第二十五章 一元二次方程 全章知识精讲 讲义（5知识点）、典型题过考点（24考点） 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学一元二次方程复习讲义通过表格系统梳理5个核心知识点，涵盖概念、解法、根的判别式、根与系数关系及应用，用对比表格呈现解法步骤与适用方程，配合“解法口诀”构建知识脉络，突出概念与应用的内在联系。 讲义亮点在于24个考点的“典例精讲+变式训练”设计，如增长率问题、面积问题等题型培养模型意识与应用意识，分层练习满足不同学生需求，中考真题聚焦考点，助力教师实施精准教学，提升学生运算能力与问题解决能力。

一元二次方程全章知识精讲（5知识点）、典型题过考点（24考点）、聚焦中考数学九年级上册 知识精讲 知识点一：一元二次方程的概念 概念 只有 未知数，并且化简后未知数的最高次数是＿的＿方程叫作一元二次方程 一般形式 （其中a,b,c为常数其中 是二次项， 是二次项系数， 是一次项， 是一次项系数， 是常数项 方程的解 使一元二次方程左右两边相等的 的值叫作一元二次方程的解，也叫一元二次方程的 基础点对点 1．下列方程中，是一元二次方程的是（  C   ） A． B． C． D． 【详解】解：A. 方程含两个未知数，不是一元二次方程． B. 方程分母含未知数，是分式方程，不是一元二次方程． C. 方程只含一个未知数，未知数的最高次数为2，是整式方程，是一元二次方程． D. 方程只含一个未知数，未知数的最高次数为1，是一元一次方程，不是一元二次方程． 2.已知关于的方程是一元二次方程，则的值应为__． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴且． 解得． 故答案为：． 3．一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（   B  ） A．1，6，2 B．1，， C．0，， D．1，，2 【详解】解：已经是一般形式， 对应可得二次项系数，一次项系数，常数项． 4．将一元二次方程化为一般形式，正确的是（   C  ） A． B． C． D． 【详解】解：原方程为， ∵展开方程左边，得， 合并同类项得， 移项整理为一般形式，两边同乘得 5．若一元二次方程的一个解为，则的值为______． 【详解】解：把代入一元二次方程， 得，解得． 又∵是关于的一元二次方程， ∴，即， ∴符合条件． 知识点二：一元二次方程的解法 方法 适用的方程 步骤 直接开平方法 形如（a,b同号） 的方程 两边开 转化为两个一元一次方程 配方法 易变形为的方程 1 变形：二次项系数化为 ；②移项：把 移到方程另一边③配方：方程两边都加 把左边配成完全平方式的形式：④解方程：若方程右边是 ，则可直接开平方解方程 公式法 满足的一元二次方程 ①方程为 ②确定a,b,c的值（符号）；③求出 的加以判定：④代入求根公式 求解 因式分解法 易变形为的方程 ①化方程为 ②把左边分解因式为 ③将原方程化为两个 ④解两个一次方程得的根 提分点睛→一元二次方程的解法口诀： 方程没有一次项，直接开方最理想.如果缺少常数项，因式分解没商量. b,c同时不为零，因式分解或配方.也可直接套公式，因题而异择良方. 基础点对点 3.用适当的方法解方程： (1) (2) (3) (4) 解：（1） 即或 解得，． （2） 即或 解得，． （3） 这里，， ∴ ∴，． （4） 即或 解得，． 知识点三：一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的判别式： 叫作一元二次方程根的判别式 .常把它记作：Δ=______ 对于一元二次方程 (1)→方程有两个不相等的实数根，即 (2)→方程有两个相等的实数根，即 (3)→方程 提分点睛→应用根的判别式时，若一元二次方程不是一般形式，要先化成一般形式.在求一元二次方程中字母系数的值时，注意二次项系数不为0这一隐含条件． 基础点对点 4．关于的一元二次方程的实数根的情况是（   A  ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 解：∵一元二次方程中，，， ∴， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 5．下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（    B ） A． B． C． D． 【详解】解：A 选项：对于方程 ，， 方程有两个相等的实数根，不符合要求； B 选项：对于方程 ，， 方程有两个不相等的实数根，符合要求； C 选项：对于方程 ，， 方程没有实数根，不符合要求； D 选项：对于方程 ，， 方程有两个相等的实数根，不符合要求． 6．关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为______． 解：关于的方程有两个不相等的实数根， ， ， 故答案为：． 知识点四：一元二次方程根与系数的关系 一元二次方程根与系数的关系：若一元二次方程的两根分别为,,则有___,______ 2．用根与系数的关系求值时的常见变形； (1) (2) (3) (4) 基础点对点 1．设，是一元二次方程的两个根，则（  A   ） A． B． C． D． 解：对于一元二次方程，若两根为，则，． ∵一元二次方程为， ∴，，， ∴，， 则A对应正确结论． 2．若方程的两个根分别是，则的值为________． 解：∵方程的两个根分别为，， ∴，， ∴． 知识点五：一元二次方程的应用 步骤：遵循“审→设→列→解→验→答”六步曲 1. 审：审题，找出已知量、未知量及核心等量关系 2. 设：设未知数（直接设或间接设），必须注明单位 3. 列：根据等量关系列出一元二次方程 4. 解：用合适的方法解所列的一元二次方程 5. 验：双重检验①检验根是否为方程的解；②检验根是否符合实际意义 6. 答：写出完整的答案，注明单位 增长（下降）率问题 增长（下降）率＝增长（下降）量x100%基础量 设a为原来量，m为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量，则b＝ 当m为平均下降率，n为下降次数，b为下降后的量时，则有b＝ 利润问题 ①利润＝售价一成本： ③总利润＝单件的利润x数量.在“每每”型问题中，单价每涨（降）a元，少卖（多卖）6件，每涨价x元，则少卖（多卖）的数量为件 面积问题 矩形的长为a，宽为b，空白部分的宽为x 互赠礼物单循环赛、握手问题 ①x人互赠礼物共 件； ②x人两两握手共握手（单循环淘汰赛） 基础点对点 1．某工厂四月份生产零件25万个，第二季度共生产零件91万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为，则下面所列方程正确的是（   D  ） A． B． C． D． 解：四月份产量为25万个， 五月份产量为万个， 六月份产量为万个． ∵第二季度总产量为91万个， ∴． 2．如图，要设计一本书的封面，封面长，宽，正中央是一个与整个封面长度比例相同的长方形．如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度？若设上、下边衬的宽均为，左、右边衬的宽均为．那么满足的方程是（   D ） A． B． C． D． 解：设上、下边衬的宽均为，左、右边衬的宽均为，则中央矩形的长与宽为，， 由题意得：． 3．2026年的世界杯足球赛中，组委会将参赛球队平均分成了个小组，在小组赛中，每支球队都要和组内其他球队进行一场比赛．小莹了解到本届世界杯小组赛共有场，但不知道每个小组有几支球队．若设每个小组有支球队，则可列方程为（   D  ） A． B． C． D． 解：∵每个小组有支球队，每支球队要和组内支球队各进行一场比赛，且甲对乙和乙对甲是同一场比赛， ∴ 一个小组的比赛总场数为， ∵ 一共有个小组，小组赛总场数为场， ∴ 可列方程为． 4．如图1为一矩形纸板，长，宽．在它的四角各切去一个同样大小的正方形，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒（如图2）．如果要制作的无盖方盒的底面积为，则矩形纸板各角应切去正方形的边长为______． 解：设矩形纸板各角应切去正方形的边长为． 根据题意，得 ． 整理，得 ． 解得 ． 当 时，，不合题意，舍去． 所以 ，即矩形纸板各角应切去正方形的边长为1． 5．某青年旅社有间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天元时，所有客房都可以住满．客房定价每提高元，就会有间客房空闲，对有游客入住的客房，旅社还需要对每个房间支出元/天的维护费用．若该青年旅社希望每天纯收入为元，且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元？（纯收入总收入维护费用） 解：设每间客房的定价提高了x元，由题意得： ， 解得：， 当时，有游客居住的客房数量是：（间）； 当时，有游客居住的客房数量是：（间）； 所以当时，能吸引更多的游客，则每间客房的定价为（元）． 答：每间客房的定价应为300元． 典型例题过考点 考点1：一元二次方程的一般形式 【典例精讲】 将一元二次方程化成一般式，则一次项系数和常数项分别是（     ） A．3，5 B．3， C．，5 D． 【思路分析】一元二次方程的一般式为（），其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项，先将原方程整理为一般式，再确定对应系数即可. 【详解】解：∵方程化成一般式为， ∴一次项系数为，常数项为. 【变式训练】 将下列方程化为关于的一般形式，指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项 (1)； (2)． （1）解：∵， ∴， ∴方程的一般形式为，二次项系数为，一次项系数为，常数项为； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴方程的一般形式为，二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 考点2：由一元二次方程的定义求参数 【典例精讲】若关于的方程是一元二次方程，则应满足的条件是__________． 【思路分析】一元二次方程的定义，未知数最高次数为，且二次项系数不为，据此列出等式与不等式求解即可． 解：关于的方程是一元二次方程， ，且， 解 ，得， 即， 又都满足， 故． 【变式训练】关于x的方程是一元二次方程，则m的值为______． 解：由一元二次方程的定义得 解得， 即， 解得， 因此的值为． 考点3：判断是否是一元二次方程的解 【典例精讲】 若关于x的一元二次方程有一根为，则方程的另一个根为______． 【思路分析】将方程的一个根代入得到的值，再利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：将代入方程得：， 解得：， ， ， ， 【变式训练】 若是方程的一个根，则代数式的值为______． 【详解】解：是方程的一个根， ∴， ， ， 故答案为：． 考点3：由一元二次方程的解求参数 【典例精讲】若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值是________ ． 【思路分析】把代入方程中，求出的值，结合即可得解． 【详解】解：由题意得：把代入方程中得：， 解得：， ∵， ∴， ∴， 【变式训练】若是关于的方程的一个根，代数式的值为__________． 解：是关于的方程的一个根， ，则， ． 考点5：解—元二次方程——直接开方法 【典例精讲】 的解是____，______． 【思路分析】本题考查了一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的解法是解题关键，通过移项和开平方求解方程即可． 【详解】方程 ， 移项，得 ， 开平方，得 ， 即，． 【变式训练】 (1) (2)；(3)； （1）解：， ， 所以或． （2）解：， 或， ． （3）解：， ， 或， ； 考点6：解—元二次方程——配方法 【典例精讲】 配方是指通过变形，将一元二次方程的二次项和一次项组合成一个完全平方式的过程。 完全平方式的结构为(x＋m)²＝x²＋2mx＋m²，其中常数项是一次项系数一半的平方。 配方的关键是在方程两边同时加上“一次项系数一半的平方”，使左边构成一个完全平方式，右边成为一个常数。 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 对于形如x²＋px＋q＝0（二次项系数为1）的方程，配方法步骤： 1. 移项：将常数项移到等号右边，得x²＋px＝－q； 2. 配方：方程两边同时加上“一次项系数一半的平方”，即(p)²，得x²＋px＋(p)²＝－q＋(p)²，左边化为(x＋p)²； 3. 开平方：对变形后的方程(x＋p)²＝n用直接开平方法求解； 4. 写出解。 解： 移项得 配方，方程两边同时加16得 整理得 开方得 解得，． 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 对于形如（）的方程，配方法的核心思路是先将方程两边同时除以a，使二次项系数化为1，再按上一课时的方法配方求解。完整步骤： 1. 化二次项系数为1：方程两边同除以a，得； 2. 移项：； 3. 配方：两边同时加上“一次项系数一半的平方”，即，得； 4. 左边写成完全平方式：； 5. 开平方求解。 解： 或 ∴，； 【变式训练】 （1）； （2） （3）（4） （1）解： 解得，； （2）． 解：， ， ， ， ， ， 所以方程的解为，． （3） 解： （4） 解：， ， ， ， ， ． 考点7：配方法的应用 【典例精讲】 【阅读理解】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性增加问题的条件，这种解题方法叫作配方法．配方法不仅在代数式求值、解方程、求最值问题等有着广泛的应用，也在几何、经济等领域常用来分析最值，求解未知量． 应用一 应用二 用配方法分解因式：． 解： ． 用配方法求代数式的最小值． 解： 的最小值为 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)因式分解：________； (2)若，运用配方法可求出的最小值为________； (3)如图，在中，，，，点为边上一点（不与点、点重合），连接，以为边在上方构造正方形，连接．则面积的最大值为________． 【思路分析】（1）把原式变形为，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （2）仿照例题利用配方法求解即可； （3）过点F作于点H，证明，得到；设，则，则，据此可得答案． （1）解： ； （2）解： ， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为； （3）解：如图所示，过点F作于点H， ∴， ∴； ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 设，则， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为8． 【变式训练】 综合与实践 【项目主题】配方法的应用． 【项目准备】 (1)利用完全平方公式将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．配方法是一种重要的数学方法，常用于求代数式的最值．例如：求代数式的最小值，可知，当时，有最小值，最小值是____________ ．配方法也可以对一些多项式进行因式分解，例如：分解因式，原式_________________________ ． (2)【项目解决】当a，b，c分别为的三边长，且满足时，直接写出c的取值范围． (3)如图，在四边形中，．若，求四边形面积的最大值 ． 解：（1）∵，， ∴当时，有最小值，最小值是． 分解因式，原式． （2）解：， ， ， ，， ，， ∵， ∴． （3）解：∵在四边形中，， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴四边形面积的最大值为． 考点8：公式法解一元二次方程 【典例精讲】 公式法解方程的步骤： ①化为一般式，若系数中含有分数，最好可以先将其简化成整数； ②确定； ③代入“”先行判断方程解的情况； ④若有解，则代入求根公式；若无解，直接写出结论。 一元二次方程的实数根是（    ） A． B． C．， D． 【答案】D 【思路分析】先将原一元二次方程整理为一般形式，再利用一元二次方程求根公式求解即可． 【详解】解：， ， 判别式 ， ∴代入求根公式得 ∴，即选项D符合题意． 【变式训练】 1.某一元二次方程的根用求根公式表示为，则该一元二次方程为（  B ） A． B． C． D． 解：由题意得，， ∴该一元二次方程为， 故选：B． 2.用公式法解一元二次方程：． 解：一元二次方程为． 其中，，， 则， ∴， 解得， ． 考点9：因式分解法解一元二次方程 【典例精讲】 常见的因式分解的方法： （1）提取公因式法：； （2）公式法： 平方差公式：； 完全平方公式： （3）十字相乘法： 对形似于的二次三项式，若且，则。 对形似于的二次三项式，若，，且，则。 (Ⅰ)二元二次齐次式的“降维”分解 核心思想：将其中一个字母（如）视为“已知常数系数”，另一个字母（如）作为主元进行十字相乘法的因式分解。 常见形式： 例： 将看作中的常数项，在原十字相乘法的因式分解中，我们认为是由两个常数相乘得到的，因此在该例中，我们也同样认为，是由某两个含有的单项式相乘得到的，进而将拆分为，交叉验证，最终分解为 (Ⅱ)含参字母（系数）的“动态”十字相乘 核心思想：待定系数中不仅包含数字，还包含另一个字母（如），要求根据“交叉项”的系数反推因式分解的配凑 例： 这里的常数项为，可以将其拆分为，交叉验证恰好等于一次项系数，最终分解为 (Ⅲ)利用十字相乘解决“高次方程”的降次 核心思想：十字相乘法的因式分解不限于二次，当遇到可以分解的三次或四次方程，可以先提取公因式或换元，再用十字相乘法因式分解 Ⅲ)利用十字相乘解决“高次方程”的降次 核心思想：十字相乘法的因式分解不限于二次，当遇到可以分解的三次或四次方程，可以先提取公因式或换元，再用十字相乘法因式分解 例： 先提取公因式，得,再对括号内的二次三项式十字相乘法因式分解，可得，进而直接求出方程的三个根 例： 将视为整体，即，再对该式十字相乘因式分解可得，将回代，得到，再利用平方差公式彻底分解即可 【变式训练】 (1)；(2)． （1）解： 因式分解得，， ∴或， 解得：，． （2）解： 因式分解得，， ∴或， 解得：，． 考点10：换元法解一元二次方程 【典例精讲】 定义：在解一元二次方程时，有时候会把含有未知数的一个式子看作一个整体，然后用一个简单的字母表示，达到简化方程的目的，再解方程的方法叫做整体法或换元法。 例如：解方程 解：令，原方程可化为 对该式因式分解，可得 解得 或3 或，解得， 【变式训练】 已知一元二次方程的两根分别为、1，则方程的两根分别为（  B  ）． A．、1 B．、3 C．、 D．无法确定 解：设在方程中，， ∴方程可整理为，即变形为关于的方程， ∵关于x的一元二次方程的两根分别为、1， ∴关于t的一元二次方程的两根分别为、1， ∴或， 解得或， ∴方程的两根分别为、3， 故选：B． 考点11：根据判别式判断一元二次方程根的情况 【典例精讲】 解题原理 1. 先把方程整理为一般式，准确找出 、、； 1. 代入计算 ； 1. 根据 正负，对照结论直接判定根的数量； 1. 含参数方程先化简判别式，再判断代数式正负。 关于x的一元二次方程根的情况是（ A    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断根的情况 【思路分析】计算根的判别式，根据判别式的符号即可判断根的情况． 【详解】解：对于一元二次方程，可得，，， ， 又无论取任意实数，都有， ，即， 该方程有两个不相等的实数根． 【变式训练】 关于x的一元二次方程的根的情况是（ C   ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判断 解：对于一元二次方程，可得，，． ， 该一元二次方程有两个不相等的实数根． 考点12：根据一元二次方程根的情况求参数 【典例精讲】 解题原理 1. 整理方程，写出二次项系数、一次项、常数项； 1. 列两个限制条件： ① 二次项系数 ； ② 根据根的情况列出 / / ； 1. 解不等式/方程，取两者交集； 1. 若题目只说“方程有实数根”，即 。 ※注意不要忽略二次方程的定义，二次项系数不为0. 关于的方程有实数根，则的取值范围为（   A  ） A． B． C．且 D．且 【思路分析】分为和两类讨论，结合根的判别式求出的取值范围． 解：①当时，该方程为关于的一元二次方程， ∵方程有实数根， ∴， 解得， ∴且； ②当时，该方程为关于的一元一次方程， 原方程为，有实数根，符合题意； 综上所述，的取值范围为． 【变式训练】 关于x的一元二次方程满足，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用方程有两个相等实数根得到判别式为0，结合已知条件整理得到a，b，c的关系，进而判断选项． 【详解】解：关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ，且， ， ， 将代入，得， 整理，得， ， ， 将代入，得， ， 故C正确； ， ， 故A错误； ， 故B错误； ，a的值不确定， 不一定等于， 故D错误． 考点13：一元二次方程的根与系数的关系 【典例精讲】 解题必备步骤 （1）确认方程为一元二次方程，写出 ； （2）计算 、； （3）将所求代数式因式分解、配方变形； （4）整体代入求值； 注意 使用韦达定理前提：方程有实数根，。 已知一元二次方程有两个实数根为，，则的值为（   D  ） A． B． C． D． 【思路分析】本题利用一元二次方程根与系数的关系，先求出两根之和与两根之积的值，再将所求代数式变形后代入计算即可． 【详解】解： 一元二次方程中，，，， ，， ∴． 方程x2﹣2x﹣24＝0的根为x1，x2，则（x1+1）（x2+1）的值为（　D　） A．﹣33 B．15 C．﹣28 D．﹣21 【思路分析】先利用根与系数的关系得到x1+x2＝2，x1x2＝﹣24，再计算（x1+1）（x2+1）得x1x2+x1+x2+1，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：根据根与系数的关系得x1+x2＝2，x1x2＝﹣24， 所以（x1+1）（x2+1）＝x1x2+x1+x2+1＝﹣24+2+1＝﹣21． 故选：D． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2． 【变式训练】 【变式1-1】设，是一元二次方程的两根，则的值为（ C    ） A．6 B．8 C．14 D．16 解：∵，是一元二次方程的两根， ∴，． ∴． 故选：C． 【变式1-2】设m、n是一元二次方程x2+3x﹣5＝0的两个根，则m2+4m+n＝　 2 ． 解：∵m是一元二次方程x2+3x﹣5＝0的根， ∴m2+3m﹣5＝0， ∴m2＝﹣3m+5， ∴m2+4m+n＝﹣3m+5+4m+n＝m+n+5， ∵m、n是一元二次方程x2+3x﹣5＝0的两个根， ∴m+n＝﹣3， ∴m2+4m+n＝﹣3+5＝2． 故答案为2． 考点14：传播问题（一元二次方程的应用） 【典例精讲】 确定初始传染源，设每轮平均一人传染x人；两轮传染总人数列式：1+x+x(1+x)；结合题目给出的总感染人数建立一元二次方程；解方程后舍去负数解，结合实际取舍根再作答。 实验中学数学“研学”活动小组在一次野外实践时发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数为57，则这种植物每个支干长出的小分支的个数是（  B ） A．6 B．7 C．8 D．9 【思路分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是得出量与量之间的等量关系，建立一元二次方程，设每个支干长出的小分支个数为，根据主干、支干和小分支的总数为57，列出方程求解． 【详解】解：设每个支干长出的小分支个数为． ∵ 主干1个，支干个，小分支个， ∴， 即， 解得（舍去）， ∴ 小分支个数为7， 故选：B． 【变式训练】 现在是流感多发季，假设有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感， (1)请问每轮传染中平均一个人传染多少人？ (2)第三轮共有多少人患流感？ （1）解：设每轮传染中平均一个人传染人， 根据题意可得， 整理得， ∴， ∴或（不合题意，舍去） ∴每轮传染中平均一个人传染 人． （2）由题意可得，（人）， 即第三轮共有人患流感． 化学是一门以实验为基础的学科，九班化学课代表小聪在老师的培训下，学会了高锰酸钾制取氧气的实验室制法，回到班上后开始教同学做实验，第一节课手把手教会了名同学，若第二节课小聪因家中有事请假了，班上其余会做该实验的每名同学又手把手教会了名同学，这样全班名同学恰好都会做这个实验了，求的值． 解：设一个人每节课手把手教会了名同学， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：的值是． 考点15：增长率问题（一元二次方程的应用） 【典例精讲】 套用模型a(1± x)2=b}，a代表初始基数，x代表单次增长率/降低率，b代表变化之后的最终量；增长用加号，降低、降价用减号；连续两次变化为平方，不能写成a(1±2x)=b；舍去负数、大于1的不符合现实的解。 固态电池被视为下一代动力电池的核心方向，假设某企业研发的固态电池，其初始能量密度为．经过两轮技术迭代后，能量密度达到，且每轮技术迭代后，电池能量密度的平均增长率相同．设电池能量密度每轮的平均增长率为，则可列方程为（    A ） A． B． C． D． 【思路分析】根据增长率问题的规律列出一元二次方程即可． 【详解】解：∵初始能量密度为，每轮平均增长率为，共经过两轮迭代， ∴第一轮迭代后能量密度为，第二轮迭代后能量密度为， 又∵两轮迭代后能量密度为， ∴可列方程为． 【变式训练】 某校社团文化节于3月底启动，4月初正式面向全校开放．社团联合会统计，4月1日参与活动的学生大约有1200人，4月3日参与活动的学生大约有2028人，那么从4月1日到4月3日参与活动的学生人数的日平均增长率为___________． 解：设日平均增长率为，则， 解得(不合题意，舍去)． ∴从4月1日到4月3日参与活动的学生人数的日平均增长率为. 考点16：与图形有关的问题（一元二次方程的应用） 【典例精讲】在手工活动课上，轩轩同学为了制作一个底面积是的有盖的长方体纸盒，他把一张长，宽的矩形纸张，将其两边剪去两个全等的矩形（如图①），剩余部分（阴影部分）经过折叠后得到一个长方体纸盒（如图②）．求长方体纸盒的长、宽、高各是多少？ 【变式训练】 如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设． (1)的长用含的代数式表示为 m； (2)现要围成面积为的花圃能行吗？若能，请求出长方形的边长；若不能，请说明理由． （1）解：设， 则； （2）解：不能，理由如下： 根据题意，得， 整理，得， 解得， 当时，，不符合题意， 答：不能围成面积为的花圃．． 考点17：数字问题（一元二次方程的应用） 【典例精讲】 设数位上的数字为未知数；两位数表示为10×十位数字+个位数字；根据数字之间和、差、乘积关系列出方程；数位数字只能取0‑9之间整数，对解做现实条件筛选。 ．2026年4月5日是我国的传统节日清明节，又称踏青节、行清节、三月节、祭祖节等，在每年4月4日至6日之间，是祭祀、祭祖和扫墓的节日．清明节源自上古时代的祖先信仰与春祭礼俗，兼具自然与人文两大内涵，既是自然节气点，也是传统节日．清明节与春节、端午节、中秋节并称为中国四大传统节日．在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示）．若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为153，求这个最小数．（请用方程知识解答） 【思路分析】设四个数中最小数为，则最大数为，再根据最小数与最大数的乘积为153列一元二次方程求解，最后选择符合实际的解即可． 解：设四个数中最小数为，则最大数为 由题意得：， 整理得：， ， 即， 解得：（舍）， 答：最小数为9． 【变式训练】 月历中的奥秘（九年级版）：如图是年月的月历表，在此月历表上用一个矩形圈出三行三列的个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．试解决以下的问题： (1)用矩形任意圈出的三行三列个数中，若最小的数设为，那么最中间的数可用表示为________，最大的数可用表示为________； (2)若矩形圈出的个数中，最大数与最小数的积为，这个数的和是多少？（请列方程解决） （1）解：∵每行的后一个数比前一个数大，每列的下一个数比上一个数大， ∴中间的数可用表示为， 最大的数可用表示为； （2）解：设最小数为，最大数为，根据题意可列方程：， ， 解得或（舍去）， 最小数为，最大数为， 个数为， 其和为． 考点18：营销问题（一元二次方程的应用） 【典例精讲】 牢记两个核心关系式：单件利润=售价‑进价，总利润=单件利润×销售量；价格上涨，销量下降；价格下调，销量上涨；准确写出变化后的单件利润和对应销量，列出方程；解完之后结合题目条件，舍去不符合售价、进货限制的根。 某种服装，平均每天可销售20件，每件盈利32元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售5件．设降价元． (1)若每天获得900元的利润，请你帮忙计算每件应降价多少元？ (2)该服装店能否通过降价销售的方式保证每天获得1640元的利润？并说明理由． 【答案】(1)每件应降价元； (2)不能，理由见解析． 【分析】（1）利用总利润=每件盈利×每天销售量列出一元二次方程求解，结合降价幅度不超过元的条件舍去不符合题意的解得到结果； （2）利用总利润=每件盈利×每天销售量列出一元二次方程，通过判断方程是否存在实数解即可得到结论． 【详解】（1）解：设降价元，根据题意，降价元后，每件盈利为元，每天销售量为件，且． 可得方程 ， 整理得 ． 解得 ， ， 不符合题意，舍去. 因此每件应降价元． （2）解：假设能获得每天元的利润， 根据题意得 ， 整理得， 配方得， 任何实数的平方都不为负数， 该方程没有实数解，因此该服装店不能通过降价销售的方式保证每天获得元的利润. 【变式训练】 某文创店生产一款文创产品并进行销售．每件文创产品的生产成本是30元，售价定为每件50元时，每天能售出40件．经市场调研发现：每件文创产品的售价每降低1元，每天会多售出8件． (1)该文创店为了提升利润，决定降价销售，若每天利润达到1200元，且尽可能让利于顾客，请求出相应的降价方案； (2)该文创店通过降价销售，每天利润能够达到1400元吗？如果能，请求出相应的降价方案；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)每件文创产品的售价应降低10元； (2)每天利润不能达到1400元，理由如下： 假设每天利润能够达到1400元，设每件文创产品的售价降低y元，则每件文创产品的销售利润为元，每天能售出件， 根据题意得：， 整理得， ， 原方程没有实数根， 假设不成立，即每天利润不能够达到1400元． 【分析】（1）设每件文创产品的售价降低x元，根据题意列方程解方程即可； （2）假设每天利润能够达到1400元，根据题意列一元二次方程，根据根的判别式判断方程根的情况即可． 【详解】（1）解：设每件文创产品的售价降低x元，则每件文创产品的销售利润为元，每天能售出件， 根据题意得：， 整理得， 解得， 又要尽可能让利于顾客， ． 答：每件文创产品的售价应降低10元； （2）略． 考点19：动态几何问题（一元二次方程的应用） 【典例精讲】 用「速度×运动时间」表示动点移动线段长度；结合面积公式、勾股定理建立一元二次方程；注意动点运动的时间取值范围；求出时间之后，剔除超出动点运动区间的无效解。 如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．若P，Q两点同时出发，当点Q运动到点C时，P，Q两点同时停止运动． 求： (1)几秒后，的面积等于？ (2)的面积能否等于？说明理由． 【答案】(1)当出发1秒后，的面积等于； (2)解：不能， 理由：假设经过t秒后，的面积等于，即， ∴， 整理得：， 由于， 则方程没有实数根， ∴的面积不能等于． 【分析】（1）设出发t秒时，则，， ，根据， 解方程即可求解； （2）令，根据三角形的面积公式列出方程，再根据得出方程没有实数根，从而得出的面积不能等于． 【详解】（1）解：设出发秒时，则， ，． ∴ 即 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴当出发1秒后，的面积等于； （2）略 【变式训练】 如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止移动． (1)如果分别从同时出发，那么第几秒时，的面积等于？ (2)如果分别从同时出发，那么第几秒时，的长度等于？ 【答案】(1)第1秒 (2)第0秒或2秒 【分析】本题考查动点问题，三角形的面积，一元二次方程的应用，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． （1）设第秒时，的面积为，得到，则，求出x的值即可； （2）设第秒时，的长度等于，由，得到，求出t的值即可． 【详解】（1）解：设第秒时，的面积为，此时， ∵， ∴， 整理得：， 解得：或（舍去）， 第1秒时的面积等于； （2）解：设第秒时，的长度等于， ∵， ∴， 解得：， 第0秒或2秒时，的长度等于． 考点20：工程问题（一元二次方程的应用） 【典例精讲】 把总工作量整体看作单位1；工作效率=1/完成总天数；总工作量=工作效率×工作时间；多人合作，效率直接相加；依据完成的工作量列出方程；舍去负数解。 在物理中，沿着一条直线且速度均匀增大或减小的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，例如，在一个时段内，初速度为20米/秒，末速度为30米/秒，则这个时间段的平均速度为米/秒．运动路程等于时间与平均速度的乘积（即）．若一个小球以10米/秒的初速度沿平滑的直线向前滚动，并且均匀减速，小球的滚动速度平均每秒减少2米/秒，小球滚动24米用了___4___秒． 【思路分析】设小球滚动24米用了x秒，则末速度为米/秒，利用路程平均速度运动时间，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 解：设小球滚动24米用了x秒，则末速度为米/秒， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去， 小球滚动24米用了4秒． 故答案为：． 【变式训练】 甲、乙两个机器人分别从相距70m的A、B两个位置同时相向运动．甲第1分钟走2m，以后每分钟比前1分钟多走1m，乙每分钟走5m． (1)甲、乙开始运动后多少分钟第一次同时到达同一位置？ (2)如果甲、乙到达A或B后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1m，乙继续按照每分钟5m的速度行走，那么开始运动后多少分钟第二次同时到达同一位置？ （1）解：设n分钟后第1次相遇，依题意，有+5n＝70， 整理得n2+13n﹣140＝0， 解得n＝7，n＝﹣20（不符合题意，舍去） 第1次相遇是在开始后7分钟． 答：甲、乙开始运动后7分钟第一次同时到达同一位置； （2）解：设n分钟后第2次相遇，依题意，有5n＝3×70， 整理得n2+13n﹣420＝0， 解得n＝15，n＝﹣28（不符合题意，舍去） 故第2次相遇是在开始后15分钟． 答：开始运动后15分钟第二次同时到达同一位置． 考点21：行程问题（一元二次方程的应用） 【典例精讲】 利用基础公式：路程=速度×时间；分清相遇、追及题型，找准路程等量关系；设速度或者时间为未知数，建立一元二次方程；速度、时间不能为负，舍去不符合实际的解。 一辆汽车以30米/秒的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行30米后停车． (1)则在这段时间内的平均车速为多少？从刹车到停车用了多长时间？ (2)从刹车到停车平均每秒车速减少多少？ (3)汽车滑行20米时用了多长时间？ 【答案】(1)15米/秒；2秒 (2)15米/秒 (3)秒 【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意正确列出式子． （1）由题意可得从刹车到停车所滑行了30米，根据题意可求出平均车速，继而可求得时间； （2）汽车从刹车到停车，车速从30米/秒减少到0，由（1）可得车速减少共用了2秒，平均每秒车速减少量总共减少的车速时间，由此可求得答案； （3）设刹车后汽车滑行到20米时约用了秒，这时车速为米/秒，，继而可表示出这段路程内的平均车速，根据“路程平均速度时间”列方程并求解，即可获得答案． 【详解】（1）解：根据题意，该辆汽车以30米/秒的速度行驶，从刹车到停车所滑行了30米， 则在这段时间内的平均车速为米/秒； 从刹车到停车所用的时间是秒； （2）从刹车到停车车速的减少值是， 从刹车到停车每秒平均车速减少值是米/秒； （3）设刹车后汽车滑行到20米时约用了秒，这时车速为米/秒， 则这段路程内的平均车速为米/秒， 所以， 整理，得， 解得，（不合题意，舍去）， 答：刹车后汽车行驶到20米时用了秒． 【变式训练】 一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒少 ． (2)已知小球滚动用了秒．（温馨提示：表示小球滚动秒时的瞬时速度，平均速度，滚动路程） ①求这段时间内小球的平均速度（用含的整式表示） ②求值． 【答案】(1) (2)①，② 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用． （1）从滚动到停下平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间，再进一步求解即可. （2）①利用列代数式即可； ②利用建立一元二次方程求解即可. 【详解】（1）解：从滚动到停下平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间， 即， 故小球的滚动速度平均每秒减少． （2）解：①这段时间内小球的平均速度； ②由题意得：， 整理得：， 解得：，， ∵， ∴不符合题意， ∴. 考点22：图表信息题（一元二次方程的应用） 【典例精讲】 读懂表格图像，从图表提取已知数据，找出变化规律；找准等量关系再列方程；不要直接照搬表格数字，要结合题意做换算；求出结果后回代图表验证合理性。 某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过度，那么这个月这户居民只交10元电费；如果超过度，这个月除了交10元电费外，超过部分按每度元交费． (1)该厂某户居民1月份用电90度，超过了度的规定，试写出超过部分应交的电费．（用含的代数式表示） (2)下表是这户居民2月、3月的用电情况，请根据其中的数据，求电厂规定的度是多少． 月份 用电量/度 交电费总数/元 2月 80 25 3月 45 10 【思路分析】（1）根据题意可得用电90度超过了规定度数（90－x）度，再由超过部分按每度元交电费，即可求解； （2）根据题意可得2月份用电量超过x度，列出方程，再由3月份用电45度只交电费10元，可得x≥45，即可求解． （1）解：∵规定用电x度， ∴用电90度超过了规定度数（90－x）度， ∵超过部分按每度元交电费， ∴超过部分应交的电费为x（90－x）元． （2）解∶2月份用电量超过x度，依题意得 x（80－x）＝25－10． 整理得x2－80x＋1500＝0． 解这个方程得x1＝30，x2＝50． 根据题意得：3月份用电45度只交电费10元， ∴电厂规定的x≥45， ∴x1＝30不合题意，舍去． ∴x＝50． 答：电厂规定的x度为50度． 【变式训练】 某市为鼓励居民节约用水，对居民用水实行阶梯收费，每户居民用水量每月不超过a吨时，每吨按元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按元缴纳水费． (1)若，某户居民3月份用水量为22吨，则该用户应缴纳水费多少元？ (2)若如表是某户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况： 月份 用水量（吨） 交水费总金额（元） 4 18 62 5 24 86 根据上表数据，求规定用水量a的值 （1）解：元， 答：该用户应缴纳水费元； （2）解：当时， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 当时，， ∴符合题意； 当时，则， 解得（舍去）； 综上所述，． 考点23：握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【典例精讲】 区分单向、双向：单循环球赛、握手（两者只发生一次），总次数1/2x(x-1)；互送礼物、互发消息（双向往来），总次数x(x-1)；根据总次数列方程；人数只能取正整数，舍去非正数、非整数解。 九年级乒乓球赛制采用单循环形式（每两人之间进行一场比赛）． (1)若参赛者有6人，按赛制共进行了几场比赛？ (2)以下是小文和小博对比赛总场数的统计，判断小博的说法是否正确，并说明理由． (3)若八年级也举行单循环赛制的乒乓球比赛，且比赛场次控制在90~100之间，则应该安排___________名参赛者． 【答案】(1)15场 (2) 说法正确，理由：设有人参赛， 由题意得， 整理得， 解得 的取值不为整数，即方程的解不符合实际， 小博的说法正确； (3)14 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意是解答的关键． （1）由题意，得6个队伍需比赛的局数为，即可求解； （2）设有x个队伍报名参赛，根据题意列方程，然后解方程，根据方程根的情况可得结论； （3）设有人参赛，则比赛的总场数为，然后取当，，，计算的值，结合题意即可得出答案． 【详解】（1）解： 故按赛制共进行了15场比赛； （2）略 （3）解：设有人参赛，则比赛的总场数为， 当时，； 当时，； 当时，； 又比赛场次控制在90~100之间， ∴应该安排14名参赛者， 故答案为：14． 【变式训练】 某学校九年级举办了一场乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（每两位参赛选手之间都赛1场）． 乐乐和淇淇针对这次比赛有如下对话： 乐乐：本次比赛一共进行了40场． 淇淇：你所说的并不正确，按照这个赛制，不应该是40场． 假设有x人报名参加比赛． (1)根据题意，乐乐列出的方程应该是：________．请利用乐乐所列的方程分析淇淇的说法是否正确； (2)乐乐补充道：本次比赛的确一共进行了40场，只是在比赛过程中遇到了特殊情况，有1人身体不适，只参加了4场比赛后就中途退赛．请直接写出此时x的值． 【答案】(1) 解：根据题意列一元二次方程得，，整理得，解得，不是整数， ∴方程的解不符合实际，按这个赛制不应该是40场，故淇淇的说法正确； (2)10． 【分析】（1）设有x人报名参加比赛，根据采用单循环赛制，列方程，求解即可． （2）设有x人报名参加比赛，根据采用单循环赛制，有一人比赛了4场后退出比赛，还有人继续比赛，此时比赛的场数为，列方程求解即可； 【详解】（1）略 （2）解：设有x人报名参加比赛，根据采用单循环赛制，有一人比赛了4场后退出比赛，还有人继续比赛，其余人继续比赛的场数为， 由题意得， 解得（舍去）， ∴x的值为10． 考点：其他问题（一元二次方程的应用） 【典例精讲】 严格执行应用题通用步骤：审、设、列、解、验、答；挖掘题干文字里面隐藏的等量关系；一元二次方程两个解必须检验现实意义；舍去负数、超出现实约束条件的解，规范书写带单位作答。 芯片是我国“十五五”核心攻关项目，场效应晶体管（管）是基本单元．管饱和区工作电流（单位：）由栅源电压（单位：）调节控制，满足公式：，其中和为常数，．已知某S型管满足，某R型管满足． (1)当时， A，当时， V． (2)只要控制管电流相同，不同型号的管就可以串联一起同时在饱和区工作，现将该和两型号管串联在饱和区工作，若两款管的安全电压都为， ①将型管调整为，通过计算判断该型管是否安全工作； ②在两款管都正常串联在饱和区工作的前提下，判断和的关系，并说明理由． 【答案】(1)1；5 (2)①R型管安全工作， 当S型时，， S和R两型号管电流相同， ． 由公式， 可得， 解得，（舍去）． ∵两款MOS管的安全电压都为， ∴R型MOS管在安全电压范围内，即安全工作． ②，理由如下： ∵S和R两型号管电流相同， ，即． ∵两款MOS管的安全电压都为， ，，即，． 化简可得， 可得． 【分析】（1）将已知数据代入题干公式即可解答； （2）①计算电流，根据和两型号管电流相同，代入相关公式，解方程即可解答； ②根据题意可得，化简可得答案． 【详解】（1）解：当时，A； 当时，可得， 解得（负数舍去）， 则当时，V； （2）①略 ②略 【变式训练】 中国航天“嫦娥探月”、“天问探火”以及空间站建设等成就激发了广大青少年对航天的热情．某航天科技体验馆将在暑假期间推出“逐梦苍穹”航天体验营，团体票收费标准如下： ①如果参加人数不超人，人均费用为元； ②如果参加人数超过人，每增加1人，人均费用降低5元，直到人均费用元时不再下降． (1)若有人参加活动，则人均费用是_______元（用含x的代数式表示）； (2)若某研学团参加体验营需要支付元的团体票费用，求研学团的人数． 【答案】(1) (2)人 【详解】（1）解：由题意得当时，人均费用为元， ， 有人参加活动，人均费用为元； （2）解：设有位研学团成员， 当时，，不符合题意， 当时，， 化简得， 方程两边同时除以得 ， 因式分解得， 解得、（舍去）， 当时，， 解得（舍去）， 答：研学团的人数为人． 聚焦中考 一、单选题 1．（2026·浙江·中考真题）关于的一元二次方程的实数根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【详解】解：∵一元二次方程中，，， ∴， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 2．（2026·黑龙江绥化·中考真题）已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对于一元二次方程，若两根为，则，，据此求出两根和与两根积，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根，且，， ∴， ∴． 3．（2026·四川宜宾·中考真题）已知方程的两根恰好是某菱形的对角线长，则这个菱形的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用因式分解法解方程求出方程的两个根，则可得到菱形的两条对角线的长，再根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半计算面积即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得或， ∵方程的两根恰好是某菱形的对角线长， ∴该菱形的两条对角线的长分别为2和7， ∴该菱形的面积为． 4．（2026·河南·中考真题）已知是关于的方程的一个根，则的值为（     ） A．5 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】将已知根代入原方程，即可得到关于参数的一元一次方程，解出即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴将代入原方程，得， 整理得， 移项得， 两边同除以，得． 5．（2026·江苏扬州·中考真题）关于x的一元二次方程根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断根的情况 【答案】A 【分析】计算根的判别式，根据判别式的符号即可判断根的情况． 【详解】解：对于一元二次方程，可得，，， ， 又无论取任意实数，都有， ，即， 该方程有两个不相等的实数根． 6．（2026·安徽·中考真题）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则（     ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】利用一元二次方程根的判别式性质，方程有两个相等实数根时判别式，整理等式即可求出的值． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴根的判别式， 展开整理得， 即， ∴，得， ∵， 等式两边同除以得． 7．（2025·四川雅安·中考真题）关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】一元二次方程有两个实数根需要满足两个条件：二次项系数不为0，且根的判别式，据此列式求解即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， ∴且． 8．（2026·辽宁·中考真题）我国古代数学著作《新编直指算法统宗》中记载：“今有方田一段，圆田一段，共积二百五十二步，只云方面、圆径适等．”其大意是：现有正方形田地和圆形田地各一块，面积之和为平方步，只知道正方形田地的边长与圆形田地的直径相等，问正方形田地的边长和圆形田地的直径各为多少步？设正方形田地的边长为步，根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出圆形田地的半径为步，再根据正方形田地与圆形田地的面积之和为平方步，列方程即可． 【详解】解：∵正方形田地的边长为步， ∴正方形田地的面积为平方步． ∵圆形田地的直径与正方形边长相等， ∴圆形田地的半径为步， ∴圆形田地的面积为平方步． ∵两块田地面积之和为252平方步， ∴． 9．（2026·湖北武汉·中考真题）对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法．以方程为例，赵爽的《勾股圆方图注》中记载的方法是：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为，则该方程的正数解为．小美尝试用此方法解关于的方程，构造如图2所示的图形．若图2中大正方形的面积为，则方程的正数解是（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】仿照题中方法，构造一个面积为的正方形，向外构造四个面积为的矩形，得出四个小正方形的边长为，根据大正方形的面积为得出大正方形的边长为，进而求出方程的正数解即可． 【详解】解：如图2，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形， ∴四个小正方形的边长为， ∵大正方形的面积为， ∴大正方形的边长为， ∴方程的正数解是． 10．（2026·湖北·中考真题）2026年湖北省城市足球联赛（简称“楚超”）是省内最大的群众足球赛事．楚超有支代表队参赛，常规赛采取单循环形式（每两支球队之间比赛1场），共需进行136场比赛，则可列方程（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据单循环赛制的比赛规则计算总场数，即可列出对应方程． 【详解】解：∵共有支球队参赛，单循环赛制要求每两支球队之间比赛场， ∴每支球队需要和除自身外的支球队各比赛场， 又∵每一场比赛会被两支球队重复计算次，需要去掉重复计数， ∴总比赛场数为， 已知总比赛场数为场， ∴可列方程． 二、填空题 11．（2026·广东·中考真题）已知方程的一个根是1，则_____． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的定义，将已知根代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解: 因为是方程的根， 将代入方程得：， 整理得， 移项得． 12．（2026·四川甘孜·中考真题）若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】当方程有两个不相等的实数根时，根的判别式大于0，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程，且有两个不相等的实数根， ∴， ∴， ∴． 13．（2026·广东深圳·中考真题）如图，在菱形中，点为边的中点，连接，．若，且，则菱形的边长为________． 【答案】 【分析】设菱形的边长为，根据中点定义和已知条件表示出和；过点作交的延长线于点，过点作于点，证明，设，利用勾股定理分别表示出和，建立关于和的方程组，求解即可． 【详解】解：设菱形的边长为， 四边形是菱形， ，， 点为边的中点， ， ， ， 过点作交的延长线于点，过点作于点，如图， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 设， 在中，， 在中，∵， ， ， ， 在中，∵， ， ， ∴， ∴， 将代入①得， 即， 解得（负值舍去）． 14．（2026·河北·中考真题）已知关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个根是另一个根的平方，则_________． 【答案】 【分析】设方程的两根分别为和，利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积的表达式，先求解的值，再计算，最后验证原方程满足有两个实数根的条件即可． 【详解】解：设一元二次方程的两根分别为，． 根据根与系数的关系可得，． 整理得．变形得． 解得． 将代入得． 验证判别式：，符合题意． 15．（2026·四川眉山·中考真题）若方程的两个根是，，则的值为________． 【答案】 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系，得到两根之和与两根之积，再将所求代数式因式分解，最后整体代入求值即可． 【详解】解：对于一元二次方程 ，两个根为， 根据根与系数的关系可得： ， ∵ ∴将，代入得：原式． 三、解答题 16．（2026·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）解方程：． 【答案】， 【详解】解： 或 ，． 17．（2026·山东烟台·中考真题）为庆祝长征胜利90周年，文旅公司推出多款长征主题的文创产品．已知某款文创产品的成本价是每件20元，日销售量（件）与每件售价（元）的函数关系如图所示． (1)求与的函数表达式； (2)文旅公司在销售这款文创产品时，若每天盈利525元，且尽可能的让利于顾客，求该款文创产品每件的售价为多少元？ 【答案】(1) (2)该款文创产品每件的售价为35元． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意列一元二次方程，取较小解即可． 【详解】（1）解：设与的函数表达式为， 将点和点的代入得：， 解得：， 与的函数表达式为； （2）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 尽可能的让利于顾客， ， 即该款文创产品每件的售价为35元． 18．（2026·四川南充·中考真题）关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根． (2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． 【答案】(1) 证明：∵原方程为， ∴ ， ∴方程有两个不相等的实数根． (2) 的值为或 【分析】（1）计算方程的根的判别式，判断判别式的符号即可证明结论； （2）根据根与系数的关系得到两根和与两根积，结合的条件，得到关于的一元二次方程，求解即可得到的值． 【详解】（1）略 （2）解：∵方程的两个实数根为， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 代入得：， 整理得， 解得或． 19．（2026·四川雅安·一模）综合与实践： 【项目主题】探究新款迷你无人机校园营销案 【项目背景】某校科技实践小组计划引入一批符合国家微型无人机标准、具备简易编程模块的新款迷你无人机，作为教育实践器材，并希望通过校园营销活动筹集社团活动经费． 【项目成果】请解答任务1，任务2． 【项目实施】 (1)任务1：从线上旗舰店调研数据知，2026年1月该款迷你无人机的销量为1100架，2026年3月该款迷你无人机的销量为1331架，若2026年1月至3月该款迷你无人机的月平均增长率相同，求此月平均增长率． (2)任务2：校园调查发现该旗舰店迷你无人机的进价为每架80元且售价定为每架120元时，每天能销售20架，且售价每降低1元，每天可多销售2架． ①若需要尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，则每架迷你无人机的售价应降低多少元？ ②要想获得利润最大，售价应定为多少元？ 【答案】(1)此月平均增长率为 (2) ①每架迷你无人机的售价应降低元；②要想获得利润最大，售价应定为元． 【分析】（1）设此月平均增长率为x，根据1月和3月的销量建立方程求解即可； （2）①设每架迷你无人机的售价应降低m元，根据利润（售价进价）销售量建立方程求解即可；②设获得的利润为W元，每架迷你无人机的售价应降低n元，根据利润（售价进价）销售量列出W关于n的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设此月平均增长率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：此月平均增长率为； （2）解：①设每架迷你无人机的售价应降低m元， 由题意得，， 整理得， 解得或， ∵需要尽量减少库存， ∴， 答：每架迷你无人机的售价应降低元； ②设获得的利润为W元，每架迷你无人机的售价应降低n元， 由题意得， ， ∵， ∴当时，W有最大值，最大值为1250， 此时， 答：要想获得利润最大，售价应定为元． 20．（2026·广东清远·一模）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； (2)在第（1）问的条件下，若，是一元二次方程的两个实数根，当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）一元二次方程有两个不相等的实数根时，根的判别式大于0，计算判别式后解不等式即可得到m的取值范围； （2）先根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再利用完全平方公式变形，结合已知条件得到关于m的方程，求解后结合第一问的范围舍去不合理的解，即可得到m的值． 【详解】（1）解：∵一元二次方程为有两个不相等的实数根， ∴，其中，，， ， 解得； （2）解：∵，是方程的两个实数根， ∴根据根与系数的关系得，， ∵， ∴， 代入得：， 解得，， ∵由（1）知，，不符合要求，舍去， ∴． 21．（2026·四川眉山·中考真题）2025年，在四川省城市足球联赛（简称“川超”）比赛期间，为促进体育经济发展，眉山市文旅局联合餐饮住宿企业、土特产生产企业推出各种优惠活动． (1)某食品厂原计划每月生产芝麻糕2000件，为响应文旅局号召，连续两月提高产量后，月产量达到2880件，若每月产量的增长率相同，求每月产量的增长率； (2)该食品厂原来每天可销售60件芝麻糕，每件盈利30元．参与优惠活动后，该食品厂每降价1元，就可多售出5件．问该食品厂应降价多少元，才能使利润最大？最大利润为多少？ 【答案】(1)每月产量的增长率为 . (2)应降价元，最大利润为 元. 【分析】（1）设每月产量的增长率为，根据原产量和增长两次后的产量关系列方程，舍去不符合实际的负根即可得到结果； （2）设降价元，每天总利润为 元，根据总利润每件利润销售量列出二次函数解析式，配方后根据二次函数的性质即可求出最大利润和对应的降价金额． 【详解】（1）解：设每月产量的增长率为， 根据题意列方程得: ， 解得 , ，增长率不能为负，不符合实际，舍去， 答: 每月产量的增长率为； （2）解：设降价元，每天总利润为 元， 根据题意，每件盈利为 元，每天销售量为 件， ∴， ， 当时， 取得最大值，最大值为， 答: 该食品厂应降价元，才能使利润最大，最大利润为 元． 22．（2025·四川巴中·中考真题）如图，计划用长为的绳子围一个矩形围栏，其中一边靠墙（墙长）． (1)矩形围栏的面积为时，三边分别长多少？ (2)矩形围栏的面积最大时，三边分别长多少？ 【答案】(1)三边长分别为 (2)三边长分别为 【分析】此题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，根据题意正确列出方程和函数解析式是关键． （1）设垂直于墙的一边长，根据矩形围栏的面积为列出方程，解方程并选取合适的解即可； （2）设矩形围栏的面积为．根据矩形围栏的面积列出二次函数解析式，并根据二次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：设垂直于墙的一边长， 则 解得：， 当时，（不符合题意，舍去） 当时，（符合题意） 三边长分别为：． （2）解：设矩形围栏的面积为． 则有 当时．有最大值 当时，（符合题意） 三边长分别为：． 23．（2025·江苏南通·中考真题）综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动，已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为的栅栏围成，兴趣小组设计了以下两种方案： 方案一 方案二 如图1，围成一个面积为的矩形花圃． 如图2，围成矩形花圃，有栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个不同矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为的进出口（此处不用栅栏）． (1)求方案一中与墙垂直的边的长度； (2)要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？ 【答案】(1)15米； (2)当与墙平行的边的长度为33米时，花圃的面积最大． 【分析】考查了一元二次方程的应用以及二次函数的实际应用，熟练掌握矩形的周长、面积公式，以及二次函数的性质（如顶点式求最值）是解题的关键． （1）设与墙垂直的边为，根据矩形周长（栅栏总长）表示出与墙平行的边，再结合面积公式列方程求解． （2）设与墙平行的边为，根据栅栏总长和出口情况表示出与墙垂直的边，从而得出面积函数，利用二次函数性质求最大值时的值． 【详解】（1）解：设与墙垂直的边的长度为，则与墙平行的边的长度为， 根据题意得， 解得 答：与墙垂直的边的长度为15米； （2）解：设与墙平行的长度为，花圃的面积为， 根据题意得 ∴ ∵， ∴当时，有最大值363， 答：当与墙平行的边的长度为33米时，花圃的面积最大． 24．（2025·山东东营·中考真题）某文创公司设计了一款黄蓝交汇纪念章，成本价为每个50元，以每个不低于成本价且不超过75元的价格销售，售价x（元/个）与每天销售量y（个）的对应值表格如下： x（元/个） … 52 53 54 55 … y（个） … 760 740 720 700 … (1)求出y与x的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)当售价定为多少元时，每天的利润可达到6000元？ 【答案】(1) (2)60元 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用． （1）由题意可知y是x的一次函数，利用待定系数法求解即可． （2）列出单件的利润乘以销量等于总利润列出关于x的一元二次方程求解，再结合x的取值范围选择合适的解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，y是x的一次函数． 设y与x的函数表达式为， 把，分别代入，得 ，解得 ∴y与x的函数表达式为． （2）解：根据题意，得， ∴． 整理，得． 解得，． ∵， ∴． 答：当每个售价定为60元时，每天的利润可达到6000元． 25．（2025·四川泸州·中考真题）某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元． (1)求乙种商品每件进价的年平均下降率； (2)2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品． 【答案】(1)乙种商品每件进价的年平均下降率为 (2)最少购进甲种商品40件 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式是解题的关键． （1）设乙种商品每件进价的年平均下降率为x，根据乙商品2022年的进价为125元，经过两次降价后，2024年的进价为80元列出方程求解即可； （2）设购进甲种商品m件，则购进乙种商品件，根据购买资金不超过7800元列出不等式求出m的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：设乙种商品每件进价的年平均下降率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：乙种商品每件进价的年平均下降率为； （2）解：设购进甲种商品m件，则购进乙种商品件， 由题意得，， ∴， 解得， ∴m的最小值为40，即最少购进甲种商品40件， 答：最少购进甲种商品40件． 学科网（北京）股份有限公司 $ 一元二次方程全章知识精讲（5知识点）、典型题过考点（24考点）、聚焦中考数学九年级上册 知识精讲 知识点一：一元二次方程的概念 概念 只有 未知数，并且化简后未知数的最高次数是＿的＿方程叫作一元二次方程 一般形式 （其中a,b,c为常数其中 是二次项， 是二次项系数， 是一次项， 是一次项系数， 是常数项 方程的解 使一元二次方程左右两边相等的 的值叫作一元二次方程的解，也叫一元二次方程的 基础点对点 1．下列方程中，是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2.已知关于的方程是一元二次方程，则的值应为__． 3．一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（     ） A．1，6，2 B．1，， C．0，， D．1，，2 4．将一元二次方程化为一般形式，正确的是（     ） A． B． C． D． 5．若一元二次方程的一个解为，则的值为______． 知识点二：一元二次方程的解法 方法 适用的方程 步骤 直接开平方法 形如（a,b同号） 的方程 两边开 转化为两个一元一次方程 配方法 易变形为的方程 1 变形：二次项系数化为 ；②移项：把 移到方程另一边③配方：方程两边都加 把左边配成完全平方式的形式：④解方程：若方程右边是 ，则可直接开平方解方程 公式法 满足的一元二次方程 ①方程为 ②确定a,b,c的值（符号）；③求出 的加以判定：④代入求根公式 求解 因式分解法 易变形为的方程 ①化方程为 ②把左边分解因式为 ③将原方程化为两个 ④解两个一次方程得的根 提分点睛→一元二次方程的解法口诀： 方程没有一次项，直接开方最理想.如果缺少常数项，因式分解没商量. b,c同时不为零，因式分解或配方.也可直接套公式，因题而异择良方. 基础点对点 3.用适当的方法解方程： (1) (2) (3) (4) 知识点三：一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的判别式： 叫作一元二次方程根的判别式 .常把它记作：Δ=______ 对于一元二次方程 (1)→方程有两个不相等的实数根，即 (2)→方程有两个相等的实数根，即 (3)→方程 提分点睛→应用根的判别式时，若一元二次方程不是一般形式，要先化成一般形式.在求一元二次方程中字母系数的值时，注意二次项系数不为0这一隐含条件． 基础点对点 4．关于的一元二次方程的实数根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 5．下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（     ） A． B． C． D． 6．关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为______． 知识点四：一元二次方程根与系数的关系 一元二次方程根与系数的关系：若一元二次方程的两根分别为,,则有___,______ 2．用根与系数的关系求值时的常见变形； (1) (2) (3) (4) 基础点对点 1．设，是一元二次方程的两个根，则（     ） A． B． C． D． 2．若方程的两个根分别是，则的值为________． 知识点五：一元二次方程的应用 步骤：遵循“审→设→列→解→验→答”六步曲 1. 审：审题，找出已知量、未知量及核心等量关系 2. 设：设未知数（直接设或间接设），必须注明单位 3. 列：根据等量关系列出一元二次方程 4. 解：用合适的方法解所列的一元二次方程 5. 验：双重检验①检验根是否为方程的解；②检验根是否符合实际意义 6. 答：写出完整的答案，注明单位 增长（下降）率问题 增长（下降）率＝增长（下降）量x100%基础量 设a为原来量，m为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量，则b＝ 当m为平均下降率，n为下降次数，b为下降后的量时，则有b＝ 利润问题 ①利润＝售价一成本： ③总利润＝单件的利润x数量.在“每每”型问题中，单价每涨（降）a元，少卖（多卖）6件，每涨价x元，则少卖（多卖）的数量为件 面积问题 矩形的长为a，宽为b，空白部分的宽为x 互赠礼物单循环赛、握手问题 ①x人互赠礼物共 件； ②x人两两握手共握手（单循环淘汰赛） 基础点对点 1．某工厂四月份生产零件25万个，第二季度共生产零件91万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，要设计一本书的封面，封面长，宽，正中央是一个与整个封面长度比例相同的长方形．如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度？若设上、下边衬的宽均为，左、右边衬的宽均为．那么满足的方程是（    ） A． B． C． D． 3．2026年的世界杯足球赛中，组委会将参赛球队平均分成了个小组，在小组赛中，每支球队都要和组内其他球队进行一场比赛．小莹了解到本届世界杯小组赛共有场，但不知道每个小组有几支球队．若设每个小组有支球队，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 4．如图1为一矩形纸板，长，宽．在它的四角各切去一个同样大小的正方形，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒（如图2）．如果要制作的无盖方盒的底面积为，则矩形纸板各角应切去正方形的边长为______． 5．某青年旅社有间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天元时，所有客房都可以住满．客房定价每提高元，就会有间客房空闲，对有游客入住的客房，旅社还需要对每个房间支出元/天的维护费用．若该青年旅社希望每天纯收入为元，且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元？（纯收入总收入维护费用） 典型例题过考点 考点1：一元二次方程的一般形式 【典例精讲】 将一元二次方程化成一般式，则一次项系数和常数项分别是（     ） A．3，5 B．3， C．，5 D． 【思路分析】一元二次方程的一般式为（），其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项，先将原方程整理为一般式，再确定对应系数即可. 【详解】解：∵方程化成一般式为， ∴一次项系数为，常数项为. 【变式训练】 将下列方程化为关于的一般形式，指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项 (1)； (2)． 考点2：由一元二次方程的定义求参数 【典例精讲】若关于的方程是一元二次方程，则应满足的条件是__________． 【思路分析】一元二次方程的定义，未知数最高次数为，且二次项系数不为，据此列出等式与不等式求解即可． 解：关于的方程是一元二次方程， ，且， 解 ，得， 即， 又都满足， 故． 【变式训练】关于x的方程是一元二次方程，则m的值为______． 考点3：判断是否是一元二次方程的解 【典例精讲】 若关于x的一元二次方程有一根为，则方程的另一个根为______． 【思路分析】将方程的一个根代入得到的值，再利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：将代入方程得：， 解得：， ， ， ， 【变式训练】 若是方程的一个根，则代数式的值为______． 考点3：由一元二次方程的解求参数 【典例精讲】若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值是________ ． 【思路分析】把代入方程中，求出的值，结合即可得解． 【详解】解：由题意得：把代入方程中得：， 解得：， ∵， ∴， ∴， 【变式训练】若是关于的方程的一个根，代数式的值为__________． 考点5：解—元二次方程——直接开方法 【典例精讲】 的解是____，______． 【思路分析】本题考查了一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的解法是解题关键，通过移项和开平方求解方程即可． 【详解】方程 ， 移项，得 ， 开平方，得 ， 即，． 【变式训练】 (1) (2)；(3)； 考点6：解—元二次方程——配方法 【典例精讲】 配方是指通过变形，将一元二次方程的二次项和一次项组合成一个完全平方式的过程。 完全平方式的结构为(x＋m)²＝x²＋2mx＋m²，其中常数项是一次项系数一半的平方。 配方的关键是在方程两边同时加上“一次项系数一半的平方”，使左边构成一个完全平方式，右边成为一个常数。 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 对于形如x²＋px＋q＝0（二次项系数为1）的方程，配方法步骤： 1. 移项：将常数项移到等号右边，得x²＋px＝－q； 2. 配方：方程两边同时加上“一次项系数一半的平方”，即(p)²，得x²＋px＋(p)²＝－q＋(p)²，左边化为(x＋p)²； 3. 开平方：对变形后的方程(x＋p)²＝n用直接开平方法求解； 4. 写出解。 解： 移项得 配方，方程两边同时加16得 整理得 开方得 解得，． 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 对于形如（）的方程，配方法的核心思路是先将方程两边同时除以a，使二次项系数化为1，再按上一课时的方法配方求解。完整步骤： 1. 化二次项系数为1：方程两边同除以a，得； 2. 移项：； 3. 配方：两边同时加上“一次项系数一半的平方”，即，得； 4. 左边写成完全平方式：； 5. 开平方求解。 解： 或 ∴，； 【变式训练】 （1）； （2） （3）（4） 考点7：配方法的应用 【典例精讲】 【阅读理解】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性增加问题的条件，这种解题方法叫作配方法．配方法不仅在代数式求值、解方程、求最值问题等有着广泛的应用，也在几何、经济等领域常用来分析最值，求解未知量． 应用一 应用二 用配方法分解因式：． 解： ． 用配方法求代数式的最小值． 解： 的最小值为 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)因式分解：________； (2)若，运用配方法可求出的最小值为________； (3)如图，在中，，，，点为边上一点（不与点、点重合），连接，以为边在上方构造正方形，连接．则面积的最大值为________． 【思路分析】（1）把原式变形为，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （2）仿照例题利用配方法求解即可； （3）过点F作于点H，证明，得到；设，则，则，据此可得答案． （1）解： ； （2）解： ， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为； （3）解：如图所示，过点F作于点H， ∴， ∴； ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 设，则， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为8． 【变式训练】 综合与实践 【项目主题】配方法的应用． 【项目准备】 (1)利用完全平方公式将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．配方法是一种重要的数学方法，常用于求代数式的最值．例如：求代数式的最小值，可知，当时，有最小值，最小值是____________ ．配方法也可以对一些多项式进行因式分解，例如：分解因式，原式_________________________ ． (2)【项目解决】当a，b，c分别为的三边长，且满足时，直接写出c的取值范围． (3)如图，在四边形中，．若，求四边形面积的最大值 ． 考点8：公式法解一元二次方程 【典例精讲】 公式法解方程的步骤： ①化为一般式，若系数中含有分数，最好可以先将其简化成整数； ②确定； ③代入“”先行判断方程解的情况； ④若有解，则代入求根公式；若无解，直接写出结论。 一元二次方程的实数根是（    ） A． B． C．， D． 【思路分析】先将原一元二次方程整理为一般形式，再利用一元二次方程求根公式求解即可． 【详解】解：， ， 判别式 ， ∴代入求根公式得 ∴，即选项D符合题意． 【变式训练】 1.某一元二次方程的根用求根公式表示为，则该一元二次方程为（   ） A． B． C． D． 2.用公式法解一元二次方程：． 考点9：因式分解法解一元二次方程 【典例精讲】 常见的因式分解的方法： （1）提取公因式法：； （2）公式法： 平方差公式：； 完全平方公式： （3）十字相乘法： 对形似于的二次三项式，若且，则。 对形似于的二次三项式，若，，且，则。 (Ⅰ)二元二次齐次式的“降维”分解 核心思想：将其中一个字母（如）视为“已知常数系数”，另一个字母（如）作为主元进行十字相乘法的因式分解。 常见形式： 例： 将看作中的常数项，在原十字相乘法的因式分解中，我们认为是由两个常数相乘得到的，因此在该例中，我们也同样认为，是由某两个含有的单项式相乘得到的，进而将拆分为，交叉验证，最终分解为 (Ⅱ)含参字母（系数）的“动态”十字相乘 核心思想：待定系数中不仅包含数字，还包含另一个字母（如），要求根据“交叉项”的系数反推因式分解的配凑 例： 这里的常数项为，可以将其拆分为，交叉验证恰好等于一次项系数，最终分解为 (Ⅲ)利用十字相乘解决“高次方程”的降次 核心思想：十字相乘法的因式分解不限于二次，当遇到可以分解的三次或四次方程，可以先提取公因式或换元，再用十字相乘法因式分解 Ⅲ)利用十字相乘解决“高次方程”的降次 核心思想：十字相乘法的因式分解不限于二次，当遇到可以分解的三次或四次方程，可以先提取公因式或换元，再用十字相乘法因式分解 例： 先提取公因式，得,再对括号内的二次三项式十字相乘法因式分解，可得，进而直接求出方程的三个根 例： 将视为整体，即，再对该式十字相乘因式分解可得，将回代，得到，再利用平方差公式彻底分解即可 【变式训练】 (1)；(2)． 考点10：换元法解一元二次方程 【典例精讲】 定义：在解一元二次方程时，有时候会把含有未知数的一个式子看作一个整体，然后用一个简单的字母表示，达到简化方程的目的，再解方程的方法叫做整体法或换元法。 例如：解方程 解：令，原方程可化为 对该式因式分解，可得 解得 或3 或，解得， 【变式训练】 已知一元二次方程的两根分别为、1，则方程的两根分别为（   ）． A．、1 B．、3 C．、 D．无法确定 考点11：根据判别式判断一元二次方程根的情况 【典例精讲】 解题原理 1. 先把方程整理为一般式，准确找出 、、； 1. 代入计算 ； 1. 根据 正负，对照结论直接判定根的数量； 1. 含参数方程先化简判别式，再判断代数式正负。 关于x的一元二次方程根的情况是（ A    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断根的情况 【思路分析】计算根的判别式，根据判别式的符号即可判断根的情况． 【详解】解：对于一元二次方程，可得，，， ， 又无论取任意实数，都有， ，即， 该方程有两个不相等的实数根． 【变式训练】 关于x的一元二次方程的根的情况是（ C   ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判断 考点12：根据一元二次方程根的情况求参数 【典例精讲】 解题原理 1. 整理方程，写出二次项系数、一次项、常数项； 1. 列两个限制条件： ① 二次项系数 ； ② 根据根的情况列出 / / ； 1. 解不等式/方程，取两者交集； 1. 若题目只说“方程有实数根”，即 。 ※注意不要忽略二次方程的定义，二次项系数不为0. 关于的方程有实数根，则的取值范围为（   A  ） A． B． C．且 D．且 【思路分析】分为和两类讨论，结合根的判别式求出的取值范围． 解：①当时，该方程为关于的一元二次方程， ∵方程有实数根， ∴， 解得， ∴且； ②当时，该方程为关于的一元一次方程， 原方程为，有实数根，符合题意； 综上所述，的取值范围为． 【变式训练】 关于x的一元二次方程满足，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 考点13：一元二次方程的根与系数的关系 【典例精讲】 解题必备步骤 （1）确认方程为一元二次方程，写出 ； （2）计算 、； （3）将所求代数式因式分解、配方变形； （4）整体代入求值； 注意 使用韦达定理前提：方程有实数根，。 已知一元二次方程有两个实数根为，，则的值为（   D  ） A． B． C． D． 【思路分析】本题利用一元二次方程根与系数的关系，先求出两根之和与两根之积的值，再将所求代数式变形后代入计算即可． 【详解】解： 一元二次方程中，，，， ，， ∴． 方程x2﹣2x﹣24＝0的根为x1，x2，则（x1+1）（x2+1）的值为（　D　） A．﹣33 B．15 C．﹣28 D．﹣21 【思路分析】先利用根与系数的关系得到x1+x2＝2，x1x2＝﹣24，再计算（x1+1）（x2+1）得x1x2+x1+x2+1，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：根据根与系数的关系得x1+x2＝2，x1x2＝﹣24， 所以（x1+1）（x2+1）＝x1x2+x1+x2+1＝﹣24+2+1＝﹣21． 故选：D． 【变式训练】 【变式1-1】设，是一元二次方程的两根，则的值为（ C    ） A．6 B．8 C．14 D．16 【变式1-2】设m、n是一元二次方程x2+3x﹣5＝0的两个根，则m2+4m+n＝　 2 ． 考点14：传播问题（一元二次方程的应用） 【典例精讲】 确定初始传染源，设每轮平均一人传染x人；两轮传染总人数列式：1+x+x(1+x)；结合题目给出的总感染人数建立一元二次方程；解方程后舍去负数解，结合实际取舍根再作答。 实验中学数学“研学”活动小组在一次野外实践时发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数为57，则这种植物每个支干长出的小分支的个数是（  B ） A．6 B．7 C．8 D．9 【思路分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是得出量与量之间的等量关系，建立一元二次方程，设每个支干长出的小分支个数为，根据主干、支干和小分支的总数为57，列出方程求解． 【详解】解：设每个支干长出的小分支个数为． ∵ 主干1个，支干个，小分支个， ∴， 即， 解得（舍去）， ∴ 小分支个数为7， 故选：B． 【变式训练】 现在是流感多发季，假设有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感， (1)请问每轮传染中平均一个人传染多少人？ (2)第三轮共有多少人患流感？ 化学是一门以实验为基础的学科，九班化学课代表小聪在老师的培训下，学会了高锰酸钾制取氧气的实验室制法，回到班上后开始教同学做实验，第一节课手把手教会了名同学，若第二节课小聪因家中有事请假了，班上其余会做该实验的每名同学又手把手教会了名同学，这样全班名同学恰好都会做这个实验了，求的值． 考点15：增长率问题（一元二次方程的应用） 【典例精讲】 套用模型a(1± x)2=b}，a代表初始基数，x代表单次增长率/降低率，b代表变化之后的最终量；增长用加号，降低、降价用减号；连续两次变化为平方，不能写成a(1±2x)=b；舍去负数、大于1的不符合现实的解。 固态电池被视为下一代动力电池的核心方向，假设某企业研发的固态电池，其初始能量密度为．经过两轮技术迭代后，能量密度达到，且每轮技术迭代后，电池能量密度的平均增长率相同．设电池能量密度每轮的平均增长率为，则可列方程为（    A ） A． B． C． D． 【思路分析】根据增长率问题的规律列出一元二次方程即可． 【详解】解：∵初始能量密度为，每轮平均增长率为，共经过两轮迭代， ∴第一轮迭代后能量密度为，第二轮迭代后能量密度为， 又∵两轮迭代后能量密度为， ∴可列方程为． 【变式训练】 某校社团文化节于3月底启动，4月初正式面向全校开放．社团联合会统计，4月1日参与活动的学生大约有1200人，4月3日参与活动的学生大约有2028人，那么从4月1日到4月3日参与活动的学生人数的日平均增长率为___________． 考点16：与图形有关的问题（一元二次方程的应用） 【典例精讲】在手工活动课上，轩轩同学为了制作一个底面积是的有盖的长方体纸盒，他把一张长，宽的矩形纸张，将其两边剪去两个全等的矩形（如图①），剩余部分（阴影部分）经过折叠后得到一个长方体纸盒（如图②）．求长方体纸盒的长、宽、高各是多少？ 【变式训练】 如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设． (1)的长用含的代数式表示为 m； (2)现要围成面积为的花圃能行吗？若能，请求出长方形的边长；若不能，请说明理由． 考点17：数字问题（一元二次方程的应用） 【典例精讲】 设数位上的数字为未知数；两位数表示为10×十位数字+个位数字；根据数字之间和、差、乘积关系列出方程；数位数字只能取0‑9之间整数，对解做现实条件筛选。 ．2026年4月5日是我国的传统节日清明节，又称踏青节、行清节、三月节、祭祖节等，在每年4月4日至6日之间，是祭祀、祭祖和扫墓的节日．清明节源自上古时代的祖先信仰与春祭礼俗，兼具自然与人文两大内涵，既是自然节气点，也是传统节日．清明节与春节、端午节、中秋节并称为中国四大传统节日．在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示）．若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为153，求这个最小数．（请用方程知识解答） 【思路分析】设四个数中最小数为，则最大数为，再根据最小数与最大数的乘积为153列一元二次方程求解，最后选择符合实际的解即可． 解：设四个数中最小数为，则最大数为 由题意得：， 整理得：， ， 即， 解得：（舍）， 答：最小数为9． 【变式训练】 月历中的奥秘（九年级版）：如图是年月的月历表，在此月历表上用一个矩形圈出三行三列的个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．试解决以下的问题： (1)用矩形任意圈出的三行三列个数中，若最小的数设为，那么最中间的数可用表示为________，最大的数可用表示为________； (2)若矩形圈出的个数中，最大数与最小数的积为，这个数的和是多少？（请列方程解决） 考点18：营销问题（一元二次方程的应用） 【典例精讲】 牢记两个核心关系式：单件利润=售价‑进价，总利润=单件利润×销售量；价格上涨，销量下降；价格下调，销量上涨；准确写出变化后的单件利润和对应销量，列出方程；解完之后结合题目条件，舍去不符合售价、进货限制的根。 某种服装，平均每天可销售20件，每件盈利32元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售5件．设降价元． (1)若每天获得900元的利润，请你帮忙计算每件应降价多少元？ (2)该服装店能否通过降价销售的方式保证每天获得1640元的利润？并说明理由． 【答案】(1)每件应降价元； (2)不能，理由见解析． 【分析】（1）利用总利润=每件盈利×每天销售量列出一元二次方程求解，结合降价幅度不超过元的条件舍去不符合题意的解得到结果； （2）利用总利润=每件盈利×每天销售量列出一元二次方程，通过判断方程是否存在实数解即可得到结论． 【详解】（1）解：设降价元，根据题意，降价元后，每件盈利为元，每天销售量为件，且． 可得方程 ， 整理得 ． 解得 ， ， 不符合题意，舍去. 因此每件应降价元． （2）解：假设能获得每天元的利润， 根据题意得 ， 整理得， 配方得， 任何实数的平方都不为负数， 该方程没有实数解，因此该服装店不能通过降价销售的方式保证每天获得元的利润. 【变式训练】 某文创店生产一款文创产品并进行销售．每件文创产品的生产成本是30元，售价定为每件50元时，每天能售出40件．经市场调研发现：每件文创产品的售价每降低1元，每天会多售出8件． (1)该文创店为了提升利润，决定降价销售，若每天利润达到1200元，且尽可能让利于顾客，请求出相应的降价方案； (2)该文创店通过降价销售，每天利润能够达到1400元吗？如果能，请求出相应的降价方案；如果不能，请说明理由． 考点19：动态几何问题（一元二次方程的应用） 【典例精讲】 用「速度×运动时间」表示动点移动线段长度；结合面积公式、勾股定理建立一元二次方程；注意动点运动的时间取值范围；求出时间之后，剔除超出动点运动区间的无效解。 如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．若P，Q两点同时出发，当点Q运动到点C时，P，Q两点同时停止运动． 求： (1)几秒后，的面积等于？ (2)的面积能否等于？说明理由． 【答案】(1)当出发1秒后，的面积等于； (2)解：不能， 理由：假设经过t秒后，的面积等于，即， ∴， 整理得：， 由于， 则方程没有实数根， ∴的面积不能等于． 【分析】（1）设出发t秒时，则，， ，根据， 解方程即可求解； （2）令，根据三角形的面积公式列出方程，再根据得出方程没有实数根，从而得出的面积不能等于． 【详解】（1）解：设出发秒时，则， ，． ∴ 即 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴当出发1秒后，的面积等于； （2）略 【变式训练】 如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止移动． (1)如果分别从同时出发，那么第几秒时，的面积等于？ (2)如果分别从同时出发，那么第几秒时，的长度等于？ 考点20：工程问题（一元二次方程的应用） 【典例精讲】 把总工作量整体看作单位1；工作效率=1/完成总天数；总工作量=工作效率×工作时间；多人合作，效率直接相加；依据完成的工作量列出方程；舍去负数解。 在物理中，沿着一条直线且速度均匀增大或减小的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，例如，在一个时段内，初速度为20米/秒，末速度为30米/秒，则这个时间段的平均速度为米/秒．运动路程等于时间与平均速度的乘积（即）．若一个小球以10米/秒的初速度沿平滑的直线向前滚动，并且均匀减速，小球的滚动速度平均每秒减少2米/秒，小球滚动24米用了___4___秒． 【思路分析】设小球滚动24米用了x秒，则末速度为米/秒，利用路程平均速度运动时间，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 解：设小球滚动24米用了x秒，则末速度为米/秒， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去， 小球滚动24米用了4秒． 故答案为：． 【变式训练】 甲、乙两个机器人分别从相距70m的A、B两个位置同时相向运动．甲第1分钟走2m，以后每分钟比前1分钟多走1m，乙每分钟走5m． (1)甲、乙开始运动后多少分钟第一次同时到达同一位置？ (2)如果甲、乙到达A或B后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1m，乙继续按照每分钟5m的速度行走，那么开始运动后多少分钟第二次同时到达同一位置？ 考点21：行程问题（一元二次方程的应用） 【典例精讲】 利用基础公式：路程=速度×时间；分清相遇、追及题型，找准路程等量关系；设速度或者时间为未知数，建立一元二次方程；速度、时间不能为负，舍去不符合实际的解。 一辆汽车以30米/秒的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行30米后停车． (1)则在这段时间内的平均车速为多少？从刹车到停车用了多长时间？ (2)从刹车到停车平均每秒车速减少多少？ (3)汽车滑行20米时用了多长时间？ 【答案】(1)15米/秒；2秒 (2)15米/秒 (3)秒 【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意正确列出式子． （1）由题意可得从刹车到停车所滑行了30米，根据题意可求出平均车速，继而可求得时间； （2）汽车从刹车到停车，车速从30米/秒减少到0，由（1）可得车速减少共用了2秒，平均每秒车速减少量总共减少的车速时间，由此可求得答案； （3）设刹车后汽车滑行到20米时约用了秒，这时车速为米/秒，，继而可表示出这段路程内的平均车速，根据“路程平均速度时间”列方程并求解，即可获得答案． 【详解】（1）解：根据题意，该辆汽车以30米/秒的速度行驶，从刹车到停车所滑行了30米， 则在这段时间内的平均车速为米/秒； 从刹车到停车所用的时间是秒； （2）从刹车到停车车速的减少值是， 从刹车到停车每秒平均车速减少值是米/秒； （3）设刹车后汽车滑行到20米时约用了秒，这时车速为米/秒， 则这段路程内的平均车速为米/秒， 所以， 整理，得， 解得，（不合题意，舍去）， 答：刹车后汽车行驶到20米时用了秒． 【变式训练】 一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒少 ． (2)已知小球滚动用了秒．（温馨提示：表示小球滚动秒时的瞬时速度，平均速度，滚动路程） ①求这段时间内小球的平均速度（用含的整式表示） ②求值． 考点22：图表信息题（一元二次方程的应用） 【典例精讲】 读懂表格图像，从图表提取已知数据，找出变化规律；找准等量关系再列方程；不要直接照搬表格数字，要结合题意做换算；求出结果后回代图表验证合理性。 某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过度，那么这个月这户居民只交10元电费；如果超过度，这个月除了交10元电费外，超过部分按每度元交费． (1)该厂某户居民1月份用电90度，超过了度的规定，试写出超过部分应交的电费．（用含的代数式表示） (2)下表是这户居民2月、3月的用电情况，请根据其中的数据，求电厂规定的度是多少． 月份 用电量/度 交电费总数/元 2月 80 25 3月 45 10 【思路分析】（1）根据题意可得用电90度超过了规定度数（90－x）度，再由超过部分按每度元交电费，即可求解； （2）根据题意可得2月份用电量超过x度，列出方程，再由3月份用电45度只交电费10元，可得x≥45，即可求解． （1）解：∵规定用电x度， ∴用电90度超过了规定度数（90－x）度， ∵超过部分按每度元交电费， ∴超过部分应交的电费为x（90－x）元． （2）解∶2月份用电量超过x度，依题意得 x（80－x）＝25－10． 整理得x2－80x＋1500＝0． 解这个方程得x1＝30，x2＝50． 根据题意得：3月份用电45度只交电费10元， ∴电厂规定的x≥45， ∴x1＝30不合题意，舍去． ∴x＝50． 答：电厂规定的x度为50度． 【变式训练】 某市为鼓励居民节约用水，对居民用水实行阶梯收费，每户居民用水量每月不超过a吨时，每吨按元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按元缴纳水费． (1)若，某户居民3月份用水量为22吨，则该用户应缴纳水费多少元？ (2)若如表是某户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况： 月份 用水量（吨） 交水费总金额（元） 4 18 62 5 24 86 根据上表数据，求规定用水量a的值 考点23：握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【典例精讲】 区分单向、双向：单循环球赛、握手（两者只发生一次），总次数1/2x(x-1)；互送礼物、互发消息（双向往来），总次数x(x-1)；根据总次数列方程；人数只能取正整数，舍去非正数、非整数解。 九年级乒乓球赛制采用单循环形式（每两人之间进行一场比赛）． (1)若参赛者有6人，按赛制共进行了几场比赛？ (2)以下是小文和小博对比赛总场数的统计，判断小博的说法是否正确，并说明理由． (3)若八年级也举行单循环赛制的乒乓球比赛，且比赛场次控制在90~100之间，则应该安排___________名参赛者． 【答案】(1)15场 (2) 说法正确，理由：设有人参赛， 由题意得， 整理得， 解得 的取值不为整数，即方程的解不符合实际， 小博的说法正确； (3)14 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意是解答的关键． （1）由题意，得6个队伍需比赛的局数为，即可求解； （2）设有x个队伍报名参赛，根据题意列方程，然后解方程，根据方程根的情况可得结论； （3）设有人参赛，则比赛的总场数为，然后取当，，，计算的值，结合题意即可得出答案． 【详解】（1）解： 故按赛制共进行了15场比赛； （2）略 （3）解：设有人参赛，则比赛的总场数为， 当时，； 当时，； 当时，； 又比赛场次控制在90~100之间， ∴应该安排14名参赛者， 故答案为：14． 【变式训练】 某学校九年级举办了一场乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（每两位参赛选手之间都赛1场）． 乐乐和淇淇针对这次比赛有如下对话： 乐乐：本次比赛一共进行了40场． 淇淇：你所说的并不正确，按照这个赛制，不应该是40场． 假设有x人报名参加比赛． (1)根据题意，乐乐列出的方程应该是：________．请利用乐乐所列的方程分析淇淇的说法是否正确； (2)乐乐补充道：本次比赛的确一共进行了40场，只是在比赛过程中遇到了特殊情况，有1人身体不适，只参加了4场比赛后就中途退赛．请直接写出此时x的值． 考点：其他问题（一元二次方程的应用） 【典例精讲】 严格执行应用题通用步骤：审、设、列、解、验、答；挖掘题干文字里面隐藏的等量关系；一元二次方程两个解必须检验现实意义；舍去负数、超出现实约束条件的解，规范书写带单位作答。 芯片是我国“十五五”核心攻关项目，场效应晶体管（管）是基本单元．管饱和区工作电流（单位：）由栅源电压（单位：）调节控制，满足公式：，其中和为常数，．已知某S型管满足，某R型管满足． (1)当时， A，当时， V． (2)只要控制管电流相同，不同型号的管就可以串联一起同时在饱和区工作，现将该和两型号管串联在饱和区工作，若两款管的安全电压都为， ①将型管调整为，通过计算判断该型管是否安全工作； ②在两款管都正常串联在饱和区工作的前提下，判断和的关系，并说明理由． 【答案】(1)1；5 (2)①R型管安全工作， 当S型时，， S和R两型号管电流相同， ． 由公式， 可得， 解得，（舍去）． ∵两款MOS管的安全电压都为， ∴R型MOS管在安全电压范围内，即安全工作． ②，理由如下： ∵S和R两型号管电流相同， ，即． ∵两款MOS管的安全电压都为， ，，即，． 化简可得， 可得． 【分析】（1）将已知数据代入题干公式即可解答； （2）①计算电流，根据和两型号管电流相同，代入相关公式，解方程即可解答； ②根据题意可得，化简可得答案． 【详解】（1）解：当时，A； 当时，可得， 解得（负数舍去）， 则当时，V； （2）①略 ②略 【变式训练】 中国航天“嫦娥探月”、“天问探火”以及空间站建设等成就激发了广大青少年对航天的热情．某航天科技体验馆将在暑假期间推出“逐梦苍穹”航天体验营，团体票收费标准如下： ①如果参加人数不超人，人均费用为元； ②如果参加人数超过人，每增加1人，人均费用降低5元，直到人均费用元时不再下降． (1)若有人参加活动，则人均费用是_______元（用含x的代数式表示）； (2)若某研学团参加体验营需要支付元的团体票费用，求研学团的人数． 聚焦中考 一、单选题 1．（2026·浙江·中考真题）关于的一元二次方程的实数根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 2．（2026·黑龙江绥化·中考真题）已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·四川宜宾·中考真题）已知方程的两根恰好是某菱形的对角线长，则这个菱形的面积是（     ） A． B． C． D． 4．（2026·河南·中考真题）已知是关于的方程的一个根，则的值为（     ） A．5 B． C．1 D． 5．（2026·江苏扬州·中考真题）关于x的一元二次方程根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断根的情况 6．（2026·安徽·中考真题）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则（     ） A． B． C． D．2 7．（2025·四川雅安·中考真题）关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 8．（2026·辽宁·中考真题）我国古代数学著作《新编直指算法统宗》中记载：“今有方田一段，圆田一段，共积二百五十二步，只云方面、圆径适等．”其大意是：现有正方形田地和圆形田地各一块，面积之和为平方步，只知道正方形田地的边长与圆形田地的直径相等，问正方形田地的边长和圆形田地的直径各为多少步？设正方形田地的边长为步，根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 9．（2026·湖北武汉·中考真题）对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法．以方程为例，赵爽的《勾股圆方图注》中记载的方法是：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为，则该方程的正数解为．小美尝试用此方法解关于的方程，构造如图2所示的图形．若图2中大正方形的面积为，则方程的正数解是（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 10．（2026·湖北·中考真题）2026年湖北省城市足球联赛（简称“楚超”）是省内最大的群众足球赛事．楚超有支代表队参赛，常规赛采取单循环形式（每两支球队之间比赛1场），共需进行136场比赛，则可列方程（     ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（2026·广东·中考真题）已知方程的一个根是1，则_____． 12．（2026·四川甘孜·中考真题）若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为______． 13．（2026·广东深圳·中考真题）如图，在菱形中，点为边的中点，连接，．若，且，则菱形的边长为________． 14．（2026·河北·中考真题）已知关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个根是另一个根的平方，则_________． 15．（2026·四川眉山·中考真题）若方程的两个根是，，则的值为________． 三、解答题 16．（2026·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）解方程：． 17．（2026·山东烟台·中考真题）为庆祝长征胜利90周年，文旅公司推出多款长征主题的文创产品．已知某款文创产品的成本价是每件20元，日销售量（件）与每件售价（元）的函数关系如图所示． (1)求与的函数表达式； (2)文旅公司在销售这款文创产品时，若每天盈利525元，且尽可能的让利于顾客，求该款文创产品每件的售价为多少元？ 18．（2026·四川南充·中考真题）关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根． (2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． 19．（2026·四川雅安·一模）综合与实践： 【项目主题】探究新款迷你无人机校园营销案 【项目背景】某校科技实践小组计划引入一批符合国家微型无人机标准、具备简易编程模块的新款迷你无人机，作为教育实践器材，并希望通过校园营销活动筹集社团活动经费． 【项目成果】请解答任务1，任务2． 【项目实施】 (1)任务1：从线上旗舰店调研数据知，2026年1月该款迷你无人机的销量为1100架，2026年3月该款迷你无人机的销量为1331架，若2026年1月至3月该款迷你无人机的月平均增长率相同，求此月平均增长率． (2)任务2：校园调查发现该旗舰店迷你无人机的进价为每架80元且售价定为每架120元时，每天能销售20架，且售价每降低1元，每天可多销售2架． ①若需要尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，则每架迷你无人机的售价应降低多少元？ ②要想获得利润最大，售价应定为多少元？ 20．（2026·广东清远·一模）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； (2)在第（1）问的条件下，若，是一元二次方程的两个实数根，当时，求的值． 21．（2026·四川眉山·中考真题）2025年，在四川省城市足球联赛（简称“川超”）比赛期间，为促进体育经济发展，眉山市文旅局联合餐饮住宿企业、土特产生产企业推出各种优惠活动． (1)某食品厂原计划每月生产芝麻糕2000件，为响应文旅局号召，连续两月提高产量后，月产量达到2880件，若每月产量的增长率相同，求每月产量的增长率； (2)该食品厂原来每天可销售60件芝麻糕，每件盈利30元．参与优惠活动后，该食品厂每降价1元，就可多售出5件．问该食品厂应降价多少元，才能使利润最大？最大利润为多少？ 22．（2025·四川巴中·中考真题）如图，计划用长为的绳子围一个矩形围栏，其中一边靠墙（墙长）． (1)矩形围栏的面积为时，三边分别长多少？ (2)矩形围栏的面积最大时，三边分别长多少？ 23．（2025·江苏南通·中考真题）综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动，已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为的栅栏围成，兴趣小组设计了以下两种方案： 方案一 方案二 如图1，围成一个面积为的矩形花圃． 如图2，围成矩形花圃，有栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个不同矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为的进出口（此处不用栅栏）． (1)求方案一中与墙垂直的边的长度； (2)要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？ 24．（2025·山东东营·中考真题）某文创公司设计了一款黄蓝交汇纪念章，成本价为每个50元，以每个不低于成本价且不超过75元的价格销售，售价x（元/个）与每天销售量y（个）的对应值表格如下： x（元/个） … 52 53 54 55 … y（个） … 760 740 720 700 … (1)求出y与x的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)当售价定为多少元时，每天的利润可达到6000元？ 25．（2025·四川泸州·中考真题）某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元． (1)求乙种商品每件进价的年平均下降率； (2)2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品． 学科网（北京）股份有限公司 $