第五章 《二次函数》章节测试 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

简一数理 单元测试卷 第五章《二次函数》 单元检测 【新教材北师大版】 满分：100分；考试时间：90分钟 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共20题，单选8题，填空5题，解答7题，满分100分，限时90分钟。本卷题型针对性高，覆盖面广，选题有深度，，难度分布合理，可量化学生的掌握程度！ 一、单选题（共8题，每小题3分，共24分） 1．（26-27九年级上·陕西安康·阶段检测）下列函数是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·陕西延安·阶段检测）若是关于的二次函数，则的值是（     ） A． B．3 C．2 D．2或 3．（26-27九年级上·河南安阳·阶段检测）把二次函数通过配方化成的形式，则的值为（     ） A． B． C． D． 4．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）二次函数在范围内的最小值为，则的值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．（26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（     ） A．图象开口向下 B．对称轴是直线 C．与轴的交点的横坐标是和 D．当时，随的增大而增大 6．（26-27九年级上·山西大同·阶段检测）如图，观察函数的图象，可以发现方程在1，2之间有根．取1，2的平均数1.5，当时，，进一步可知这个根在1和1.5之间，则与方程另一根更接近的是（     ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）将进货价格为40元的商品按单价45元售出时，能卖出150个，已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个，设这种商品的售价上涨元时，获得的利润为元，则下列关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 8．（2026·安徽六安·二模）如图，在正方形中，，点E为边上的动点，F在边上，，将线段绕点F逆时针旋转得到线段，连接，则下列结论错误的是（    ） A．的最小值是5 B． C． D．四边形面积的最大值为 二、填空题（共5题，每小题3分，共15分） 9．（26-27九年级上·甘肃平凉·阶段检测）将二次函数的图像向右平移4个单位长度后得到的函数解析式为______． 10．（26-27九年级上·贵州遵义·阶段检测）二次函数的图象如图所示，则一元二次方程的解为________． 11．（26-27九年级上·陕西延安·阶段检测）若二次函数的图象开口向下，则的值可以是_________．（写出一个符合题意的数即可） 12．（26-27九年级上·内蒙古·期中）如图，已知二次函数与一次函数的图像相交于点，，则的解集是___________． 13．（26-27九年级上·山西大同·阶段检测）位于山西省东南部的晋城西门外的景德桥，横跨在沁水河上，它是晋城通往沁水、阳城地区交通干道上的一座重要桥梁，如图，古桥横断面是抛物线形，当水面在时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面宽，则水面上升米后水面宽度为________．（结果保留根号） 三、解答题（共7题，61分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14．（26-27九年级上·全国·单元测试）（本题6分）在平面直角坐标系中，已知抛物线，其中m为常数． (1)当抛物线经过点时，求该抛物线的表达式； (2)当抛物线与直线只有一个交点时，求该抛物线的表达式． 15．（26-27九年级上·吉林松原·阶段检测）（本题7分）已知二次函数（h为常数）的图象经过点． (1)求此二次函数的解析式； (2)将抛物线先向左平移个单位长度，再向上平移6个单位长度，函数图象恰好经过原点，求n的值． 16．（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）（本题8分）已知二次函数． … … … … (1)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象（先完成列表，并使每个数对均为整数，再描点，后连线）； (2)当时，结合图象写出的取值范围． 17．（26-27九年级上·广东汕头·阶段检测）（本题8分）如图，某农户要用长的篱笆，在练江边靠墙（墙长）围一块长方形苗圃（靠墙的一边不围），苗圃的一边垂直于墙． (1)设垂直于墙的一边长为，求苗圃面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)当x为多少时，苗圃的面积最大？最大面积是多少平方米？ 18．（26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）（本10分）已知抛物线与交于、两点（在点左侧）． (1)直接写出时的取值范围是_______． (2)求抛物线顶点的坐标，并求面积； (3)当时，的取值范围是_______． 19．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·阶段检测）（本题10分）规定1： 一个点纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A的“纵横值”． 例如： 点， 则它的“纵横值”为． 规定2：若点是函数图象上任意一点，则函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”． 例如： 点在函数图象上，图象上所有点的“纵横值”可以表示为， 当时， 的最大值为， 所以函数的“最优纵横值”为7． 根据规定，解答下列问题： (1)点的“纵横值”为 ； (2)若二次函数的最优纵横值为 4，求c的值； (3)若二次函数 ， 当时二次函数的最优纵横值为2，求b的值． 20．（26-27九年级上·全国·单元复习）（本题12分）如图，已知抛物线经过，两点，与y轴交于点C，连接，．P是线段上一动点，过点P作轴，交抛物线于点M，交线段于点N． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当时，求点M的坐标； (3)连接，是否存在点P使得是等腰三角形?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 单元测试卷 第五章《二次函数》 单元检测 【新教材北师大版】 满分：100分；考试时间：90分钟 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共20题，单选8题，填空5题，解答7题，满分100分，限时90分钟。本卷题型针对性高，覆盖面广，选题有深度，，难度分布合理，可量化学生的掌握程度！ 一、单选题（共8题，每小题3分，共24分） 1．（26-27九年级上·陕西安康·阶段检测）下列函数是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先排除非整式的选项，再根据自变量最高次数判断剩余选项． 【详解】解：A选项自变量最高次数为1，是一次函数，不符合． B选项符合二次函数定义，符合． C选项与D选项的分母均含自变量，不是整式函数，不符合． 2．（26-27九年级上·陕西延安·阶段检测）若是关于的二次函数，则的值是（     ） A． B．3 C．2 D．2或 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义，需同时满足自变量最高次数为2，二次项系数不为0，联立求解a的值． 【详解】解：∵是关于的二次函数． ∴，且， 由得 ． 由得 ， ∴． 3．（26-27九年级上·河南安阳·阶段检测）把二次函数通过配方化成的形式，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将进行配方，然后与对比即可得出答案． 【详解】解：∵， 又∵， ∴． 4．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）二次函数在范围内的最小值为，则的值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】找出二次函数的对称轴，根据在 的范围内有最小值得出答案． 【详解】解：对配方，得， ∵ 函数图象开口向上，对称轴为直线，且， ∴ 当时，取得最小值， ∵在范围内的最小值为， ∴ ， 解得. 5．（26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（     ） A．图象开口向下 B．对称轴是直线 C．与轴的交点的横坐标是和 D．当时，随的增大而增大 【答案】B 【分析】根据题意得二次项系数为正，则可判定A；根据顶点式得抛物线的对称轴，故可判断B；令，可求得抛物线与x轴的交点坐标，从而判定C；根据抛物线的对称轴及增减性可判定D，最后可确定答案． 【详解】解：∵ ，二次项系数， ∴ 图象开口向上，选项A错误； ∵顶点式为， ∴对称轴是直线，选项B正确； 令，得，解得，， ∴与轴交点的横坐标是和，选项C错误； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，选项D错误． 6．（26-27九年级上·山西大同·阶段检测）如图，观察函数的图象，可以发现方程在1，2之间有根．取1，2的平均数1.5，当时，，进一步可知这个根在1和1.5之间，则与方程另一根更接近的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数图象的对称性可确定另一根的范围，再由题意进一步缩小范围即可． 【详解】解：， 对称轴为， 方程的一个根在1和之间， 另一个根在和之间， 当时，， 这个根在和之间， 这个根更接近． 7．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）将进货价格为40元的商品按单价45元售出时，能卖出150个，已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个，设这种商品的售价上涨元时，获得的利润为元，则下列关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题关键是理解“单价每上涨1元，其销售量就减少5个”的含义．根据利润计算公式，每个商品的利润为售价减进货价，上涨元后每个商品的利润为元，销售数量因上涨元减少个，那么现在的销量为个，然后利用利润等于每个商品的利润乘以销售数量，列出式子即可． 【详解】解：设这种商品的售价上涨元时，获得的利润为元， 那么， 故选：B． 8．（2026·安徽六安·二模）如图，在正方形中，，点E为边上的动点，F在边上，，将线段绕点F逆时针旋转得到线段，连接，则下列结论错误的是（    ） A．的最小值是5 B． C． D．四边形面积的最大值为 【答案】D 【分析】作点F关于的对称点G，连接，则，可得的最小值是的长，可判断A选项；连接，根据题意可得，可判断B选项；过点P作于点H，连接，则，可得，证明，可得，设，则，其中，可得，根据二次函数的性质，可判断C选项；根据以及一次函数的性质，可判断D选项． 【详解】解：在正方形中，∵， ∴， 如图，作点F关于的对称点G，连接，则， ∴，， 即的最小值是的长， ∵， ∴的最小值是5，故A选项正确，不符合题意； 如图，连接， 在中，， ∴， ∵， ∴，故B选项正确，不符合题意； 如图，过点P作于点H，连接，则， ∴，， ∴， 由旋转的性质得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，其中， ∴， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为2， ∵， ∴当时，取得最小值，最小值为0， ∴，故C选项正确，不符合题意； 根据题意得：， ， ， ， ∴ ， ∵， ∴随x的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值为，故D选项错误，不符合题意． 二、填空题（共5题，每小题3分，共15分） 9．（26-27九年级上·甘肃平凉·阶段检测）将二次函数的图像向右平移4个单位长度后得到的函数解析式为______． 【答案】 【分析】利用二次函数平移的“左加右减”规律，对原解析式变形即可求解 【详解】解：二次函数的图像向右平移4个单位，得到平移后的函数解析式为． 10．（26-27九年级上·贵州遵义·阶段检测）二次函数的图象如图所示，则一元二次方程的解为________． 【答案】， 【分析】先根据抛物线的轴对称性求出抛物线与x轴的另一个交点，再根据二次函数与x轴的交点的横坐标就是一元二次方程的解，据此求解即可． 【详解】解：由图可知，抛物线与x轴的一个交点为，对称轴为直线， 设抛物线与x轴的另一个交点为， 则， 解得， 抛物线与x轴的另一个交点为， 一元二次方程的解为，． 11．（26-27九年级上·陕西延安·阶段检测）若二次函数的图象开口向下，则的值可以是_________．（写出一个符合题意的数即可） 【答案】 （答案不唯一，任意满足的数均可） 【分析】根据二次函数图象开口方向与二次项系数的关系，得到的取值范围，任取范围内一个符合要求的数即可． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴二次项系数， 解得， ∴可以取，答案不唯一． 12．（26-27九年级上·内蒙古·期中）如图，已知二次函数与一次函数的图像相交于点，，则的解集是___________． 【答案】 【分析】根据图像，找出二次函数图像在一次函数图像下方的部分的的取值范围即可． 【详解】解：由图形可得当时，二次函数图像在一次函数图像下方，即， 所以，使成立的的取值范围是． 13．（26-27九年级上·山西大同·阶段检测）位于山西省东南部的晋城西门外的景德桥，横跨在沁水河上，它是晋城通往沁水、阳城地区交通干道上的一座重要桥梁，如图，古桥横断面是抛物线形，当水面在时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面宽，则水面上升米后水面宽度为________．（结果保留根号） 【答案】 【分析】以抛物线的顶点为原点建立平面直角坐标系，设函数的解析式为，由函数图象可得，初始水面宽且抛物线关于轴对称，可得初始水面与抛物线的两个交点的横坐标为和，由函数图象可得，抛物线经过和，根据待定系数法，求出抛物线解析式；根据水面上升米，此时拱顶（拱桥洞的最高点）离水面的高度为，即，求出，即可求解． 【详解】解：当水面在时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面宽，以抛物线的顶点为原点建立平面直角坐标系， ∴抛物线的解析式为：， 由函数图象和题意可得，抛物线经过和， ∴ 解得：， ∴函数解析式为：； ∵水面上升米，此时拱顶（拱桥洞的最高点）离水面的高度为，即， ∴， 解得：； ∴此时水面宽度为：． 三、解答题（共7题，61分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14．（26-27九年级上·全国·单元测试）（本题6分）在平面直角坐标系中，已知抛物线，其中m为常数． (1)当抛物线经过点时，求该抛物线的表达式； (2)当抛物线与直线只有一个交点时，求该抛物线的表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点代入求解即可； （2）联立抛物线和直线解析式，然后根据题意得到，求出即可求出该抛物线的表达式． 【详解】（1）解：∵点在抛物线上， ， ， ∴抛物线的表达式为． （2）解：令， 整理得，， ． ∵抛物线与直线只有一个交点， ，即， 解得， ∴抛物线的表达式为． 15．（26-27九年级上·吉林松原·阶段检测）（本题7分）已知二次函数（h为常数）的图象经过点． (1)求此二次函数的解析式； (2)将抛物线先向左平移个单位长度，再向上平移6个单位长度，函数图象恰好经过原点，求n的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可； （2）先利用平移的规律求得平移后的解析式，再代入原点坐标求得n的值即可． 【详解】（1）解：∵二次函数（h为常数）的图象经过点 ∴，解得， ∴此二次函数的表达式为； （2）解：将抛物线先向左平移个单位，再向上平移个单位，得到，即， ∵图象恰好经过原点， ∴，解得或， ∵， ∴n的值为2． 16．（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）（本题8分）已知二次函数． … … … … (1)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象（先完成列表，并使每个数对均为整数，再描点，后连线）； (2)当时，结合图象写出的取值范围． 【答案】(1) 解：列表， 0 1 2 3 4 2 2 描点，连线，函数图象，如下图： (2)或 【分析】本题主要考查了画二次函数图象，二次函数的图象和性质： （1）根据列表，描点，连线，画出二次函数图象； （2）直接观察图象，即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）解：由图象可得，当时，或． 17．（26-27九年级上·广东汕头·阶段检测）（本题8分）如图，某农户要用长的篱笆，在练江边靠墙（墙长）围一块长方形苗圃（靠墙的一边不围），苗圃的一边垂直于墙． (1)设垂直于墙的一边长为，求苗圃面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)当x为多少时，苗圃的面积最大？最大面积是多少平方米？ 【答案】(1)函数关系式为，自变量x的取值范围为 (2)当垂直于墙的一边长为时，苗圃面积最大，最大面积为450平方米 【分析】（1）垂直于墙的一边长为，则平行于墙的一边长为，然后根据长方形面积公式建立函数关系式，再由且解不等式组求解自变量x的取值范围； （2）将函数关系式配方，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：垂直于墙的一边长为，则平行于墙的一边长为， 由题意得， 由且，得， ∴函数关系式为，自变量x的取值范围为； （2）解： ∵，且在自变量取值范围内， ∴当时，S最大 答：当垂直于墙的一边长为时，苗圃面积最大，最大面积为450平方米 18．（26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）（本10分）已知抛物线与交于、两点（在点左侧）． (1)直接写出时的取值范围是_______． (2)求抛物线顶点的坐标，并求面积； (3)当时，的取值范围是_______． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）先求出二次函数与一次函数交点的坐标，再根据图像判断出的取值范围； （2）先求出点的坐标，再利用分割法求出的面积； （3）根据图像，将在的范围内，求的最大值与最小值，从而确定的取值范围． 【详解】（1）解：根据题意，联立，， 得， 解得， 由图像可知，在点与点之间， ∴当时，的取值范围为． （2）解：由（1）知，， 将代入二次函数中，解得， ∴点的坐标为， 将代入二次函数中，解得， ∴点的坐标为， 二次函数的顶点横坐标为， 将代入二次函数中，解得， ∴点的坐标为， 如图所示，过点作轴的垂线，交于点，过点作直线的垂线交于点，过点作直线的垂线交于点， 由题可知，点的坐标为，点的坐标为， 将代入一次函数中，解得， ∴点的坐标为， 则， ∴． （3）解：由（2）可知，点的坐标为， 由图可知，在时， 在点处取得最小值， 在处取得最大值，， ∴当时，． 19．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·阶段检测）（本题10分）规定1： 一个点纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A的“纵横值”． 例如： 点， 则它的“纵横值”为． 规定2：若点是函数图象上任意一点，则函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”． 例如： 点在函数图象上，图象上所有点的“纵横值”可以表示为， 当时， 的最大值为， 所以函数的“最优纵横值”为7． 根据规定，解答下列问题： (1)点的“纵横值”为 ； (2)若二次函数的最优纵横值为 4，求c的值； (3)若二次函数 ， 当时二次函数的最优纵横值为2，求b的值． 【答案】(1) (2) (3) 的值为或 【分析】（1）根据“纵横值”的定义计算即可； （2）求出二次函数图象上所有点的“纵横值”为，得出的最大值为，根据“最优纵横值”的定义可知二次函数的“最优纵横值”为，从而得出，解出c即可； （3）求出二次函数 图象上所有点的“纵横值”可以表示为：，而的图象开口向下，顶点横坐标为，分为、、三种情况，进行分析得出结果即可． 【详解】（1）解：由题意得：的“纵横值”为； （2）二次函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为：， ∵的最大值为， ∴二次函数的“最优纵横值”为， 二次函数的“最优纵横值”为4， ， ； （3）二次函数 图象上所有点的“纵横值”可以表示为：， ∵的图象开口向下，顶点横坐标为， ∴①当时，最大值在处取得，则， 解得：，（舍去）， ②当时，最大值在处取得，则， 而二次函数 ， 当时二次函数的最优纵横值为2， 所以不符合题意，舍去， ③当时，最大值在处取得，则， 解得：，（舍去）， 综上所述，b的值为或． 【点睛】二次函数求最值，可将一般式化为顶点式． 20．（26-27九年级上·全国·单元复习）（本题12分）如图，已知抛物线经过，两点，与y轴交于点C，连接，．P是线段上一动点，过点P作轴，交抛物线于点M，交线段于点N． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当时，求点M的坐标； (3)连接，是否存在点P使得是等腰三角形?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点P的坐标为或或 【分析】（1）把点A、B的坐标代入抛物线的函数表达式，列出方程，求解即可； （2）先用待定系数法求出直线的函数表达式，设点P的坐标为，则，根据，求出，再代入抛物线的函数表达式，即可求解； （3）设点N，则，根据勾股定理可得，，，最后根据等腰三角形，分三种情况讨论，分别列出方程，求出m即可． 【详解】（1）解：将，分别代入抛物线的函数表达式，得 ，解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：把代入，得，则， 设直线的函数表达式为， ，， ∴，解得， 则直线的函数表达式为，． 设点P的坐标为，则， ， ， ，解得， 把代入，得， ； （3）解：存在， ，， ， 由（2）知直线的函数表达式为， 设点N的坐标为，则， ，， 为等腰三角形， ∴分三种情况讨论： ①当时，则， ，解得（舍去）或， 点； ②当时，则， ， 解得（舍去）或， ； ③当时，则， ，解得， ； 综上所述，点P的坐标为或或． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $