吉林长春北湖学校2026-2027学年度九年级上学期10月学情自测数学学科试卷

长春北湖学校2026-2027学年度九年级上学期 数学学科试卷 满分：120分 时长：120分钟 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 要使在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，直线分别交直线于点，直线分别交于点，若，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 4. 若关于的一元二次方程的一个实数根为0，则等于（ ） A. 1 B. C. D. 0 5. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 6. 黄金分割是汉字结构最基本的审美规律．如图汉字“十”端庄稳重、舒展美观．横竖笔画交点恰好是线段的黄金分割点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在大小为的正方形网格中，是相似三角形的是（ ） A. ①和② B. ②和③ C. ①和③ D. ②和④ 8. 如图，在菱形中，点分别是边上的点，且，若菱形的面积等于，则的值为（ ）． A. 10 B. 12 C. 13 D. 24 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 比较大小：________（填“>”或“<”或“=”）． 10. 若，则的值是________ ． 11. 已知最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则__________． 12. 关于x的一元二次方程无实数根，则k的取值范围为____________． 13. 如图，某小区规划在一个长、宽的长方形上修建三条同样宽的通道，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为，那么通道的宽应设计成多少？设通道的宽为，则的值为__________． 14. 如图，是平行四边形边中点，与交于点，连接，已知，．下列命题：①是的重心；②与相似；③；④平行四边形的面积为72．其中正确的序号为___________． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 计算： （1）； （2）． 16. 解方程． （1） （2） 17. 如图，在中，点D，E分别在边上且，连接，． （1）求证：． （2）若点E为中点，，若，求的长． 18. 已知：在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为，，． （1）在图中画出向下平移个单位，再向左平移个单位得到的； （2）在图中作出绕点顺时针方向旋转后得到的； （3）在图中作出以点为位似中心，把各边放大倍后得到的． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有两个实数根，，且，求值． 20. 松原市查干湖是具有湿地草原、蒙古族渔猎文化风貌特点的国家级5A旅游景区，现在已成为网红打卡地．据统计，2026年5月1日当天查干湖景区累计客流量为1.6万人次，第三天客流量达到2.5万人次． （1）求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率； （2）若保持（1）中的平均日增长率，第四天的客流量能达到多少万人次？ 21. 我们有时会碰上形如的式子，其实我们可以将其进一步分母有理化．形如的式子还可以用以下方法化简：．参照式的化简方法解决下列问题： （1）化简：； （2）化简：． 22. 某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 探究晒衣架的相关问题 活动过程 模型抽象 小红家阳台上放置了一个晒衣架，如图是晒衣架的侧面示意图，立杆，相交于点，、两点置于地面上．现将晒衣架完全张开，根据三角形的稳定性，扣链成一条直线起稳固作用，且． 数据信息 过点作于点，交于点，经测量与比对，有，，，，． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题： （1）连接，求证：； （2）若小红的连衣裙挂在衣架上后总长度达到，则挂在晒衣架上是否会碰到地面？请通过计算说明． 教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材中的部分内容． 如图，在中，D，E分别是边，的中点，，相交于点G，求证：， 证明：连接． 23. 1. 请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程． 结论应用：在中，对角线、交于点O，E为边的中点，、交于点F． 24. 2. 如图②，若为正方形，且，则的长为______． 25. 3. 如图③，连接交于点G，若四边形的面积为2，则的面积为______． 26. 如图，在四边形中，．点从点出发，沿向点匀速运动，同时点从点出发，沿向点匀速运动，运动速度均为，当其中一点到达终点时，两点都停止运动、设运动时间为． （1）与是___________（“相似”或“不相似”）图形，___________； （2）为何值时，以为顶点的三角形与相似？ （3）是否存在某一时刻，使得四边形的面积等于？若存在，求出此时的值；若不存在，说明理由． （4）是否存在某一时刻，使？若存在，直接写出此时的值；若不存在，说明理由 长春北湖学校2026-2027学年度九年级上学期 数学学科试卷 满分：120分 时长：120分钟 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】A 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】4 【11题答案】 【答案】3 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】2 【14题答案】 【答案】①④ 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1）， （2）， 【17题答案】 【答案】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴； （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【19题答案】 【答案】（1）证明： 无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）的值为 【20题答案】 【答案】（1）； （2）万人次． 【21题答案】 【答案】（1）；（2）1． 【22题答案】 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2） 小红的连衣裙会碰到地面，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设点到的距离为， 由（1）可知：， ∴， ∴， ∵， ∴小红的连衣裙会碰到地面． 【23~25题答案】 【答案】23. 证明：连接，如图①， ∵在中，D，E分别是边，的中点， ∴为的中位线， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 24. 25. 【26题答案】 【答案】（1）相似；25 （2）或 （3）存在， （4）存在， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $