精品解析：江苏省东海高级中学2026-2027学年高一第一学期学情调研数学试题

东海高级中学2026～2027学年度第一学期学情调研 高一数学 2026.10 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列关系表述正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 命题“∃x∈Z，使x2+2x+m≤0”的否定是 A. ∀x∈Z，都有x2+2x+m≤0 B. ∃x∈Z，使x2+2x+m＞0 C. ∀x∈Z，都有x2+2x+m＞0 D. 不存在x∈Z，使x2+2x+m＞0 3. 设x，，则“”的充要条件是（ ） A. 不都为1 B. 都不为1 C. 都不为0 D. 中至多有一个是1 4. 设，，，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 已知关于的一元二次不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知不等式对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 8. 若，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 下面命题正确的是（ ） A. “”的必要不充分条件是“” B. 命题“若，则”的是真命题 C. 设，则“且”是“”的充分不必要条件 D. 设，则“”是“”的必要不充分条件 10. 下列说法中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 11. 已知，，关于x的不等式的解集为，则（ ） A. B. 的最小值为 C. 的最小值为4 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 关于的不等式的解集为__________． 13. 某公司一年购买某种货物吨，每次购买吨，运费为万元/次，一年的总存储费用为万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则的值是________． 14. 已知关于的不等式组有且仅有一个整数解，则的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知集合． （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 16. 已知命题函数的两个零点均在上，命题． （1）若是真命题，求实数的取值范围； （2）若是的必要且不充分条件，求实数的取值范围． 17. 已知，，且． （1）求的最小值； （2）若恒成立，求的最大值． 18. 已知函数． （1）若不等式的解集为，求的取值范围； （2）当时，解不等式； （3）对任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 19. 设函数. （1）当时，不等式的解集为，求实数的值； （2）若，求关于的不等式的解集； （3）若对恒成立，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东海高级中学2026～2027学年度第一学期学情调研 高一数学 2026.10 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列关系表述正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对A：是无理数，故A错误； 对B：是无理数，不是自然数，故B错误； 对C：空集中没有元素，故C错误； 对D：空集是任意集合的子集，故D正确. 2. 命题“∃x∈Z，使x2+2x+m≤0”的否定是 A. ∀x∈Z，都有x2+2x+m≤0 B. ∃x∈Z，使x2+2x+m＞0 C. ∀x∈Z，都有x2+2x+m＞0 D. 不存在x∈Z，使x2+2x+m＞0 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：将“存在”换为“∀”同时将结论“x2+2x+m≤0”换为“x2+2x+m＞0”． 解：命题“∃x∈Z，使x2+2x+m≤0”的否定是： ∀x∈Z，都有x2+2x+m＞0， 故选C． 考点：命题的否定． 3. 设x，，则“”的充要条件是（ ） A. 不都为1 B. 都不为1 C. 都不为0 D. 中至多有一个是1 【答案】B 【解析】 【分析】将化简，可得到其等价命题，即可得答案. 【详解】因为即，即， 即等价于且， 故“”的充要条件是都不为1， 故选：B. 4. 设，，，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，由，， 得， 所以. 5. 已知关于的一元二次不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用一元二次不等式和一元二次方程的对应关系求出参数，再解另一个不等式即可. 【详解】由题设知方程有两根2和3，故由韦达定理得则， 因此，解得． 故选：A． 6. 若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，则实数的取值范围是. 7. 已知不等式对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】 由，然后利用基本不等式求最小值，利用最小值大于等于9，建立不等式，解之即可. 【详解】由已知可得若题中不等式恒成立，则只要的最小值大于等于9即可， ， ， 当且仅当即时等号成立，， 或舍去，即 所以正实数a的最小值为4. 故选：B. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，这时改用勾型函数的单调性求最值. 8. 若，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对条件变形推出，拆分分式配凑定值，再用基本不等式求最小值． 【详解】解：，，且， ． 根据，得． 同理，． ， 当且仅当， 即，时等号成立． 故选D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 下面命题正确的是（ ） A. “”的必要不充分条件是“” B. 命题“若，则”的是真命题 C. 设，则“且”是“”的充分不必要条件 D. 设，则“”是“”的必要不充分条件 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据充分、必要条件的定义结合不等式的性质逐项判断ACD，举例判断B. 【详解】对于A：若，则不等式两边同时乘以，得到，即， 所以“”是“”的必要条件； 若，则，解得或， 所以“”不是“”的充分条件； 所以“”是“”的必要不充分条件，A正确； 对于B：若，满足，但，所以命题“若，则”是假命题，B错误； 对于C：若且，则且，所以，所以成立， 所以“且”是“”的充分条件， 若，则满足，但不满足且， 所以“且”不是“”的必要条件， 所以“且”是“”的充分不必要条件；C正确； 对于D：若，，则，不满足，所以“”不是“”的充分条件； 若，则必有且，所以“”是“”的必要条件 所以“”是“”的必要不充分条件，D正确； 故选：ACD. 10. 下列说法中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】含的选项先判断是否可能为零，肯定项统一作差并把差化为乘积判号，否定项借同乘负数改变不等号方向说明不成立. 【详解】A中，由得，故，两边同除以得，A正确； B中，由得， 于是、，故，B正确； C中，由得，两边同乘负数反向后得，C错误； D中，作差得，由、、、知该式的值为正，即，D正确. 11. 已知，，关于x的不等式的解集为，则（ ） A. B. 的最小值为 C. 的最小值为4 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A，的解集为，利用根与系数的关系，通过计算得到；选项B，由利用基本不等式得到；选项C，由解得，代入，整理后利用1的妙用求解；选项D，将，变形为，利用1的妙用求解即可. 【详解】选项A，的解集为， ，，， 故选项A正确； 选项B，，，当且仅当，即时取等号， ，故选项B 错误； 选项C，，， ，当且仅当，即时，取等号， 的最小值为4，故选项C正确； 选项D，，， ， 当且仅当，即当时取等号， 解方程组，解得， 的最小值为，故选项D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 关于的不等式的解集为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用换元法及一元二次不等式解法求解. 【详解】令，则不等式化为，即， 解得，因此，即，解得， 所以所求解集为. 13. 某公司一年购买某种货物吨，每次购买吨，运费为万元/次，一年的总存储费用为万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】将费用之和表示为关于的函数的形式，根据基本不等式取等条件可确定结果. 【详解】设一年的总运费与总存储费用之和为，则； （当且仅当，即时取等号）， 要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则的值为. 故答案为：. 14. 已知关于的不等式组有且仅有一个整数解，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】解不等式得或，分，，三种情况，结合的解集列不等式求解即可. 【详解】解不等式，得，得或； 解方程，得，， ①当时，原不等式无解，此时不满足题意； ②当，即时，不等式的解满足， 此时不等式组的解集为， 若不等式组的解集中仅有一个整数，则，即； ③当，即时，不等式的解为， 因为比大，且与最接近的整数是， 所以若不等式组仅有一个整数解， 则，即， 综上所述，可知的取值范围为， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知集合． （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）利用，找到不等式组，求出实数的取值范围即可； （2）在满足的前提下，对分空集和不是空集分类讨论即可. 【小问1详解】 因为，所以解得， 即实数的取值范围是． 【小问2详解】 若，即，此时，满足； 若，即，因为， 所以，或，解得． 综上，实数的取值范围是． 16. 已知命题函数的两个零点均在上，命题． （1）若是真命题，求实数的取值范围； （2）若是的必要且不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）因为命题是真命题，则函数的两个零点均在上列不等式组计算即可； （2）是的必要且不充分条件得出集合间关系列不等式组求解即可. 【小问1详解】 因为函数的两个零点均在上 所以 所以 所以实数的取值范围为 【小问2详解】 因为，所以 因为是的必要且不充分条件， 所以 且两等号不同时成立， ，所以实数的取值范围为 17. 已知，，且． （1）求的最小值； （2）若恒成立，求的最大值． 【答案】（1）8 （2）4 【解析】 【分析】（1）使用“1”的妙用和基本不等式求解； （2）分离参数后，将问题转化为恒成立，消元求解. 【小问1详解】 由题可知， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为8； 【小问2详解】 由，，，得， 将代入得， 所以要使恒成立， 则，即的最大值为4. 18. 已知函数． （1）若不等式的解集为，求的取值范围； （2）当时，解不等式； （3）对任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）； （2） 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为或. （3）. 【解析】 【分析】（1）当时验证解集；当时，由不等式解集分析相应二次函数图象和二次方程根的情况求解； （2）将不等式因式分解，分情况讨论取值求解； （3）通过分离参数，将问题转化为最值问题求解. 【小问1详解】 当，即时，不等式即，解集不是，不符合题意； 当，即时，若不等式的解集为， 则二次函数开口向上，且与轴至多一个交点， 也即方程至多一个实根， 所以，即，解得， 即的取值范围为. 【小问2详解】 ，即，亦即， 当时，， 若，即，则，所以，所以， 此时不等式的解集为； 若，即，则不等式即，解集为； 若，即，则，不等式解集为或. 综上，当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为或. 【小问3详解】 不等式，即， 故， 即，可化为. 设，对称轴为，且对称轴在区间内，离对称轴较远的端点为左端点， 所以当时，；当时，，所以， 所以， 因为对任意，不等式恒成立， 所以，所以， 即的取值范围为. 19. 设函数. （1）当时，不等式的解集为，求实数的值； （2）若，求关于的不等式的解集； （3）若对恒成立，求的最大值. 【答案】（1），b=6 （2） 当时，； 当时，； 当时，； 当时，或. （3） 【解析】 【分析】（1）根据不等式对应方程的解结合韦达定理即可求出实数的值；（2）把代入得到一个包含未知参量的一元二次不等式，分类讨论即可；（3）利用换元法结合基本不等式求最值即可. 【小问1详解】 由不等式的解集为可得方程的两根为且， 由根与系数的关系可得：，. 【小问2详解】 由得， 又因为，所以原不等式化为，即， 当时，原不等式化为或； 当时，原不等式化为 当时，不等式的解集为 当时，，由不等式得： 当时，，由不等式得： 综上所述，不等式的解集为： 当时，； 当时，； 当时，； 当时，或. 【小问3详解】 由得， ∵对恒成立， ∴， 化简得，且， 代入得：， 令，则， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $