26.2.3 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 学案 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学导学案聚焦二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质，核心目标是让学生熟练掌握其顶点坐标和对称轴的求解。通过知识回顾表格填写不同形式二次函数的开口方向、对称轴及顶点坐标，并结合中考题回顾顶点式性质，为新知学习搭建衔接支架。 资料亮点在于通过配方推导一般式化为顶点式培养学生推理能力，学习检测融入大量中考真题涵盖选择、填空、解答等题型提升运算能力，任务设计从回顾到推导再到应用层层递进，帮助学生构建知识体系，发展应用意识，适合自主学习与教学评估。

26.2.3 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 【学习目标】 1.会熟练求出二次函数一般式y=ax2+bx+c的顶点坐标，对称轴.(重点) 【知识回顾】 1.在表格中填写开口方向，对称轴和顶点坐标. 开口 对称轴 顶点坐标 y=2+ y=-2(x-3)2 y=-0.7(x+1.2)2-2.1 y=2x2+5 y=15(x+10)2+20 y=-x2 y=-2- 2.（2026安阳）已知抛物线y=-(x-1)2+m经过(-2,y1), (0,y2),(3,y3)三点，则y1,y2,y3的大小关系是( ) A.y2>y3>y1 B.y1>y2>y3 C.y3>y1>y2 D.y1>y3>y2 【新知学习】 我们已经知道y=a(x-h)2+k的图象和性质，如果能把y=ax2+bx+c化成y=a(x-h)2+k的形式，就很容易找到它的图象和性质. 1.试将二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)变成y=a(x-h)2+k的形式. 解：y=ax2+bx+c =a(x2+ =a[x2++c =a =a =a 2.抛物线y=ax2+bx+c的性质 (1)开口方向：a>0，开口向____，a<0，开口向____ (2)对称轴是：直线x=-. (3)顶点坐标是：(-) (4)增减性：a>0， a<0， (5)最值：a>0/a<0，顶点是最___点/___点，因此当x=_____时，y有最___/____值是__________. 3.填空： a b c 开口 对称轴 顶点 y=-x2+2x-3 y=2x2+x y=x2+3 y=x2-2x-5 y=-3x2-1 y=-2x2 y=-x2+2x-1 4.抛物线y=ax2+bx+c(a＜0)与x轴的一个交点坐标为(-1，0)，对称轴是直线x=1，则此抛物线与x轴的另一个交点坐标是( ) A.(，0) B.(3，0) C.(，0) D.(2，0) 思路：(1)抛物线上的两点，如果纵坐标相等，那么这两点关于对称轴对称；反之，如果两点关于对称轴对称，则这两点的纵坐标相等. (2)抛物线的对称轴的数值等于抛物线上两对称点的横坐标之和的一半，即x=. 5.若 A(-4， y1 ) ，B(-3， y2 )，C(1， y3 )为二次函数 y=x2+4x-m 的图象上的三个点.试比较 y1、y2、y3的大小. 6.设二次函数y1=2x2+bx+c(b，c是常数)的图象与x轴交于A，B两点.若A，B两点的坐标分别为(1，0)，(2，0)，求函数y1的表达式及其图象的对称轴. 解:∵二次函数y1=2x2+bx+c过点A(1，0)、B(2，0)， ∴ 解得 ∴y1=2x2-6x+4. ∴抛物线的对称轴为直线x=-. 【学习检测】 1.物线y=-3x2+6x+2的对称轴是(　　) A.直线x=2 B.直线x=-2 C.直线x=1 D.直线x=-1 2.(2024南通)将抛物线y＝x2+2x-1向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为(　　) A.(-4，-1) B.(-4，2) C.(2，1) D.(2，-2) 3.(2024包头)将抛物线y＝x2+2x向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为(　　) A.y＝(x+1)2﹣3 B.y＝(x+1)2﹣2 C.y＝(x﹣1)2﹣3 D.y＝(x﹣1)2﹣2 4.已知抛物线y=-x2+bx+4经过点A(-2，n)和B(4，n)两点，则n的值为(　　) A.-2 B.-4 C.2 D.4 5.(2025福建)已知点A(-2，y1)，B(1，y2)在抛物线y＝3x2+bx+1上，若3＜b＜4，则下列判断正确的是(　　) A.1＜y1＜y2 B.y1＜1＜y2 C.1＜y2＜y1 D.y2＜1＜y1 6.已知(-3，y1)，(-2，y2)，(1，y3)是抛物线y=-3x2-12x+m上的点，则( ) A.y3＜y2＜y1 B.y3＜y1＜y2 C.y2＜y3＜y1 D.y1＜y3＜y2 7.(2023邵阳)已知P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是抛物线y=ax2+4ax+3(a是常数，a≠0)上的点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴是直线x=-2；②点(0，3)在抛物线上；③若x1>x2>-2，则y1>y2；④若y1=y2，则x1+x2=-2，其中，正确结论的个数为(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 8.(2025甘肃)如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OM，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式是y＝﹣x2+2x(x>0)，则水流喷出的最大高度是(　　) A.3m B.2.75m C.2m D.1.75m 第8题图 第9题图 9.(2026山东)如图，点P是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点.下列结论正确的是( ) A.2a+b=0 B.-<a<- C.对任意实数t，at2+bt<4a+2b总成立 D.若点A(1-m,y1),B (1+m，y2)在抛物线上，则yi<y2 10.(2025青岛)将二次函数y＝x2-2x-3的图象在x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是(　　) A.图象与y轴的交点坐标是(0，-3) B.当x＝1时，函数取得最大值 C.图象与x轴两个交点之间的距离为4 D.当x>1时，y的值随x值的增大而增大 第10题图 第15题图 11.抛物线y=2x2-2x-的开口_____，对称轴是______. 12.(2025徐州)二次函数y=x2+x+1的最小值是 　. 13.已知二次函数y=-2x2-8x-6，当_______时，y随x的增大而增大；当x=______时，y有__值，是 . 14.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在x=2和x=4处函数值相同，那么函数的对称轴是________.公式是_________. 15.(2025山东改编)已知二次函数y=x(x-a)+(x-a)(x-b)+x(x-b)，其中a，b为两个不相等的实数．当a=0、b=3时，此函数图象的对称轴是_________. 16.(2024滨州)将抛物线y=-x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标为 　. 17.(2024辽宁)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴相交于点A，B，点B的坐标为(3，0)，若点C(2，3)在抛物线上，则AB的长为 　 　 . 18.(2026年烟台改编)如图，直线y=-x-6与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=ax2+bx+c经过A,C两点，与x轴的另一个交点为B.抛物线的对称轴为直线x=-.求抛物线的表达式及顶点坐标. 19.(2025河南)在二次函数y＝ax2+bx﹣2中，x与y的几组对应值如表所示. x … ﹣2 0 1 … y … ﹣2 ﹣2 1 … (1)求二次函数的表达式. (2)求二次函数图象的顶点坐标. (3)将二次函数的图象向右平移n个单位长度后，当0≤x≤3时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出n的值. 参考答案 【知识回顾】 1.A 【新知学习】 5.解：点A(-4，y1)，B(-3，y2)，C(1,y3)为二次函数y=x2+4x-m的图象上的三点， ∴y1=x2+4x-5=16-16-m=-m y2=x2+4x-5=9-12-m=-3-m; y3=x2+4x-5=1+4-m=5-m; ∴y2<y1<y3. 【学习检测】 1-10 CDABA BBBBC 11.向上，x= 12.． 13.x<-2，-2，大，2 14.x=3,x= 15.x=1 16.(1,2) 17.【答案】4 【解答】 ∵抛物线y=ax²+bx+3过点（0,3），和C（2,3）， ∴该抛物线的对称轴为直线x==1 ∴B（3,0）点与A（x1,0）为对称点，则x==1 ∴x1=-1 ∴AB=3-(-1)=4， 故答案为:4 18.解:直线y=-x-6与x轴交于点A，与y轴交于点C， 当x=0时,y=-6,当y=0时，x=-6, ∴A(-6,0),C(0,-6), ∵抛物线与x轴的另一个交点为B，抛物线的对称轴为直线x=- ∴B(3,0). 设抛物线解析式为y=a(x+)2+k，代入A(-6,0)，C(0,-6)得： 解得: ∴y=(x+)2-(=x2+x-6可化也可不化成一般式). ∴顶点坐标为(-,-). 19. 解:(1)由题意，结合表格数据可得，二次函数的对称轴是直线x==-1. ∴设二次函数的表达式为y=a(x+1)2+k. ∵二次函数图象过(0,-2),(1,1) ∴ 解得 ∴二次函数的表达式为y=(x+1)2-3,即y=x2+2x-2. (2)由y=(x+1)2-3,可知顶点坐标为(-1,-3). (3)由题意可知，二次函数的图象向右平移n个单位长度后，得到新函数为y=(x+1-n)2-3 此时对称轴是直线x=n-1,函数图象开口向上. ①当3≤n-1时,即n≥4. 当x=0时，y’取最大值为(1-n)2-3; 当x=3时，y’取最小值为(4-n)2-3. 又∵最大值与最小值的差为5, ∴(1-n)2 -3-(4-n)2+3=5. n=<4，不合题意，舍去. ②当0<n-1≤时，即1<n≤ 当x=3时，y’取最大值为(4-n)2-3; 当x=n-1时，y取最小值为-3. 又∵最大值与最小值的差为5. ∴(4-n)2-3+3=5. 解得n=4+(不合题意,舍去)或n=4-. ③当<n-1<3时，<n<4. 当x=0时,y’取最大值为(1-n)2-3; 当x=n-1时，y’取最小值为-3. 又∵最大值与最小值的差为5, ∴(1-n)2-3+3=5, 解得n=1+或n=1-(不合题意，舍去). ④当n-1≤0时,即n≤1, 当x=0时,y’取最小值为(1-n)2-3; 当x=3时.y’取最大值为(4-n)2-3. 又∵最大值与最小值的差为5， ∴(4 n)2-3-(1-n)2+3=5. 解得n=>1.(不合题意，舍去). 综上所述,n的值为1+或4-. 学科网（北京）股份有限公司 $