第五章 重难点提升小卷 二次函数的综合应用-【勤径学升】2026-2027学年九年级上册数学全程时习测试卷（北师大版·新教材）

重难点提升小卷 一、选择题（每小题3分，共18分） 1.如图，Rt△OAB的顶点A(-2,4)在抛物线y= ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得 到△OCD,边CD与该抛物线交于点P,则点P 的坐标为 () A.(2,2) B.(2,2) C.(2,2) D.(2,W2) 1题图 2题图 2.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(4， -2),点B的坐标是(-1，-2)，连接AB,若 抛物线y=-ax2(a≠0)与线段AB恰有一个 公共点，则a的值可能是 () A.-4 B.-2 C.p D.1 3如图，两条抛物线=7+1,4=-方 -1分别与经过点(-2,0)，（2,0)且平行于 y轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为 () A.8 B.6 C.10 D.4 2-1 3题图 4题图 4.如图，四边形OABC是边长为1的正方形，OC 与x轴正半轴的夹角为15°，点B在抛物线y =ax2的图象上，则a的值为 () A号 B 3 C.-② D.② 第五章二次函数 二次函数的综合应用 ⊙满分：50分得分： 5.如图，在Rt△ABC中，AC=BC=2,正方形 CDEF的顶点D,F分别在AC,BC边上，设CD 的长度为x,△ABC与正方形CDEF重叠部分 的面积为y,则下列图象中能表示y与x之间 的函数关系的是 D 02x 5题图 6题图 6.如图所示的是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 图象的一部分，对称轴是直线=2，且经过 点(2,0)，下列说法：①abc>0;②b2-4ac>0; ③x=-1是关于x的方程ax2+bx+c=0的 一个根；④a+b=0.其中正确的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题（每小题3分，共12分） 7.如图，抛物线顶点C的坐标为(1,4)，交x轴于 点A(3,0),交y轴于点B,则△ABC的面积为 7题图 8题图 8.如图，抛物线y=ax2+bx+4经过点A(-3, 0),B,C,点C在y轴上，CB∥x轴，且AB平分 ∠CAO,则此抛物线的表达式是 29 口全程时习测试卷·九年级数学·北师版·上册 9.如图，已知抛物线y=-x2+ px+q的对称轴为直线x=-3, 过其顶点M的一条直线y= kx+b与该抛物线的另一个交 点为N(-1,1).要在y轴上找 9题图 一点P,使得△PMN的周长最小，则点P的坐 标为 10.抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，c<0) 经过(1,1)，（m,0),(n,0)三点，且n≥3.下 列四个结论：①b<0;②4ac-b2<4a;③当n =3时，若点(2，t)在该抛物线上，则t>1;④ 若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=x有 两个相等的实数根，则0<m≤了其中正确 的是 ·（请填写序号) 三、解答题（共20分） 11.(8分)如图，抛物线y=-x2-2x+3与x轴 交于A,B两点（点A在点B的左侧），与y轴 交于点C,D为抛物线的顶点. (1)求点A,B,C的坐标； (2)连接AC,AD,CD,在抛物线上是否存在点 M(不与点D重合)，使S AACM=S△ACD?若 存在，请直接写出点M的坐标；若不存 在，请说明理由。 A 11题图 30 12.(12分)如图，已知抛物线y=ax2+bx-6经 过A(-1,-4),B(3,0)两点，与y轴交于点 C,连接AC,BC.P是线段OB上一动点，过点 P作PMLx轴，交抛物线于点M,交线段BC 于点N (1)求抛物线的函数表达式； (2)当PV=30C时，求点M的坐标； (3)连接AN,是否存在点P使得△ACN是等 腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若 不存在，请说明理由. 12题图口全程时习测试卷·九年级数学·北师版·上册 重难点提升小卷二次函数的综合应用 1.B2.D3.A4.C 5.A[解析]当0<x≤1时，y=x2,当1<x≤2时，如答图，设ED 交AB于点M,EF交AB于点N,CD=x,AD=2-x Rt△ABC中，AC=BC=2,∠B=∠A=45°，△ADM为等 腰直角三角形，.DM=AD=2-x,易知△BFN≌△ADM, 5S%w=SAWy=7×2x2-2-x2x2=-2+ 4x-2,对照选项可知只有A选项符合 B N M D 5题答图 6C738y=-6x23 6x+49.(0,2) 10.②③④[解析]①c<0,.抛物线与y轴的负半轴有交点. ,抛物线经过(1,1)，∴，假设抛物线的开口向上，那么抛物线 与x轴的交点都在(1,0)的左侧.，抛物线经过(n,0),n≥3， 抛物线与x轴的一个交点一定是(3,0)或在(3,0)的右侧， ∴.假设错误，抛物线的开口向下，即a<0.把(1,1)代入y= ax2+bx+c得a+b+c=1,即b=1-a-c..∵a<0,c<0,∴.b> 0,故①错误；②：a<0,b>0,c<0,。>0,方程ax2+ bx+c=0的两个根的积大于0，即mn>0.:n≥3，∴.m>0, m+”>1.5,即抛物线的对称轴在直线x=1.5的右侧，抛 2 物线的顶点在点(1,1)的右侧，.4如c- ->1..·4a<0,.∴.4ac- 4a B<4a,故②正确：③：m>0,当n=3时，mn>1.5,.抛 2 物线的对称轴在直线x=1.5的右侧，∴.，点(1,1)到对称轴的 距离大于点(2，t)到对称轴的距离，抛物线开口向下，距离抛 物线对称轴越近的函数值越大，.t>1,故③正确；④方程 ax2+bx+c=x可变形为ax2+(b-1)x+c=0,.:方程有两个 相等的实数根，4=(b-1)2-4ac=0.把(1,1)代入y=ax2+ bx+c,得a+b+c=1,即1-b=a+c,.(a+c)2-4ac=0,即 a2+2ac+c2-4ac=0,.(a-c)2=0,.a-c=0,即a=c. （m,0),(n,0)在抛物线上，∴.m,n为方程ax2+bx+c=0的 两个报，mn=号=1，n=n≥3，≥3,0<m≤ a m m 子，故④正确综上，正确的结论是②③@ 11.解：(1)令y=0,解得x1=-3,x2=1. 点A在点B的左侧， .A(-3,0),B(1,0) 令x=0,得y=3,.C(0,3) (2)存在点M的坐标为(-2,3)或（仍3，戌 2 (7-3,7-1 2 2 12.解：(1)将A(-1,-4),B(3,0)分别代入抛物线的函数表达 式得666：解得8 b=-1, .抛物线的函数表达式为y=x2-x-6. (2).B(3,0),C(0,-6), ∴.直线BC的函数表达式为y=2x-6,OC=6. 设点P的坐标为(t,0)(0<t<3),则N(t,2t-6), ∴.PW=6-2k. 38 PW=号0C,6-21=2,t=2. 将x=2代人y=x2-x-6,得y=-4,∴.M(2,-4). (3)存在. A(-1,-4),C(0,-6),.AC=5 由(2)知直线BC的函数表达式为y=2x-6. 设点N的坐标为(m,2m-6)(0<m<3),∴.P(m,0), AN2=(m+1)2+(2m-6+4)2=5m2-6m+5,CW2=m2+ (2m-6+6)2=5m2. △ACN为等腰三角形，：需分三种情况： ①当CN=AC时，则CN2=AC2, .5m2=(5)2,解得m=-1(舍去)或m=1,点P(1,0); ②当AW=AC时，则AW2=AC2,.5m2-6m+5=(5)2, 解得m=0(合去)或m=号P(号.0） ③当AN=CN时，则AW2=C2, 5m2-6m+5=5m2,解得m=各P名.0 综上所述，点P的坐标为(1,0)或（号0）戌（各，0 第六章概率的进一步认识 考点小卷概率的进一步认识 1.C2.B3.C4.C5.D6.C7.B8.D 9号10号10 12.解：(1)0.9600.951 (2)0.95. 18解：(1)} (2)把交通安全、消防安全、饮食安全、校园安全分别记为A, B,C,D,画树状图如答图. 开始 B D ABCDABCD ABCD ABCD 13题答图 共有16种等可能的结果，其中甲和乙选择不同主题的结果有 12种，则甲和乙选择不同主题的概率为品-子 14.解：(1)，总共有4种溶液，其中碱性溶液有2种， P(溶液变红)=子=分 1 答：小明将酚酞溶液随机滴入1支试管里，溶液变红的概率是子 (2)记盐酸、硝酸钾溶液、氢氧化钠溶液、氢氧化钙溶液分别为 A,B,C,D,取出的2支试管分别为第1支、第2支.根据题意， 画出树状图表示出所有可能的结果如答图. 开始 第1支 第2支B CD A C D A B D 14题答图 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中1支变红、1支 不变色的结果有8种 2支试管中1支变红1支不变色的概率为号=子