第二十五章 一元二次方程 单元复习讲义 2026-2027学年人教版数学九年级上册

第二十五章《一元二次方程》五星版单元复习讲义 人教版（2026）九年级数学上册 · 第二十五章 一元二次方程（约11课时） 对标《义务教育数学课程标准（2022年版）》· 基础巩固—能力提升—综合应用三层进阶 含：综合与实践项目 · 月考加油站 · 上好复习课 · AI辅助学习 · 完整答案解析 项目 内容 单元范围 25.1 一元二次方程的概念；25.2 降次——解一元二次方程（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法、根与系数的关系）；25.3 实际问题与一元二次方程 核心素养 抽象能力、运算能力、模型观念、推理能力 本单元不涉及 二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程图象交点问题（在第二十六章学习）；复习范围严格限定在“降次”解方程与应用建模 课标对接 数与代数领域“方程与不等式”板块；“综合与实践”领域按项目式学习设计（见第四部分） 建议用时 60分钟 难度配比 基础∶提升∶综合＝5∶3∶2（按分值） 单元知识导航 本单元的知识主线：认识一元二次方程的一般形式（a≠0）→ 掌握“降次”思想，用直接开平方、配方、公式、因式分解四种方法解方程 → 用根的判别式判断根的情况 → 用根与系数的关系（韦达定理）求两根的和与积 → 用方程模型解决增长率、面积、利润、传播等实际问题。“降次”是全单元的核心思想：把二次方程化为一次方程求解。 图1　第二十五章《一元二次方程》知识网络 知识清单速记 概念 要点 易错提醒 一元二次方程 只含一个未知数，未知数的最高次数是2，且是整式方程；一般形式ax²+bx+c=0（a≠0） 漏条件“整式方程”；a≠0不能漏 直接开平方法 x²=p（p≥0）时x=±；(x+m)²=n（n≥0）时x=-m± p<0时方程无实数根，不要硬开方 配方法 把二次项系数化为1后，两边同时加一次项系数一半的平方，化为(x+m)²=n再开方 两边同加，只加一边会出错 公式法 求根公式x=，适用b²-4ac≥0 先化为一般形式再代入a、b、c 因式分解法 依据ab=0则a=0或b=0，把方程化为两个一次因式之积为0 禁止两边同除以含未知数的式（会失根） 根的判别式 Δ=b²-4ac：Δ>0两个不等实根；Δ=0两个相等实根；Δ<0无实数根 代入前先确认a、b、c及a≠0 根与系数的关系 若x₁、x₂是方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根，则x₁+x₂=，x₁x₂= 前提Δ≥0；常用变形x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂ 一、基础巩固（过关必会，每题5分，共50分） A1（选择·★）下列方程中，属于一元二次方程的是（　） A．x²+2x=x²-1　B．ax²+bx+c=0　C．2x²-x+1=0　D．x+=3 A2（填空·★）把方程3x(x-1)=2(x+2)化为一般形式，其中二次项系数是（　），一次项系数是（　），常数项是（　）。 A3（选择·★）方程x²=9的根是（　） A．x=3　B．x=-3　C．x=±3　D．无实数根 A4（填空·★）用直接开平方法解方程(x-2)²=16，得x＝（　）。 A5（选择·★）用配方法解方程x²+4x-1=0，配方后所得方程正确的是（　） A．(x+2)²=5　B．(x+2)²=3　C．(x-2)²=5　D．(x+2)²=1 A6（填空·★）方程x²-3x-4=0用因式分解法可化为(x-4)(x+1)=0，其两个根是x₁＝（　），x₂＝（　）。 A7（选择·★）一元二次方程2x²-x+3=0的根的情况是（　） A．有两个不相等的实数根　B．有两个相等的实数根　C．无实数根　D．不能确定 A8（填空·★）配方：x²-6x＋（　）＝(x-（　）)²。 A9（填空·★）方程3x²-2x-5=0中，a＝（　），b＝（　），c＝（　）；根的判别式Δ＝（　）。 A10（填空·★）已知x=2是方程x²-mx+2=0的一个根，则m＝（　）。 二、能力提升（方法进阶，每题5分，共30分） B1（解答·★★）用配方法解方程：2x²-4x-1=0。 B2（填空·★★）已知x₁、x₂是方程x²-5x+3=0的两根，则x₁+x₂＝（　），x₁x₂＝（　），x₁²+x₂²＝（　）。 B3（填空·★★）若关于x的方程x²+2x+k=0有两个相等的实数根，则k＝（　）。 B4（解答·★★）解方程：(x+1)²-4(x+1)+3=0（可换元，也可直接展开）。 B5（填空·★★）若方程x²-3x+m=0的一个根是另一个根的2倍，则m＝（　）。 B6（解答·★★★）已知关于x的方程x²-(2k+1)x+k²+k=0。 (1) 求证：该方程总有两个不相等的实数根； (2) 若该方程的一个根是3，求k的值和另一个根。 三、综合应用（素养落地，每题5分，共20分） C1（应用·增长率·财经·★★）某品牌新能源汽车2024年销量为20万辆，2026年销量达到28.8万辆。 (1) 求这两年年销量的平均增长率； (2) 按此增长率，预计2027年销量约为多少万辆？（结果保留整数） C2（应用·面积·工程·★★）如图2，用一根长为40米的篱笆围成一个矩形菜园，一边靠墙（墙长不限）。 (1) 若菜园的面积为150平方米，求与墙平行的一边的长； (2) 判断菜园面积能否达到220平方米，并说明理由。 图2　用40米篱笆围成矩形菜园（C2） C3（应用·利润·财经·★★★）某商店销售一种商品，进价为每件40元，售价为每件60元，每天可售出20件。市场调查发现：每件售价每降低1元，每天可多售出5件。 若商店每天想获利700元，且希望尽快减少库存，每件售价应定为多少元？ C4（跨学科·物理·★★★）某物体从高空自由下落（忽略空气阻力，近似满足h=5t²，其中h为下落高度，单位：米；t为下落时间，单位：秒）。 (1) 若物体下落20米，求所用时间； (2) 若物体下落h米所用的时间比下落20米所用的时间多1秒，求h的值。 综合与实践 · 项目式学习 【项目名称】黄金分割与一元二次方程 任务1　认识黄金比：阅读教材“阅读与思考”栏目（一元二次方程与黄金分割数），了解黄金分割在美术、建筑、摄影构图中的应用。 任务2　解方程：用配方法或公式法解方程x²-x-1=0，指出哪个根是黄金比（精确到0.001）。 任务3　测量验证：测量身边矩形物体（如书、卡牌、手机屏幕）的长与宽，计算长宽比，比较它与黄金比1.618的接近程度。 任务4　设计应用：利用黄金比设计一个矩形图案或徽标草图，写出设计思路。 任务5　成果分享：小组汇报，展示解方程过程、测量数据与设计图。 课标对接：“综合与实践”领域重在解决实际问题、以跨学科主题学习为主，第四学段可采用项目式学习。本项目融合美术（构图与比例）、建筑（黄金矩形）、信息科技（计算器或AI工具辅助开方计算）。 评价维度 分值 评价标准 解方程过程 25 方法正确、结果精确到0.001、能说明取舍依据 测量与数据 25 测量规范、数据真实、长宽比计算正确 黄金比应用 20 能结合黄金比说明设计思路 报告表达 20 结论清晰、有数据支撑 合作与反思 10 小组协作良好、有反思改进 延伸思考：黄金比中的方程x²-x-1=0还隐含着“斐波那契数列相邻两项之比趋近黄金比”的规律，可上网查阅验证；九年级下册学习相似后，还能从几何角度再次认识黄金分割。 四、月考加油站 （一）本单元复习清单（必会5条） 序号 过关标准 1 能识别一元二次方程并化为一般形式，说清a≠0 2 会用直接开平方法、配方法解一元二次方程 3 会用公式法、因式分解法解一元二次方程 4 会用根的判别式判断方程根的情况，会求参数值 5 会用根与系数的关系求两根的和、积及常见变形 （二）月考仿真小测（限时20分钟，满分80分，每题10分） M1（选择·★）下列方程中，是一元二次方程的是（　） A．x²-1=(x+1)(x-1)　B．2x²-3x=0　C．x²+=2　D．x-2y=1 M2（填空·★）方程x²-8x+15=0的两个根是（　）。 M3（填空·★）用公式法解x²-2x-3=0，根的判别式Δ＝（　）。 M4（填空·★）已知x₁、x₂是方程x²+3x-2=0的两根，则x₁+x₂＝（　），x₁x₂＝（　）。 M5（选择·★）一元二次方程x²+2x+5=0的根的情况是（　） A．有两个不相等的实数根　B．有两个相等的实数根　C．无实数根　D．有一个实数根 M6（填空·★★）配方：x²+6x＋（　）＝(x＋（　）)²。 M7（解答·★★）用因式分解法解方程：2x²-5x+2=0。 M8（解答·★★★）某工厂一月份产值为10万元，三月份产值为14.4万元。求这两个月产值的月平均增长率。 五、上好复习课 · 方法指引 【复习方法】 1．画解法决策图：面对一个一元二次方程，先看能否直接开方或因式分解，不能用再配方或套公式；把四种方法画成一张流程图，贴在错题本首页。 2．三步检验法：解完方程后，(1) 把根代回原方程检验；(2) 检查是否因“两边同除”失根；(3) 检查根的个数与判别式判断是否一致。 3．错题归因：把错题分为概念不清（如漏a≠0）、方法不会（配方漏加）、粗心（符号代入错）三类，每类至少重做1道典型题并口述理由。 4．限时训练：月考仿真小测按20分钟限时完成，对照答案自评，记录丢分类型。 5．一题多解：同一道方程分别用配方法、公式法、因式分解法各解一遍，体会“降次”思想的一致性。 六、AI辅助学习 · 错题门诊 用AI工具辅助复习时，建议按“四步门诊法”操作，把AI当作“学习助手”而不是“答案机器”： 步骤 操作 注意 1 诊断 把错题发给AI工具（如豆包），请它分析本题考查的知识点与易错点 不发送真实姓名、学校等隐私信息 2 变式 请AI出3道同类变式题（难度递进），独立完成后核对 先自己思考，再对照答案 3 核查 把AI的解析当作“小老师”，用课本公式逐条检验（如韦达定理前提Δ≥0） 发现疑点及时请教老师 4 归档 把错题与变式整理进错题本，标注对应知识点 AI答案仅供参考，以课本和老师讲解为准 七、易错辨析（丢分点清零） 易错点 错例与反例 正确理解 漏掉a≠0 把ax²+bx+c=0直接当作一元二次方程 只有a≠0时才是，a=0退化为一次方程 直接开平方漏负根 解x²=9只写x=3 x=±3，两个根都要写 配方只加一边 解x²+4x=1时只给左边加4 两边同时加()²=4，得(x+2)²=5 两边同除失根 解x(x-3)=0时两边同除以x 用因式分解：x=0或x-3=0，x=0不能丢 判别式代入错 对3x²-2x+1=0写Δ=4-4×3×1=4-12=-8正确，但常把符号代错 先化一般形式，再逐项代入b²-4ac 韦达定理前提忽略 方程x²+x+1=0（Δ<0）仍求“两根之和” 前提是Δ≥0；Δ<0无实数根，不适用韦达定理 八、参考答案与解析 先独立完成全部题目，再对照本部分核验；解析中给出关键步骤与错误原因，帮助自评自纠。 （一）基础巩固 A1　C。解析：A化简后为2x+1=0，是一次方程；B没有注明a≠0；D含，不是整式方程。 A2　3；-5；-4。解析：展开得3x²-3x=2x+4，移项合并得3x²-5x-4=0，所以a=3，b=-5，c=-4。 A3　C。解析：x²=9即x=±=±3，两个根不能漏。 A4　6或-2。解析：x-2=±4，所以x=2+4=6或x=2-4=-2。 A5　A。解析：x²+4x-1=0移项得x²+4x=1，两边加()²=4，得(x+2)²=5。 A6　4；-1。解析：由(x-4)(x+1)=0得x-4=0或x+1=0，所以x₁=4，x₂=-1。 A7　C。解析：Δ=(-1)²-4×2×3=1-24=-23<0，方程无实数根。 A8　9；3。解析：一次项系数-6的一半是-3，其平方为9，x²-6x+9=(x-3)²。 A9　3；-2；-5；64。解析：a=3，b=-2，c=-5，Δ=(-2)²-4×3×(-5)=4+60=64。 A10　3。解析：把x=2代入得4-2m+2=0，解得m=3。 （二）能力提升 B1　x=。解析：两边除以2得x²-2x-=0，移项x²-2x=，两边加1得(x-1)²=，x-1=±=±，所以x=1±=。 B2　5；3；19。解析：x₁+x₂=5，x₁x₂=3；x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=25-6=19。 B3　1。解析：两个相等实数根⇔Δ=0，即4-4k=0，k=1。 B4　x=0或x=2。解析：设t=x+1，则t²-4t+3=0，因式分解(t-1)(t-3)=0，t=1或3，所以x+1=1或x+1=3，x=0或x=2。（直接展开：(x+1)²-4(x+1)+3=x²+2x+1-4x-4+3=x²-2x=x(x-2)=0） B5　2。解析：设两根为a、2a，则a+2a=3得a=1，两根为1、2，m=1×2=2。 B6　(1) Δ=(2k+1)²-4(k²+k)=4k²+4k+1-4k²-4k=1>0，所以方程总有两个不相等的实数根。(2) 把x=3代入：9-3(2k+1)+k²+k=0，即k²-5k+6=0，解得k=2或k=3。当k=2时方程为x²-5x+6=0，另一根x₂==2；当k=3时方程为x²-7x+12=0，另一根x₂==4。（利用x₁x₂==k²+k求另一根更简） （三）综合应用 C1　(1) 20%。解析：设平均增长率为x，则20(1+x)²=28.8，(1+x)²=1.44，x>0，得1+x=1.2，x=0.2=20%。(2) 约35万辆。解析：28.8×(1+20%)=34.56≈35（万辆）。 C2　(1) 10米或30米。解析：设与墙平行的一边为x米，则垂直于墙的边为米，由=150得x²-40x+300=0，因式分解(x-10)(x-30)=0，x=10或30，均符合围法（见图2）。(2) 不能。解析：若面积为220平方米，则=220，即x²-40x+440=0，Δ=(-40)²-4×440=1600-1760=-160<0，方程无实数根，所以面积不能达到220平方米。 C3　50元。解析：设每件降价x元，则售价为(60-x)元，销量为(20+5x)件，单件利润为(20-x)元。(20-x)(20+5x)=700，展开得400+80x-5x²=700，即5x²-80x+300=0，x²-16x+60=0，(x-6)(x-10)=0，x=6或10。当x=6时售价54元、日销50件；当x=10时售价50元、日销70件。为尽快减少库存应销量更多，取x=10，售价50元。检验：(50-40)×(20+50)=10×70=700（元），正确。 评分要点：设未知数、正确列出方程3分；解方程并正确取舍2分；共5分。 C4　(1) 2秒。解析：5t²=20，t²=4，t=2（t>0）。(2) 45米。解析：由5t²=h得t=；由题意，下落h米比下落20米多1秒，故=+1=2+1=3，即=9，所以h=45（米）。 （四）月考仿真小测 M1　B。解析：A化简后为0=0恒等式，不是一元二次方程；C含不是整式方程；D是二元一次方程。 M2　3和5。解析：因式分解(x-3)(x-5)=0，x=3或5。 M3　16。解析：Δ=(-2)²-4×1×(-3)=4+12=16。 M4　-3；-2。解析：x₁+x₂=-3，x₁x₂=-2。 M5　C。解析：Δ=4-20=-16<0，无实数根。 M6　9；3。解析：x²+6x+9=(x+3)²。 M7　x=或x=2。解析：2x²-5x+2=(2x-1)(x-2)=0，2x-1=0或x-2=0，x=或2。 M8　20%。解析：设月平均增长率为x，则10(1+x)²=14.4，(1+x)²=1.44，x>0，得x=0.2=20%。 说明：本讲义题目为原创命制，情境数据（销量、产值等）为示例性约值；对标《义务教育数学课程标准（2022年版）》编写，可在教学与组卷中合理使用。 1 学科网（北京）股份有限公司 $