3.5 点与圆、直线与圆的位置关系（题型专练，7基础4提升题型+培优）数学新教材苏科版九年级上册

**基本信息** 本同步练习围绕点与圆、直线与圆的位置关系，构建“基础认知-技能应用-综合拓展”三层递进设计，通过选择、填空、证明等多元题型，强化从概念理解到综合应用的知识巩固路径，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|点与圆、直线与圆位置关系的判断|以选择、填空题为主，如判断点与圆位置关系，直接应用概念，培养抽象能力| |技能应用|利用位置关系求半径、切线的证明与性质|包含计算题与证明题，如切线证明需逻辑推理，提升推理意识| |综合拓展|三角形内切圆、圆与四边形综合|结合几何图形综合题，如内切圆与外接圆综合，发展模型观念与空间观念|

3.5 点与圆、直线与圆的位置关系 题型一 判断点与圆的位置关系 1．已知的半径为，点为平面内一点，且，则点与的位置关系是（     ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法判断 2．如图，A，B，C是小区内的三栋楼，现准备在B，C的中点D处建造一个基站，若其覆盖范围是一个半径为的圆，则这三栋楼在该基站覆盖范围内的是（     ） A．只有B B．只有A、B C．只有B、C D．A、B、C 3．已知矩形，，，以点为圆心，为半径作，则点在_________（填“外”“内”或“上”）． 4．如图，在矩形中，，．以点为圆心作，且使点、、中至少有一个点在内，同时至少有一个点在外，则的半径应满足的条件是________． 题型二 利用点与圆的位置关系求半径 1．点P到圆心O的距离为6，若点P在圆O外，则圆O的半径r满足（   ） A． B． C． D． 2．平面上的一点和的最近点距离为，最远距离为，则这个圆的半径是（   ） A． B．或 C．或 D．或 3．点与的位置关系如图所示，若，，则的半径可能是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，，，点在边上，且，连接．以点为圆心，以为半径画圆，若点中只有2个点在圆内，则的值可能为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型三 判断直线与圆的位置关系 1．圆的半径为，圆心与直线上某一点距离为，则直线与圆的位置关系不可能是（     ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 2．已知及其所在平面内的直线l，P为直线l上的一点，如果半径为3，且，那么下列对直线l的表述不正确的是（   ） A．直线l可能经过圆心O B．直线l可能与相交 C．直线l可能与相切 D．直线l可能与相离 3．如图，，点O为射线上一点，，如果是以点O为圆心，半径为3的圆，那么与直线的位置关系是（  ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 4．如图，已知的半径是3，点O到一条直线的距离是2，则该直线为（    ） A． B． C． D． 题型四 利用直线与圆的位置关系求半径的取值范围 1．已知在中，，，，以点为圆心，为半径作圆，若圆与斜边有两个公共点，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 2．已知点坐标为，如果半径为的与轴无公共点，与轴有公共点，那么的取值范围是_________． 3．如图，中，以点为圆心作，与，有交点（不经过点，两点），，．若，则的半径的取值范围是________． 4．如图，在中，，，，是的内心，以为圆心，为半径的圆与线段有且只有一个公共点，则的取值范围是______． 题型五 切线的证明 1．如图，为的直径，点，为上的两个点，延长至，使，连接交于点． 求证：是的切线； 2．如图， 是 的直径，是 的弦，点D是的中点．过点D作交的延长线于点E．四边形内接于 ，是 的直径，连接． (1)若，求的度数； (2)求证：是的切线． 3．如图，是的直径，是的半径，，点为上方圆周上一点，连接，，交于点． (1)请用无刻度的直尺和圆规在射线上取点，使得（保留作图痕迹，不写作法）． (2)在（1）的条件下，求证：是的切线． (3)在（1）的条件下，若，，求的长． 4．如图，是的直径，点C在上，过点C的直线与的延长线交于点P，． (1)求证：是的切线； (2)已知弦于E点，，，求长． 题型六 切线的性质 1．如图，与相切于点，连接并延长交于点，连接．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 2．如图，是的直径，与相切于点D，与的延长线交于点C，连接，过点B作，交于点E，已知，则（     ） A． B． C． D． 3．如图，E为的直角边上一点，以为半径的半圆与斜边相切于点D．已知，，则的半径的长为（　　） A．3.5 B．3 C．2.5 D．2 4．如图，是的直径，直线切于点C，连结，若，则的度数为______． 题型七 三角形的内切圆 1．将三角形按下列方式折叠得到线段，其中满足三角形的内心一定在上的是（     ） A． B． C． D． 2．已知为的外接圆，点E是的内心，的延长线交于点F，交于点D．如图，为的直径，若，，则的长为（    ） A．2 B． C．3 D． 3．如图，在中，，，点是AB边上一点（不与点A，B重合），点是的内心，则____________． 4．如图，在中，，是的内切圆，切点分别是、、． (1)连接、，则______． (2)若，，求的半径． (3)在（2）的条件下，的外心和内心的距离等于______． 题型一 圆外切四边形 1．如图，是四边形的内切圆．若，则（    ）    A． B． C． D． 2．如图，四边形是的外切四边形，，．则四边形的周长为_______． 3．如图，⊙O与四边形ABCD的各边依次切于M，N，G，H． （1）猜想AB+CD与AD+BC有何数量关系，并证明你的猜想； （2）若四边形ABCD增加条件AD∥BC而成为梯形，梯形的中位线长为m，其他条件不变，试用m表示梯形的周长． 4．如图1，四边形的边均与相切，切点分别为E，F，G，且，连接平分． (1)求证：与相切； (2)如图2，记与的公共点为点H，连接交于点I，若，求证：四边形对角互补； (3)如图3，的半径为，连接与交于点M，N，与交于点P，Q，，连接，令，，求关于的函数解析式．(不考虑自变量的取值范围) 题型二 三角形内切圆与外接圆综合 1．如图，是一张周长为的三角形的纸片，，是它的内切圆，小明准备用剪刀在的右侧沿着与相切的任意一条直线剪下，则剪下的三角形的周长为（   ） A． B． C． D．随直线的变化而变化 2．如图，四边形为的内接四边形，，平分，，，则的内心与外心之间的距离为（　　） A． B． C． D． 3．直角三角形两条直角边分别为和，则此三角形的内切圆半径为_____，外接圆半径为_____． 4．如图，点是外接圆的圆心，点是的内心，连接．若，则的度数为___________． 题型三 圆与四边形综合 1．如图是一张四边形纸片，已知，要在该纸片中剪出一个圆形纸片，则圆形纸片的半径的最大值是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在正方形中，，点是平面内的一动点，且是的中点，是上一动点，连接，，则的最小值为（   ） A． B． C．9 D． 3．如图，在四边形中，，，若，，则四边形的面积_______． 4．如图，的半径为1，A，P，B，C是上的四个点，． (1)请判断的形状？说明理由； (2)当点P位于的什么位置时，四边形的面积最大？求出最大面积． 题型四 圆与圆的位置关系 1．在矩形中，，，与直线相切．如果与相交，且点B在内，那么的半径长r可以是（     ） A．6 B．10 C．14 D．18 2．如图，两圆与直线相切，定圆的半径是，动圆的半径是．动圆在直线上移动，当两圆相切时，，两点的距离等于（     ） A．或 B． C． D． 3．已知点，到直线L的距离分别为和，满足条件的直线L的条数是______． 4．已知和的半径分别为5和1，，与都内切，那么半径的取值范围是___________． 1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，过点O作OD⊥CB，垂足为点D，延长DO交⊙O于点E，过点E作PE⊥AB，垂足为点P，作射线DP交CA的延长线于F点，连接EF， （1）求证：OD＝OP； （2）求证：FE是⊙O的切线． 2．如图，在等腰△ABC中，CA＝CB，AD是腰BC边上的高，△ACD的内切圆⊙E分别与边AD、BC相切于点F、G，连接AE、BE． （1）求证：AF＝BG； （2）过E点作EH⊥AB于H，试探索线段EH与线段AB的数量关系，并说明理由． 3．如图，AN是⊙M的直径，NB∥x轴，AB交⊙M于点C． （1）若点A（0，6），N（0，2），∠ABN＝30°，求点B的坐标； （2）若D为线段NB的中点，求证：直线CD是⊙M的切线． 4．如图，等边△ABC的边长为2，E是边BC上的动点，EF∥AC交边AB于点F，在边AC上取一点P，使PE＝EB，连接FP． （1）请直接写出图中与线段EF相等的两条线段；（不再另外添加辅助线） （2）探究：当点E在什么位置时，四边形EFPC是平行四边形？并判断四边形EFPC是什么特殊的平行四边形，请说明理由； （3）在（2）的条件下，以点E为圆心，r为半径作圆，根据⊙E与平行四边形EFPC四条边交点的总个数，求相应的r的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.5点与圆、直线与圆的位置关系 题型一判断点与圆的位置关系 题型二利用点与圆的位置关系求半径 题型三判断直线与圆的位置关系 基础达标题 题型四利用直线与圆的位置关系求半径的取值范围 题型五切线的证明 题型六切线的性质 题型七三角形的内切圆 点与圆、直线与圆的位置关系 题型一圆外切四边形 题型二三角形内切圆与外接圆综合 能力提升题 题型三圆与四边形综合 题型四圆与圆的位置关系 拓展培优题 基础达标题 题型一判断点与圆的位置关系 1.B 2.C 3.内 4.3<r<5 题型二利用点与圆的位置关系求半径 1.A 2.C 3.C 4.C 1/4 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型三判断直线与圆的位置关系 1.A 2.D 3.A 4.A 题型四利用直线与圆的位置关系求半径的取值范围 1.B 2.1≤r<3 3.3<r<6 4.2V5<r≤210或r=2 题型五切线的证明 1.见解析 2.（1)∠BAC=45°；(2)见解析 3. (1)见解析；(2)见解析：(3)7.5 4. (1)见解析；(2)CD=3V3 题型六切线的性质 1.A 2.C 3.B 4.50°/50度 题型七三角形的内切圆 1.A 2.B 3.115°/115度 2/4 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4. (1)135°：(22：3R/5 B 能力提升题 题型一圆外切四边形 1.A 2.48 3.(1)AB+CD=AD+BC,证明详见解析；(2)4m. 4. 但现解析：(2见解析：By=x4r-文 r 题型二三角形内切圆与外接圆综合 1.C 2.B 3.25 4.10°/10度 题型三圆与四边形综合 1.B 2.A 3.11 4.(1)△ABC是等边三角形：(2)当点P为AB的中点时，四边形APBC的面积最大. AB 3/4 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型四圆与圆的位置关系 1.C 2.A 3.4 3 9 ≤rs2 拓展培优题 1.见试题解答内容 2.4)见试影解答内容：(2)融方8 3.(1)B(43,2);(2)见试题解答内容 4.见试题解答内容 4/4 3.5 点与圆、直线与圆的位置关系 题型一 判断点与圆的位置关系 1．已知的半径为，点为平面内一点，且，则点与的位置关系是（     ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法判断 【答案】B 【详解】的半径，点到圆心的距离， ． 点在内． 2．如图，A，B，C是小区内的三栋楼，现准备在B，C的中点D处建造一个基站，若其覆盖范围是一个半径为的圆，则这三栋楼在该基站覆盖范围内的是（     ） A．只有B B．只有A、B C．只有B、C D．A、B、C 【答案】C 【详解】解：如图，点O是的中点， ∴， ∵，，， 而， ∴， 在中，，， ∴ 即， 又∵， ∴点B、点C在圆的内部，点A在圆的外部． 3．已知矩形，，，以点为圆心，为半径作，则点在_________（填“外”“内”或“上”）． 【答案】内 【详解】解：如图：矩形，，，以点为圆心，为半径作， ∴点D到圆心A的距离，的半径， ∴， ∴点在内． 4．如图，在矩形中，，．以点为圆心作，且使点、、中至少有一个点在内，同时至少有一个点在外，则的半径应满足的条件是________． 【答案】 【详解】如图，连接， ，， ， 以点为圆心作，使点、、中至少有一个点在内，同时至少有一个点在外， 的半径的取值范围是：． 题型二 利用点与圆的位置关系求半径 1．点P到圆心O的距离为6，若点P在圆O外，则圆O的半径r满足（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：点P在圆O外， 点P到圆心O的距离大于圆O的半径r， 点P到圆心O的距离为，且圆的半径， ． 故选：A． 2．平面上的一点和的最近点距离为，最远距离为，则这个圆的半径是（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【详解】解：设点与圆心距离为d，半径为r， 当点在圆外时， ∵最近距离为，最远距离为， ∴两式相加，， 即， 代入， 得； 当点在圆内时， ∵最近距离为，最远距离为， ∴两式相加，， 解得：； ∴圆的半径为或． 故选：C． 3．点与的位置关系如图所示，若，，则的半径可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设的半径为， ∵点在圆外且， ∴， ∵点在圆内且， ∴， ∴的半径是， ∴选项符合题意， 故选：． 4．如图，在中，，，，点在边上，且，连接．以点为圆心，以为半径画圆，若点中只有2个点在圆内，则的值可能为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】解：∵，，，， ∴，， ∵点中只有2个点在圆内，， ∴， 故选：C． 题型三 判断直线与圆的位置关系 1．圆的半径为，圆心与直线上某一点距离为，则直线与圆的位置关系不可能是（     ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】A 【详解】解：设圆心到直线的距离为d，圆的半径为，圆心与直线上某一点的距离为， 又∵垂线段最短， 圆心到直线的距离， ∴ ∴直线与圆相切或相交，不可能相离． 2．已知及其所在平面内的直线l，P为直线l上的一点，如果半径为3，且，那么下列对直线l的表述不正确的是（   ） A．直线l可能经过圆心O B．直线l可能与相交 C．直线l可能与相切 D．直线l可能与相离 【答案】D 【详解】解：设的半径为，圆心到直线的距离为， 由题意得，为上一点，， ∵点到直线的距离，垂线段最短， ∴，即， ∵直线与圆相离的判定条件为， ∴不可能大于， ∴直线不可能与相离． 3．如图，，点O为射线上一点，，如果是以点O为圆心，半径为3的圆，那么与直线的位置关系是（  ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 【答案】A 【详解】解：作于点， ∵，， ∴， ∵的半径为3，， ∴与直线的位置关系是相离. 4．如图，已知的半径是3，点O到一条直线的距离是2，则该直线为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：因为点O到一条直线的距离小于的半径， 所以该直线与相交， 由图可知只有直线与圆相交． 故选：A． 题型四 利用直线与圆的位置关系求半径的取值范围 1．已知在中，，，，以点为圆心，为半径作圆，若圆与斜边有两个公共点，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： 又 （d为C到的距离）， 即 ， ， 当 时，圆与相切，有一个公共点， 当 时，圆与相交， 为保证两个交点在线段上，需 故选：B． 2．已知点坐标为，如果半径为的与轴无公共点，与轴有公共点，那么的取值范围是_________． 【答案】 【详解】解：圆心到x轴的距离为， 由于圆与x轴无公共点， 故圆心到x轴的距离大于半径，即； 圆心到y轴的距离为1，由于圆与y轴有公共点， 故圆心到y轴的距离小于或等于半径，即； 因此，r的取值范围是． 故答案为：． 3．如图，中，以点为圆心作，与，有交点（不经过点，两点），，．若，则的半径的取值范围是________． 【答案】 【详解】 ，，， ， 如图，当与相切时，半径， 当过点时，半径， 由图像可得，当与，有交点（不经过点，两点）时， 的半径的取值范围是． 4．如图，在中，，，，是的内心，以为圆心，为半径的圆与线段有且只有一个公共点，则的取值范围是______． 【答案】或 【详解】解：如图，作于D，于E，于F，连接，， 则， 四边形是长方形， 是的内心， ， 四边形是正方形， ． ，，， ， 设， 则， ， ， ，， ，， 当时，与线段有且只有一个公共点， 当时，与线段有两个公共点， 当时，与线段有且只有一个公共点， 当时，与线段没有公共点， 综上可知，的取值范围是或． 故答案为：或． 题型五 切线的证明 1．如图，为的直径，点，为上的两个点，延长至，使，连接交于点． 求证：是的切线； 证明：∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线． 2．如图， 是 的直径，是 的弦，点D是的中点．过点D作交的延长线于点E．四边形内接于 ，是 的直径，连接． (1)若，求的度数； (2)求证：是的切线． 【答案】(1)；(2) 见解析 【详解】（1）解：如图，连接． ∵ 是 的直径， ∴ ． ∵， ∴， 则 是等腰直角三角形． ∴； （2）证明：如图，连接． ∵点D是的中点， ∴， ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∵ 是 的半径， ∴是 的切线． 3．如图，是的直径，是的半径，，点为上方圆周上一点，连接，，交于点． (1)请用无刻度的直尺和圆规在射线上取点，使得（保留作图痕迹，不写作法）． (2)在（1）的条件下，求证：是的切线． (3)在（1）的条件下，若，，求的长． 【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3) 【详解】（1）如图 （2）证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴，即， ∴． ∵为的半径， ∴是的切线； （3）解：设． ∵， ∴． ∵， ∴， 由（2）可知，且， ∴在中，由勾股定理，得， ∴，解得， ∴的长为． 4．如图，是的直径，点C在上，过点C的直线与的延长线交于点P，． (1)求证：是的切线； (2)已知弦于E点，，，求长． 【答案】(1)见解析；(2) 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线； （2）解：设的半径为r，则，， 在中，根据勾股定理得， ∴， 解得， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． 题型六 切线的性质 1．如图，与相切于点，连接并延长交于点，连接．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：连接， 是的切线， ， ， ， ， ． 2．如图，是的直径，与相切于点D，与的延长线交于点C，连接，过点B作，交于点E，已知，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图：连接， ∵与相切于点D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．如图，E为的直角边上一点，以为半径的半圆与斜边相切于点D．已知，，则的半径的长为（　　） A．3.5 B．3 C．2.5 D．2 【答案】B 【详解】解：连接，，设的半径的长为r， ∵与半圆相切于D， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴的半径的长为3． 4．如图，是的直径，直线切于点C，连结，若，则的度数为______． 【答案】/50度 【详解】解：连接， ∵直线切于点， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型七 三角形的内切圆 1．将三角形按下列方式折叠得到线段，其中满足三角形的内心一定在上的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：选项A：折叠后点落在边上，根据折叠前后对应角相等，可得，即平分，因此的内心一定在上， 选项A正确； 选项B：根据折叠前后对应角相等，可得，即不平分，所以 选项B不符合题意； 选项C：根据折叠前后对应角相等，可得，即不平分，所以 选项C不符合题意； 选项D：根据折叠前后对应角相等，可得，即不平分，所以 选项D不符合题意． 2．已知为的外接圆，点E是的内心，的延长线交于点F，交于点D．如图，为的直径，若，，则的长为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【详解】解：连接、、． ∵点是的内心， ∴平分，平分， ∵为的直径， ∴，． 在中，，， ， ∴． 在中，， ∵，， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 3．如图，在中，，，点是AB边上一点（不与点A，B重合），点是的内心，则____________． 【答案】/115度 【详解】∵在中，，， ∴； 又∵是的内心， ∴平分，平分， ∴，； 又∵在中，， ∴， ∴， ∴； 又∵在中，， ∴ 4．如图，在中，，是的内切圆，切点分别是、、． (1)连接、，则______． (2)若，，求的半径． (3)在（2）的条件下，的外心和内心的距离等于______． 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1）解：是的内切圆， 平分，平分， 在中，， ， ， ． （2）解：设半径为r，连接、， 是的内切圆，切点分别为、、， 由切线长定理得：，，， ，，， 四边形是正方形，， ，， ， 在中，由勾股定理得： ， 解得： 或 （舍去负值）， 的半径． （3）解：由（2）知，，， 设斜边的中点为，则是的外心， 分别连接， ，， ， ， 是内切圆半径，， ， 在中，由勾股定理得： ， 的外心和内心的距离为． 题型一 圆外切四边形 1．如图，是四边形的内切圆．若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵是四边形的内切圆， ∴，，， ， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 故选：A； 2．如图，四边形是的外切四边形，，．则四边形的周长为_______． 【答案】48 【详解】解：如图，令与边的切点分别为E，F，G，H， ∵四边形是的外切四边形， ∴， ∴ ∴， ∴四边形的周长为 ． 故答案为：48． 3．如图，⊙O与四边形ABCD的各边依次切于M，N，G，H． （1）猜想AB+CD与AD+BC有何数量关系，并证明你的猜想； （2）若四边形ABCD增加条件AD∥BC而成为梯形，梯形的中位线长为m，其他条件不变，试用m表示梯形的周长． 【答案】（1）AB+CD=AD+BC，证明详见解析；（2）4m. 【详解】(1)AB+CD=AD+BC 证明：由切线长定理，得：AM=AH，BN=BM，CN=CG，DG=DH， 所以AB+CD=AM+BM+CG+DG=AH+BN+CN+DH=AD+BC， 即AB+CD=AD+BC (2)AD∥BC，在梯形ABCD中，由梯形的中位线定理得， AD+BC=2m， 梯形的周长=AB+CD+AD+BC=2(AD+BC)=2×2m=4m 4．如图1，四边形的边均与相切，切点分别为E，F，G，且，连接平分． (1)求证：与相切； (2)如图2，记与的公共点为点H，连接交于点I，若，求证：四边形对角互补； (3)如图3，的半径为，连接与交于点M，N，与交于点P，Q，，连接，令，，求关于的函数解析式．(不考虑自变量的取值范围) 【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3) 【分析】此题考查切线的判定定理，圆周角定理，圆外切四边形的性质，切线长定理，勾股 【详解】（1）证明：如图1，连接，过点作于点， ∵与相切， ∴，又平分， ∴， ∴与相切． （2）如图2，连接， ∵是四边形的内切圆， ∴，，，， ∴， 在四边形中，， 同理可证，． ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形对角互补． （3）∵是四边形的内切圆， ∴，① 记与的交点为点， ∵， ∴，② 由①②可得， 设，， ∴和都是方程的两根， 又，∴，， 又，∴平分， ∴为直径， 连接，则， ∴， ∴， ∵为直径，， ∴， ∴． 题型二 三角形内切圆与外接圆综合 1．如图，是一张周长为的三角形的纸片，，是它的内切圆，小明准备用剪刀在的右侧沿着与相切的任意一条直线剪下，则剪下的三角形的周长为（   ） A． B． C． D．随直线的变化而变化 【答案】C 【详解】解：设与、、、直线分别相切于点、、、， 的周长为，， ， ，， ， ， ，， ， 剪下的三角形的周长为， 故选：C． 2．如图，四边形为的内接四边形，，平分，，，则的内心与外心之间的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：作于，于， 平分，，， ，， 又 ， ，即， 四边形为的内接四边形，， ，即， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， 四边形是正方形，是对角线， ， 正方形的边长为， ， ， ， ， 作的内切圆，圆心为，为切点，连接，． 由切线长定理可知：， ， ， ， ， 即内切圆半径为， 在中，． 的内心与外心之间的距离为， 故选：B． 3．直角三角形两条直角边分别为和，则此三角形的内切圆半径为_____，外接圆半径为_____． 【答案】 【详解】解：如图所示： 由内切圆性质可知，， ∵直角三角形的两条直角边分别为和， ∴由勾股定理得斜边长为， 则内切圆半径， 再由直角三角形外接圆半径为斜边的一半，可知此三角形的外接圆半径为． 4．如图，点是外接圆的圆心，点是的内心，连接．若，则的度数为___________． 【答案】/10度 【详解】解：如图，连接， ∵点I是的内心， ∴平分， ∵， ∴， ∵点O是外接圆的圆心， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 题型三 圆与四边形综合 1．如图是一张四边形纸片，已知，要在该纸片中剪出一个圆形纸片，则圆形纸片的半径的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设内切圆圆心为，半径为，连接及四个切点（如图）； 根据切线的性质定理可知，每条半径r都与四边形的各边垂直。 ∵， ， ∴， 即， ∴． 故选：B． 2．如图，在正方形中，，点是平面内的一动点，且是的中点，是上一动点，连接，，则的最小值为（   ） A． B． C．9 D． 【答案】A 【详解】解： 四边形是正方形，， 连接、交于点， 点为的中点． ， 点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆． 是的中点，是的中点， 连接， 是的中位线． ， ， 点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆． 作点关于的对称点，连接，，， ， ． ∴当点O，F，E，M在同一直线上时，取得最小值，为的长， 过点作于点， 是正方形对角线的交点， ，． 点与点关于对称， ，， ∴点A，B，M三点共线， ． 在中， ． 的最小值为， 的最小值为． 3．如图，在四边形中，，，若，，则四边形的面积_______． 【答案】 【详解】解：在四边形中，， 、、、四点共圆， 设圆心为，则点是的中点 如图，连接，则为的直径， 在中，，， ， 过点作于点， ， ， 连接，则， 、、共线， ， ， ， ， ， ． 4．如图，的半径为1，A，P，B，C是上的四个点，． (1)请判断的形状？说明理由； (2)当点P位于的什么位置时，四边形的面积最大？求出最大面积． 【详解】（1）解：是等边三角形．理由如下： 在中，∵与是所对的圆周角，与是所对的圆周角， ∴， 又∵， ∴， ∴为等边三角形； （2）解：当点P为的中点时，四边形的面积最大．理由如下： 如图，过点P作，垂足为E．过点C作，垂足为F． ∵ • •， ∴ •， 当点P为的中点时，为的直径， ∴此时四边形的面积最大． 又∵的半径为1， ∴其内接正三角形的边长 ， ∴ ． 题型四 圆与圆的位置关系 1．在矩形中，，，与直线相切．如果与相交，且点B在内，那么的半径长r可以是（     ） A．6 B．10 C．14 D．18 【答案】C 【详解】解：∵ 四边形是矩形，，，与直线相切 ∴的半径， 由勾股定理得两圆圆心距 ∵ 点在内，半径为，点到圆心的距离为 ∴ ， 即 ∵ 与相交， ∴两圆相交满足 代入，得 解不等式得 结合 得的取值范围为 选项中只有符合该范围． 2．如图，两圆与直线相切，定圆的半径是，动圆的半径是．动圆在直线上移动，当两圆相切时，，两点的距离等于（     ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设圆 的半径为 ，圆 的半径为 ，则 ，． 两圆相切， 分两圆外切和两圆内切两种情况： 当两圆外切时，如图1，圆心距 ； 当两圆内切时，如图2，圆心距 ． 综上所述，， 两点的距离等于或． 3．已知点，到直线L的距离分别为和，满足条件的直线L的条数是______． 【答案】 【详解】解：如图所示： ， ∴， ∵两圆半径分别为，， ∴ ，即 两圆外离，外离的两圆共有条公切线 ∴故满足条件的直线的条数为条． 4．已知和的半径分别为5和1，，与都内切，那么半径的取值范围是___________． 【答案】 【详解】解：设半径为， ∵与都内切， ∴，， ∵， ∴当时，，， ∴， 根据三角形三边关系，任意两边之差的绝对值小于等于第三边， ∴， ∴不成立，此情况无解； 当时，，， ∴，， ∴ ， ∴， 解得，符合条件； 当时，，， 则，不成立，此情况无解． 综上所述，半径的取值范围是． 1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，过点O作OD⊥CB，垂足为点D，延长DO交⊙O于点E，过点E作PE⊥AB，垂足为点P，作射线DP交CA的延长线于F点，连接EF， （1）求证：OD＝OP； （2）求证：FE是⊙O的切线． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：（1）在∴△OPE和△ODB中 ， ∴△OPE≌△ODB（AAS）， ∴OD＝OP； （2）如图：连接EA，EB， ∵AB是直径， ∴∠AEB＝∠C＝90°， ∴∠2+∠3＝90°，∠AEO+∠OEB＝90°． ∵∠3＝∠DEB ∴∠2＝∠AEO． ∵∠C＝∠BDE＝90° ∴CF∥OE， ∴∠ODP＝∠AFP，∠1＝∠AEO， ∴∠1＝∠2． ∵OD＝OP， ∴∠ODP＝∠OPD． ∵∠OPD＝∠APF， ∴∠AFP＝∠APF ∴AF＝AP． 在△APE和△AFE 中， ∴△APE≌△AFE （SAS）， ∴∠AFE＝∠APE＝90° ∴∠FED＝90° 又∵FE经过半径的外端， ∴FE是⊙O的切线． 2．如图，在等腰△ABC中，CA＝CB，AD是腰BC边上的高，△ACD的内切圆⊙E分别与边AD、BC相切于点F、G，连接AE、BE． （1）求证：AF＝BG； （2）过E点作EH⊥AB于H，试探索线段EH与线段AB的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见试题解答内容；（2）EHAB 【解答】解：（1）设△ACD的内切圆⊙E与边AC相切于点I， △ACD的内切圆⊙E与边BC相切于点G，所以CI＝CG． 同理：AI＝AF． ∵CA＝CB，CI＝CG，∴AI＝BG． 又∵AI＝AF，∴AF＝BG． （2）EHAB， 理由：连接AE、BE、CE， ∵E是△ACD的内切圆的圆心， ∴CE平分∠ACB． 即∠ACE＝∠BCE， 在△ACE和△BCE中， ， ∴△ACE≌△BCE（SAS）． ∴∠AEC＝∠BEC，AE＝BE， ∵E是△ACD的内切圆的圆心，∠ADC＝90°， ∵∠AEC＝90°∠ADC＝135°， 从而∠AEB＝90°，又AE＝BE， ∴△ABE为等腰直角三角形， ∵EH⊥AB于H， ∴EHAB． 3．如图，AN是⊙M的直径，NB∥x轴，AB交⊙M于点C． （1）若点A（0，6），N（0，2），∠ABN＝30°，求点B的坐标； （2）若D为线段NB的中点，求证：直线CD是⊙M的切线． 【答案】（1）B（，2）；（2）见试题解答内容 【解答】解：（1）∵A的坐标为（0，6），N（0，2）， ∴AN＝4， ∵∠ABN＝30°，∠ANB＝90°， ∴AB＝2AN＝8， ∴由勾股定理可知：NB， ∴B（，2）． （2）连接MC，NC ∵AN是⊙M的直径， ∴∠ACN＝90°， ∴∠NCB＝90°， 在Rt△NCB中，D为NB的中点， ∴CDNB＝ND， ∴∠CND＝∠NCD， ∵MC＝MN， ∴∠MCN＝∠MNC， ∵∠MNC+∠CND＝90°， ∴∠MCN+∠NCD＝90°， 即MC⊥CD． ∴直线CD是⊙M的切线． 4．如图，等边△ABC的边长为2，E是边BC上的动点，EF∥AC交边AB于点F，在边AC上取一点P，使PE＝EB，连接FP． （1）请直接写出图中与线段EF相等的两条线段；（不再另外添加辅助线） （2）探究：当点E在什么位置时，四边形EFPC是平行四边形？并判断四边形EFPC是什么特殊的平行四边形，请说明理由； （3）在（2）的条件下，以点E为圆心，r为半径作圆，根据⊙E与平行四边形EFPC四条边交点的总个数，求相应的r的取值范围． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图，∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠A＝∠C＝60°． 又∵EF∥AC， ∴∠BFE＝∠A＝60°，∠BEF＝∠C＝60°， ∴△BFE是等边三角形，PE＝EB， ∴EF＝BE＝PE＝BF； （2）当点E是BC的中点时，四边形是菱形； ∵E是BC的中点， ∴EC＝BE， ∵PE＝BE， ∴PE＝EC， ∵∠C＝60°， ∴△PEC是等边三角形， ∴PC＝EC＝PE， ∵EF＝BE， ∴EF＝PC， 又∵EF∥CP， ∴四边形EFPC是平行四边形， ∵EC＝PC＝EF， ∴平行四边形EFPC是菱形； （3）如图所示： 当点E是BC的中点时，EC＝1，则NE＝ECcos30°， 当0＜r时，有两个交点； 当r时，有四个交点； 当r＜1时，有六个交点； 当r＝1时，有三个交点； 当r＞1时，有0个交点． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $