26.2.3 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 第1课时 学案 2026-2027学年数学人教版九年级上册

该初中数学学案聚焦二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质核心知识点，通过联系已学的顶点式，以“提→配→化”三步法为学习支架，帮助学生掌握一般式转化顶点式的方法，系统梳理对称轴、顶点坐标等关键性质。 这份学案特色鲜明，“提→配→化”三步法结构化教学培养学生抽象能力，性质对比表助力发展推理意识，练习从基础配方到综合几何题分层设计，提升应用意识，参考答案详细解析，有效帮助学生巩固知识，深化对二次函数的理解。

学案：26.2.3 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质（第1课时） 人教版九年级上册 第二十六章 二次函数 一、学习目标 1. 会用配方法将二次函数y=ax²+bx+c化成顶点式y=a(x-h)²+k的形式，理解"提→配→化"三步法的操作要领。 2. 会用配方法或公式法确定抛物线y=ax²+bx+c的对称轴和顶点坐标，能说出其开口方向、最值和增减性。 3. 能根据配方结果（或顶点坐标公式）画二次函数的图象，理解一般式与顶点式之间的等价转换关系。 二、知识梳理 配方法"提→配→化"三步法 列表描点画y=½x²-6x+21的图象 步骤 操作内容 示例 第一步"提" 提取二次项系数a，将一次项系数也除以a放入括号内 第二步"配" 括号内加上一次项系数一半的平方，括号外减去a乘上加上的数 第三步"化" 括号内写成完全平方形式，括号外合并常数项，得到顶点式 关键提醒 括号外补偿项 = a × (括号内加上的数)，注意符号！a>0时减，a<0时加。 二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质 y=ax²+bx+c的图象和性质总结 项目 a > 0 a < 0 图象 抛物线 抛物线 开口方向 向上 向下 对称轴 顶点坐标 顶点特征 最低点 最高点 增减性 （对称轴左侧） y随x增大而减小 y随x增大而增大 增减性 （对称轴右侧） y随x增大而增大 y随x增大而减小 最值 开口大小 |a|越大开口越小，|a|越小开口越大 |a|越大开口越小，|a|越小开口越大 一般式与顶点式的关系 形式 表达式 核心信息 一般式 直接看出二次项系数a、一次项系数b、常数项c 顶点式 直接看出对称轴x=h、顶点坐标(h, k) 转换公式 配方：一般式→顶点式；展开：顶点式→一般式 求顶点方法 配方法（提→配→化）或公式法（直接代入） 建议：配方法理解原理，公式法快速解题 研究二次函数y=ax²+bx+c图象的"两步法" 步骤 操作要点 第一步：配方求顶点 用配方法（或公式法）将y=ax²+bx+c化为顶点式y=a(x-h)²+k，确定对称轴x=h和顶点坐标(h, k)。 第二步：判断性质 由a的符号判断开口方向（a>0向上，a<0向下）；由对称轴和开口方向判断增减性；由顶点坐标确定最值。必要时以对称轴为中心列表描点画图。 三、课堂练习 练习1（配方求对称轴和顶点坐标） 用配方法确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：                         练习2（教材P42练习） 先确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点，再描点画图：                                 练习3（教材P42练习续）                               练习4（教材P44练习——求最值） 求下列函数的最大值或最小值：                         练习5（由表格数据判断对称轴） 已知二次函数y=ax²+bx+c的x、y的部分对应值如下表，则该二次函数图象的对称轴为（ ）。 A. y轴 B. 直线x=5/2 C. 直线x=2 D. 直线x=3/2       练习6（参数范围） 已知二次函数y=-x²+2bx+c，当x>1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是（ ）。 A. b≥-1 B. b≤-1 C. b≥1 D. b≤1       练习7（综合题） 已知抛物线y=2x²-12x+13。 （1）当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？ （2）当x为何值时，y随x的增大而减小？ （3）将该抛物线向右平移2个单位，再向上平移2个单位，请直接写出新抛物线的表达式。                     练习8（几何综合题） 已知二次函数y=x²-4x-1。 （1）将函数解析式化为y=a(x+m)²+k的形式，并指出该函数图象顶点B的坐标。 （2）在平面直角坐标系xOy中，设抛物线y=x²-4x-1与y轴交点为C，抛物线的对称轴与x轴交点为A，求四边形OABC的面积。                         四、参考答案 练习1 答案 （1）配方： 对称轴是直线x=1，顶点坐标为(1, 4)。 （2）配方： 对称轴是直线x=3，顶点坐标为(3, -10)。 练习2 答案 （1）配方： 开口向下，对称轴是直线x=2，顶点坐标为(2, 9)。当x<2时y随x增大而增大，当x>2时y随x增大而减小。 （2）配方： 开口向上，对称轴是直线x=3，顶点坐标为(3, -10)。当x<3时y随x增大而减小，当x>3时y随x增大而增大。 练习3 答案 （3）配方： 开口向上，对称轴是直线x=-2，顶点坐标为(-2, -14)。当x<-2时y随x增大而减小，当x>-2时y随x增大而增大。 （4）配方： 开口向上，对称轴是直线x=2，顶点坐标为(2, -3)。当x<2时y随x增大而减小，当x>2时y随x增大而增大。 练习4 答案 （1）配方： a=3>0，开口向上，当x=-1/3时，y有最小值-1/3。 （2）配方： a=-2<0，开口向下，当x=2时，y有最大值0。 练习5 答案 答案：D 解析：由表中数据可知，当y=0时，x=-1和x=4。这两个点关于对称轴对称，所以对称轴为x=(-1+4)/2=3/2。故选D。 练习6 答案 答案：D 解析：对称轴为。a=-1<0，开口向下，在对称轴右侧（x>对称轴）y随x增大而减小。已知当x>1时y随x增大而减小，所以对称轴b≤1。故选D。 练习7 答案 （1）a=2>0，开口向上，当x=3时，y有最小值-5。 （2）当x<3时，y随x的增大而减小。 （3）向右平移2个单位，括号内x-3变为x-5；向上平移2个单位，括号外-5变为-3。新抛物线的表达式为y=2(x-5)²-3。 练习8 答案 （1）配方： 该函数图象顶点B的坐标为(2, -5)。 （2）对称轴为直线x=2，所以A(2, 0)。当x=0时，y=-1，所以C(0, -1)。 O(0, 0)，A(2, 0)，B(2, -5)，C(0, -1)。四边形OABC是一个直角梯形。 OA=2，CB=2，OC=1，AB=5。 学科网（北京）股份有限公司 $