26.1 二次函数的概念 分层作业设计 2026-2027学年人教版数学九年级上册

26.1 二次函数的概念 分层作业设计（2026—2027学年人教版数学九年级上学期） ——成都生活情境 · 概念辨析 · 数学抽象素养 · 数智赋能（示例数据可按实情替换） 一、作业设计说明 1.1 设计理念 本作业以《义务教育数学课程标准（2022年版）》为指导，聚焦“数学抽象”与“数学建模”核心素养，围绕人教版九年级上册第二十六章 26.1《二次函数的概念》。以成都本土情境（成都地铁、锦里、宽窄巷子、东郊记忆、四川科技馆、成都马拉松、大熊猫基地、成都塔）为驱动，引导学生在“识别二次函数—化为一般式—求系数—看图象—列关系式”中体会二次函数与一次函数、反比例函数的区别，建立二次函数的概念。 1.2 课标与教材分析 26.1《二次函数的概念》核心内容：形如 y=ax²+bx+c（a≠0）的函数是二次函数，其中 a、b、c 是常数；能识别二次函数、化为一般式、指出各项系数；了解二次函数 y=ax²（a≠0）的图象是抛物线，对称轴是 y 轴，顶点是原点。本作业按“概念识别—系数确定—图象认识—实际建模”层次组织。 1.3 学情分析 维度 学情特点 作业应对 知识基础 已掌握一次函数、反比例函数及一元二次方程 基础层直接判断二次函数 能力水平 易忽略 a≠0 条件、易与一次函数混淆、展开易错 提升层设置展开后辨析、含参定义 兴趣动机 对本土生活情境兴趣高，反感死记定义 全卷14题均取材成都真实场景 个体差异 抽象与建模能力差异明显 基础、提升、拓展三层，必做+选做 1.4 作业目标 目标维度 具体内容 对应核心素养 A 知识理解 理解二次函数的概念与 a≠0 的条件 抽象能力·推理能力 B 能力运用 能识别二次函数、化为一般式并指出系数 运算能力·抽象能力 C 思维发展 能辨析“看似二次实则不是”的函数 转化思想·批判性思维 D 应用意识 能由实际问题列出二次函数关系式 模型观念·应用意识 1.5 整体设计思路 ① 分层结构：基础层（必做8题，概念识别、系数、图象基础）→ 提升层（必做4题，展开辨析、列式、图象性质）→ 拓展层（选做2题，含参定义、实际建模）。② 题量与时长：共14题，多数学生约20分钟完成。③ 每题标注【原创】并附设计意图、材料出处、难易系数与评价要点。④ 评价前置，素养导向。 1.6 数智赋能与创新特色 ① 动态演示——用 GeoGebra 输入不同 a 值即时呈现 y=ax² 抛物线开口、顶点变化；② 程序核验——用 Python 展开并识别函数类型；③ 真实数据溯源——情境数据可替换为成都公开数据，可查证。 二、学习任务单（课前自主探究 · 课中合作完成） 本单用于课前自主探究与课中合作完成：先明确“学完我会什么”，再带着三个探究任务去发现，最后用自评检验。建议课前 5 分钟 + 课中 10 分钟。 2.1 学习目标（学完本课我能做到） 学习层次 学完本课我能做到 对应知识点 会认 会判断一个函数是不是二次函数 二次函数的概念 会写 会把二次函数化为一般式并指出 a、b、c 一般形式 会看 会说出 y=ax² 图象的开口、对称轴、顶点 y=ax² 的图象 会列 会由简单的实际问题列出二次函数关系式 二次函数建模 2.2 课前学习任务（自学 · 约5分钟） 序号 课前学习任务 完成情况 1 写出一个一次函数和一个反比例函数的解析式：＿＿、＿＿。 □ 已完成　□ 有疑问 2 观察：y=x²、y=−2x²、y=½x² 有什么共同特征（未知数的最高次数）？ □ 已完成　□ 有疑问 3 预习课本 26.1，写出二次函数的一般形式：y=＿＿（a＿＿0）。 □ 已完成　□ 有疑问 2.3 课上探究任务（同桌合作 · 约10分钟） 任务 探究活动 我的发现 / 填写 任务一 · 辨一辨 判断 y=2x+1、y=x²、y=1/x、y=x²+2x 哪些是二次函数。 是二次函数的有：＿＿＿＿。 任务二 · 展一展 把 y=(x+1)(x−2) 展开，写成一般式。 y=＿＿，其中 a=＿＿、b=＿＿、c=＿＿。 任务三 · 看一看 列表描点画出 y=x² 的图象，观察开口与对称轴。 开口＿＿；对称轴是＿＿；顶点（＿＿，＿＿）。 2.4 学习评价（完成后自评，打√） 评价内容 我能做到（打√） 需要加强 能判断一个函数是不是二次函数 □ □ 能把二次函数化为一般式并指出系数 □ □ 能说出 y=ax² 图象的开口、对称轴、顶点 □ □ 能从实际问题列出二次函数关系式 □ □ 我的疑问 / 收获：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 三、作业内容（分层实施 · 含设计说明） 知识要点提示：形如 y=ax²+bx+c（a≠0，a、b、c 为常数）的函数是二次函数。y=ax²（a≠0）的图象是抛物线，对称轴是 y 轴，顶点是原点（0,0）；a>0 时开口向上，a<0 时开口向下。判定时先看是否是整式、再看出现在 x 的最高次数是否为 2，并检查二次项系数 a 是否不为 0。 基础层（必做） 题1（原创）识别二次函数（成都地铁） 下列函数中，是二次函数的是（　　） A．y=2x+1 C．y=1/x B．y=x²−3x+2 D．y=−3x 【答案】B。 【设计意图】二次函数要求右边是整式且未知数最高次数为 2。对应“二次函数的概念”。 【材料出处】成都地铁情境原创。 【难易系数】0.95 【评价要点】选 B。 题2（原创）化为一般式（大熊猫基地） 把 y=(x−1)(x+3) 化为一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项。 【答案】y=x²+2x−3；二次项系数 1、一次项系数 2、常数项 −3。 【设计意图】展开化为 ax²+bx+c 并指出 a、b、c。对应“一般形式”。 【材料出处】大熊猫基地情境原创。 【难易系数】0.90 【评价要点】y=x²+2x−3，系数 1、2、−3。 题3（原创）含参定义（锦里） 若 y=(m−1)x² 是二次函数，则 m 的取值范围是（　　） A．m≠1 C．m>1 B．m≠0 D．m=1 【答案】A。 【设计意图】二次项系数 m−1≠0，即 m≠1。对应“a≠0 的条件”。 【材料出处】锦里情境原创。 【难易系数】0.88 【评价要点】选 A，m≠1。 题4（原创）判断点（宽窄巷子） 下列点中，在函数 y=2x² 的图象上的是（　　） A．(1,2) C．(2,1) B．(−1,−2) D．(0,2) 【答案】A。 【设计意图】把点代入 y=ax² 检验坐标是否满足。对应“y=ax² 的图象”。 【材料出处】宽窄巷子情境原创。 【难易系数】0.90 【评价要点】选 A。 题5（原创）y=ax² 图象性质（东郊记忆） 函数 y=−3x² 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是（　　） A．开口向上，y轴，(0,0) C．开口向上，直线x=3，(3,0) B．开口向下，y轴，(0,0) D．开口向下，直线x=−3，(0,3) 【答案】B。 【设计意图】y=ax² 中 a<0 开口向下、对称轴 y 轴、顶点原点。对应“y=ax² 的图象”。 【材料出处】东郊记忆情境原创。 【难易系数】0.88 【评价要点】选 B。 题6（原创）求 a（成都马拉松） 若函数 y=ax² 的图象经过点 (2,12)，则 a=＿＿。 【答案】a=3。 【设计意图】代入点求系数 a。对应“y=ax² 的图象”。 【材料出处】成都马拉松情境原创。 【难易系数】0.90 【评价要点】a=3。 题7（原创）列关系式（成都塔） 一块正方形铁皮的边长为 x cm，面积为 y cm²，则 y 与 x 之间的函数关系式为＿＿，它是＿＿函数。 【答案】y=x²，二次函数。 【设计意图】由实际问题列二次函数关系式。对应“二次函数建模”。 【材料出处】成都塔情境原创。 【难易系数】0.90 【评价要点】y=x²，二次函数。 题8（原创）识别非二次（四川科技馆） 下列式子中，y 不是 x 的二次函数的是（　　） A．y=x²+1 C．y=x²+1/x B．y=2x(x−1) D．y=−x² 【答案】C。 【设计意图】右边须是 x 的整式，含 1/x 不是整式。对应“二次函数的概念”。 【材料出处】四川科技馆情境原创。 【难易系数】0.85 【评价要点】选 C。 提升层（必做） 题9（原创）展开辨析（成都地铁） 小强说：y=(x+2)²−x² 是二次函数。你同意吗？请说明理由。 【答案】不同意。展开得 y=x²+4x+4−x²=4x+4，是一次函数，不是二次函数。 【设计意图】展开后发现二次项相消，辨析“看似二次实则一次”。对应“概念辨析”。 【材料出处】成都地铁情境原创。 【难易系数】0.75 【评价要点】答案：不是，展开后为一次函数。 题10（原创）列式（锦里茶社） 一个矩形的长是宽的 2 倍还多 1 cm。设宽为 x cm，面积为 y cm²，则 y 与 x 之间的函数关系式为＿＿。 【答案】y=x(2x+1)=2x²+x。 【设计意图】由几何关系列出二次函数并化为一般式。对应“二次函数建模”。 【材料出处】锦里茶社情境原创。 【难易系数】0.75 【评价要点】y=2x²+x。 题11（原创）比较函数值（宽窄巷子） 在函数 y=x² 的图象上有点 A(−1,y₁)、B(2,y₂)、C(0,y₃)，则 y₁、y₂、y₃ 的大小关系是＿＿。 【答案】y₂>y₁>y₃。 【设计意图】代入求值比较，体会图象上点的坐标满足解析式。对应“y=ax² 的图象”。 【材料出处】宽窄巷子情境原创。 【难易系数】0.72 【评价要点】y₂>y₁>y₃。 题12（原创）图象关系（东郊记忆） 二次函数 y=2x² 与 y=−2x² 的图象关于＿＿对称。 【答案】x 轴。 【设计意图】y=ax² 与 y=−ax² 关于 x 轴对称。对应“y=ax² 的图象”。 【材料出处】东郊记忆情境原创。 【难易系数】0.75 【评价要点】x 轴。 拓展层（选做） 题13（原创）含参定义（成都马拉松） 已知函数 是二次函数，求 m 的值。 【答案】由 m²+1=2 得 m=±1；又二次项系数 m−1≠0 即 m≠1，所以 m=−1。 【设计意图】综合最高次数为 2 与二次项系数不为 0，辨析含参定义。对应“概念·含参”。 【材料出处】成都马拉松情境原创。 【难易系数】0.68 【评价要点】m=−1。 题14（原创）喷泉建模（四川科技馆） 成都科技馆前一座喷泉，喷水口距地面 1 m，喷出的水柱最高点距地面 3 m，最高点距喷水口的水平距离为 2 m。以喷水口为原点建立坐标系，求水柱所在抛物线的解析式。 【答案】设顶点式为 y=a(x−2)²+3，图象过 (0,1)，得 4a+3=1，，所以 y==。 【设计意图】用顶点式建立抛物线模型（为 26.4 应用作铺垫）。对应“二次函数建模”。 【材料出处】四川科技馆情境原创。 【难易系数】0.65 【评价要点】y=−1/2x²+2x+1。 四、作业评价设计 采用“过程+结果”双轨评价，每题从三个维度评定等级，综合折算为 A、B、C 等，体现素养导向。 评价指标 A等（优秀） B等（良好） C等（合格） 答题准确性 答案正确、过程完整 答案正确、过程有缺 答案错误或过程缺失 概念辨析 能准确识别二次函数并说理 辨析正确、理由简略 概念混淆、判断错误 规范与建模 书写规范、能正确列式 基本规范、偶有疏漏 展开/系数错误、未建模 综合评价：AAA、AAB 为 A 等；ABB、BBB、AAC 为 B 等；其余为 C 等。拓展层（题13—14）鼓励多种解法，推理充分即予 A 等。 五、参考答案与解析（教师版） 5.1 题目汇编（全 14 题 · 与第三节一致） 基础层（必做） 题1 下列函数中，是二次函数的是（　　）　A．y=2x+1　B．y=x²−3x+2　C．y=1/x　D．y=−3x 题2 把 y=(x−1)(x+3) 化为一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项。 题3 若 y=(m−1)x² 是二次函数，则 m 的取值范围是（　　）　A．m≠1　B．m≠0　C．m>1　D．m=1 题4 下列点中，在函数 y=2x² 的图象上的是（　　）　A．(1,2)　B．(−1,−2)　C．(2,1)　D．(0,2) 题5 函数 y=−3x² 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是（　　）　A．开口向上，y轴，(0,0)　B．开口向下，y轴，(0,0) 题6 若函数 y=ax² 的图象经过点 (2,12)，则 a=＿＿。 题7 一块正方形铁皮的边长为 x cm，面积为 y cm²，则 y 与 x 之间的函数关系式为＿＿，它是＿＿函数。 题8 下列式子中，y 不是 x 的二次函数的是（　　）　A．y=x²+1　B．y=2x(x−1)　C．y=x²+1/x　D．y=−x² 提升层（必做） 题9 小强说：y=(x+2)²−x² 是二次函数。你同意吗？请说明理由。 题10 一个矩形的长是宽的 2 倍还多 1 cm。设宽为 x cm，面积为 y cm²，则 y 与 x 的函数关系式为＿＿。 题11 在函数 y=x² 的图象上有点 A(−1,y₁)、B(2,y₂)、C(0,y₃)，则 y₁、y₂、y₃ 的大小关系是＿＿。 题12 二次函数 y=2x² 与 y=−2x² 的图象关于＿＿对称。 拓展层（选做） 题13 已知函数 是二次函数，求 m 的值。 题14 成都科技馆前一座喷泉，喷水口距地面 1 m，水柱最高点距地面 3 m，最高点距喷水口的水平距离为 2 m。以喷水口为原点，求水柱抛物线的解析式。 5.2 参考答案与解析（按题号集中） 题1：B（整式、最高次数 2、a≠0）。 题2：y=x²+2x−3；系数 1、2、−3。 题3：A（m−1≠0，m≠1）。 题4：A（(1,2) 代入得 2=2）。 题5：B（a<0 开口向下，对称轴 y 轴，顶点原点）。 题6：a=3。 题7：y=x²，二次函数。 题8：C（含 1/x，不是整式）。 题9：不同意；展开为 y=4x+4，是一次函数。 题10：y=x(2x+1)=2x²+x。 题11：y₂>y₁>y₃。 题12：x 轴。 题13：m=−1（m²+1=2 且 m−1≠0）。 题14：y==。 六、学生版作业（无答案 · 供课堂发放） 本页在“学习任务单”之后给出完整题目，均隐去答案与解析，请学生先完成探究单再独立写作业；答案见第五节。 基础层（必做） 题1 下列函数中，是二次函数的是（　　）　A．y=2x+1　B．y=x²−3x+2　C．y=1/x　D．y=−3x 答：（　　） 题2 把 y=(x−1)(x+3) 化为一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项。 答：y=＿＿；系数＿＿、＿＿、＿＿。 题3 若 y=(m−1)x² 是二次函数，则 m 的取值范围是（　　）　A．m≠1　B．m≠0　C．m>1　D．m=1 答：（　　） 题4 下列点中，在函数 y=2x² 的图象上的是（　　）　A．(1,2)　B．(−1,−2)　C．(2,1)　D．(0,2) 答：（　　） 题5 函数 y=−3x² 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是（　　） 答：（　　） 题6 若函数 y=ax² 的图象经过点 (2,12)，则 a=＿＿。 答：a=＿＿。 题7 一块正方形铁皮的边长为 x cm，面积为 y cm²，则 y 与 x 的函数关系式为＿＿，它是＿＿函数。 答：y=＿＿，＿＿函数。 题8 下列式子中，y 不是 x 的二次函数的是（　　）　A．y=x²+1　B．y=2x(x−1)　C．y=x²+1/x　D．y=−x² 答：（　　） 提升层（必做） 题9 小强说：y=(x+2)²−x² 是二次函数。你同意吗？请说明理由。 答：＿＿＿＿。 题10 一个矩形的长是宽的 2 倍还多 1 cm。设宽为 x cm，面积为 y cm²，则 y 与 x 的函数关系式为＿＿。 答：y=＿＿。 题11 在函数 y=x² 的图象上有点 A(−1,y₁)、B(2,y₂)、C(0,y₃)，则 y₁、y₂、y₃ 的大小关系是＿＿。 答：＿＿。 题12 二次函数 y=2x² 与 y=−2x² 的图象关于＿＿对称。 答：＿＿。 拓展层（选做） 题13 已知函数 是二次函数，求 m 的值。 答：m=＿＿。 题14 成都科技馆前一座喷泉，喷水口距地面 1 m，水柱最高点距地面 3 m，最高点距喷水口水平距离为 2 m。以喷水口为原点，求水柱抛物线的解析式。 答：y=＿＿。 七、附：图像与素材说明 本课时以“概念—辨析—建模”为主线，以文本、表格与符号为主；如需动态演示，可参照 1.6 用 GeoGebra 输入不同 a 值呈现 y=ax² 抛物线的开口与顶点变化。 学科网（北京）股份有限公司 $