． 【解析】 【分析】设边的长为x米，则米，然后利用矩形的面积公式列一元二次方程求解，然后再求出验证即可解答． 【详解】解：设边的长为x米，则米， 根据题意得：， 解得：或． 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意． 答：的长为20米． 21. 阅读下列例题的解答过程： 解方程：． 解：设，则原方程化为：， ，， ， ． 当时，，； 当时，，． 原方程的解为：． 请仿照上面的例题解决问题：若，求代数式的值． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，能正确换元是解此题的关键．设，则原方程化为，求出，再求出即可． 【详解】解：， 设，则原方程化为：， 即， ∴， ∴， ∴， 当时，； 当时，， ∵两个数的平方和具有非负性， ∴，即代数式的值为3． 22. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商若以每个30元的价格购进此种头盔，销售大数据分析表明：当每个头盔售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每下降5元，其月销售量就增加1000个． （1）若售价下降1元，每月能售出_____个头盔，若售价下降x元，每月能售出_____个头盔； （2）为迎接“双十一”，该经销商决定降价促销，在库存为1210个头盔的情况下，若预计月获利恰好为8400元，求每个头盔的售价； （3）月获利能否达到9600元，说明理由． 【答案】（1）800， （2）每个头盔的售价为37元 （3） 月获利不能达到9600元，理由如下： 设每个头盔降价x元， 则． 整理，得 ∵．方程无实数根． 答:月获利不能达到9600元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）根据售价每下降1元，其月销售量就增加200个，分别计算即可； （2）设每个头盔降价x元，根据每个头盔的利润×销售数量＝总利润列出方程并解答； （3）根据题意列出方程，求出根的判别式，可得方程无实数根，即月获利不能达到9600元． 【小问1详解】 ∵售价每下降5元，其月销售量就增加1000个 ∴售价每下降1元，其月销售量就增加200个， ∴若售价下降1元，每月能售出个头盔， 若售价下降x元，每月能售出个头盔； 故答案为：800，； 【小问2详解】 解：设每个头盔降价x元， ． 整理，得 解得，． 因为库存1210个，降价3元或4元获利恰好为8400元， 但是实际销量要够卖，需小于等于1210个， 当时，（舍去） 当时，，可取， （元） 答：每个头盔的售价为37元． 【小问3详解】 略 23. 【教材呈现】下面是华师版九年级上册数学教材第46页的“第14题”内容． 已知代数式，先用配方法说明，不论取何值，这个代数式的值总是正数，再求出当取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？ 写出这个问题的解答过程． 拓展：求代数式的最大值． 【答案】 [教材呈现] 由题意，得， ∵， ∴， ∴ ∴这个代数式的值总是正数． ∵，且当时，取得最小值0， ∴当时，这个代数式的值最小，最小值为． 拓展：当时，最大，最大值为． 【解析】 【分析】本题考查了配方法的应用：配方法的理论依据是完全平方公式． [教材呈现]首先将原式变形为，根据非负数的意义就可以解决； 拓展：首先将原式变形为，根据非负数的意义就可以解决． 【详解】解：[教材呈现] 略 拓展： 由题意，， ∵， ∴， ∴，当时取等号， ∴当时，最大，最大值为． 24. 在中，，，动点从点出发，在线段上以每秒个单位长度的速度向点运动，到达点停止运动，设运动时间为秒． （1）求的面积； （2）如图①，过点作、交于点、若与的面积和是的面积的，求的值； （3）如图②、点在射线上，且，以线段为边向上方作正方形．在运动过程中，若设正方形与重叠部分的面积为，求的值． 【答案】（1） （2）， （3）t的值为或． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用； （1）根据三角形的面积公式求出的面积， （2）根据题意可得，，然后再与的面积和是的面积的，列出方程、解方程即可解答； （3）根据不同时间段分三种情况进行解答即可． 【小问1详解】 中，，， ∴， 【小问2详解】 ，， 与的面积和， 与的面积和是的面积的， ， 解得，； 【小问3详解】 ，， ， ①如图，当时，， 解得： ， 不合题意，舍去， ②如图，当时， 解得： 不合题意，舍去， 不合题意，舍去， ③如图，当时， ， 解得： ， 不合题意，舍去， 综上，的值为或时，重叠面积为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级10月数学学科大练习A 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中是关于 x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，则的值为（ ） A. 5 B. C. 8 D. 4. 已知，则代数式的值为（ ） A. B. C. 0 D. 2 5. 将一元二次方程化为一般形式为（ ） A. B. C. D. 6. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 用配方法解方程 时，配方结果正确的是（　　） A. B. C. D. 8. 初中毕业前夕，某数学学习兴趣小组的成员互赠纪念卡片作为毕业礼物．小组里每两名成员之间互相赠送一张卡片（即A送给B一张，B也送给A一张）．已知全组共赠送了306张卡片，如果该兴趣小组的人数为x人，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 若最简二次根式与是同类二次根式，则________． 10. 已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为_______． 11. 已知，，为一个等腰三角形的三条边长，并且，满足，则此等腰三角形的周长为______． 12. 在实数范围内定义一种运算“※”，其规则为，根据这个规则，若，则x的值为___________． 13. 共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多辆．设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为，则所列方程为__________． 14. 对于一元二次方程，下列说法：①若，则；②若是方程的一个根，则一定有成立；③若，则它有一个根是；④若一元二次方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根，其中正确的是________（填序号）． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 计算： （1）； （2）． 16. 解方程 （1） （2） 17. 如图，在某地的清明上河园景区，有一个用于表演豫剧的矩形舞台，其面积为平方米，长为米． （1）求这个舞台的宽（结果化为最简二次根式）； （2）为了增加舞台效果，准备在舞台的中央建造一个边长为米的正方形升降台，舞台的剩余部分（图中阴影部分）铺设地板，已知地板的价格为每平方米200元，求铺设地板需花费的总费用． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论为何值，该一元二次方程都有两个不相等的实数根； （2）若时，该一元二次方程的两个根恰好是等腰三角形的两边，求等腰三角形的周长． 19. 若是方程的两个根，求下列各式的值： （1）； （2）． 20. 某小区计划建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为米的墙，另三边用总长为59米的篱笆围成．围成的花圃是如图所示的矩形，并在边上留有一扇1米宽的门．若围成的花圃面积为400平方米，求的长． 21. 阅读下列例题的解答过程： 解方程：． 解：设，则原方程化为：， ，， ， ． 当时，，； 当时，，． 原方程的解为：． 请仿照上面的例题解决问题：若，求代数式的值． 22. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商若以每个30元的价格购进此种头盔，销售大数据分析表明：当每个头盔售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每下降5元，其月销售量就增加1000个． （1）若售价下降1元，每月能售出_____个头盔，若售价下降x元，每月能售出_____个头盔； （2）为迎接“双十一”，该经销商决定降价促销，在库存为1210个头盔的情况下，若预计月获利恰好为8400元，求每个头盔的售价； （3）月获利能否达到9600元，说明理由． 23. 【教材呈现】下面是华师版九年级上册数学教材第46页的“第14题”内容． 已知代数式，先用配方法说明，不论取何值，这个代数式的值总是正数，再求出当取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？ 写出这个问题的解答过程． 拓展：求代数式的最大值． 24. 在中，，，动点从点出发，在线段上以每秒个单位长度的速度向点运动，到达点停止运动，设运动时间为秒． （1）求的面积； （2）如图①，过点作、交于点、若与的面积和是的面积的，求的值； （3）如图②、点在射线上，且，以线段为边向上方作正方形．在运动过程中，若设正方形与重叠部分的面积为，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $