3.1圆的有关概念（分层作业，16大题型）数学新教材浙教版九年级上册

分层作业 3.1 圆的有关概念 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 圆的有关概念辨析 题型02 同圆、等圆、同心圆 题型03 点与圆的位置关系 题型04 由点与圆的位置关系求半径 题型05 外心概念的辨析 题型06 外心的确定 题型07 外心性质的应用 题型08 确定圆的条件 题型09 与圆有关的计算问题 B组 能力进阶 题型01 圆的基本性质应用 题型02 过圆内一点最短的弦 题型03 求外心的坐标 题型04 求三角形外接圆的半径 题型05 弦的条数 题型06 点到圆的最值问题 C组 思维拔高 题型 新定义问题 圆的有关概念辨析题型01 1．（25-26九年级上·河南平顶山·期中）下列说法中，错误的是（ ） A．经过点P的圆有无数个 B．以点P为圆心的圆有无数个 C．半径为且经过点P的圆有无数个 D．以点P为圆心，长为半径的圆有无数个 2．嘉嘉在半径为的中测量弦的长度，则下列测量结果中一定错误的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·四川绵阳·期中）下列说法中，正确的是（　　） A．弦是直径 B．长度相等的两条弧一定是等弧 C．圆的每一条直径都是它的对称轴 D．半圆是弧 4．到已知点的距离等于的所有点组成的图形是以__________为圆心，__________长为半径的圆． 5．如图，和都为直角三角形，且．求证：、、、四点在同一个圆上．    同圆、等圆、同心圆题型02 1．下列说法：（1）直径是弦；（2）弦是直径；（3）半圆是弧，但弧不一定是半圆；（4）半径相等的两个圆是等圆；（5）长度相等的两条弧是等弧．其中错误的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列说法：①弦是直径；②半圆是弧；③过圆心的线段是直径；④圆心相同半径相同的两个圆是同心圆，其中错误的有_______．（填序号） 3．（24-25九年级上·江苏盐城·月考）如图，在两个同心圆中，大圆的半径和分别交小圆于点C和D，连接、，交于点P． 求证：； 点与圆的位置关系题型03 1．已知的半径为3，，则点A在（       ） A．内 B．上 C．外 D．无法确定 2．若的半径，圆心到直线的距离，在直线上有一点，且，则点P（   ） A．在内 B．在外 C．在上 D．可能在内，也可能在外 3．如图，的半径为4，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且、与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最大值为（    ）    A．20 B．26 C．28 D．30 4．在平面直角坐标系中，圆心为坐标原点O，的半径为5，则点与的位置关系是______． 5．如图，在矩形中，，，以顶点D为圆心作半径为x的圆，使点A和点B有且只有一个点在内，则x的取值范围是______． 由点与圆的位置关系求半径题型04 1．（2025·上海·模拟）已知点在半径为5的内，那么点到圆心的距离不可能是（   ） A．0 B．2 C．4 D．6 2．点P到圆心O的距离为6，若点P在圆O外，则圆O的半径r满足（ ） A． B． C． D． 3．有一长、宽分别为、的矩形，以A为圆心作圆，若、、三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则的半径r的取值范围是_____． 4．（25-26九年级上·四川广安·期末）点到的最近点的距离为，最远点的距离为，则的半径是___________ 5．（25-26九年级上·福建·期中）为升级某公园的绿化灌溉系统，计划在一条笔直的小路上安装两个射程相同的自动旋转喷洒装置．小路长60米，以点为原点建立平面直角坐标系．矩形花坛位于坐标系中，其顶点坐标为 现将两个喷洒装置和分别安装在小路（即轴）上坐标为和的点，其中．每个装置的喷洒区域可以看作一个以安装点为圆心，半径为（米）的圆．已知两个喷洒装置的喷洒半径（米）与它们的安装位置参数存在函数关系：．为了保证矩形花坛的任意一点都能被至少一个装置喷洒到（即花坛完全被覆盖），且要求总灌溉成本最低（成本与半径的平方成正比）． (1)当时，计算所需的喷洒半径． (2)求函数的表达式． (3)求t的值，使得在保证花坛被完全覆盖的前提下，总灌溉成本最低． 外心概念的辨析题型05 1．下列关于三角形外心的说法中，不正确的是（     ） A．三角形外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点 B．三角形的外心到三边的距离相等 C．三角形的外心到三个顶点的距离相等 D．三角形有且只有一个外接圆 2．已知点O是外接圆的圆心，若点O在外，则是（   ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．以上都有可能 3．（25-26九年级上·山东日照·期中）根据图中圆规的作图痕迹，只用直尺就可确定的外心的是（    ） A． B． C． D． 4．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点在小正方形的顶点上，则的外心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 5．若点O是等腰△ABC的外心，且∠BOC＝60°，底边BC＝2，则△ABC的面积为(　　) A．2＋ B． C．2＋或2－ D．4＋2或2－ 外心的确定题型06 1．小明家的圆形玻璃打碎了，其中三块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明应带到商店去的一块碎片是（　　） A．① B．② C．③ D．均不可能 2．（25-26九年级上·湖北武汉·联考）如图是一个含有个正方形的相框，其中，，将它镶嵌在一个圆形的金属框上，使三点刚好在金属框上，则该金属框的半径是（　　） A． B． C． D． 3．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，带如图的玻璃碎片到商店配到与原来大小一样的圆形玻璃，以下是工作人员顺序被打乱的操作步骤： ①连接和； ②在玻璃碎片的圆弧边缘任意找三点A、B、C； ③以点O为圆心，为半径作； ④分别作出和的垂直平分线，并且相交于点O． 正确操作步骤的排列序号为______． 4．（24-25九年级上·陕西渭南·月考）如图，已知圆和弦，用直尺和圆规求作圆心O 5．（24-25九年级上·江苏扬州·月考）如图，在平面直角坐标系中，点、、，    (1)利用网格线画出经过A，B，C三点的圆弧所在圆的圆心D（保留作图痕迹）；D点的坐标为________； (2)的半径为________，的度数为________； (3)点M是第一象限网格中的一个格点，当时，点M的坐标为________． 外心性质的应用题型07 1．三角形的外心具有的性质是（    ） A．外心在三角形外 B．外心在三角形内 C．外心到三角形三边距离相等 D．外心到三角形三个顶点距离相等 2．（24-25九年级上·湖南常德·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为：，，，经画图操作可知，的外心坐标应是（   ） A． B． C． D． 3．已知锐角中，是的中点，甲、乙二人想在上找一点，使得的外心为点，其做法如图．对于甲、乙二人的做法，正确的是（    ） 甲的作法 过点作与垂直的直线，交于点，则即为所求． 乙的作法 以为圆心，长为半径画弧，交于点，则即为所求． A．两人都正确 B．只有甲正确 C．只有乙正确 D．两人都不正确 4．在中，，，，则的外心在的______（填“内部”、“外部”或“边上”）；其外接圆的半径为______． 5．（25-26七年级·上海·期末）我们知道：三角形的三条边的垂直平分线相交于一点，这个交点叫做三角形的外心．对于三角形的外心，课本第138页有如下一个关于角度的问题： 5．如图，在中，，边、的垂直平分线相交于点P，连接、．求的度数． 对于类似的问题会不会有一般性的结论呢？ (1)如图1，在锐角三角形中， ①请用直尺和圆规作出的外心O（保留作图痕迹）； ②在所作图中连接、，如果设，那么 （用含的式子表示）； (2)如图2，在钝角三角形中，，点O是的外心，连接、，如果设，那么 （用含的式子表示）； (3)如果三角形的外心恰好落在这个三角形的一条边上，那么这个三角形的最大角的度数是 度； (4)通过以上问题的解决，对于三角形的外心的位置你能得到怎样的结论？请写出得到的结论． 确定圆的条件题型08 1．下列说法错误的是（     ） A．平面内不共线的三个点可以作一个圆 B．已知平面内两点可以作无数个圆 C．已知圆心和半径可以作一个圆 D．平面内任意三点可以作一个圆 2．小王不慎把一面圆形镜子打碎了，其中三块如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（    ） A．① B．② C．③ D．都不能 3．平面上有四个点，过其中任意3个点一共能确定圆的个数为（　　） A．0或3或4 B．0或1或3 C．0或1或3或4 D．0或1或4 4．当点A（1，2），B（3，﹣3），C（5，n）三点可以确定一个圆，则n需要满足的条件为 __． 5．如图，在四点A，B，C，D中，任意三点都不在同一条直线上．作过A，B，C三点的圆，并判断这个圆是否过点D． 与圆有关的计算问题题型09 1．如图中圆环的面积为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·河南许昌·月考）已知圆的直径为，则其半径为_____________，周长为_____________． 3．如图正方形的边长为1，分别以正方形的两个相对顶点为圆心，以1为半径画弧，则图中阴影部分的面积是______（用含有的式子表示）． 4．某学校计划修建一条标准田径跑道，数学小组根据《田径场地设计规范》绘制了如下示意图． 已知：跑道由两条直道和两个半圆形弯道组成，直道的长度均为；内圈（第1道）的长度为，一共8条跑道，所有跑道的终点线相同；为消除跑外圈与跑内圈的差距，起跑时让运动员处于不同的起跑线上．（注：跑道的长度近似于该跑道的内侧线的长度） (1)内圈（第1道）半圆形弯道的半径为_______；（结果保留） (2)如果每条跑道宽，求第2道的全长，并计算第2道起跑线比第1道应前移多少米（结果保留）； (3)已知规范要求跑道宽度为，如果实际测量得到第8道起跑线比第1道前移了．请你通过计算判断该跑道宽度是否符合规范？（取） 5．如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C移动，设运动时间为t秒． (1)当时，的面积为______； (2)是否存在一个时刻，使得点Q在的垂直平分线上，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由； (3)运动过程中，当A、P、Q、D四点恰好在同一个圆上时，求t的值． 圆的基本性质应用题型01 1．已知线段，经过A，B两点作半径为的圆，这样的圆（　　） A．可作一个 B．可作两个 C．可作无数个 D．不能作出 2．如图，点、，以点为圆心为半径作交轴于两点，点为上一动点，连接，取中点，连接，则的最大值为_____． 3．已知线段的长为，以为半径作圆，使它经过A，B两点． 4．如图，在中，，平分，    (1)在边上找一点O，以点O为圆心，且过A、D两点作（不写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）的条件下，若，求的半径． 5．（25-26九年级上·江苏江阴·月考）已知，如图，四边形是矩形， (1)请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：为中点，画圆，使该圆过点、、（不写作法，保留作图痕迹，标注相应的字母） (2)若，，则（1）中所画圆的半径为__________ 过圆内一点最短的弦题型02 1．（25-26九年级上·云南昭通·期中）在中，最长的弦是，则的半径为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级·质检）经过圆内一点可作圆的________条弦，其中最长的弦是________． 3．（2025·湖北黄石·一模）如图，在矩形中，，，点是的中点，点是上的动点，将矩形沿折叠，使点落在点处，连接，则面积的最小值为  ________． 4．如图，在矩形中，是矩形内部的一个动点，连接，则下列结论：①；②若，则的最大值为23；③无论点在何位置，总有；④若，则线段的最小值为8．其中正确的结论是___________。（填序号） 5．请用无刻度的直尺在以下图中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法） (1)如图①，内接于中，画出 中一条最长的弦； (2)如图②，等腰 内接于中，，画出底边的中线； (3)如图③，已知四边形为矩形，点A、D在圆上，与分别交于点E、F ．画出线段的垂直平分线； 求外心的坐标题型03 1．过三点A(1,-1),B(5,-1),C(3,4)的圆的圆心坐标为(   ) A．(3,) B．(3,) C．(4,) D．(4,) 2．如图，的顶点都在格点上，则外接圆的圆心坐标是___________．    3．过三点，，的圆的圆心坐标为________． 4．如图，平面直角坐标系中有一个．    (1)利用网格，只用无刻度的直尺作出的外接圆的圆心点O； (2)的外接圆的圆心坐标是 ； (3)该圆圆心到弦的距离为 ； (4)最小覆盖圆的半径为 ． 5．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均为格点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中找一格点M，按下列要求作图： （1）在图①中，连结MA、MB，使． （2）在图②中，连结MA、MB、MC，使． （3）在图③中，连结MA、MC，使． 求三角形外接圆的半径题型04 1．对于三角形的外心，下列说法错误的是（     ） A．它到三角形三个顶点的距离相等 B．它到三角形三个顶点的连线平分三内角 C．它到任意一顶点的距离等于这三角形的外接圆的半径 D．以它为圆心，它到三角形一顶点的距离为半径作圆，必通过另外两个顶点 2．已知，如图，在中，，，，那么这个三角形的外接圆直径是（    ）    A．4 B．5 C．8 D．10 3．如图，在中，．若外接圆的半径为2，则________． 4．如图，在平面直角坐标系中，点，，，则的外接圆的半径为_____________． 5．（2025·陕西西安·二模）【问题提出】 （1）如图①，已知点A是直线l外一点，点B，C均在直线l上，于点D且．求的最小值； 【问题探究】 （2）如图②，在四边形中，，点E，F分别为上的点，且，求四边形面积的最大值； 【问题解决】 （3）如图③，某园林对一块矩形花圃进行区域划分，点K为的中点，点M，N分别为上的点，且将花圃分为三个区域．已知，现计划在和中种植甲花，在其余区域种植乙花，试求种植乙花面积的最大值． 弦的条数题型05 1．（25-26九年级上·河北石家庄·月考）在半径为6的中有一条弦，则的长度不可能是（） A．3 B．6 C．12 D．14 2．如图所示，在⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一条直线上，则图中的弦有(   ) A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 3．如图，的斜边为的一条弦，直角边经过圆心．已知，，则的长为（     ） A． B． C． D． 4．如图，在中，弦有________，直径有________，劣弧有________，优弧有________． 5．的半径为，A为上一定点，点P在上沿圆周运动（不与点A重合），则使弦的长度为整数的点P共有________个． 点到圆的最值问题题型06 1．（24-25九年级上·广东汕头·月考）圆外一点到圆的最大距离是，最小距离是，则这个圆的半径为（   ） A． B． C． D． 2．一个点到圆的最小距离为，最大距离为，则该圆的半径是（ ） A．或 B． C． D．或 3．（24-25九年级下·广东深圳·联考）如图，在平面直角坐标系中，已知点、、），点P在以为圆心，1为半径的上运动，且始终满足，则t的最小值是______ 4．已知的半径为3，P是外一点，，分别求点P到的最近点和最远点的距离． 5．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）[发现问题] 爱好数学的小明在做作业时碰到这样的一道题目： 如图①，点O为坐标原点，的半径为1，点．动点B在上，连接，作等边（A，B，C为顺时针顺序），求的最大值． [解决问题] 小明经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图①中，连接，以为边在的左侧作等边，连接． （1）请你找出图中与相等的线段，并说明理由； （2）线段的最大值为 ． [灵活运用] （3）如图②，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点P为线段外一动点，且，以P为旋转中心，把PB逆时针旋转得，连接，求长的最大值． [迁移拓展] （4）如图③，，点D是以为直径的半圆上不同于B、C的一个动点，以为边作等边，请直接写出的最值． 新定义问题题型 1．（2025·山东淄博·一模）对于点P和线段，给出如下定义：若将线段绕点P旋转可以得到的弦，分别是A，B的对应点），则称线段是的以点P为中心的“和谐线段”．如图，在平面直角坐标系中，的半径为1，点的，连接，已知线段是的以点P为中心的“和谐线段”，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．阅读与思考 下面是一篇数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务． “三点共线模型”及其应用 背景知识：通过初中学习，我们掌握了基本事实：两点之间线段最短．根据这个事实，我们证明了：三角形两边的和大于第三边．根据不等式的性质得出了：三角形两边的差小于第三边． 知识拓展：如图，在同一平面内，已知点和为定点，点为动点，且为定长（令），可得线段的长度为定值．我们探究和两条定长线段，的数量关系及其最大值和最小值：当动点不在直线上时，如图，由背景知识，可得结论，． 当动点在直线上时，出现图和图两种情况．在图中，线段取最小值为；在图中，线段取最大值为． 模型建立：在同一平面内，点和为定点，点为动点，且，为定长（），则有结论≥，．当且仅当点运动至，，三点共线时等成立． 我们称上述模型为“三点共线模型”，运用这个模型可以巧妙地解决一些最值问题． 任务： (1)上面小论文中的知识拓展部分．主要运用的数学思想有 　　；（填选项） A．方程思想   B．统计思想   C．分类讨论   D．函数思想 (2)已知线段，点为任意一点，那么线段和的长度的和的最小是　　； (3)已知的直径为，点为上一点，点为平面内任意一点，且，则的最大值是　　； (4)如图4，，矩形的顶点、分别在边、上，当在边上运动时，随之在上运动，矩形的形状保持不变．其中，．运动过程中，求点到点的最大距离． 3．（2026·甘肃平凉·模拟）定义：我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的覆盖圆．其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆． 爱动脑筋的小明思考：任意一个三角形都能被它的外接圆覆盖，那三角形的外接圆一定是该三角形的最小覆盖圆吗？如图，在中，，，． (1)在图中，作出的外接圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． (2)的外接圆是它的最小覆盖圆吗？如果是，请说明理由；如果不是，请求出的最小覆盖圆的直径． 4．如果一个四边形的对角线相等，我们称这个四边形为美好四边形． 【问题提出】 （1）如图①，点E是四边形内部一点，且满足，请说明四边形是美好四边形； 【问题探究】 （2）如图②，，请利用尺规作图，在平面内作出点D，使得四边形是美好四边形，且满足．保留作图痕迹，不写画法； （3）在（2）的条件下，若图②中满足：，，，求四边形的面积； 【问题解决】 （4）如图③，某公园内需要将4个信号塔分别建在A、B、C、D四处，现要求信号塔C建在公园内一个湖泊的边上，该湖泊可近似看成一个半径为的圆，记为已知点A到该湖泊的最近距离为，是否存在这样的点D，满足．且使得四边形的面积最大？若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由． 5．（25-26九年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，对于点和给出如下定义：点关于直线对称后得到点，再将点关于直线对称后得点．则称点是点关于点的“双称点”． (1)点关于原点的双称点是___________． (2)半径为均为圆上任意一点，是直线上一点，若点是点关于点的双称点，求点横坐标的取值范围． (3)点半径为均为上任意一点，直线与轴、轴交于点、．若上所有点都是点关于点的双称点，求的取值范围． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 3.1 圆的有关概念 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 圆的有关概念辨析 题型02 同圆、等圆、同心圆 题型03 点与圆的位置关系 题型04 由点与圆的位置关系求半径 题型05 外心概念的辨析 题型06 外心的确定 题型07 外心性质的应用 题型08 确定圆的条件 题型09 与圆有关的计算问题 B组 能力进阶 题型01 圆的基本性质应用 题型02 过圆内一点最短的弦 题型03 求外心的坐标 题型04 求三角形外接圆的半径 题型05 弦的条数 题型06 点到圆的最值问题 C组 思维拔高 题型 新定义问题 圆的有关概念辨析题型01 1．（25-26九年级上·河南平顶山·期中）下列说法中，错误的是（ ） A．经过点P的圆有无数个 B．以点P为圆心的圆有无数个 C．半径为且经过点P的圆有无数个 D．以点P为圆心，长为半径的圆有无数个 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是圆的相关知识，解题的关键是熟练掌握确定圆的条件．根据圆的相关知识逐一分析即可． 【详解】解：由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．则： A、经过一个点P的圆有无数个，正确； B、以点P为圆心的圆，半径不确定，所以有无数个，正确； C、半径为且经过点P的圆，圆心不确定，所以有无数个，正确； D、以点P为圆心，以为半径的圆，圆心半径都确定，所以只有唯一的一个圆，错误． 故选：D． 2．嘉嘉在半径为的中测量弦的长度，则下列测量结果中一定错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆的认识，根据直径是圆中最长的弦即可求解． 【详解】解：∵半径为的圆，直径为， ∴在半径为的圆中测量弦的长度，的取值范围是：， ∴弦的长度可以是，，，不可能为． 故选：D． 3．（25-26九年级上·四川绵阳·期中）下列说法中，正确的是（　　） A．弦是直径 B．长度相等的两条弧一定是等弧 C．圆的每一条直径都是它的对称轴 D．半圆是弧 【答案】D 【分析】本题考查圆的基本概念，包括弦、弧、等弧和对称轴的定义，掌握知识点是解题的关键．正确理解弦、直径、弧、等弧和对称轴的定义是解题关键，注意细节区别． 根据圆的基本概念，包括弦、弧、等弧和对称轴的定义，逐一判断选项的正误即可． 【详解】解：∵ 弦是连接圆上任意两点的线段，直径是经过圆心的特殊弦，但并非所有弦都是直径，∴ A错误； ∵ 等弧要求长度相等且在同圆或等圆中，仅长度相等不一定构成等弧，∴ B错误； ∵ 圆的对称轴是直径所在的直线，而直径是线段，不是直线，∴ C错误； ∵ 半圆是圆的一条弧，其度数为180°，∴ D正确． 故选D． 4．到已知点的距离等于的所有点组成的图形是以__________为圆心，__________长为半径的圆． 【答案】 点 【分析】圆的定义是在同一平面内到定点距离等于定长的所有点组成的图形，所以到定点O的距离等于的所有点组成的图形是圆． 【详解】解：根据圆的定义可知，到定点O的距离等于的所有点组成的图形是以点O为圆心，为半径的圆． 故答案为：点O，． 【点睛】本题考查了圆的定义，根据定义可知，初中阶段所研究的圆，指的是圆周，而不是圆面． 5．如图，和都为直角三角形，且．求证：、、、四点在同一个圆上．    【答案】 证明：取弦的中点，连接，， 和都为直角三角形，且， ，分别为和斜边上的中线， ． 、、、四点在同一个圆上．    【分析】取弦的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证得后即可求证、、、四点在同一个圆上． 【详解】略 【点睛】本题考查了圆的认识，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求证几个点在同一个圆上就是证明这几个点到一个点的距离相等，是解题的关键． 同圆、等圆、同心圆题型02 1．下列说法：（1）直径是弦；（2）弦是直径；（3）半圆是弧，但弧不一定是半圆；（4）半径相等的两个圆是等圆；（5）长度相等的两条弧是等弧．其中错误的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】（1）直径的两个端点在圆上，符合弦的概念．（2）弦是连接圆上两点间的线段，只有过圆心的弦才是直径．（3）半圆是弧，但弧不一定是半圆．比半圆大的弧是优弧，比半圆小的弧是劣弧．（4）由等圆的定义判定，（5）等弧是能完全重合的两条弧，长度相等的两条弧不一定能重合． 【详解】解：（1）根据弦的概念，直径是一条线段，且两个端点在圆上，满足弦是连接圆上两点的线段这一概念，所以（1）正确； （2）弦是连接圆上两点的线段，只有过圆心的弦才是直径，其它的弦不是直径，所以（2）错误； （3）圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫半圆，所以半圆是弧．但比半圆大的弧是优弧，比半圆小的弧是劣弧，不是所有的弧都是半圆．所以（3）正确； （4）由等圆的定义可知，半径相等的两个圆面积相等、周长相等，所以为等圆，所以（4）正确； （5）等弧是能完全重合的弧，只有长度相等的两条弧不一定能重合．所以（5）错误． 故选：B． 【点睛】本题主要考查圆的相关知识点，关键在于熟练掌握相关的定义和性质. 2．下列说法：①弦是直径；②半圆是弧；③过圆心的线段是直径；④圆心相同半径相同的两个圆是同心圆，其中错误的有_______．（填序号） 【答案】①③④ 【分析】本题考查了圆的认识．利用圆的有关定义及性质分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：①直径是弦，但弦不一定是直径，故原说法错误； ②半圆是弧，说法正确； ③过圆心的弦是直径，故原说法错误； ④圆心相同半径不同的两个圆是同心圆，故原说法错误． 故答案为：①③④． 3．（24-25九年级上·江苏盐城·月考）如图，在两个同心圆中，大圆的半径和分别交小圆于点C和D，连接、，交于点P． 求证：； 【答案】 证明∶在和中， ∴； ∴． ∵，， ∴， 即， 在和中， ∴ 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，圆的性质，先证明，由全等三角形的性质得出，再根据圆的性质可知，，从而得出， 再利用证明． 【详解】略 点与圆的位置关系题型03 1．已知的半径为3，，则点A在（       ） A．内 B．上 C．外 D．无法确定 【答案】C 【分析】点在圆上，则；点在圆外，；点在圆内，(d即点到圆心的距离，即圆的半径）． 【详解】解：∵， ∴点A与的位置关系是点在圆外， 故选：C． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是掌握判断点与圆的位置关系，就是比较点与圆心的距离和半径的大小关系． 2．若的半径，圆心到直线的距离，在直线上有一点，且，则点P（   ） A．在内 B．在外 C．在上 D．可能在内，也可能在外 【答案】C 【分析】直接利用点与圆的位置关系进而判断得出答案，点与圆的位置关系有三种：点在圆内、点在圆上、点在圆外；假设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则有：，点在圆内，点在圆上，点在圆外． 【详解】解：如图，    ∵， ∴点P在上， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，正确把握判定方法是解题关键． 3．如图，的半径为4，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且、与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最大值为（    ）    A．20 B．26 C．28 D．30 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的性质，点与圆的位置关系，勾股定理的应用； 根据直角三角形的性质证明，可得要使取得最大值，则需取得最大值，连接并延长交于点，当点位于位置时，取得最大值，求出，得到，进而可得答案． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵点 、点关于原点对称， ∴点O是的中线， ∴， ∴要使取得最大值，则需取得最大值， 连接并延长交于点，当点位于位置时，取得最大值，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 4．在平面直角坐标系中，圆心为坐标原点O，的半径为5，则点与的位置关系是______． 【答案】点在上 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的三种位置关系是解题的关键．根据勾股定理求出的长，再与的半径比较即可． 【详解】解：点， 的半径为5， 点在圆上， 故答案为：点在上． 5．如图，在矩形中，，，以顶点D为圆心作半径为x的圆，使点A和点B有且只有一个点在内，则x的取值范围是______． 【答案】 【分析】要确定点与圆的位置关系，主要根据点与圆心的距离与半径的大小关系来进行判断．当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内． 【详解】解：在直角中，，， ， ∵点A和点B有且只有一个点在内， 故答案为． 【点睛】此题考查点与圆的位置关系，解题关键在于确定点与圆的位置关系． 由点与圆的位置关系求半径题型04 1．（2025·上海·模拟）已知点在半径为5的内，那么点到圆心的距离不可能是（   ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】D 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系，掌握点P到圆心的距离，当时，点P在圆内是解题的关键． 根据点与圆的位置关系解答即可． 【详解】解：∵点P在半径为5的内， ∴， ∴点P到圆心O的距离不可能是6． 故选：D． 2．点P到圆心O的距离为6，若点P在圆O外，则圆O的半径r满足（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查对点与圆的位置关系的判断．解题的关键：要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系，若点到圆心的距离为，圆的半径，则时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内，反过来与成立． 【详解】解：∵点到圆心的距离为，点在圆外， ∴，即． 故选：A． 3．有一长、宽分别为、的矩形，以A为圆心作圆，若、、三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则的半径r的取值范围是_____． 【答案】 【分析】由题意结合勾股定理可求矩形对角线的长，再根据三点到点A的最大距离为，最小距离为，所以要三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，就应当使的半径大于最小的距离，小于最大的距离，即得出答案． 【详解】解：∵矩形ABCD的长、宽分别为、， ∴矩形的对角线为． ∵三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外， ∴的半径r的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理，点与圆的位置关系．利用数形结合的思想是解题关键． 4．（25-26九年级上·四川广安·期末）点到的最近点的距离为，最远点的距离为，则的半径是___________ 【答案】或． 【分析】本题考查了点与圆的位置关系．根据点P与圆的位置关系分类讨论：当点P在圆外时，当点P在圆内时，分别求解即可． 【详解】如图所示，当点P在圆内时， ∵，， ∴， ∴的半径是； 如图所示，当点P在圆外时， ∵，， ∴， ∴的半径是； 综上所述，的半径是或． 故答案为：或． 5．（25-26九年级上·福建·期中）为升级某公园的绿化灌溉系统，计划在一条笔直的小路上安装两个射程相同的自动旋转喷洒装置．小路长60米，以点为原点建立平面直角坐标系．矩形花坛位于坐标系中，其顶点坐标为 现将两个喷洒装置和分别安装在小路（即轴）上坐标为和的点，其中．每个装置的喷洒区域可以看作一个以安装点为圆心，半径为（米）的圆．已知两个喷洒装置的喷洒半径（米）与它们的安装位置参数存在函数关系：．为了保证矩形花坛的任意一点都能被至少一个装置喷洒到（即花坛完全被覆盖），且要求总灌溉成本最低（成本与半径的平方成正比）． (1)当时，计算所需的喷洒半径． (2)求函数的表达式． (3)求t的值，使得在保证花坛被完全覆盖的前提下，总灌溉成本最低． 【答案】(1) (2)当时，，当时，， (3) 【分析】本题考查了二次函数的应用和圆的覆盖问题，涉及了点与圆、圆与圆的位置关系， （1）根据、的交点一定在的中点上，利用勾股定理求解即可； （2）求出不同点坐标对应的进而利用待定系数法求解， （3）利用求出的函数解析式得出总灌溉成本与t的函数关系，进而求出最小值时t的值． 【详解】（1）解：如图， 当时，即，， ∵，， 为了保证矩形花坛的任意一点都能被至少一个装置喷洒到（即花坛完全被覆盖），且要求总灌溉成本最低． ∴、的交点一定在线段的中点上， ∴， （2）当时，即，，如图： ∵，， 为了保证矩形花坛的任意一点都能被至少一个装置喷洒到（即花坛完全被覆盖）． ∴、重合，经过点E、D， ∴所需的喷洒半径， 当时，即，，如图 ∴、的交点一定在的中点上， ∴，， ∴当时，， 当时，， （3）设总灌溉成本为， 当时，，（） 当时，取最小值，，总灌溉成本最低； 当时，，（）， 当时，取最小值，，总灌溉成本最低； ∴综上所述：当时，取最小值，总灌溉成本最低． 外心概念的辨析题型05 1．下列关于三角形外心的说法中，不正确的是（     ） A．三角形外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点 B．三角形的外心到三边的距离相等 C．三角形的外心到三个顶点的距离相等 D．三角形有且只有一个外接圆 【答案】B 【分析】根据三角形外心和内心的定义，逐个判定选项，选出不正确的一项． 【详解】解：A、三角形的外心是其外接圆的圆心，为三边垂直平分线的交点，A正确，不符合题意； B、三角形中到三边距离相等的点是三条角平分线的交点（内心），外心不满足该性质，B错误，符合题意； C、外心到三个顶点的距离均等于外接圆半径，C正确，不符合题意； D、任意三角形有且只有一个外接圆，D正确，不符合题意． 2．已知点O是外接圆的圆心，若点O在外，则是（   ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．以上都有可能 【答案】A 【分析】本题考查三角形的外接圆与外心，解题的关键是判断外接圆的圆心所在的位置． 外心的位置与三角形类型有关：①锐角三角形的外心在三角形内部；②直角三角形的外心在斜边中点处；③钝角三角形的外心在三角形外部．因此，若外心在三角形外部，则三角形必为钝角三角形． 【详解】解：∵ 点是的外心，且点在外， ∴ 是钝角三角形．（注：仅钝角三角形的外心在三角形外部．） 故选：A． 3．（25-26九年级上·山东日照·期中）根据图中圆规的作图痕迹，只用直尺就可确定的外心的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形外心的定义． 根据三角形外心是三角形三条垂直平分线的交点进行求解即可． 【详解】解：∵三角形外心是三角形三条垂直平分线的交点， ∴四个选项中只有A选项作图方法是垂直平分线的尺规作图， 故选：A． 4．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点在小正方形的顶点上，则的外心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外心的定义，根据三角形三边垂直平分线相交于一点，这一点叫做它的外心，据此解答即可求解，掌握三角形的外心的定义是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 由勾股定理得，，，， ∴， ∴点是的外心， 故选：． 5．若点O是等腰△ABC的外心，且∠BOC＝60°，底边BC＝2，则△ABC的面积为(　　) A．2＋ B． C．2＋或2－ D．4＋2或2－ 【答案】C 【详解】解：由题意可得，如图所示， 存在两种情况，当△ABC为△A1BC时，连接OB、OC， ∵点O是等腰△ABC的外心，且∠BOC=60°，底边BC=2，OB=OC， ∴△OBC为等边三角形，OB=OC=BC=2，OA1⊥BC于点D， ∴CD=1，OD==， ∴=BC•A1D==； 当△ABC为△A2BC时，连接OB、OC， ∵点O是等腰△ABC的外心，且∠BOC=60°，底边BC=2，OB=OC， ∴△OBC为等边三角形，OB=OC=BC=2，OA1⊥BC于点D， ∴CD=1，OD==， ∴=BC•A2D ==， 由上可得，△ABC的面积为或， 故选C． 外心的确定题型06 1．小明家的圆形玻璃打碎了，其中三块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明应带到商店去的一块碎片是（　　） A．① B．② C．③ D．均不可能 【答案】A 【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小． 【详解】第①块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长． 故选：A． 【点睛】本题考查了垂径定理的应用，确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心． 2．（25-26九年级上·湖北武汉·联考）如图是一个含有个正方形的相框，其中，，将它镶嵌在一个圆形的金属框上，使三点刚好在金属框上，则该金属框的半径是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，作线段的中垂线和线段的中垂线交于点，连接，则点三点刚好在以点为圆心，为半径的圆上，然后由等腰直角三角形的性质求得的长，再结合勾股定理求得半径的长． 【详解】解：连接，由个正方形的相框的位置关系，可知均在上，作线段的中垂线和线段的中垂线交于点，交于点，交于点，连接，如图所示： 是圆形的金属框的两条弦， 点三点刚好在以点为圆心，为半径的圆上， ， 由勾股定理可得，，， ， 则， ∴点为线段的中点， 即线段的中垂线过点， ， ， 是等腰直角三角形， 则， 是线段的中垂线，，， ，， 则， 在中，，，，则由勾股定理可得， 故选：B． 【点睛】本题考查中垂线性质、圆心的确定、正方形的性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识，解题的关键是利用勾股定理求得三个正方形的对角线的长度． 3．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，带如图的玻璃碎片到商店配到与原来大小一样的圆形玻璃，以下是工作人员顺序被打乱的操作步骤： ①连接和； ②在玻璃碎片的圆弧边缘任意找三点A、B、C； ③以点O为圆心，为半径作； ④分别作出和的垂直平分线，并且相交于点O． 正确操作步骤的排列序号为______． 【答案】②①④③ 【分析】同一平面内，不共线的三点可确定一个圆，一个圆的圆心一定在该圆的一条弦的垂直平分线上，因此第一步在圆弧上任意找三点，进而可得圆的两条弦，作这两条弦的垂直平分线，二者的交点即为圆心，进而可作出对应的圆，据此可得答案． 【详解】解：首先在玻璃碎片的圆弧边缘任意找三点A、B、C，即步骤②，然后连接和，将这三点转化为三角形的边（即圆的弦），即步骤①．根据垂径定理的推论，弦的垂直平分线经过圆心，分别作出和的垂直平分线，它们的交点即为圆心，即步骤④． 最后以点O为圆心，为半径作，即可得到原来的圆形玻璃，即步骤③． 故正确的操作步骤是②①④③． 4．（24-25九年级上·陕西渭南·月考）如图，已知圆和弦，用直尺和圆规求作圆心O 【答案】 圆心O如图． 【分析】本题考查画圆心，任取一条弦，分别作和的垂直平分线，交点即为圆心． 【详解】解：略． 5．（24-25九年级上·江苏扬州·月考）如图，在平面直角坐标系中，点、、，    (1)利用网格线画出经过A，B，C三点的圆弧所在圆的圆心D（保留作图痕迹）；D点的坐标为________； (2)的半径为________，的度数为________； (3)点M是第一象限网格中的一个格点，当时，点M的坐标为________． 【答案】(1)如图，    (2)， (3)（答案不唯一） 【分析】（1）如图，连接，，，作，的垂直平分线，交于点，再进一步可得答案； （2）利用勾股定理分别求解圆的半径，再判断为直角三角形即可； （3）分别求解直线，的解析式，再进一步解答即可． 【详解】（1）解：连接，，，作，的垂直平分线，交于点， ∴即为所求，； （2）解：∵，，， ∴；，， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴设直线为， ∴， 解得：， ∴直线为， ∵， ∴设直线为， ∵， ∴， ∴， ∴直线为， 当时，， 当时，， ∴当点M是第一象限网格中的一个格点时，或（答案不唯一）． 【点睛】本题考查的是作三角形的外接圆的圆心，线段的垂直平分线的性质，勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，一次函数的应用，坐标与图形，掌握以上基础知识是解本题的关键． 外心性质的应用题型07 1．三角形的外心具有的性质是（    ） A．外心在三角形外 B．外心在三角形内 C．外心到三角形三边距离相等 D．外心到三角形三个顶点距离相等 【答案】D 【分析】直接根据三角形的外心的定义判断即可 【详解】解：A．外心不一定在三角形外，错误； B．外心不一定在三角形内，错误； C．外心到三角形三角距离相等，错误； D．外心到三角形三个顶点距离相等，正确； 故选D． 【点睛】本题考查了三角形的外心，熟练掌握定义是解答本题的关键．三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形的外心是三边垂直平分线的交点，外心到三角形三个顶点的距离相等． 2．（24-25九年级上·湖南常德·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为：，，，经画图操作可知，的外心坐标应是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了三角形外心的知识，注意三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，解此题的关键是数形结合思想的应用．首先由的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作与的垂线，两垂线的交点即为的外心． 【详解】解：的外心即是三角形三边垂直平分线的交点， 作图得： 与的垂直平分线交点即为的外心， 的外心坐标是， 故选：D． 3．已知锐角中，是的中点，甲、乙二人想在上找一点，使得的外心为点，其做法如图．对于甲、乙二人的做法，正确的是（    ） 甲的作法 过点作与垂直的直线，交于点，则即为所求． 乙的作法 以为圆心，长为半径画弧，交于点，则即为所求． A．两人都正确 B．只有甲正确 C．只有乙正确 D．两人都不正确 【答案】A 【分析】本题考查三角形的外接圆与外心，直角三角形斜边中线的性质，由三角形外心的性质：三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，即可判断． 【详解】解：甲的作法， ， ， ∵O是中点， ， ， ∴O是的外心， ∴甲的作法正确． 乙的作法， 由作法知：， ∴O是的外心， ∴乙的作法正确． 故选：A． 4．在中，，，，则的外心在的______（填“内部”、“外部”或“边上”）；其外接圆的半径为______． 【答案】 边上 【分析】根据直角三角形的外心在斜边上，即可判断外心的未知，根据勾股定理求出的长度，即可求出半径． 【详解】解：如图：的外心在的斜边上， ∵， ∴为直径， ∵，， ∴， ∴半径为：． 故答案为：边上，． 【点睛】本题主要考查了三角形的外心，直径所对的圆周角为直角，勾股定理，解题的关键是熟练掌握各个相关内容并灵活运用． 5．（25-26七年级·上海·期末）我们知道：三角形的三条边的垂直平分线相交于一点，这个交点叫做三角形的外心．对于三角形的外心，课本第138页有如下一个关于角度的问题： 5．如图，在中，，边、的垂直平分线相交于点P，连接、．求的度数． 对于类似的问题会不会有一般性的结论呢？ (1)如图1，在锐角三角形中， ①请用直尺和圆规作出的外心O（保留作图痕迹）； ②在所作图中连接、，如果设，那么 （用含的式子表示）； (2)如图2，在钝角三角形中，，点O是的外心，连接、，如果设，那么 （用含的式子表示）； (3)如果三角形的外心恰好落在这个三角形的一条边上，那么这个三角形的最大角的度数是 度； (4)通过以上问题的解决，对于三角形的外心的位置你能得到怎样的结论？请写出得到的结论． 【答案】(1)解：①如图，外心即为所求； ② (2) (3) (4)解：锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形的外部. 【分析】（1）①分别作的垂直平分线，交点即为所求；②利用线段的垂直平分线的性质结合等腰三角形的性质与三角形的内角和定理解答即可； （2）连接，结合外心的性质，等腰三角形的性质与三角形的内角和定理解答即可； （3）先画图，再结合外心与等腰三角形的性质，三角形的内角和定理解答即可； （4）根据（1）（2）（3）进行归纳总结即可. 【详解】（1）解：①略 ②如图，连接， ∵为线段的垂直平分线的交点， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴. （2）解：如图，连接， ∵点O是的外心， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴. （3）解：如图，为三角形的外心， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最大角为. （4）略 确定圆的条件题型08 1．下列说法错误的是（     ） A．平面内不共线的三个点可以作一个圆 B．已知平面内两点可以作无数个圆 C．已知圆心和半径可以作一个圆 D．平面内任意三点可以作一个圆 【答案】D 【分析】不共线三点确定一个圆，据此逐一判断即可得出答案． 【详解】解：平面内不共线的三点可作一个圆，共线三点不可作圆，故A选项正确，D选项错误， 已知平面内两点时，圆心可在两点连线的垂直平分线上任意选取，可作无数个圆，故B选项正确， 已知圆心和半径可确定一个圆，故C选项正确． 2．小王不慎把一面圆形镜子打碎了，其中三块如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（    ） A．① B．② C．③ D．都不能 【答案】B 【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第②块可确定半径的大小． 【详解】解：第②块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长． 故选：B． 【点睛】本题考查了垂径定理的应用，确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心． 3．平面上有四个点，过其中任意3个点一共能确定圆的个数为（　　） A．0或3或4 B．0或1或3 C．0或1或3或4 D．0或1或4 【答案】C 【分析】根据四个点在平面上不同的位置确定有四种情况，分别讨论构成圆的个数即可得到答案. 【详解】如图，当四点在同一条直线上时，不能确定圆，当四点共圆时，只能作一个圆，当三点在同一直线上时，可以作三个圆，当四点不共圆时，且没有三点共线时，能确定四个圆． 故选：C． 【点睛】此题考查点构成圆的个数，点的位置关系，正确分析点的位置关系是解题的关键. 4．当点A（1，2），B（3，﹣3），C（5，n）三点可以确定一个圆，则n需要满足的条件为 __． 【答案】n≠﹣8 【分析】能确定一个圆就是不在同一直线上，首先确定直线AB的解析式，然后点C不满足求得的直线即可． 【详解】解：设直线AB的解析式为y＝kx+b， ∵A（1，2），B（3，﹣3）， ∴， 解得：， ∴直线AB的解析式为， ∵点A（1，2），B（3，﹣3），C（5，n）三点可以确定一个圆时， ∴点C不在直线AB上， ∴当点C在直线AB上时，， ∴当点A（1，2），B（3，﹣3），C（5，n）三点可以确定一个圆，则n需要满足的条件为n≠﹣8， 故答案为：n≠﹣8． 【点睛】本题考查了确定圆的条件及坐标与图形的性质，能够了解确定一个圆时三点不共线是解答本题的关键． 5．如图，在四点A，B，C，D中，任意三点都不在同一条直线上．作过A，B，C三点的圆，并判断这个圆是否过点D． 【答案】如图，即为所求， 不经过点D 【分析】分别连接，、，分别作、的垂直平分线，交于点O，分别连接，再以点O为圆心，为半径作，由图形可以判断不过点D． 【详解】解：由作图可知，，故经过A，B，C三点， 由图形可知，到圆心的距离不等于半径， ∴不经过点D． 与圆有关的计算问题题型09 1．如图中圆环的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是圆的面积的计算，利用大圆的面积减去小圆的面积即可得到答案． 【详解】解：图中圆环的面积为：． 故选：D 2．（25-26九年级上·河南许昌·月考）已知圆的直径为，则其半径为_____________，周长为_____________． 【答案】 【分析】本题考查了圆的直径与半径和周长的关系．根据圆的直径与半径的关系，半径等于直径的一半；周长等于圆周率乘以直径，即可求解． 【详解】解：圆的直径为， 半径为，周长为， 故答案为：，． 3．如图正方形的边长为1，分别以正方形的两个相对顶点为圆心，以1为半径画弧，则图中阴影部分的面积是______（用含有的式子表示）． 【答案】 【分析】利用两个圆的面积减去一个正方形的面积求解即可． 【详解】解：如图所示 S阴影=-S正方形=-12=． 故答案为：． 【点睛】本题考查阴影面积的求解，利用S阴影=-S正方形进行求解是解决本题的关键． 4．某学校计划修建一条标准田径跑道，数学小组根据《田径场地设计规范》绘制了如下示意图． 已知：跑道由两条直道和两个半圆形弯道组成，直道的长度均为；内圈（第1道）的长度为，一共8条跑道，所有跑道的终点线相同；为消除跑外圈与跑内圈的差距，起跑时让运动员处于不同的起跑线上．（注：跑道的长度近似于该跑道的内侧线的长度） (1)内圈（第1道）半圆形弯道的半径为_______；（结果保留） (2)如果每条跑道宽，求第2道的全长，并计算第2道起跑线比第1道应前移多少米（结果保留）； (3)已知规范要求跑道宽度为，如果实际测量得到第8道起跑线比第1道前移了．请你通过计算判断该跑道宽度是否符合规范？（取） 【答案】(1)； (2)，； (3)该跑道宽度符合规范．理由： 设跑道实际宽度为，第8条跑道与第1条跑道的半径差为，则起跑线前移为两个跑道的长度差，即为， ∵际测量得到第8道起跑线比第1道前移了． ∴， 解得， ∵规范要求跑道宽度为， ∴， 即 ∵， ∴该跑道宽度符合规范． 【分析】（1）设内圈（第1道）半圆形弯道的半径为，内圈（第1道）的长度为，据此列方程并解方程即可； （2）先求出第2道半圆形弯道的半径为，再用直道的长度加上第2道半圆形弯道的长度即可得到第2道的全长，用第2道的全长减去第1道的全长即可得到第2道起跑线比第1道应前移的长度； （3）设跑道实际宽度为，第8条跑道与第1条跑道的半径差为，根据起跑线前移为两个跑道的长度差求出起跑线前移的长度，再与规范要求跑道的宽度范围比较即可． 【详解】（1）解：设内圈（第1道）半圆形弯道的半径为，则 ， 解得， 即内圈（第1道）半圆形弯道的半径为； （2）解：∵每条跑道宽， ∴第2道半圆形弯道的半径为， ∴第2道全长， ∵， ∴第2道起跑线比第1道应前移； （3）略 5．如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C移动，设运动时间为t秒． (1)当时，的面积为______； (2)是否存在一个时刻，使得点Q在的垂直平分线上，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由； (3)运动过程中，当A、P、Q、D四点恰好在同一个圆上时，求t的值． 【答案】(1)28； (2)存在，； (3)当或时A、P、Q、D四点恰好在同一个圆上 【分析】（1）由矩形的性质得出，，，由题意得出，，，，由矩形的面积减去三个直角三角形的面积，即可得出答案； （2）由得出，解方程可得出答案； （3）证出A、P、D三点在以为直径的圆上，由圆周角定理得出，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ，，， 由题意得：，， ，， 当时，，，，， 的面积， 故答案为：28； （2）解：存在； 当时，Q在DP的垂直平分线上， ， 解得，舍去，； （3）解：， 、P、D三点在以DP为直径的圆上， 若点Q也在圆上，则， ，，，， ； 解得，， 当或时，A、P、Q、D四点恰好在同一个圆上． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，矩形的性质、三角形面积、勾股定理等知识；熟练掌握勾股定理是解题的关键． 圆的基本性质应用题型01 1．已知线段，经过A，B两点作半径为的圆，这样的圆（　　） A．可作一个 B．可作两个 C．可作无数个 D．不能作出 【答案】B 【分析】本题考查确定圆的条件，两圆的位置关系；圆心需同时满足到A和B的距离均为，即是以A和B为圆心、半径的两圆的交点，根据两圆位置关系，当圆心距，半径时，两圆相交，有两个交点，故可作两个圆． 【详解】解：∵圆经过A、B两点且半径为， ∴圆心O满足，， ∴O点是以A为圆心、为半径的圆和以B为圆心、为半径的圆的交点， 又∵，且两圆半径均为， ∴两圆圆心距，半径和，半径差， ∴两圆相交，有两个交点， ∴这样的圆可作两个． 故选：B． 2．如图，点、，以点为圆心为半径作交轴于两点，点为上一动点，连接，取中点，连接，则的最大值为_____． 【答案】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，如图，连接， 取的中点， 连接，， ，，，，利用三角形中位线定理求出，推出点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，设，则 ，求出 的最大值，可得结论，解题的关键是正确寻找点的运动轨迹，学会利用参数解决问题，熟练掌握知识点的应用． 【详解】如图， 连接， 取的中点， 连接，， ，，，， ∵点、， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆， 设，则， ∵， ∴最大时，的值最大， ∵， ∴， ∴的最大值为， ∴的最大值为， 故答案为：． 3．已知线段的长为，以为半径作圆，使它经过A，B两点． 【答案】共可作出2个满足条件的圆，如图所示： 【分析】先画线段，再分别以点A、点B为圆心，为半径画弧，两弧在线段两侧分别交于点和点，然后分别以点、点为圆心，为半径画圆，则可作出2个满足条件的圆． 【详解】略 4．如图，在中，，平分，    (1)在边上找一点O，以点O为圆心，且过A、D两点作（不写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）的条件下，若，求的半径． 【答案】(1) 如图：即为所求；   ； (2)的半径为2． 【分析】（1）作的垂直平分线与的交点为圆心，为半径作圆即可； （2）设的半径为x，根据勾股定理列方程求解． 【详解】（1）略 （2）解：连接，设的半径为x，即， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即：， 解得：， ∴的半径为2． 【点睛】本题考查了复杂作图，勾股定理．解题的关键是注意数形结合思想的应用． 5．（25-26九年级上·江苏江阴·月考）已知，如图，四边形是矩形， (1)请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：为中点，画圆，使该圆过点、、（不写作法，保留作图痕迹，标注相应的字母） (2)若，，则（1）中所画圆的半径为__________ 【答案】(1) 点和圆即为所求： (2) 【分析】本题考查了尺规作图——作线段的垂直平分线，外接圆的圆心，矩形的判定与性质，勾股定理等知识点． （1）先作出的垂直平分线与相交，交点即为点，再连接，作的垂直平分线交的垂直平分线于点，再以点为圆心，为半径作圆即可； （2）可得，证明四边形是矩形，则，设圆O的半径为，则，在中，由勾股定理建立方程，解方程即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接， 由（1）可知，垂直平分，， ， 四边形是矩形， ， 四边形是矩形， ， 设圆O的半径为，则， ， 在中，，即， 解得， 即圆O的半径为． 故答案为：． 过圆内一点最短的弦题型02 1．（25-26九年级上·云南昭通·期中）在中，最长的弦是，则的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆的基本性质．根据圆中最长的弦是直径，即可求解． 【详解】解：∵在中，最长的弦是， ∴的直径为， ∴的半径为． 故选：A 2．（25-26九年级·质检）经过圆内一点可作圆的________条弦，其中最长的弦是________． 【答案】 无数 直径 【分析】本题主要考查了弦的概念，掌握直径是圆中最长的弦是解题的关键． 根据连接圆上任意两点间的线段是弦，经过圆内一点可以作无数条直线与圆相交，从而形成无数条弦；根据圆中最长的弦是直径即可解答． 【详解】解：经过圆内一点可作圆的无数条弦，其中最长的弦是直径． 故答案为：无数；直径． 3．（2025·湖北黄石·一模）如图，在矩形中，，，点是的中点，点是上的动点，将矩形沿折叠，使点落在点处，连接，则面积的最小值为  ________． 【答案】 【分析】由折叠的性质可得：，进而可确定点的运动轨迹是以点为圆心，为半径的圆上的一段弧，如图，作，，由于，故当最小时的面积最小，因为，故只需要求出即可． 【详解】解：由折叠的性质可得：， 点的运动轨迹是以点为圆心，为半径的圆上的一段弧， 如图，作，，垂足分别为、， 四边形是矩形，， ，， ，， 四边形是矩形， ， ∵， 当最小时， 的面积最小， ， ， 当点在上时，最小，最小为， 面积的最小值为， 故答案为： 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质、圆的基本性质、折叠的性质以及垂线段最短等知识，熟练掌握相关图形的判定和性质、得出的最小值是解题的关键． 4．如图，在矩形中，是矩形内部的一个动点，连接，则下列结论：①；②若，则的最大值为23；③无论点在何位置，总有；④若，则线段的最小值为8．其中正确的结论是___________。（填序号） 【答案】①③④ 【分析】根据在矩形性质及勾股定理得，再根据点在矩形内部得，由此可对①进行判断；过点作于，的延长线交于，于N，的延长线交于，设，，，，证四边形，，，均为矩形，然后利用由勾股定理得，，由此可对③进行判断；以为直径作圆，圆心为，连接交于点，则，根据得点在矩形内部的半圆上运动，据此得当点与点重合时，为最小，最小值为的长，然后求出，进而可对④进行判断；先根据矩形性质及得，进而得，在矩形内部，以为一边作等边，以点为圆心，以为半径作，延长交于，延长到，使，则，，的直径为20，进而得点在优弧上运动，当为的直径时为最大，最大值为20，据此可对②进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：在矩形中，，， ， 又点在矩形内部， ， 故①正确，符合题意； 过点作于，的延长线交于，于N，的延长线交于，如图1所示： 设，，，， 四边形为矩形，，， ，， 四边形，四边形，四边形，四边形均为矩形， 由勾股定理得：，，，， ，， ， 故③正确，符合题意； 以为直径作圆，圆心为，连接交于点，如图2所示： 则， ，即， 点在矩形内部的半圆上运动， 根据点与圆的位置关系得：当点与点重合时，为最小，最小值为的长， 在中，，，由勾股定理得：， ， 即线段的最小值为8， 故④正确，符合题意； 四边形为矩形， ， ， ， ， 在矩形内部，以为一边作等边，以点为圆心，以为半径作，延长到，使，如图3所示： ，，，的直径为20 又， ， 点在优弧上运动，为的弦， 根据“直径是圆内最大的弦”得：当为的直径时为最大，最大值为20， 故②不正确，不符合题意． 故答案为：①③④． 【点睛】此题主要考查了矩形的性质与判定，等边三角形和直角三角形的性质，圆的有关概念，理解矩形的性质，等边三角形和直角三角形的性质是解决问题的关键，准确地构造相关的圆，利用圆的有关概念解决问题是难点． 5．请用无刻度的直尺在以下图中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法） (1)如图①，内接于中，画出 中一条最长的弦； (2)如图②，等腰 内接于中，，画出底边的中线； (3)如图③，已知四边形为矩形，点A、D在圆上，与分别交于点E、F ．画出线段的垂直平分线； 【答案】(1) 如图所示： (2) 底边的中线如图所示： (3) 如图所示： 【分析】（1）连接，并延长交上于一点D，则是直径，符合题意，即可作答． （2）因为等腰 内接于中，，则连接，因为，则直线是的垂直平分线，记直线与的交点为，结合等腰三角形的三线合一，则是底边的中线，即可作答． （3）连接交于点O，连接交于点H，连接，即为线段的垂直平分线，即可作答． 本题考查的是作图，主要涉及等腰三角形的性质、矩形的性质、线段的垂直平分线的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用相关的知识解决问题． 【详解】（1）解：是中一条最长的弦， （2）略 （3）解：直线即为所求． 求外心的坐标题型03 1．过三点A(1,-1),B(5,-1),C(3,4)的圆的圆心坐标为(   ) A．(3,) B．(3,) C．(4,) D．(4,) 【答案】B 【分析】设圆心坐标为（x，y），根据圆的性质可知，圆心到A、B、C三点的距离相等，圆心在线段AB的垂直平分线上，列出等式解出x，y即可. 【详解】设圆心O坐标为（x，y） ∵该圆过三点A(1,-1)，B(5,-1)，C(3,4)， ∴OA=OB=OC， ∴圆心O在线段AB的垂直平分线x==3， OA=OC，即OA²=OC²，即， 解得y=， ∴圆心坐标为. 故选B. 【点睛】本题主要考查圆的性质，垂直平分线的性质和一元二次方程的求解. 2．如图，的顶点都在格点上，则外接圆的圆心坐标是___________．    【答案】 【分析】根据网格结构，作出边、的垂直平分线，交点即为所求的外接圆的圆心，然后写出点的坐标即可． 【详解】解：∵三角形的外接圆圆心为三角形三条边的垂直平分线的交点， ∴作出边、的垂直平分线，如图所示，点为的外接圆的圆心，    ∴外接圆的圆心坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆及圆心的确定，三角形的垂直平分线，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置，正确作图是是解题的关键． 3．过三点，，的圆的圆心坐标为________． 【答案】 【分析】根据直角三角形的外接圆的圆心是斜边的中点的确定方法解答． 【详解】解：如图，    ∵，，， ∴是直角三角形， ∴的中点D的坐标为， ∴过三点，，的圆的圆心坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，坐标与图形性质，解决本题的关键是掌握直角三角形的外心． 4．如图，平面直角坐标系中有一个．    (1)利用网格，只用无刻度的直尺作出的外接圆的圆心点O； (2)的外接圆的圆心坐标是 ； (3)该圆圆心到弦的距离为 ； (4)最小覆盖圆的半径为 ． 【答案】(1) 如图即为所求：    (2) (3) (4) 【分析】本题考查了三角形外心的性质，等腰三角形三线合一，勾股定理，熟练掌握以上知识点并利用数形结合思想是解题的关键． （1）根据三角形外心的性质，分别作与的垂直平分线，两直线相交于点，则点即是的外接圆的圆心； （2）根据（1）所求，可由坐标系直接得到答案； （3）取的中点，连接，根据等腰三角形三线合一可知，利用勾股定理求出即为所求； （4）利用勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：分别作与的垂直平分线，两直线相交于点，则点即是的外接圆的圆心； （2）解：由（1）可知，点坐标为 故答案为：． （3）解：取的中点，连接，如图，    则 该圆圆心到弦的距离为 故答案为：． （4）解：由图可知，最小覆盖圆的半径为长 如图所示，可知为所求，利用网格    故答案为：． 5．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均为格点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中找一格点M，按下列要求作图： （1）在图①中，连结MA、MB，使． （2）在图②中，连结MA、MB、MC，使． （3）在图③中，连结MA、MC，使． 【答案】（1）如图①所示，点M即为所求． （2）如图②所示，点M即为所求． （3）如图③所示，点M即为所求． 【分析】（1）由勾股定理可求得AM=BM=，即可得点M的位置； （2）由勾股定理可求得AB=BC=，AC=，即可得 ，再由勾股定理的逆定理可判定△ABC为等腰直角三角形，点M即为斜边AC的中点，由此可得点M的位置； （3）作出AB、AC的垂直平分线，交点即为M，M即为△ABC外接圆的圆心，连接AM，CM，根据圆周角定理可得，由此即可确定点M的位置． 【详解】略 【点睛】本题考查了基本作图，解决第（3）题时，确定△ABC外接圆的圆心是解决问题的关键． 求三角形外接圆的半径题型04 1．对于三角形的外心，下列说法错误的是（     ） A．它到三角形三个顶点的距离相等 B．它到三角形三个顶点的连线平分三内角 C．它到任意一顶点的距离等于这三角形的外接圆的半径 D．以它为圆心，它到三角形一顶点的距离为半径作圆，必通过另外两个顶点 【答案】B 【分析】根据三角形外心的定义和其性质逐一判断即可． 【详解】解：A、三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，所以外心到三角形三个顶点的距离相等，故选项A正确，该选项不符合题意； B、到三角形三个顶点的连线平分三内角的是内心，不是外心，故选项B错误，该选项符合题意； C、三角形的外心即外接圆的圆心，三角形三个顶点都在外接圆上，所以外心到任一顶点的距离等于这个三角形的外接圆的半径，故选项C正确，该选项不符合题意； D、三角形的外心是三边垂直平分线的交点，所以它到三角形三个顶点的距离相等，则以它为圆心，它到三角形一顶点的距离为半径作圆，必通过另外两个顶点，故选项D正确，该选项不符合题意． 2．已知，如图，在中，，，，那么这个三角形的外接圆直径是（    ）    A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】D 【分析】本题考查直角三角形的外接圆半径，根据勾股定理求得斜边的长，进而即可求解，重点在于理解直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆． 【详解】解：在中，，，， ∴ ∴这个三角形的外接圆直径是 故选：D． 3．如图，在中，．若外接圆的半径为2，则________． 【答案】4 【分析】本题考查了三角形外接圆的有关知识，熟练掌握直角三角形的外接圆的半径是斜边的一半是解决本题的关键． 利用外接圆的半径是斜边的一半，据此求解即可． 【详解】解：的外接圆的半径为斜边长的一半， ． 故答案为：4． 4．如图，在平面直角坐标系中，点，，，则的外接圆的半径为_____________． 【答案】 【分析】根据点、的坐标特征确定线段的垂直平分线，设出圆心坐标，利用圆心到点、的距离相等建立方程求出圆心纵坐标，最后利用两点间距离公式计算半径即可． 【详解】解：点，的纵坐标相同， 线段平行于轴，且中点横坐标为， 线段的垂直平分线为直线， 的外接圆圆心在线段的垂直平分线上， 设外接圆圆心坐标为， 点到点、的距离相等，且， ， ， ， ， ， ， ， 外接圆圆心坐标为， 外接圆半径． 5．（2025·陕西西安·二模）【问题提出】 （1）如图①，已知点A是直线l外一点，点B，C均在直线l上，于点D且．求的最小值； 【问题探究】 （2）如图②，在四边形中，，点E，F分别为上的点，且，求四边形面积的最大值； 【问题解决】 （3）如图③，某园林对一块矩形花圃进行区域划分，点K为的中点，点M，N分别为上的点，且将花圃分为三个区域．已知，现计划在和中种植甲花，在其余区域种植乙花，试求种植乙花面积的最大值． 【答案】（1）；（2）；（2） 【分析】（1）作的外接圆，连接，过点O作于点E，先由圆周角定理和垂径定理得，可得，，设 ，结合 ，再进一步即可解决问题； （2）分别延长交于点M，如图所示：则均为等腰直角三角形，将绕点C顺时针旋转得到，则A、D、三点共线，由，当取得最小值时，取得最大值，，求出的最小值，即可解决问题； （3）如图③中，将绕点K顺时针旋转得到，此时N，C，共线，作的外接圆，连接，，，过点O作于点H．求出的面积的最小值，可得结论． 【详解】解：（1）如图①中，作的外接圆，连接，过点O作于点E，则，，， ∵ ∴， 设， 则， ∵，， ∴， 解得：， ∴， ∴最小值为； （2）分别延长交于点M，如图所示：则均为等腰直角三角形， ∵，，， ∴，，， ∴ ； ∵， ∴将绕点C顺时针旋转得到，则A、D、三点共线， ∴， ∵为定值， ∴当取得最小值时，取得最大值， ∵， ∴以为斜边作等腰，则的外接圆是以点O为圆心，长为半径的圆，过点O作于点J． 设的外接圆半径为，则， 又∵， ∴， ∴， 当点O在上时，最短，此时， ∴， ∴． （3）如图③中，将绕点K顺时针旋转得到，此时N，C，共线，作的外接圆，连接，，，过点O作于点H． ∵， ∴， 同理可得：， 设，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积的最小值为， ∴的面积的面积的最小值为， ∴五边形的面积的最大值， ∴种植乙花面积的最大值为． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，三角形的外接圆，解直角三角形，垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用辅助圆解决问题，属于中考常考题型． 弦的条数题型05 1．（25-26九年级上·河北石家庄·月考）在半径为6的中有一条弦，则的长度不可能是（） A．3 B．6 C．12 D．14 【答案】D 【分析】本题考查了圆的认识，解题的关键是了解圆内最长的弦是直径，难度较小． 根据半径求得直径的长，然后利用圆内最长的弦是直径作出判断即可． 【详解】解：∵圆的半径， ∴直径， ∵弦长满足， ∴， 选项D中，故不可能， 故选：D 2．如图所示，在⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一条直线上，则图中的弦有(   ) A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】B 【分析】根据弦的定义进行分析，从而得到答案． 【详解】解：图中的弦有AB，BC，CE共三条， 故选B． 【点睛】本题主要考查了弦的定义，熟知定义是解题的关键：连接圆上任意两点的线段叫弦． 3．如图，的斜边为的一条弦，直角边经过圆心．已知，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，设的半径为，然后在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，连接： 设，则， 在中，由勾股定理得： 解得 即的长为． 4．如图，在中，弦有________，直径有________，劣弧有________，优弧有________． 【答案】 AB，AC AC ， ， 【分析】本题考查了圆的弦、直径、劣弧、优弧，掌握这些定义是解题的关键． 本题根据弦的定义：连接圆上任意两点的线段；直径的定义：经过圆心的弦；劣弧的定义：小于半圆的弧；优弧的定义：大于半圆的弧即可解决问题． 【详解】解：∵弦是连接圆上任意两点的线段， ∴图中的弦有：； ∵直径是经过圆心的弦， ∴图中的直径有：； ∵劣弧是小于半圆的弧， ∴图中的劣弧有：， ∵优弧是大于半圆的弧， ∴图中的优弧有：，． 故答案为：；；，；，． 5．的半径为，A为上一定点，点P在上沿圆周运动（不与点A重合），则使弦的长度为整数的点P共有________个． 【答案】7 【分析】本题主要考查了圆的弦的概念．熟练掌握圆的弦的定义和性质，是解决问题的关键．圆的弦的定义：连接圆上任意两点间的线段叫做弦．最大弦是直径． 根据的半径为，得到直径，根据，得到在半圆上，有3个，另一侧也有3个，加上长度为的是与B点重合，一共有7个． 【详解】如图，∵的半径为， ∴直径， ∴弦长的整数值有或或或，共4种可能， 当或或时,各有2条, 当时有1条, ∴这样的弦共有7条． ∴这样的点P共有7个． 故答案为：7． 点到圆的最值问题题型06 1．（24-25九年级上·广东汕头·月考）圆外一点到圆的最大距离是，最小距离是，则这个圆的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，掌握圆外一点到圆的最大距离与最小距离之差为直径为解题的关键．根据圆外一点到圆的最大距离与最小距离之差为直径即可得出答案． 【详解】解：圆外一点到圆的最大距离是，最小距离是， 圆的直径是， 圆的半径是． 故选：B． 2．一个点到圆的最小距离为，最大距离为，则该圆的半径是（ ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查圆的基本性质，注意到分两种情况进行讨论是解决本题的关键．设此点为点，圆为，最大距离为，最小距离为，有两种情况：当此点在圆内；当此点在圆外；分别求出半径值即可． 【详解】解：设此点为点，圆为，最大距离为，最小距离为，则： 此点与圆心的连线所在的直线与圆的交点即为此点到圆心的最大、最小距离 有两种情况： 当此点在圆内时，如图所示， 半径； 当此点在圆外时，如图所示， 半径； 故圆的半径为或 故选：． 3．（24-25九年级下·广东深圳·联考）如图，在平面直角坐标系中，已知点、、），点P在以为圆心，1为半径的上运动，且始终满足，则t的最小值是______ 【答案】## 【分析】本题主要考查直角三角形的斜边的中线性质；先求出进而得出，结合直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半，即，即可得出t最小时，点P在上，用两点间的距离公式即可得出结论． 【详解】解：如图，连接， ∵、、， ∴， ∴，     ∵， ∴ 要t最小，就是点A到上的一点的距离最小， ∴点P在上， ∵， ∴， ∴t的最小值是， 故答案为：． 4．已知的半径为3，P是外一点，，分别求点P到的最近点和最远点的距离． 【答案】 点到的最近点距离为，最远点距离为 【分析】根据圆外一点到圆上一点的最大值为点到圆心的距离与半径的和，最小值为点到圆心的距离与半径的差，进行计算即可. 【详解】解：∵的半径为3，P是外一点，， ∴点到的最近点距离为，最远点距离为. 5．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）[发现问题] 爱好数学的小明在做作业时碰到这样的一道题目： 如图①，点O为坐标原点，的半径为1，点．动点B在上，连接，作等边（A，B，C为顺时针顺序），求的最大值． [解决问题] 小明经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图①中，连接，以为边在的左侧作等边，连接． （1）请你找出图中与相等的线段，并说明理由； （2）线段的最大值为 ． [灵活运用] （3）如图②，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点P为线段外一动点，且，以P为旋转中心，把PB逆时针旋转得，连接，求长的最大值． [迁移拓展] （4）如图③，，点D是以为直径的半圆上不同于B、C的一个动点，以为边作等边，请直接写出的最值． 【答案】 （1），理由如下： 如图： ∵、都是等边三角形， ∴，，， ∴，即， ∴， ∴； （2）； （3）； （4）的最小值为，最大值为 【分析】（1）由等边三角形的性质可得，，，再证明，即可得解； （2）由题意可得，，再由三角形三边关系可得，从而得出当、、共线时，的值最大，即可得解； （3）连接，由旋转的性质可得，，将绕着点顺时针旋转得到，连接，则由旋转的性质可得，，，推出是等腰直角三角形，求出，结合线段的最大值等于线段的最大值得出当在线段的延长线上时，取得最大值，最大值为，即可得解； （4）以为边作等边三角形，由，推出，推出欲求的最大值，只要求出的最大值即可，由定值，，推出点D在以为直径的上运动，由图可知，当点D在上方，时，的值最大；欲求的最小值，只要求出的最小值即可． 【详解】解：（1）略 （2）∵的半径为1，点． ∴，， ∵， ∴当、、共线时，的值最大，最大为， ∴的最大值为； （3）如图，连接， ∵以P为旋转中心，把逆时针旋转得， ∴，， 将绕着点顺时针旋转得到，连接， 则由旋转的性质可得，，， ∴； ∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴，， ∴， ∵ ∴当在线段的延长线上时，取得最大值，最大值为， ∴的最大值为； （4）如图，以为边作等边三角形，连接， ∵， ∴，且， ∴， ∴， ∴欲求的最小值，只要求出的最小值即可， 当M、D、O共线时，最小， 如图： ∵，O是中点，是等边三角形， ∴， 在中，， ∴， ∴的最小值为． 如图，以为边作等边三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴欲求的最大值，只要求出的最大值即可， 由图可知，当点D在上方，时，的值最大，最大值为， ∴的最大值为． 综上，的最小值为，最大值为． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质、圆和坐标与图形等知识，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 新定义问题题型 1．（2025·山东淄博·一模）对于点P和线段，给出如下定义：若将线段绕点P旋转可以得到的弦，分别是A，B的对应点），则称线段是的以点P为中心的“和谐线段”．如图，在平面直角坐标系中，的半径为1，点的，连接，已知线段是的以点P为中心的“和谐线段”，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，圆的基本特点，根据题意可得都在上，由，可得点B只能在C、D这两个位置，同理点A只能在，这两个位置，进而确定或，再确定对应情形下旋转的角度即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵的半径为1， ∴都在上， 如图， ∵， ∴劣弧（不包括端点）上的任意一点到点P的距离都小于1，优弧（不包括端点）上任意一点到点P的距离大于1， ∴点B只能在C、D这两个位置， 同理可得点A只能在，这两个位置， ∴或， 当时，此时旋转角度为180度，符合题意， 当，此时点A旋转到其对应点时的旋转角度大于90度，点B旋转到其对应点时的旋转角为90度，不符合题意， ∴， 故选：B． 2．阅读与思考 下面是一篇数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务． “三点共线模型”及其应用 背景知识：通过初中学习，我们掌握了基本事实：两点之间线段最短．根据这个事实，我们证明了：三角形两边的和大于第三边．根据不等式的性质得出了：三角形两边的差小于第三边． 知识拓展：如图，在同一平面内，已知点和为定点，点为动点，且为定长（令），可得线段的长度为定值．我们探究和两条定长线段，的数量关系及其最大值和最小值：当动点不在直线上时，如图，由背景知识，可得结论，． 当动点在直线上时，出现图和图两种情况．在图中，线段取最小值为；在图中，线段取最大值为． 模型建立：在同一平面内，点和为定点，点为动点，且，为定长（），则有结论≥，．当且仅当点运动至，，三点共线时等成立． 我们称上述模型为“三点共线模型”，运用这个模型可以巧妙地解决一些最值问题． 任务： (1)上面小论文中的知识拓展部分．主要运用的数学思想有 　　；（填选项） A．方程思想   B．统计思想   C．分类讨论   D．函数思想 (2)已知线段，点为任意一点，那么线段和的长度的和的最小是　　； (3)已知的直径为，点为上一点，点为平面内任意一点，且，则的最大值是　　； (4)如图4，，矩形的顶点、分别在边、上，当在边上运动时，随之在上运动，矩形的形状保持不变．其中，．运动过程中，求点到点的最大距离． 【答案】(1)C (2)10 (3)2 (4) 【分析】（1）根据上面小论文中的分析过程，体现了分类讨论思想； （2）根据两点之间线段最短可得出答案； （3）由点和圆的位置关系可知点在圆上，由直径的定义可得出答案； （4）取的中点，连接、、，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，利用勾股定理列式求出，然后根据三角形任意两边之和大于第三边可得过点时最大． 【详解】（1）解：上面小论文中的知识拓展部分．主要运用的数学思想有分类讨论思想， 故答案为：C； （2）解：如图所示：线段与的和最小是． 故答案为：； （3）解：∵的直径为，， ∴点在圆上， ∵点为上一点， ∴直径时，有最大值，即， 故答案为：2； （4）解：如图，取的中点，连接、、， ∵，， ∴， ∵，四边形是矩形， ∴， ∴， 根据三角形的三边关系，， ∴当过点时，等号成立，的值最大，最大值为． 【点睛】本题考查了三角形三边关系，点和圆的位置关系，勾股定理，直角三角形的性质，矩形的性质，正确理解题意是解题的关键． 3．（2026·甘肃平凉·模拟）定义：我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的覆盖圆．其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆． 爱动脑筋的小明思考：任意一个三角形都能被它的外接圆覆盖，那三角形的外接圆一定是该三角形的最小覆盖圆吗？如图，在中，，，． (1)在图中，作出的外接圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． (2)的外接圆是它的最小覆盖圆吗？如果是，请说明理由；如果不是，请求出的最小覆盖圆的直径． 【答案】(1) 解：如图，即所求． (2)不是， 【分析】（1）作线段，的垂直平分线交于点O，连接以O为圆心，为半径作即可； （2）的外接圆不是它的最小覆盖圆，以为直径的圆是最小覆盖圆． 【详解】（1）略 （2）解：的外接圆不是它的最小覆盖圆．以为直径的是的最小覆盖圆． 如图，过点作交的延长线于点． ， ， ， ，， ， ， 的最小覆盖圆的直径为． 4．如果一个四边形的对角线相等，我们称这个四边形为美好四边形． 【问题提出】 （1）如图①，点E是四边形内部一点，且满足，请说明四边形是美好四边形； 【问题探究】 （2）如图②，，请利用尺规作图，在平面内作出点D，使得四边形是美好四边形，且满足．保留作图痕迹，不写画法； （3）在（2）的条件下，若图②中满足：，，，求四边形的面积； 【问题解决】 （4）如图③，某公园内需要将4个信号塔分别建在A、B、C、D四处，现要求信号塔C建在公园内一个湖泊的边上，该湖泊可近似看成一个半径为的圆，记为已知点A到该湖泊的最近距离为，是否存在这样的点D，满足．且使得四边形的面积最大？若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由． 【答案】 （1）连接， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是美好四边形； （2）如图即为所作； （3）；（4）存在，最大值为 【分析】（1）连接，证明即可； （2）分别以点为圆心，大于长度为半径画弧，两弧交于两点，连接两弧交点，即作的垂直平分线，以为圆心，长度为半径画弧交的垂直平分线于点，则点即为所作； （3）过点作于点，根据等腰三角形的性质可得，根据勾股定理求出，则已知，然后根据进行计算即可； （4）当美好四边形的对角线不垂直时，过点作于点过点作于点，可得；当美好四边形对角线互相垂直时，，则，则当美好四边形的对角线垂直时面积最大，从而解决问题． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）过点作于点， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∵四边形为美好四边形， ∴， ∴， ∴，， ∴； （4）存在， 当美好四边形的对角线不垂直时， 如图，过点作于点过点作于点， 则， ∵， ∴， 当美好四边形对角线互相垂直时， ， ∵， ∴当美好四边形的对角线垂直时面积最大， 如图，当过圆心，最长，四边形中，时，其面积最大， ∵湖泊的半径是，点A到该湖泊的最近距离为， ∴， ∴． 【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了特殊四边形的性质，勾股定理，三角形的面积等知识，明确等角线四边形对角线垂直时面积最大是解题的关键． 5．（25-26九年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，对于点和给出如下定义：点关于直线对称后得到点，再将点关于直线对称后得点．则称点是点关于点的“双称点”． (1)点关于原点的双称点是___________． (2)半径为均为圆上任意一点，是直线上一点，若点是点关于点的双称点，求点横坐标的取值范围． (3)点半径为均为上任意一点，直线与轴、轴交于点、．若上所有点都是点关于点的双称点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)当上所有点都是点关于点的双称点是，的范围为：或. 【分析】（1）如图，根据新定义画图可得：点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为. （2）如图，由半径为均为圆上任意一点，点是点关于点的双称点，可得的轨迹为以为圆心，半径为，与以为圆心，半径为的圆环内（包含两圆边界），再进一步解答即可. （3）由（2）得：点半径为均为上任意一点，点关于点的双称点的轨迹是圆环，轨迹为以为圆心，半径为，与以为圆心，半径为的圆环内（包含两圆边界），再分四种情况利用数形结合的方法解题即可. 【详解】（1）解：如图，点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为， ∴点关于原点的双称点是：. （2）解：如图，半径为均为圆上任意一点，点是点关于点的双称点， ∴的轨迹为以为圆心，半径为，与以为圆心，半径为的圆环内（包含两圆边界）， ∵是直线上一点，过作轴的垂线，垂足为， ∴，，， ∴， 过作轴于点，过轴于点，过作轴于点， 同理可得：，， ∴点横坐标的取值范围为：或. （3）解：由（2）得：点半径为均为上任意一点，点关于点的双称点的轨迹是圆环，轨迹为以为圆心，半径为，与以为圆心，半径为的圆环内（包含两圆边界）， ∵， ∴，， ∵上所有点都是点关于点的双称点， 如图，当在圆环的外圆上时， 此时， 如图，当在内圆上时， 此时， 如图，当在圆环的内圆上时， 此时， 如图，当在外圆上时，大与轴最左边的交点为， 同理可得：，， ∴， ∴， 综上：当上所有点都是点关于点的双称点时，的范围为：或. 【点睛】本题考查的是轴对称的性质，一次函数的性质，圆的基本性质，勾股定理的应用，本题的难度大，熟练的利用数形结合的方法解题是关键. 1/1 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