第17讲 一元一次方程的应用（讲义：考点整理+题型归纳+探究式学习+课后检测）2026-2027学年北师大版七年级数学上册

简一数理 初中专题讲义 第17讲 一元一次方程的应用 （新教材北师大版） 知识点一：列方程解应用题的合理性 2 知识点二：建立书写模型常见的数量关系 2 知识点三：分析数量关系的常用方法 2 【题型1 配套问题】 3 【题型2 工程问题】 4 【题型3 销售盈亏】 5 【题型4 比赛积分】 6 【题型5 方案选择】 7 【题型6 数字问题】 8 【题型7 几何问题】 8 【题型8 动点问题】 9 【题型9 和差倍分问题】 10 【题型10 电费水费问题】 11 【题型11 行程问题】 12 【题型12 比例问题】 13 【题型13 日历问题】 14 【题型14 古代问题】 14 【探究式学习】 15 【课后检测】 19 【复盘笔记】 24 知识点一：列方程解应用题的合理性 列方程解实际问题，对于方程的解转为为实际问题的解答，一定要注意检验它是否符合实际情况。若不符合，必须舍去。有时，要根据实际问题与数学问题的区别，对实际问题的解进行修正。同时，在设与答时，单位要统一。 知识点二：建立书写模型常见的数量关系 （1）公式形数量关系 生活中许多数学应用情景涉及如周长、面积、体积等公式。在解决这类问题时，必须通过情景中的信息，准确联想有关的公式，利用有关公式直接建立等式方程。 长方形面积=长×宽 长方形周长=2（长+宽） 正方形面积=边长×边长 正方形周长=4边长 （2）约定型数量关系 利息问题，利润问题，质量分数问题，比例尺问题等涉及的数量关系，像数学中的公式，但常常又不算数学公式。我们称这类关系为约定型数量关系。 （3）基本数量关系 在简单应用情景中，与其他数量关系没有什么差别，但在较复杂的应用情景中，应用方法就不同了。我么把这类数量关系称为基本数量关系。 单价×数量=总价 速度×时间=路程 工作效率×时间=总工作量等。 知识点三：分析数量关系的常用方法 （1）译式法分析数量关系 将题中关键性的数量关系的语句译成含有未知数的代数式，并找出没有公国的等量关系，翻译成含有未知数的等式。 （2）列表分析数量关系 当题目中条件较多，关系较复杂时，要列出表格，把已知量和未知量填入表格，利用表格进行分析。这种方法的好处在于把已知量和未知量“对号入座”，便于正确理解各数量之间的关系。 （3）图解法分析数量关系 用图形表示题目中的数量关系，这种方法能帮助我们透彻地理解题意，并可直观形象的体会题意。在行程问题中，我们常常用此类方法。 【题型1 配套问题】 【例1】某车间有27名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母组成的产品，每人每天生产螺母64个或螺栓22个．若分配名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则下面所列方程中正确的是（     ） A． B． C． D． 此类题型，总量始终是不变的，类似工程问题，多利用这个不变量来列写等式方程。 【变式1-1】如图是毛笔的结构图，现有根短竹，每根短竹可制成笔管个或笔斗个，个笔管搭配个笔斗，怎样分配短竹的数量，使制成的笔管与笔斗正好配套？小明列出方程：，则表示的是（     ） A．制成笔管的短竹数量 B．制成笔斗的短竹数量 C．制成笔管的个数 D．制成笔斗的个数 【变式1-2】学校组织12名校工检修智能教室的桌椅，每人每小时平均能检修3张智能课桌或6把座椅，1张智能课桌配套4把座椅，若安排x名校工检修智能课桌，其余校工检修座椅，且智能课桌和座椅刚好配套，则可以列方程为（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】小王在某电商平台出售工艺品，将2张鱼形剪纸和3张“福”字剪纸配成一套销售，一张红纸能制作2张鱼形剪纸或6张“福”字剪纸，共有红纸120张，应该怎样分配红纸才能使制作的鱼形剪纸和“福”字剪纸刚好配套？若设分配张红纸制作鱼形剪纸，则依题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【题型2 工程问题】 【例2】一项工程甲队单独做需40天完成，乙队单独做需60天完成，甲队先单独做5天，然后甲、乙两队合作完成这项工程．若两队合作天完成这项工程，根据题意可列方程，列该方程所依据的相等关系是（     ） A．甲队5天的工作量+乙队的工作量=总工作量 B．甲队5天的工作量+两队合作的工作量=总工作量 C．（甲队的工作效率+乙队的工作效率）×合作天数=总工作量 D．（甲队的工作效率+乙队的工作效率）×总工作天数=总工作量 我们常常把工作总量看做单位“1”，工作效率则用几分之几表示。在工程问题中，常常用“不同的对象所完成的工作量之和等于总工作量”这个关系来列写等式方程。 【变式2-1】现在有一面7尺厚的墙，大小两只老鼠分别从两面相对着打洞，第一天两只老鼠都打相同距离的洞，从第二天开始，大老鼠每天打洞的距离是前一天的2倍，小老鼠每天打洞的距离是前一天的一半，第三天结束洞刚好被打通，小老鼠第一天打洞的距离为（    ） A．6尺 B．2尺 C．尺 D．尺 【变式2-2】为传承清明文化、缅怀先辈，某班以小组为单位，精心布置清明节主题黑板报．甲组单独布置需4小时，乙组单独布置需6小时，如果甲、乙两组合作了2小时后，因甲组另有任务，剩下的任务由乙组单独完成，若设乙单独完成剩下的任务还需要小时，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】\某项工作由甲、乙两人单独完成分别需要和．如果让甲、乙两人一起工作，再由乙单独完成剩余部分，完成这项工作一共需要多长时间？若依据相等关系“前1小时工作量后一段时间工作量”解决该问题，则下列设元与列方程正确的是（    ） A．设一共需要完工，则 B．设一共需要完工，则 C．设乙单独工作，则 D．设乙单独工作，则 【题型3 销售盈亏】 【例3】某单位购进A、B、C三种型号的笔记本60本，它们的单价分别为25元，20元和15元，共计花费1250元．若其中有A种型号的笔记本本，则B种型号的有（     ）本．（结果用含的代数式表示） A． B． C． D． 此类题型，需要我们找出利润和利润率之间的关系来列写等式方程。 (1) 利润=售价－进价 (2) 利润率= (3) 售价=标价×销售折扣 【变式3-1】如图为贝可咖啡店的菜单，店家今日准备了120杯咖啡和100个三明治贩卖．若今日准备的餐点全部售出且收入共为8700元，则售出早餐组合的收入的范围是（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【变式3-2】学校准备添置一批课桌椅，原订购60套，每套100元．店方表示：如果多购，可以优惠．结果校方购了72套，每套减价3元，但商店获得同样多的利润．求每套课桌椅的成本．设每套课桌椅的成本为x元，则可列方程为（     ）． A． B． C． D． 【变式3-3】某超市将一款学习机按标价8折出售，仍可获利．若该学习机的进价为800元，则标价为（     ） A．960元 B．1000元 C．1200元 D．1280元 【题型4 比赛积分】 【例4】一场知识挑战赛共有20题，答对一题得5分，答错一题扣2分，未答一题扣1分．小宇答错的题数是未答题数的2倍，最后得60分．他答对了（     ）题 A．11 B．12 C．13 D．14 此类问题，主要是通过积分来列写等式方程。需要注意，有些比赛结果只有胜负；有的比赛结果又胜负和平局。 (1) 比赛总场数=胜场数+负场数+平场数 (2) 比赛积分=胜场积分+负场积分+平场积分 【变式4-1】2025年苏超联赛火爆全国，泰州队带着倔强精神，以史诗般的征程“一路突围”，从“不被看好”到“一飞冲天”，这支球队展现了顽强拼搏的精神风貌．最终力克南通队，将苏超首座冠军奖杯高高捧起．在常规赛中，江苏13个市进行单循环积分赛（每两队之间只比赛一场），比赛规则如下：胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分．9月27日常规赛结束，部分球队的积分如表： 队伍 场次 胜 平 负 积分 南通队 12 10 2 0 32 泰州队 12 4 18 泰州队一共胜了（   ）场． A．5 B．6 C．7 D．8 【变式4-2】一张试卷只有25道选择题，做对一题得4分，做错1题倒扣1分，某学生做了全部试题共得70分，他做对了（    ）道题． A．17 B．18 C．19 D．20 【变式4-3】投壶是中国古代的一种弓箭投掷游戏，每局投次，弓箭投入壶内、壶耳（如图）、落在地上会得到不同的分数，计分规则如下： 投中位置 投入壶内 投入壶耳 落在地上 一次计分 分 分 分 若在一局中，弓箭投入壶内次，则这局得到的分数不可能是（   ） A．分 B．分 C．分 D．分 【题型5 方案选择】 【例5】某景区单独购票为每人元，团体购票为每人元．某旅游团按团体购票比单独购票总共节省费用元，则该旅游团人数为（   ） A． B． C． D． 此类题型，一般会提供多种方案供选择，要求我们选出最合算的方案。解此类题型，有2种思路。 思路1：分别求解出每种方案的最终费用，在比较优劣 思路2：求解出每种方案费用相同时的临界点，在根据临界点进行讨论分析。 【变式5-1】某游泳馆在每年的夏季推出两种游泳付费方式．方式一：先购买会员证，每张会员证200元，只限本人当年使用，凭证游泳每次再付费10元；方式二：不购买会员证，每次游泳付费20元．有下列结论： ①若小明计划今年夏季游泳的总费用为300元，则他选择方式一游泳的次数比较多； ②若小明计划今年夏季游泳的次数为25次，则他选择方式二游泳的总费用比较少； ③若小明今年夏季在该游泳馆游泳，两种付费方式的总费用相同，则他计划游泳的次数为20． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式5-2】某牛奶加工厂现有鲜奶，若在市场上直接销售鲜奶，每吨可获利500元；制成酸奶销售，每吨可获利1200元；制成奶片销售，每吨可获利2000元．该厂的生产能力是：若制成酸奶，每天可加工；若制成奶片，每天可加工．受条件限制，两种加工方式不可同时进行，受气温影响，鲜奶必须在4天内销售或加工完毕．为此，该厂设计了三种方案．方案一：在市场上直接销售鲜奶；方案二：尽可能多地制成奶片，其余直接销售鲜奶；方案三：部分制成奶片，其余全部制成酸奶，并保证在4天内完成．获利最多的方案是（   ） A．方案一 B．方案二 C．方案三 D．一样多 【变式5-3】某班到文具店采购作业本，经询问得知作业本的定价为每本元，通过协商，文具店提供了两种购买方式，并要求只能从中选择一种．方式一：每本优惠售价为元；方式二：购买数量不多于本时按定价销售，超过本，则超过部分按定价的八折销售．设该班购买作业本的数量为（）．当方案一和方案二所需的费用一样多时，购买作业本的数量为（    ） A． B． C． D． 【题型6 数字问题】 【例6】下列哪个数不是4个连续偶数之和？（     ） A． B． C． D． 任何一个正数N=都可以表示为++…+。利用这个特点和题干中的关系，寻找等式方程。 【变式6-1】幻方是我国古代的一种谜题，又称九宫图，要求在的方格表中填入9个整数，使每行、每列、两条对角线上的数字之和都相等．图中给出了幻方的部分数字，则x的值为（     ） 15 x 23 47 A．9 B．39 C．55 D．79 【变式6-2】我国古代的“幻方”文化源远流长，最早记载于西汉时期的《大戴礼记》中．如图为一个三角形幻方，其中每个小三角形的三个顶点的数字之和都相等，则的值为（     ） A．1 B．- C．3 D． 【变式6-3】如图是有关的代数式的方阵，若第6行第2项的值为327，则此时的值为（     ） A．1 B．2 C．5 D．10 【题型7 几何问题】 【例7】三角形的内角度数之比是，若该三角形是直角三角形，则a为（     ） A．1 B．3或5 C．4 D．2 【变式7-1】有一条长的纸条．迪迪将其切成9个宽度相同的较短的块，并将它们重新排列成一个大正方形，如图所示．大正方形的周长是（     ） A． B． C． D． E． 【变式7-2】如果一个矩形的内部可以用若干个正方形不重叠、无缝隙地铺满，就称其为“完美矩形”．下图中的“完美矩形”，其周长为26，则正方形的边长为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式7-3】将直径为的圆钢截取一段长的部分，铸造出6个直径为的相同长度的圆柱形零件，则每个零件的长度为（   ） A． B． C． D． 【题型8 动点问题】 【例8】如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为8，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为，的中点．设运动时间为秒，则下列结论：①点B对应的数是4；②当点P到达点B时，；③当时，；④在点P的运动过程中，线段的长度不变．其中正确的是（   ） A．①③ B．②③④ C．②④ D．①②④ 【变式8-1】如题图，已知线段的长度为，动点P从端点A出发，以恒定速度向端点B做匀速直线运动．设运动时间为，M是线段的中点，N是线段的中点．以下说法正确的是（    ）． ①在点P的整个运动过程中，线段的长度会随着点P位置的改变而改变； ②在点P的整个运动过程中，代数式的值恒为； ③当满足时，动点P的运动时间． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【变式8-2】如图，在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为．若点以每秒个单位长度的速度从点出发向右运动，同时点以每秒个单位长度的速度从点出发向左运动，经过秒，，两点之间的距离为，则的值为（   ） A．2或4 B．2或 C．4 D．或4 【变式8-3】【变式14-3】已知数轴上的点A，B，C分别表示，若数轴上存在点，使，则点表示的数为（   ） A． B． C．或 D．或 【题型9 和差倍分问题】 【例9】学校为六年级购买科技书和文艺书共1200本，其中文艺书比科技书的2倍少60本，买来科技书多少本？如果设买来科技书x本，那么下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 此类题型，需要弄清楚“倍数”“多”“少”等关系。 （1） 甲是乙的a倍：甲=乙×a （2） （2）甲比乙多：甲=乙×（1+） （3） （3）甲比乙少：甲=乙×（1－） 【变式9-1】小强根据方程编写了一道应用题：“我班美术社团的同学计划在教师节前做一批手工艺品赠给老师，如果每人做5个，那么就比计划少2个；________，请问我班美术社团的同学有多少人？”若设我班美术社团有x人，则“________”中的内容应为（   ） A．如果每人做6个，那么就比计划少7个 B．如果每人做6个，那么就比计划多7个 C．如果每人做7个，那么就比计划少6个 D．如果每人做7个，那么就比计划多6个 【变式9-2】我曾经遇到过一个大家庭的六个兄弟姐妹，他们的年龄是六个连续的整数．我问每个人这样的问题：“你最年长的兄弟姐妹多大了？”以下哪个数不可能是他们六人答案的总和？（   ） A．95 B．125 C．167 D．185 E．205 【变式9-3】小红和小丽两人共有124元，小红用了自己钱数的，小丽用了自己钱数的，各买了一副价钱相同的乒乓球拍，小丽原来有（   ）元． A．64 B．60 C．68 D．74 【题型10 电费水费问题】 【例10】某市为节约用水，制定了如下标准：用水不超过20吨，按每吨1.2元收费，超过20吨，则超出部分按每吨1.5元收费，小明家六月的平均水费是每吨1.25元，那么小明家六月应缴水费（     ） A．36元 B．30元 C．24元 D．22元 此类题型，收费往往因为不同的分段，标准会不一样。因此，在列写此类问题的等式方程时，需要先依据题意将路程进行合理分段，然后在按照不同分段中的收费标准列写等式方程。 【变式10-1】为倡导绿色生活，建设节约型社会，某市居民生活用水实施了阶梯计价政策．下表是该市居民生活用水的收费标准（户内人口不超过4人）： 收费方式 年用水量/ 单价（元/） 第一阶梯 0~180 4.5 第二阶梯 181~240 6 第三阶梯 240以上 8 (1)若甲、乙两户居民（都是三口之家）2025年的用水量分别为，，则甲、乙两户居民2025年的水费分别为__________元、__________元； (2)若丙户居民（四口之家）2025年的水费为1110元，求丙户居民2025年的用水量． 【变式10-2】某城市按以下规定收取每月的天然气费：如果用气量不超过立方米，按每立方米元收费；如果用气量超过立方米，则超过的部分每立方米按元收费．若某用户月份交的天然气费平均每立方米元，该用户月份的天然气用气量是多少？设该用户月份的用气量为立方米，列方程为（    ） A． B． C． D． 【变式10-3】某省居民生活用电实施阶梯电价，年用电量分为三个阶梯．阶梯电费计价方式如下： 阶梯档次 年用电量 电价（单位：元/度） 第一阶梯 2760度及以下部分 0.538 第二阶梯 2761度至4800度部分 0.588 第三阶梯 4801度及以上部分 0.838 小聪家去年12月份用电量为500度，电费为319元，则小聪家去年全年用电量为（   ） A．5250度 B．5100度 C．4900度 D．4850度 【题型11 行程问题】 【例11】如图，青山在王家庄、绿水两地之间，青山距绿水，有两辆汽车A、B从王家庄同时出发，分别前往青山、绿水两地，已知A车的平均速度为，B车的平均速度为，两车同时到达目的地，若设王家庄距青山，根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 行程问题总公式为：路程=速度×时间。行程问题可分为3大类，不同类型的问题，在求解速度时有所不同，具体如下： （1） 相遇问题： 总速度=甲的速度+乙的速度 （2）追击问题： 总速度=追击者速度－被追击者速度（快－慢） （3）航行问题： 顺水（风）速度=静水（风）速度+水（风）速 逆水（风）速度=静水（风）速度－水（风）速 【变式11-1】如图，这是标准400米跑道，它由两条弯道（左侧，右侧）和两条直道，组成，每条弯道的长是115.6米，每条直道的长是84.4米．小斌站在C处，小强站在B处，两人同时逆时针方向跑步．小斌每秒跑4米，小强每秒跑6米．当小强第一次追上小斌时，他们的位置在（    ） A．弯道上 B．直道上 C．弯道上 D．直道上 【变式11-2】曲靖市某校为响应“低碳出行”号召，组织学生从学校骑自行车前往珠江源风景区．小明骑车的平均速度为，小刚骑车的平均速度为，小明比小刚早到20分钟．设学校到景区的距离为，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式11-3】甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，匀速前进．如果每人按一定的速度前进，4小时相遇；如果每人各自都比原计划每小时少走1千米，5小时相遇．那么A、B两地的距离是（     ） A．40千米 B．30千米 C．20千米 D．10千米 【题型12 比例问题】 【例12】把一些图书分给某班学生阅读，如果_____；如果每个同学分4本，则缺25本．设这个班级有x名学生，可列出方程．则横线的信息可以是（   ） A．分给3个同学，则剩余20本 B．每个同学分3本，则剩余20本 C．分给3个同学，则缺20本 D．每个同学分3本，则缺20本 【变式12-1】如图，有甲、乙两条数轴，甲数轴上的三点所对应的数依次为，3，21，乙数轴上的三点所对应的数依次为．当点与点上下对齐时，点恰好分别与点上下对齐，则的值为（） A． B．1 C．2 D．5 【变式12-2】如果甲、乙、丙三村合修一条公路，计划出工84人，按出工，求各村出工的人数． ①设甲、乙、丙三村分别出工人、人、人，依题意，得； ②设甲村出工人，依题意，得； ③设乙村出工人，依题意，得； ④设丙村出工人，依题意，得． 上面所列方程中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式12-3】美食俱乐部共有58名成员，每个成员不是胖子就是瘦子．一次聚会时每个胖子带来15个包子分给瘦子，每个瘦子带来14个包子分给胖子．已知，每个胖子分到的包子一样多，每个瘦子分到的包子也一样多（都正好分完）．那么成员中胖子的人数是（　　） A．27 B．28 C．27或30 D．28或29 【题型13 日历问题】 【例13】周末整理书桌时，小莫翻出一本旧月历．他随意挑了一个月份，发现这个月所有星期天对应的日期相加，总和是85．这个月最后一个星期天是几号？（     ） A．24 B．28 C．30 D．31 【变式13-1】日历表中某月所有星期六的日期数全加起来等于85，这个月的第一天是（     ） A．星期二 B．星期三 C．星期四 D．星期五 【变式13-2】如图是2025年10月份的日历表，用形如的框架框住日历表中的五个数（例如图中框住的五个数分别为5、7、13、19、21），对于框架框住的五个数字之和，计算结果不可能是（     ） A．75 B．100 C．115 D．120 【变式13-3】如图，在2026年4月份的月历表中，任意框出表格中竖列上三个相邻的数，这三个数的和不可能是（   ） A．27 B．51 C．69 D．75 【题型14 古代问题】 【例14】我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”大意为：用一根绳子去量一根木头，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，木头剩余1尺，问木头长多少尺？设木头长尺，则可列一元一次方程为（     ） A． B． C． D． 【变式14-1】我国古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？其大意是：每车坐3人，两车空出来；每车坐2人，多出9人无车坐．问人数和车数各多少？设车辆，根据题意，可列出的方程是（     ） A． B． C． D． 【变式14-2】《九章算术》中记载了关于“三畜食苗”的问题，大意是：有牛、马、羊吃了别人的青苗，青苗主人要求牛，马、羊的主人赔偿谷物7斗，羊的主人说：“我的羊吃的苗是马吃的一半．”马主人说：“我的马吃的苗是牛吃的一半”，现要求依据牛、马、羊吃苗的量按比例进行赔偿，设牛主人应赔偿x斗，下面符合题意的式子是（    ）． A． B． C． D． 【变式14-3】中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（“两”为我国古代货币单位）；马二匹、牛五头，共价三十八两，问马、牛各价几何？”设每匹马的价格为两，根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 【探究式学习】 1．综合与探究： 在学习数轴与线段的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“优点”进行研究，定义：点在线段上，若或，则称点是线段的“优点”，线段，称作互为“优点”伴侣线段． (1)观察判断 如图（1），点为线段的“优点”． ①若，，则__________； ②若点也是线段的“优点”（不同于点），则__________（填“=”或“”）； (2)性质探究 如图（2），在原点为的数轴上有，两点，其中点表示的数为1，点表示的数为4．若点在点的左侧，且，均为线段的“优点”，求线段的长； (3)在（2）的情况下点，分别从，出发向右运动，点的速度是每秒2个单位，点的速度是每秒1个单位，第几秒点是线段的“优点”？ 2．我们知道，借助天平和一些物品可以探究得到等式的基本性质． 【提出问题】能否借助一架天平和一个10克的砝码测量出一个乒乓球和一个一次性纸杯的质量？ 【实验探究】准备若干相同的乒乓球和若干相同的一次性纸杯（每个乒乓球的质量相同，每个纸杯的质量也相同），设一个乒乓球的质量是x克，经过实验，将有关信息记录在表中： 记录 天平左边 天平右边 天平状态 乒乓球总质量 一次性纸杯的总质量 记录一 5个乒乓球1个10克的砝码 15个一次性纸杯 平衡 __________ 记录二 3个乒乓球 1个一次性纸杯 1个10克的砝码 平衡 __________ 解决问题 (1)将表格中两个空白部分用含x的代数式表示； (2)分别求出一个乒乓球的质量和一个一次性纸杯的质量． 【及时迁移】 (3)借助以上相关数据，若天平左边有10个乒乓球和2个一次性纸杯，天平右边有1个10克的砝码和若干个一次性纸杯，那么天平右边需要几个纸杯能使天平平衡？ 3．综合与探究 “幻方”的历史很悠久，传说中最早出现在夏禹时代的“洛书”，用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，即将若干个数组成一个正方形数阵，任意一行、一列及对角线上的数字之和都相等．如图1，就是一个三阶“幻方”，由1，2，3，4，5，6，7，8，9九个数字组成的一个三行三列的矩阵（如图1），其对角线、横行、纵向的和都为15． (1)探究：如图2是一个“幻方”，则a＝ ，b＝ ，c＝ ； (2)拓展： 数阵是由幻方演化出来的另一种数字图．将连续的奇数1，3，5，7，9…排列成数阵（如图3），用十字框随机框出5个数，十字框中的五数之和能等于2020吗？并说明理由． 4．某校七（1）班数学活动小组在做角的拓展练习时，利用一副含有角的直角三角板和含有角的直角三角板尝试完成探究． (1)利用这副三角板可以画出一些特殊角，在①，②，③，④，⑤五个角中，利用一副三角板画不出来的角是______．（填序号） (2)如图1，边，与直线重合，；，则的度数为______． (3)保持三角板不动，将三角板绕点O顺时针旋转一个角度． ①如图2，当为直角时，______． ②如图3，在转动过程中，E为线段上的一点，．若时，求的值． 【课后检测】 1．小明的爸爸前年存了一个2年期存款，年利率为，今年到期后得到利息是704元．设小明的爸爸前年存了x元，可列方程为（     ） A． B． C． D． 2．2026年“吴越杯”浙江省城市足球联赛开赛，规定胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分．某队在10场比赛中负了2场，共积20分，求该队的胜场数．设该队胜了x场，则x满足的方程是（     ） A． B． C． D． 3．某商场周年庆期间，对销售的某种商品按成本价提高后标价，又以9折（即按标价的）优惠卖出，结果每件商品仍可获利85元，设这种商品每件的成本是x元，根据题意，可得到的方程是（    ） A． B． C． D． 4．小川今年4岁，他爸爸今年36岁，几年后他爸爸的年龄是小川的年龄的3倍？设年后爸爸的年龄是小川的年龄的3倍，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 5．某车间有22名工人，每人每天可生产1200个螺钉或2000个螺母，1个螺钉配2个螺母．设x名工人生产螺钉，可列方程（    ）． A． B． C． D． 6．小美决定在方格表中的各个单元格内填入数，使得四个可能的正方形内的各数的总和相同．如图所示，其中三个角落处单元格内的数已经写好了．问她应该在位于第四个角落的单元格里写什么数？（     ） A．0 B．1 C．4 D．5 7．洛书是中国古代流传下来的神秘图案，又称脉络图、龟书，被认为是表述天地空间变化脉络的图案，在今天看来它就是一个三阶幻方．如图1，是由九个数字组成的三阶幻方，其每行、每列、每条对角线上的三个数之和都为15．如图2，是一个未完成的三阶幻方，要使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于21，则的值为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 8．苹果比桃子多20个，如果每天吃2个苹果、1个桃子，桃子吃完后，苹果还剩5个．原来苹果（     ）个． A．33 B．37 C．35 D．36 9．幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一．“洛书”即三阶幻方，它的每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．如图是一个不完整的三阶幻方，根据图文信息可知的值是（     ） x 5 6 y A． B．0 C．12 D．22 10．如图，将一个长为，宽为的长方形沿虚线剪开，拼接成为一个缺角（也是一个小正方形）的大正方形，则缺少的这个小正方形的边长为（     ） A． B． C． D． 11．一件商品的标价是100元，打八折出售后可获利，这件商品的进价是_______元． 12．幻方最早起源于我国，古人称之为“纵横图”．在如表所示的幻方中，填写了一些数和汉字（其中每个汉字都表示一个数），若每一横行、每一竖列，以及两条斜对角线上的三个数之和都相等，则这个幻方中“安”字对应的数为______________． 我 爱 西 2 3 安 5 13．汽车A从甲站出发开往乙站，同时汽车B、C从乙站出发与A相向而行开往甲站，途中A与B相遇20分钟后再与C相遇．已知A、B、C的速度分别是每小时，，，那么甲乙两站的路程是___________． 14．用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放： 则第_______个图形中有颗黑色棋子． 15．某商品每件标价为150元，若按标价打8折后，再降价10元销售，仍获利，则该商品每件的进价为多少元？ 16．工程应用题： 某工程队承接一项修路工程，实际每天修路的长度是原计划的1.2倍，结果提前5天完成任务．已知原计划每天修路100米，求这项工程的总修路长度． 17．如图，数轴上一点M沿数轴向右移动4个单位长度到达点N，再向左移动10个单位长度到达点P． (1)若点M与数轴原点重合，求点M，N，P所表示的数的和； (2)若点M，点P所表示的数互为相反数，求点N表示的数． 18．如图，点A，B是数轴上两点，点A对应的数为a，点B对应的数为b，满足 (1)____，____； (2)点P从A出发以每秒2个单位向右运动，运动时间为t秒，当时，求t的值； 19．如图，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，是最小的正整数，且、满足． (1) ， ， ； (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则数轴上折痕所表示的数为 ，点与数 表示的点重合． (3)动点、同时从原点出发，点向负半轴运动，点向正半轴运动，点的速度是点速度的倍，秒钟后，点到达点． ①点的速度是每秒 个单位． ②点到达点后，改变方向，按原速度向负半轴方向运动，再经过多少秒，点与点能相遇，并求出相遇时点的位置所对应的数？ 20．秋季来临，某新款运动鞋比较受年轻人喜爱，黑龙江总代理张老板就用480000元购进2000双这款运动鞋，计划每天销售200双，实际销售时超过计划数的部分用正数表示，不足计划数的部分用负数表示，这批运动鞋在前7天的销售情况记录如下： 销售天数 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 每天超出或不足计划数的部分（单位：双） (1)这七天共销售运动鞋多少双？ (2)计划这批运动鞋全部售完后共获利，则每双鞋的定价应为多少元？ (3)若前七天销售的运动鞋均以（2）中的定价售出，按此定价继续销售，以第五天的销售量又销售两天后，没有售出的运动鞋按七折销售很快售完，求这批运动鞋全部销售后张老板共盈利多少元？（其他费用忽略不计） 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 55 页 第 1 页 共 55 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 初中专题讲义 第17讲 一元一次方程的应用 （新教材北师大版） 知识点一：列方程解应用题的合理性 2 知识点二：建立书写模型常见的数量关系 2 知识点三：分析数量关系的常用方法 2 【题型1 配套问题】 3 【题型2 工程问题】 5 【题型3 销售盈亏】 7 【题型4 比赛积分】 9 【题型5 方案选择】 11 【题型6 数字问题】 14 【题型7 几何问题】 16 【题型8 动点问题】 19 【题型9 和差倍分问题】 23 【题型10 电费水费问题】 25 【题型11 行程问题】 27 【题型12 比例问题】 29 【题型13 日历问题】 32 【题型14 古代问题】 34 【探究式学习】 36 【课后检测】 42 【复盘笔记】 54 知识点一：列方程解应用题的合理性 列方程解实际问题，对于方程的解转为为实际问题的解答，一定要注意检验它是否符合实际情况。若不符合，必须舍去。有时，要根据实际问题与数学问题的区别，对实际问题的解进行修正。同时，在设与答时，单位要统一。 知识点二：建立书写模型常见的数量关系 （1）公式形数量关系 生活中许多数学应用情景涉及如周长、面积、体积等公式。在解决这类问题时，必须通过情景中的信息，准确联想有关的公式，利用有关公式直接建立等式方程。 长方形面积=长×宽 长方形周长=2（长+宽） 正方形面积=边长×边长 正方形周长=4边长 （2）约定型数量关系 利息问题，利润问题，质量分数问题，比例尺问题等涉及的数量关系，像数学中的公式，但常常又不算数学公式。我们称这类关系为约定型数量关系。 （3）基本数量关系 在简单应用情景中，与其他数量关系没有什么差别，但在较复杂的应用情景中，应用方法就不同了。我么把这类数量关系称为基本数量关系。 单价×数量=总价 速度×时间=路程 工作效率×时间=总工作量等。 知识点三：分析数量关系的常用方法 （1）译式法分析数量关系 将题中关键性的数量关系的语句译成含有未知数的代数式，并找出没有公国的等量关系，翻译成含有未知数的等式。 （2）列表分析数量关系 当题目中条件较多，关系较复杂时，要列出表格，把已知量和未知量填入表格，利用表格进行分析。这种方法的好处在于把已知量和未知量“对号入座”，便于正确理解各数量之间的关系。 （3）图解法分析数量关系 用图形表示题目中的数量关系，这种方法能帮助我们透彻地理解题意，并可直观形象的体会题意。在行程问题中，我们常常用此类方法。 【题型1 配套问题】 【例1】某车间有27名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母组成的产品，每人每天生产螺母64个或螺栓22个．若分配名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则下面所列方程中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：分配名工人生产螺栓，则名工人生产螺母，每天生产螺栓个，生产螺母个， 根据1个螺栓配2个螺母，恰好配套可得方程． 此类题型，总量始终是不变的，类似工程问题，多利用这个不变量来列写等式方程。 【变式1-1】如图是毛笔的结构图，现有根短竹，每根短竹可制成笔管个或笔斗个，个笔管搭配个笔斗，怎样分配短竹的数量，使制成的笔管与笔斗正好配套？小明列出方程：，则表示的是（     ） A．制成笔管的短竹数量 B．制成笔斗的短竹数量 C．制成笔管的个数 D．制成笔斗的个数 【答案】A 【分析】根据方程的左右两边分别表示笔管和笔斗的数量，结合每根短竹的产量反推的含义即可． 【详解】解：∵每根短竹可制成笔管个， ∴表示笔管的总个数，则表示用于制作笔管的短竹数量， ∵短竹总数为根， ∴表示用于制作笔斗的短竹数量， ∵每根短竹可制成笔斗个， ∴表示笔斗的总个数， ∵个笔管搭配个笔斗，即笔管总数等于笔斗总数， ∴方程符合题意， ∴表示制成笔管的短竹数量． 【变式1-2】学校组织12名校工检修智能教室的桌椅，每人每小时平均能检修3张智能课桌或6把座椅，1张智能课桌配套4把座椅，若安排x名校工检修智能课桌，其余校工检修座椅，且智能课桌和座椅刚好配套，则可以列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题为一元一次方程的配套问题，先根据表示出检修课桌和座椅的总数量，再结合配套关系列方程即可． 【详解】∵安排名校工检修智能课桌，总共有12名校工， ∴检修座椅的校工人数为， ∵每人每小时平均检修3张智能课桌， ∴每小时检修的智能课桌总数为张， ∵每人每小时平均检修6把座椅， ∴每小时检修的座椅总数为把， ∵1张智能课桌配套4把座椅，刚好配套时满足座椅总数课桌总数， ∴列方程得． 【变式1-3】小王在某电商平台出售工艺品，将2张鱼形剪纸和3张“福”字剪纸配成一套销售，一张红纸能制作2张鱼形剪纸或6张“福”字剪纸，共有红纸120张，应该怎样分配红纸才能使制作的鱼形剪纸和“福”字剪纸刚好配套？若设分配张红纸制作鱼形剪纸，则依题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设分配张红纸制作鱼形剪纸，根据设出的未知数，表示出两种剪纸的总数量，再根据刚好配套时总套数相等的关系，整理得到对应方程． 【详解】解：设分配张红纸制作鱼形剪纸，则剩下张红纸用于制作“福”字剪纸， ∵一张红纸可制作张鱼形剪纸， ∴鱼形剪纸总数量为张， ∵一张红纸可制作张“福”字剪纸， ∴“福”字剪纸总数量为张． ∵刚好配套时，每套需要张鱼形剪纸和张“福”字剪纸，总套数相等， 可得：． 【题型2 工程问题】 【例2】一项工程甲队单独做需40天完成，乙队单独做需60天完成，甲队先单独做5天，然后甲、乙两队合作完成这项工程．若两队合作天完成这项工程，根据题意可列方程，列该方程所依据的相等关系是（     ） A．甲队5天的工作量+乙队的工作量=总工作量 B．甲队5天的工作量+两队合作的工作量=总工作量 C．（甲队的工作效率+乙队的工作效率）×合作天数=总工作量 D．（甲队的工作效率+乙队的工作效率）×总工作天数=总工作量 【答案】B 【详解】解：总工作量记为1．甲队单独做5天的工作量为，甲、乙合作天的工作量为． 方程的等量关系为甲队5天的工作量与两队合作的工作量之和等于总工作量， 对应选项B． 我们常常把工作总量看做单位“1”，工作效率则用几分之几表示。在工程问题中，常常用“不同的对象所完成的工作量之和等于总工作量”这个关系来列写等式方程。 【变式2-1】现在有一面7尺厚的墙，大小两只老鼠分别从两面相对着打洞，第一天两只老鼠都打相同距离的洞，从第二天开始，大老鼠每天打洞的距离是前一天的2倍，小老鼠每天打洞的距离是前一天的一半，第三天结束洞刚好被打通，小老鼠第一天打洞的距离为（    ） A．6尺 B．2尺 C．尺 D．尺 【答案】D 【分析】设小老鼠第一天打洞距离为尺，根据题意表示出两只老鼠三天打洞的总长度，利用总长度等于墙厚7尺列出一元一次方程，求解即可得到结果． 【详解】解：设小老鼠第一天打洞的距离为尺，则大老鼠第一天打洞距离也为尺．由题意可得 ∴ 解得 ， 因此小老鼠第一天打洞距离为尺． 【变式2-2】为传承清明文化、缅怀先辈，某班以小组为单位，精心布置清明节主题黑板报．甲组单独布置需4小时，乙组单独布置需6小时，如果甲、乙两组合作了2小时后，因甲组另有任务，剩下的任务由乙组单独完成，若设乙单独完成剩下的任务还需要小时，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．工作效率 = 总工作量÷单独完成时间，因此把总的工作量看作“1”，甲的工作效率是，乙的工作效率是，根据“甲、乙两组合作了2小时后，剩下的任务由乙组单独完成，”列出方程并解答． 【详解】 解：设乙单独完成剩下的任务还需要小时，由题意得 ， 故选：D ． 【变式2-3】\某项工作由甲、乙两人单独完成分别需要和．如果让甲、乙两人一起工作，再由乙单独完成剩余部分，完成这项工作一共需要多长时间？若依据相等关系“前1小时工作量后一段时间工作量”解决该问题，则下列设元与列方程正确的是（    ） A．设一共需要完工，则 B．设一共需要完工，则 C．设乙单独工作，则 D．设乙单独工作，则 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意是解答的关键； 相等关系为“前1小时工作量+后一段时间工作量”，其中“前1小时工作量”指甲、乙在1小时内的工作量之和，即，“后一段时间工作量”指乙在单独工作时间内的工作量．设一共需要完工，则后一段时间乙工作量为；设乙单独工作，则后一段时间乙工作量为；据此列方程即可． 【详解】解：由题意得：甲的工作效率为，乙的工作效率为， 设一共需要完工，则前1小时甲工作量为，前1小时乙工作量为，后一段时间乙工作量为， 则有； 设乙单独工作，则前1小时甲工作量为，前1小时乙工作量为，后一段时间乙工作量为， 则有，C选项符合题意； 故选：C． 【题型3 销售盈亏】 【例3】某单位购进A、B、C三种型号的笔记本60本，它们的单价分别为25元，20元和15元，共计花费1250元．若其中有A种型号的笔记本本，则B种型号的有（     ）本．（结果用含的代数式表示） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设B种型号的笔记本有本，则C种型号的有本，根据单价数量费用列方程，将看作已知数求解即可． 【详解】解：设B种型号的笔记本有本，则C种型号的有本， 根据题意得，， 去括号得，， 合并同类项得，， 移项得，， 系数化为1得，． 此类题型，需要我们找出利润和利润率之间的关系来列写等式方程。 (1) 利润=售价－进价 (2) 利润率= (3) 售价=标价×销售折扣 【变式3-1】如图为贝可咖啡店的菜单，店家今日准备了120杯咖啡和100个三明治贩卖．若今日准备的餐点全部售出且收入共为8700元，则售出早餐组合的收入的范围是（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】设卖出份早餐组合，则单独卖出咖啡杯，单独卖出三明治个，根据今日准备的餐点全部售出且收入共为8700元，列出方程求出的值，即可解答． 【详解】解：设卖出份早餐组合，则单独卖出咖啡杯，单独卖出三明治个， 根据题意，得， 解得， 则早餐组合的收入为（元）， 故售出早餐组合的收入的范围是． 【变式3-2】学校准备添置一批课桌椅，原订购60套，每套100元．店方表示：如果多购，可以优惠．结果校方购了72套，每套减价3元，但商店获得同样多的利润．求每套课桌椅的成本．设每套课桌椅的成本为x元，则可列方程为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用“总利润=每套利润×购买套数”表示出两种方案的总利润即可列方程。 【详解】解：设每套课桌椅的成本为元， 原订购60套，每套售价100元，每套利润为元， 原方案总利润为元； 实际购买72套，每套减价3元，实际每套售价为元，每套利润为元， 实际方案总利润为元， 两种方案利润相同， 列方程得． 【变式3-3】某超市将一款学习机按标价8折出售，仍可获利．若该学习机的进价为800元，则标价为（     ） A．960元 B．1000元 C．1200元 D．1280元 【答案】C 【分析】根据售价与利润的等量关系列方程求解． 【详解】解：设该学习机的标价为元，依题意得： ， 解得：， ∴该学习机的标价为1200元． 【题型4 比赛积分】 【例4】一场知识挑战赛共有20题，答对一题得5分，答错一题扣2分，未答一题扣1分．小宇答错的题数是未答题数的2倍，最后得60分．他答对了（     ）题 A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】D 【分析】根据答错与未答题数的倍数关系设未知数，结合总得分列方程求解． 【详解】解：设未答题数为道，则答错题数为道，答对题数为道， 根据题意可得， 解得：， 故答对题数为． 此类问题，主要是通过积分来列写等式方程。需要注意，有些比赛结果只有胜负；有的比赛结果又胜负和平局。 (1) 比赛总场数=胜场数+负场数+平场数 (2) 比赛积分=胜场积分+负场积分+平场积分 【变式4-1】2025年苏超联赛火爆全国，泰州队带着倔强精神，以史诗般的征程“一路突围”，从“不被看好”到“一飞冲天”，这支球队展现了顽强拼搏的精神风貌．最终力克南通队，将苏超首座冠军奖杯高高捧起．在常规赛中，江苏13个市进行单循环积分赛（每两队之间只比赛一场），比赛规则如下：胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分．9月27日常规赛结束，部分球队的积分如表： 队伍 场次 胜 平 负 积分 南通队 12 10 2 0 32 泰州队 12 4 18 泰州队一共胜了（   ）场． A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】设泰州队胜场数为未知数，根据总场次得到平场数，再结合积分规则列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设泰州队一共胜了场． ∵每队总场次为场，泰州队负场， ∴平的场数为． 根据题意列方程得：， 整理得：， 解得：， ∴泰州队一共胜了场． 【变式4-2】一张试卷只有25道选择题，做对一题得4分，做错1题倒扣1分，某学生做了全部试题共得70分，他做对了（    ）道题． A．17 B．18 C．19 D．20 【答案】C 【分析】根据题意，列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设做对了道题，则做错了道题， 由题意可得， 解得． 【变式4-3】投壶是中国古代的一种弓箭投掷游戏，每局投次，弓箭投入壶内、壶耳（如图）、落在地上会得到不同的分数，计分规则如下： 投中位置 投入壶内 投入壶耳 落在地上 一次计分 分 分 分 若在一局中，弓箭投入壶内次，则这局得到的分数不可能是（   ） A．分 B．分 C．分 D．分 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设投入壶耳次，则落在地上次，求出得分为，然后逐项分析即可，读懂题意，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设投入壶耳次，则落在地上次， 则得分为：， 、当时，解得，不符合题意； 、当时，解得，符合题意； 、当时，解得，不符合题意； 、当时，解得，不符合题意； 故选：． 【题型5 方案选择】 【例5】某景区单独购票为每人元，团体购票为每人元．某旅游团按团体购票比单独购票总共节省费用元，则该旅游团人数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设该旅游团人数为人，根据“单独购票总费用减去团体购票总费用等于节省的费用”列方程求解即可． 【详解】解：设该旅游团人数为人， ， 解得． 故选：C． 此类题型，一般会提供多种方案供选择，要求我们选出最合算的方案。解此类题型，有2种思路。 思路1：分别求解出每种方案的最终费用，在比较优劣 思路2：求解出每种方案费用相同时的临界点，在根据临界点进行讨论分析。 【变式5-1】某游泳馆在每年的夏季推出两种游泳付费方式．方式一：先购买会员证，每张会员证200元，只限本人当年使用，凭证游泳每次再付费10元；方式二：不购买会员证，每次游泳付费20元．有下列结论： ①若小明计划今年夏季游泳的总费用为300元，则他选择方式一游泳的次数比较多； ②若小明计划今年夏季游泳的次数为25次，则他选择方式二游泳的总费用比较少； ③若小明今年夏季在该游泳馆游泳，两种付费方式的总费用相同，则他计划游泳的次数为20． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． 通过建立方程比较两种付费方式在不同条件下的总费用或次数，逐一验证各结论的正确性即可． 【详解】解：结论①：设方式一的游泳次数为，则总费用为，解得．方式二的次数为．因，结论①错误． 结论②：游泳25次时，方式一总费用为元，方式二为元．因，结论②错误． 结论③：设游泳次数为，由，解得．此时两种方式费用相等，结论③正确． 综上，正确结论仅1个， 故选：B． 【变式5-2】某牛奶加工厂现有鲜奶，若在市场上直接销售鲜奶，每吨可获利500元；制成酸奶销售，每吨可获利1200元；制成奶片销售，每吨可获利2000元．该厂的生产能力是：若制成酸奶，每天可加工；若制成奶片，每天可加工．受条件限制，两种加工方式不可同时进行，受气温影响，鲜奶必须在4天内销售或加工完毕．为此，该厂设计了三种方案．方案一：在市场上直接销售鲜奶；方案二：尽可能多地制成奶片，其余直接销售鲜奶；方案三：部分制成奶片，其余全部制成酸奶，并保证在4天内完成．获利最多的方案是（   ） A．方案一 B．方案二 C．方案三 D．一样多 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．根据题意找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 方案一：直接列出算式求出利润即可； 方案二：根据制成奶片，每天可加工，求出天加工的吨数，剩下的直接销售鲜牛奶求出利润即可； 方案三：设生产天奶片，天酸奶，根据题意列出方程，求出方程的解得到的值，进而求出利润比较即可得到结果． 【详解】解：方案一：直接销售鲜奶可以获利： （元）， 方案二：易知最多生产奶片，其余的直接销售鲜奶． 利润为（元）． 方案三：设生产天奶片，则生产天酸奶， 根据题意，得， 解得：， 利润为（元）， ∵， ∴第三种方案获利较多． 故选：C． 【变式5-3】某班到文具店采购作业本，经询问得知作业本的定价为每本元，通过协商，文具店提供了两种购买方式，并要求只能从中选择一种．方式一：每本优惠售价为元；方式二：购买数量不多于本时按定价销售，超过本，则超过部分按定价的八折销售．设该班购买作业本的数量为（）．当方案一和方案二所需的费用一样多时，购买作业本的数量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，利用总价单价数量，结合方案一和方案二所需的费用一样多，可列出关于的一元一次方程，解之即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：根据题意得，， 解得， ∴当方案一和方案二所需的费用一样多时，购买作业本的数量为本， 故选：． 【题型6 数字问题】 【例6】下列哪个数不是4个连续偶数之和？（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】推导4个连续偶数之和的数值特征，以此判断各选项． 【详解】解：设4个连续偶数中最小的为（为偶数），则四数之和为， 是偶数， 是奇数， 四数之和为4的倍数，且除以4的结果为奇数， A.，为奇数，符合； B.，为奇数，符合； C.，为偶数，不符合，故选C； D.，为奇数，符合． 任何一个正数N=都可以表示为++…+。利用这个特点和题干中的关系，寻找等式方程。 【变式6-1】幻方是我国古代的一种谜题，又称九宫图，要求在的方格表中填入9个整数，使每行、每列、两条对角线上的数字之和都相等．图中给出了幻方的部分数字，则x的值为（     ） 15 x 23 47 A．9 B．39 C．55 D．79 【答案】D 【分析】根据幻方性质：每行、每列、对角线的三数和相等求解． 【详解】解：设每行、每列、对角线的三数之和为，从右上到左下的对角线位置上的数依次为,左上第一个位置为， a 15 b x c 23 d 47 则从右上到左下的对角线和为：， 第二行的和为： 第三列的和为：，可得 ， 第一行的和为：， 把代入，得 ，化简后直接得到 ， 从左上到右下的对角线和为：， 把代入得 ，即 ， 再结合第二行的和， 把代入，得，解得． 【变式6-2】我国古代的“幻方”文化源远流长，最早记载于西汉时期的《大戴礼记》中．如图为一个三角形幻方，其中每个小三角形的三个顶点的数字之和都相等，则的值为（     ） A．1 B．- C．3 D． 【答案】C 【分析】先根据左侧三角形求出每个小三角形的三个顶点上的数字之和，再依次求出的值，最后求和即可． 【详解】解：由题意知，每个小三角形的三个顶点上的数字之和为：， ， ， ， ， ， ， ． 【变式6-3】如图是有关的代数式的方阵，若第6行第2项的值为327，则此时的值为（     ） A．1 B．2 C．5 D．10 【答案】C 【分析】由方阵可以看出第行第2项的第一个数为，第二个数是，由题意列出方程，求得的数值即可． 【详解】解：第行第2项为，则第一个数为，第二个数是， 第行第2项为，则第一个数为，第二个数是， 第行第2项为，则第一个数为，第二个数是， 第行第2项为，则第一个数为，第二个数是， …… 第行第2项的第一个数为，第二个数是，则第行第2项为， ∵第6行第2项的值为327， ∴，即， 解得． 【题型7 几何问题】 【例7】三角形的内角度数之比是，若该三角形是直角三角形，则a为（     ） A．1 B．3或5 C．4 D．2 【答案】B 【分析】设三个内角的度数分别为，，（），分情况讨论直角对应的内角份数，结合三角形内角和列方程求解． 【详解】解：设三个内角的度数分别为，，（）， ∵ 三角形内角和为， ∴ ，即 ， ∵ 若，则，不符合题意， ∴ 直角只能是或对应的角， 当时，， 代入得， 解得； 当时，， 解得， 代入得：， 解得， ∴ 的值为或． 【变式7-1】有一条长的纸条．迪迪将其切成9个宽度相同的较短的块，并将它们重新排列成一个大正方形，如图所示．大正方形的周长是（     ） A． B． C． D． E． 【答案】D 【分析】设纸条宽为，根据纸条总长求出，再求周长即可． 【详解】解：如图，设纸条宽为， 则9快图形的长依次为， ， 解得， 大正方形的周长为． 【变式7-2】如果一个矩形的内部可以用若干个正方形不重叠、无缝隙地铺满，就称其为“完美矩形”．下图中的“完美矩形”，其周长为26，则正方形的边长为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】设正方形a、b、c、d的边长分别为a、b、c、d，分别求得，，由“完美矩形”的周长得，列式计算即可求解． 【详解】解：设正方形a、b、c、d的边长分别为a、b、c、d， ∵“完美矩形”的周长为26， ∴， ∵， ∴，则， ∴，则， ∴， ∴， ∴正方形d的边长为5． 【变式7-3】将直径为的圆钢截取一段长的部分，铸造出6个直径为的相同长度的圆柱形零件，则每个零件的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据铸造前后钢材总体积不变的原理，结合圆柱体积公式列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设每个圆柱形零件的长度为， 原圆钢直径为，故原圆钢半径为，长度为， 零件直径为，故单个零件半径为， ∵铸造前后钢材总体积不变，圆柱体积公式为 ， ∴原圆钢体积等于个零件的总体积，可得方程： ， 解得：， 即每个零件的长度为． 【题型8 动点问题】 【例8】如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为8，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为，的中点．设运动时间为秒，则下列结论：①点B对应的数是4；②当点P到达点B时，；③当时，；④在点P的运动过程中，线段的长度不变．其中正确的是（   ） A．①③ B．②③④ C．②④ D．①②④ 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，线段中点， ①根据两点间距离进行计算即可；②利用路程除以速度即可；③分两种情况：当点在点右边时，当点在点左边时，分别求出的长，再利用路程除以速度即可；④分两种情况：当点在点右边时，当点在点左边时，利用线段的中点性质分别进行计算即可．理解题意，进行分类讨论是解决问题的关键． 【详解】解：设点对应的数是， 点A对应的数为，且， ， ， 点对应的数是，故①错误； 由题意得：（秒）， 点到达点时，，故②正确； 当点在点右边时， ，， ， （秒）， 当点在点左边时， ，， ， （秒）， 综上，时，或；故③错误； ，始终为，的中点， ，， 当点在点右边时， ， 当点在点左边时， ， 在点的运动过程中，线段的长度不变，故④正确； 所以，②④正确． 故选：C． 【变式8-1】如题图，已知线段的长度为，动点P从端点A出发，以恒定速度向端点B做匀速直线运动．设运动时间为，M是线段的中点，N是线段的中点．以下说法正确的是（    ）． ①在点P的整个运动过程中，线段的长度会随着点P位置的改变而改变； ②在点P的整个运动过程中，代数式的值恒为； ③当满足时，动点P的运动时间． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】B 【分析】设A点为数轴的原点，分别用表示出B点、P点、M点、N点表示的数，从而可用表示出线段的长度，再化简即可判断①； 先用表示出、，从而可用表示出，再化简即可判断②； 先用表示出，，根据，得到关于的方程求解，即可判断③． 【详解】解：设A点为数轴的原点， ∵线段的长度为， ∴B点表示的数为12， ∵动点P从端点A出发，以恒定速度向端点B做匀速直线运动．设运动时间为， ∴， ∴P点表示的数为． ∵M是中点， ∴M表示的数为t， ∵N是中点， ∴N表示的数为， ∴线段的长度为， 即线段的长度为定值，不会改变， 故①错误； ∵，， ∴当点运动到时，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故②正确； ，， 由， 得， 解得∶， 运动时间范围，在范围内，符合， 故③正确， 综上所述，正确选项应为②③， 故选：B． 【点睛】本题考查了用数轴上的点表示有理数，列代数式，动点问题（一元一次方程的应用），线段的和与差，线段中点的有关计算等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 【变式8-2】如图，在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为．若点以每秒个单位长度的速度从点出发向右运动，同时点以每秒个单位长度的速度从点出发向左运动，经过秒，，两点之间的距离为，则的值为（   ） A．2或4 B．2或 C．4 D．或4 【答案】B 【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，根据题意设经过秒，则点P表示的数为，点Q表示的数为，相遇前和相遇后距离为，分别列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵点表示的数为，点表示的数为， 设经过秒，则点P表示的数为，点Q表示的数为， 当，相遇前，可得， 解得：； 当，相遇后，可得， 解得：； 综上，t的值为2或； 故选：B． 【变式8-3】【变式14-3】已知数轴上的点A，B，C分别表示，若数轴上存在点，使，则点表示的数为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离公式、绝对值方程等知识点，正确列出绝对值方程是解题的关键． 先根据数轴上两点间距离公式求出的长度，再设点P表示的数为x，利用列出绝对值方程求解即可． 【详解】解：∵数轴上点A，B，C分别表示， ∴． 设点P表示的数为x， ∴， ∵， ∴， ∴或． 当时，， 当时，， ∴点P表示的数为或． 故选C． 【题型9 和差倍分问题】 【例9】学校为六年级购买科技书和文艺书共1200本，其中文艺书比科技书的2倍少60本，买来科技书多少本？如果设买来科技书x本，那么下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设买来科技书本，则文艺书有本， ∵ 两种书共1200本， ∴ ． 此类题型，需要弄清楚“倍数”“多”“少”等关系。 （1） 甲是乙的a倍：甲=乙×a （2） （2）甲比乙多：甲=乙×（1+） （3） （3）甲比乙少：甲=乙×（1－） 【变式9-1】小强根据方程编写了一道应用题：“我班美术社团的同学计划在教师节前做一批手工艺品赠给老师，如果每人做5个，那么就比计划少2个；________，请问我班美术社团的同学有多少人？”若设我班美术社团有x人，则“________”中的内容应为（   ） A．如果每人做6个，那么就比计划少7个 B．如果每人做6个，那么就比计划多7个 C．如果每人做7个，那么就比计划少6个 D．如果每人做7个，那么就比计划多6个 【答案】B 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，根据方程补充完整题目即可． 【详解】解：根据方程可知， 若设我班美术社团有x人，则“________”中的内容应为“如果每人做6个，那么就比计划多7个”． 【变式9-2】我曾经遇到过一个大家庭的六个兄弟姐妹，他们的年龄是六个连续的整数．我问每个人这样的问题：“你最年长的兄弟姐妹多大了？”以下哪个数不可能是他们六人答案的总和？（   ） A．95 B．125 C．167 D．185 E．205 【答案】E 【分析】先推导六人答案总和和最大年龄的关系式，再根据年龄是整数的性质验证选项，找出不符合的结果即可. 【详解】解：设六个连续整数年龄中，最大的年龄为，为正整数，则第二大年龄为， ∵ 除年龄最大的人外，其余五人的最年长兄弟姐妹都是最大年龄，只有年龄最大的人的最年长兄弟姐妹是第二大的； ∴ 六人答案的总和 ，变形得 . ∵是正整数， ∴必须能被整除； A、，，是整数，可能； B、，，是整数，可能； C、，，是整数，可能； D、，，是整数，可能； E、，不是整数，不可能. 【变式9-3】小红和小丽两人共有124元，小红用了自己钱数的，小丽用了自己钱数的，各买了一副价钱相同的乒乓球拍，小丽原来有（   ）元． A．64 B．60 C．68 D．74 【答案】A 【分析】本题考查了方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． 设小红原有元，则小丽原有元，根据两人所用钱数相等列方程求解． 【详解】解：∵设小红原有元，则小丽原有元， ∴小红用了元，小丽用了元，且所用钱数相等， 得， 两边同乘20得：， 展开得：， 移项得：， 即， 解得， 则小丽原有元， 故选A． 【题型10 电费水费问题】 【例10】某市为节约用水，制定了如下标准：用水不超过20吨，按每吨1.2元收费，超过20吨，则超出部分按每吨1.5元收费，小明家六月的平均水费是每吨1.25元，那么小明家六月应缴水费（     ） A．36元 B．30元 C．24元 D．22元 【答案】B 【分析】设小明家六月用水吨. 根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设小明家六月用水吨， ∵， ∴ 由题意得 去括号得， 移项合并得 解得 应缴水费为元． 此类题型，收费往往因为不同的分段，标准会不一样。因此，在列写此类问题的等式方程时，需要先依据题意将路程进行合理分段，然后在按照不同分段中的收费标准列写等式方程。 【变式10-1】为倡导绿色生活，建设节约型社会，某市居民生活用水实施了阶梯计价政策．下表是该市居民生活用水的收费标准（户内人口不超过4人）： 收费方式 年用水量/ 单价（元/） 第一阶梯 0~180 4.5 第二阶梯 181~240 6 第三阶梯 240以上 8 (1)若甲、乙两户居民（都是三口之家）2025年的用水量分别为，，则甲、乙两户居民2025年的水费分别为__________元、__________元； (2)若丙户居民（四口之家）2025年的水费为1110元，求丙户居民2025年的用水量． 【答案】(1)810；1170 (2) 【分析】（1）根据收费标准计算即可； （2）先判断丙户居民2025年用水量的范围，再设丙户居民2025年的用水量为，根据收费标准列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：甲户居民的水费为（元）， 乙户居民的水费为（元）． （2）解：由（1）可知，当用水量为时，水费为810元；当用水量为时，水费为1170元． 由于810元元元， 所以丙户居民2025年的用水量超过，且不足． 设丙户居民2025年的用水量为，根据题意，得 ， 解得， 答：丙户居民2025年的用水量为． 【变式10-2】某城市按以下规定收取每月的天然气费：如果用气量不超过立方米，按每立方米元收费；如果用气量超过立方米，则超过的部分每立方米按元收费．若某用户月份交的天然气费平均每立方米元，该用户月份的天然气用气量是多少？设该用户月份的用气量为立方米，列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列关于的一元一次方程，理清题意，找到等量关系列出一元一次方程是解答本题的关键． 先判断出月份的用气量一定超过立方米，等量关系为：超过立方米的立方数所用的立方数，即可得出关于的一元一次方程． 【详解】解：因为， 所以该用户月份的用气量一定超过了立方米，即， 根据等量关系：超过立方米的立方数所用的立方数， 所以可得方程：， 故选：A． 【变式10-3】某省居民生活用电实施阶梯电价，年用电量分为三个阶梯．阶梯电费计价方式如下： 阶梯档次 年用电量 电价（单位：元/度） 第一阶梯 2760度及以下部分 0.538 第二阶梯 2761度至4800度部分 0.588 第三阶梯 4801度及以上部分 0.838 小聪家去年12月份用电量为500度，电费为319元，则小聪家去年全年用电量为（   ） A．5250度 B．5100度 C．4900度 D．4850度 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是先判断出小聪家去年前11个月用电量超过2761度，不足4800度，设小聪家去年12月份用电量500度超过4800度的部分为x度，根据12月份用电量为500度，电费为319元，列出方程，解方程即可． 【详解】解：∵（元），（元）， 又∵， ∴小聪家去年前11个月用电量超过2761度，不足4800度， 设小聪家去年12月份用电量500度超过4800度的部分为x度，根据题意得： ， 解得：， （度）， 答：小聪家去年全年用电量为4900度． 故选：C． 【题型11 行程问题】 【例11】如图，青山在王家庄、绿水两地之间，青山距绿水，有两辆汽车A、B从王家庄同时出发，分别前往青山、绿水两地，已知A车的平均速度为，B车的平均速度为，两车同时到达目的地，若设王家庄距青山，根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，分别得出各自的时间，结合题意列式即可． 【详解】解：设王家庄距青山，青山距绿水，已知A车的平均速度为，B车的平均速度为， ∴A车从王家庄到青山的时间为，B车从王家庄到绿水的时间为， ∵两车同时到达目的地， ∴ ． 行程问题总公式为：路程=速度×时间。行程问题可分为3大类，不同类型的问题，在求解速度时有所不同，具体如下： （1） 相遇问题： 总速度=甲的速度+乙的速度 （2）追击问题： 总速度=追击者速度－被追击者速度（快－慢） （3）航行问题： 顺水（风）速度=静水（风）速度+水（风）速 逆水（风）速度=静水（风）速度－水（风）速 【变式11-1】如图，这是标准400米跑道，它由两条弯道（左侧，右侧）和两条直道，组成，每条弯道的长是115.6米，每条直道的长是84.4米．小斌站在C处，小强站在B处，两人同时逆时针方向跑步．小斌每秒跑4米，小强每秒跑6米．当小强第一次追上小斌时，他们的位置在（    ） A．弯道上 B．直道上 C．弯道上 D．直道上 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程相关的行程问题．设t秒后，小强第一次追上小斌．根据题意列方程，解方程求得小强第一次追上小斌所用的时间，随后算出小斌的路程，再根据直道，弯道的路程，算出当小强第一次追上小斌时，他们所处的位置． 【详解】解：设t秒后，小强第一次追上小斌． 由题意得，， ∴， ∴小斌跑过的路程为：（米）， ∵小斌是从C点出发，逆时针出发， ∴第一段是弯道， 小斌跑完弯道后，还剩下的路程为：（米）， 接下来是直道，长度为84.4米， ∵， ∴小斌第一次被小强追上是在直道上． 【变式11-2】曲靖市某校为响应“低碳出行”号召，组织学生从学校骑自行车前往珠江源风景区．小明骑车的平均速度为，小刚骑车的平均速度为，小明比小刚早到20分钟．设学校到景区的距离为，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“时间路程速度”统一单位后，结合两人的时间差的等量关系，即可得到答案． 【详解】解：20分钟小时， 由题意可得． 【变式11-3】甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，匀速前进．如果每人按一定的速度前进，4小时相遇；如果每人各自都比原计划每小时少走1千米，5小时相遇．那么A、B两地的距离是（     ） A．40千米 B．30千米 C．20千米 D．10千米 【答案】A 【分析】A、B两地总路程不变，根据两种情况的速度和关系列方程求解即可． 【详解】解：设、两地的距离是千米， ∵ 原来两人小时相遇， ∴ 原来两人的速度和为千米/小时， ∵ 每人各自都比原计划每小时少走千米， ∴ 减速后两人的速度和比原来少千米/小时，即减速后速度和为 千米/小时， 又∵ 减速后两人小时相遇，减速后速度和也可表示为千米/小时， ∴ 列方程得 ， 解得 ， 即、两地距离为千米． 【题型12 比例问题】 【例12】把一些图书分给某班学生阅读，如果_____；如果每个同学分4本，则缺25本．设这个班级有x名学生，可列出方程．则横线的信息可以是（   ） A．分给3个同学，则剩余20本 B．每个同学分3本，则剩余20本 C．分给3个同学，则缺20本 D．每个同学分3本，则缺20本 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，根据“如果每个同学分4本，则缺25本”，结合这个班级的人数，可得出这些图书共有本，结合所列方程，可得出这些图书共有本，进而可得出横线的信息，根据所列方程，找出缺失的条件是解题的关键． 【详解】解：如果每个同学分4本，则缺25本，且这个班级有名学生， 这些图书共有本， 所列方程为， 这些图书共有本， 横线的信息可以是：每个同学分3本，则剩余20本． 故选：B． 【变式12-1】如图，有甲、乙两条数轴，甲数轴上的三点所对应的数依次为，3，21，乙数轴上的三点所对应的数依次为．当点与点上下对齐时，点恰好分别与点上下对齐，则的值为（） A． B．1 C．2 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上点的对应关系以及一元一次方程的应用的知识点，解题的关键是根据上下对齐的点之间的距离比例关系列出等式． 根据点与点上下对齐，点与点上下对齐，点与点上下对齐，利用甲，乙数轴上对应点之间的距离关系列出关于的方程求解． 【详解】因为点与点上下对齐，点与点上下对齐，点与点上下对齐，所以甲，乙两条数轴上对应点之间的距离比例是相同的， 先计算甲数轴上A，B两点间的距离为：， 两点间的距离为：， 乙数轴上D，E两点间的距离为：， 两点间的距离为：， 根据距离比例相同可得： 解得． 故答案选：C． 【变式12-2】如果甲、乙、丙三村合修一条公路，计划出工84人，按出工，求各村出工的人数． ①设甲、乙、丙三村分别出工人、人、人，依题意，得； ②设甲村出工人，依题意，得； ③设乙村出工人，依题意，得； ④设丙村出工人，依题意，得． 上面所列方程中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，由甲、乙、丙三村按出工，可得出工人数之间的关系，再根据计划出工84人列出方程，注意所设未知数不同时，所列方程也不同． 【详解】解：①正确， ②应得方程， ③应得， ④应得． 故选：A． 【变式12-3】美食俱乐部共有58名成员，每个成员不是胖子就是瘦子．一次聚会时每个胖子带来15个包子分给瘦子，每个瘦子带来14个包子分给胖子．已知，每个胖子分到的包子一样多，每个瘦子分到的包子也一样多（都正好分完）．那么成员中胖子的人数是（　　） A．27 B．28 C．27或30 D．28或29 【答案】B 【分析】设美食俱乐部有x名胖子，则有名瘦子（，且为整数），得出.由每个瘦子带来14个包子分给胖子，且每个胖子分到的包子一样多（都正好分完），得出必是15的倍数，求出或28或13，再由于每个胖子带来15个包子分给瘦子，且每个瘦子分到的包子也一样多（都正好分完），得出必是14的倍数，即可得出结论． 此题主要考查了整除问题，得出或30或45是解本题的关键． 【详解】解：设美食俱乐部有x名胖子，则有名瘦子（，且为整数）， 所以，， 因为每个瘦子带来14个包子分给胖子，且每个胖子分到的包子一样多（都正好分完）， 所以必是15的倍数， 所以或30或45， ∴或28或13， 又因为每个胖子带来15个包子分给瘦子，且每个瘦子分到的包子也一样多（都正好分完）， 所以必是14的倍数， 所以， 即美食俱乐部的成员中胖子的人数是28， 故选：B． 【题型13 日历问题】 【例13】周末整理书桌时，小莫翻出一本旧月历．他随意挑了一个月份，发现这个月所有星期天对应的日期相加，总和是85．这个月最后一个星期天是几号？（     ） A．24 B．28 C．30 D．31 【答案】D 【分析】根据月历中相邻星期天日期相差7的规律，分当月有4个、5个星期天两种情况列方程求解，结合一个月最多31天的规则验证结果． 【详解】解：设这个月第一个星期天的日期为，由于相邻两个星期天的日期相差7， 所以①当这个月有四个星期天时，则这四个星期天的日期依次为、、、， 由题意得，解得， 不是正整数，该情况不符合题意舍去， ②当这个月有五个星期天时，则这五个星期天的日期依次为、、、、， 由题意得，解得， 所以最后一个星期天的日期为，符合一个月的天数范围， 故D选项符合题意． 【变式13-1】日历表中某月所有星期六的日期数全加起来等于85，这个月的第一天是（     ） A．星期二 B．星期三 C．星期四 D．星期五 【答案】C 【详解】解：∵日历中相邻星期六的日期差为7，一个月内星期六的个数为4或5， 设第一个星期六的日期为， 若有4个星期六，则，整理得，解得，不符合正整数要求，舍去， 若有5个星期六，则，整理得，解得， ∵3号是星期六， ∴这个月1号是星期四. 【变式13-2】如图是2025年10月份的日历表，用形如的框架框住日历表中的五个数（例如图中框住的五个数分别为5、7、13、19、21），对于框架框住的五个数字之和，计算结果不可能是（     ） A．75 B．100 C．115 D．120 【答案】D 【分析】设中间一个数为x，则其余四个数分别为：，，，，求出5个数的和为，然后根据4个选项中5个数的和，分别列出方程，求出5个数，进行判断即可． 【详解】解：设中间一个数为x，则其余四个数分别为：，，，，则5个数的和为：， 当五个数字之和为75时，， 解得：， 即中间一个数为15，其余四个数为：7，9，21，23， ∴五个数字之和能为75，故A不符合题意； 当五个数字之和为100时，， 解得：， 即中间一个数为20，其余四个数为：12，14，26，28， ∴五个数字之和能为100，故B不符合题意； 当五个数字之和为115时，， 解得：， 即中间一个数为23，其余四个数为：15，17，29，31， ∴五个数字之和能为23，故C不符合题意； 当五个数字之和为120时，， 解得：， 即中间一个数为24，其余四个数为：16，18，30，32， ∵日历中不存在32， ∴五个数字之和不可能为120，故D符合题意． 【变式13-3】如图，在2026年4月份的月历表中，任意框出表格中竖列上三个相邻的数，这三个数的和不可能是（   ） A．27 B．51 C．69 D．75 【答案】D 【分析】先设竖列上中间的数为，则上面的数为，下面的数为，再表示出三数之和，即可得出关于的一元一次方程，最后结合月历表中数的特点，即可得出结论． 【详解】解：根据月历表可设竖列上中间的数为，则上面的数为，下面的数为， 这三个数的和为． A、当时，解得，，则，，符合月历表中数的特点，故A选项不符合题意； B、当时，解得，，则，，符合月历表中数的特点，故B选项不符合题意； C、当时，解得，，则，，符合月历表中数的特点，故C选项不符合题意； D、当时，解得，，则，，，不符合月历表中数的特点，故D选项符合题意． 【题型14 古代问题】 【例14】我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”大意为：用一根绳子去量一根木头，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，木头剩余1尺，问木头长多少尺？设木头长尺，则可列一元一次方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以绳长固定不变为等量关系，分别表示两种量法下的绳长即可列方程． 【详解】解：∵ 用整根绳子量木头，绳子剩余4.5尺， ∴ 绳长为尺． ∵ 将绳子对折后量木头，木头剩余1尺，即对折后绳长比木长短1尺， ∴ 对折后绳长为尺，整根绳长为尺． ∵ 绳长固定不变， ∴ ． 【变式14-1】我国古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？其大意是：每车坐3人，两车空出来；每车坐2人，多出9人无车坐．问人数和车数各多少？设车辆，根据题意，可列出的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】抓住总人数不变的等量关系列方程． 【详解】解：设车有辆． 每车坐3人且两车空时，总人数为． 每车坐2人且9人无车坐时，总人数为． 由总人数相等得． 【变式14-2】《九章算术》中记载了关于“三畜食苗”的问题，大意是：有牛、马、羊吃了别人的青苗，青苗主人要求牛，马、羊的主人赔偿谷物7斗，羊的主人说：“我的羊吃的苗是马吃的一半．”马主人说：“我的马吃的苗是牛吃的一半”，现要求依据牛、马、羊吃苗的量按比例进行赔偿，设牛主人应赔偿x斗，下面符合题意的式子是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设牛主人应赔偿x斗，则马主人应赔偿斗， 羊主人应赔偿斗，根据一共要赔偿7斗列方程即可． 【详解】解：设牛主人应赔偿x斗，则马主人应赔偿斗， 羊主人应赔偿斗， 由题意得，． 【变式14-3】中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（“两”为我国古代货币单位）；马二匹、牛五头，共价三十八两，问马、牛各价几何？”设每匹马的价格为两，根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】题目仅设马每匹价格为两，需要先根据第一个总价条件，用表示出每头牛的价格，再根据第二个总价条件列出方程即可． 【详解】解：设马每匹价格为两，根据“马四匹、牛六头，共价四十八两”，可得头牛总价为两，因此每头牛的价格为两， 又根据“马二匹、牛五头，共价三十八两”，总价格为匹马价格加头牛价格，因此列方程得：． 【探究式学习】 1．综合与探究： 在学习数轴与线段的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“优点”进行研究，定义：点在线段上，若或，则称点是线段的“优点”，线段，称作互为“优点”伴侣线段． (1)观察判断 如图（1），点为线段的“优点”． ①若，，则__________； ②若点也是线段的“优点”（不同于点），则__________（填“=”或“”）； (2)性质探究 如图（2），在原点为的数轴上有，两点，其中点表示的数为1，点表示的数为4．若点在点的左侧，且，均为线段的“优点”，求线段的长； (3)在（2）的情况下点，分别从，出发向右运动，点的速度是每秒2个单位，点的速度是每秒1个单位，第几秒点是线段的“优点”？ 【答案】(1)①24；② (2) (3)第秒或2秒时，点是线段的“优点” 【分析】（1）①由即可求解； ②利用“优点”定义求出，与的数量关系即可； （2）根据点M在N左侧，再由“优点”定义求解即可； （3）设第t秒点是线段的“优点”，分两种情况：当时，当时，分别列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：①∵点C为线段的“优点”，， ∴， ∴； ②如图， ∵点D是线段的“优点”（不同于点）， ∴， ∴，即， 由①得， ∴，即， ∴； （2）解：如图， ∵点表示的数为4， ∴， 当点在点左侧时，则，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：设第t秒点是线段的“优点”，根据题意得：，，， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 综上，第秒或2秒时，点是线段的“优点”． 2．我们知道，借助天平和一些物品可以探究得到等式的基本性质． 【提出问题】能否借助一架天平和一个10克的砝码测量出一个乒乓球和一个一次性纸杯的质量？ 【实验探究】准备若干相同的乒乓球和若干相同的一次性纸杯（每个乒乓球的质量相同，每个纸杯的质量也相同），设一个乒乓球的质量是x克，经过实验，将有关信息记录在表中： 记录 天平左边 天平右边 天平状态 乒乓球总质量 一次性纸杯的总质量 记录一 5个乒乓球1个10克的砝码 15个一次性纸杯 平衡 __________ 记录二 3个乒乓球 1个一次性纸杯 1个10克的砝码 平衡 __________ 解决问题 (1)将表格中两个空白部分用含x的代数式表示； (2)分别求出一个乒乓球的质量和一个一次性纸杯的质量． 【及时迁移】 (3)借助以上相关数据，若天平左边有10个乒乓球和2个一次性纸杯，天平右边有1个10克的砝码和若干个一次性纸杯，那么天平右边需要几个纸杯能使天平平衡？ 【答案】(1)， (2)一个乒乓球的质量为4克，一个一次性纸杯的质量为2克 (3)17个纸杯 【分析】（1）根据表格中的记录列式即可； （2）根据（1）所得式子列方程求解即可； （3）设纸杯个数为个，结合（2）求出的单个质量列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，记录一：5个乒乓球1个10克的砝码与15个一次性纸杯的质量相同， 则一次性纸杯的总质量为； 记录二：3个乒乓球与1个一次性纸杯1个10克的砝码的质量相同， 则一次性纸杯的总质量为； （2）解：由题意得：， 解得， 所以． 答：一个乒乓球的质量为4克，一个一次性纸杯的质量为2克． （3）解：设天平右边需要个纸杯能使天平平衡， 由题意，得， 解得． 答：天平右边需要个纸杯能使天平平衡． 3．综合与探究 “幻方”的历史很悠久，传说中最早出现在夏禹时代的“洛书”，用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，即将若干个数组成一个正方形数阵，任意一行、一列及对角线上的数字之和都相等．如图1，就是一个三阶“幻方”，由1，2，3，4，5，6，7，8，9九个数字组成的一个三行三列的矩阵（如图1），其对角线、横行、纵向的和都为15． (1)探究：如图2是一个“幻方”，则a＝ ，b＝ ，c＝ ； (2)拓展： 数阵是由幻方演化出来的另一种数字图．将连续的奇数1，3，5，7，9…排列成数阵（如图3），用十字框随机框出5个数，十字框中的五数之和能等于2020吗？并说明理由． 【答案】(1) (2) 十字框中的五个数字之和不能等于2020，理由： 设十字框中的最中间一个数为 ，由题意得， 解得 ， 由题意可知， 应为奇数， 则十字框的中五个数字之和不能等于2020． 【分析】（1）利用任意一行、一列及对角线上的数字之和都相等求出即可； （2） 设十字框中的最中间一个数为，依据题意列方程求出为偶数，但题意应为奇数，故不能． 【详解】（1） 解：由题意， 解得， ， 解得， ， 解得； （2） 解：略． 4．某校七（1）班数学活动小组在做角的拓展练习时，利用一副含有角的直角三角板和含有角的直角三角板尝试完成探究． (1)利用这副三角板可以画出一些特殊角，在①，②，③，④，⑤五个角中，利用一副三角板画不出来的角是______．（填序号） (2)如图1，边，与直线重合，；，则的度数为______． (3)保持三角板不动，将三角板绕点O顺时针旋转一个角度． ①如图2，当为直角时，______． ②如图3，在转动过程中，E为线段上的一点，．若时，求的值． 【答案】(1)④⑤ (2) (3)①；② 【分析】（1）利用三角板的角度性质将各选项的角逐一进行组合，无法组合即为不能画出的角； （2）根据平角的定义及角的和差，即可得出答案； （3）①利用角的和差关系，即可得出答案； ②根据，得到，从而，进而得出，，根据列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，含有角的直角三角板和含有角的直角三角板，其对应的角度分别为：、、，、、， ①，利用一副三角板能画出角； ②，利用一副三角板能画出角； ③，利用一副三角板能画出角； ④一副三角板的角度无论如何组合都无法组成，利用一副三角板不能画出角； ⑤一副三角板的角度无论如何组合都无法组成，利用一副三角板不能画出角． 综上所述，利用一副三角板画不出来的角是④⑤． （2）解：∵，， ∴． （3）解：①∵是直角， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ②∵，， ∴， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴． 【课后检测】 1．小明的爸爸前年存了一个2年期存款，年利率为，今年到期后得到利息是704元．设小明的爸爸前年存了x元，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵ 本金为元，存期2年，年利率为，到期利息为704元， ∴ 可列方程为． 2．2026年“吴越杯”浙江省城市足球联赛开赛，规定胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分．某队在10场比赛中负了2场，共积20分，求该队的胜场数．设该队胜了x场，则x满足的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】总比赛10场，负2场，胜场，则平场，胜场总积分为分，平场总积分为分，再由总积分为20分，列出关于的一元一次方程即可． 【详解】解：总比赛10场，负2场，胜场，则平场，胜场总积分为分，平场总积分为分， ∵总积分为20分， ∴． 3．某商场周年庆期间，对销售的某种商品按成本价提高后标价，又以9折（即按标价的）优惠卖出，结果每件商品仍可获利85元，设这种商品每件的成本是x元，根据题意，可得到的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等量关系“售价=成本+利润”，依次表示出标价和实际售价，即可列出方程． 【详解】解：设这种商品每件的成本是元， ∵商品按成本价提高后标价， ∴标价为元， ∵又按标价的打折卖出， ∴实际售价为元， ∵获利85元，根据“售价=成本+利润”， ∴列方程得． 4．小川今年4岁，他爸爸今年36岁，几年后他爸爸的年龄是小川的年龄的3倍？设年后爸爸的年龄是小川的年龄的3倍，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设年后爸爸的年龄是小川年龄的倍，根据年后爸爸年龄等于倍的年后小川年龄这一等量关系，即可列出一元一次方程． 【详解】解：设年后爸爸的年龄是小川年龄的倍， ∴年后小川的年龄为 岁，年后爸爸的年龄为 岁， 根据题意得： ． 5．某车间有22名工人，每人每天可生产1200个螺钉或2000个螺母，1个螺钉配2个螺母．设x名工人生产螺钉，可列方程（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将配套关系转化为螺母总数量是螺钉总数量2倍的等量关系，据此列方程． 【详解】解：∵生产螺钉的工人数为人， ∴生产螺母的工人数为人， ∴每天生产螺钉总数为个，生产螺母总数为个． ∵1个螺钉配2个螺母，即螺母总数量是螺钉总数量的2倍， ∴． 6．小美决定在方格表中的各个单元格内填入数，使得四个可能的正方形内的各数的总和相同．如图所示，其中三个角落处单元格内的数已经写好了．问她应该在位于第四个角落的单元格里写什么数？（     ） A．0 B．1 C．4 D．5 【答案】B 【分析】用分别表示方格中另外5个数，设第四个角落的单元格里的数为，根据题意列出相应的式子即可求解． 【详解】解：如图，用分别方格中另外5个数，设第四个角落的单元格里的数为， ∵四个可能的正方形内的各数的总和相同， ∴， 即， ∴， 同理，， 即， ∴， ∴第四个角落的单元格里的数为1． 7．洛书是中国古代流传下来的神秘图案，又称脉络图、龟书，被认为是表述天地空间变化脉络的图案，在今天看来它就是一个三阶幻方．如图1，是由九个数字组成的三阶幻方，其每行、每列、每条对角线上的三个数之和都为15．如图2，是一个未完成的三阶幻方，要使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于21，则的值为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】利用幻方每行、每列、每条对角线之和相等的性质，先通过第三列求出右下角的数，再利用主对角线求出即可． 【详解】解：由题意得，， 解得， 由题意得，， ∴， 解得． 8．苹果比桃子多20个，如果每天吃2个苹果、1个桃子，桃子吃完后，苹果还剩5个．原来苹果（     ）个． A．33 B．37 C．35 D．36 【答案】C 【分析】设一共吃了天． 则桃子有个，苹果有个．苹果比桃子多20个，据此列出方程并解方程即可． 【详解】解：设一共吃了天． 则桃子有个，苹果有个． ∵苹果比桃子多20个， ∴． 解得． 苹果数量为． 9．幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一．“洛书”即三阶幻方，它的每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．如图是一个不完整的三阶幻方，根据图文信息可知的值是（     ） x 5 6 y A． B．0 C．12 D．22 【答案】A 【分析】以第一行的和表示幻和，结合幻方各行列、对角线和相等的性质，逐步推导的值后代入计算. 【详解】解：设幻和为， 由第一行得， 则第三行第一列的数为， 根据右上到左下的对角线的和为，得到中间数为 根据 第二行的和为，得到 ， 解得； 则第三行第三列的数为， ∵ 左上到右下的对角线的和为， ∴ ， 解得； ∴ . 10．如图，将一个长为，宽为的长方形沿虚线剪开，拼接成为一个缺角（也是一个小正方形）的大正方形，则缺少的这个小正方形的边长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据大正方形的边长都相等，，列出，再整理，即可作答． 【详解】解：依题意，得 设去掉的小正方形的边长为， ∵大正方形的边长都相等， 则， 解得：， 11．一件商品的标价是100元，打八折出售后可获利，这件商品的进价是_______元． 【答案】 【分析】根据题意得到等量关系：实际售价标价进价，设未知数列方程求解． 【详解】解：设这件商品的进价为元，根据题意列方程得： ， 解得：， ∴这件商品的进价是元． 12．幻方最早起源于我国，古人称之为“纵横图”．在如表所示的幻方中，填写了一些数和汉字（其中每个汉字都表示一个数），若每一横行、每一竖列，以及两条斜对角线上的三个数之和都相等，则这个幻方中“安”字对应的数为______________． 我 爱 西 2 3 安 5 【答案】 【分析】先利用主对角线与第一列的和相等求出“西”代表的数，再通过第二行和等于幻和求出，得到幻和后即可计算“安”对应的数． 【详解】解：由题意，主对角线上三个数的和为，即幻和为； 设“西”对应的数为， ∵第一列三个数的和等于幻和， ∴， 解得； ∵第二行三个数的和等于幻和， ∴， 解得； 因此幻和为， 设“安”对应的数为， ∵第三行三个数的和等于幻和， ∴， 解得． 13．汽车A从甲站出发开往乙站，同时汽车B、C从乙站出发与A相向而行开往甲站，途中A与B相遇20分钟后再与C相遇．已知A、B、C的速度分别是每小时，，，那么甲乙两站的路程是___________． 【答案】 【分析】设A与B相遇时间为小时，20分钟换算为小时，根据总路程不变，利用两次相遇的路程和相等列方程求解． 【详解】解：设汽车A出发小时后与汽车B相遇，20分钟小时，甲乙两站路程为， ∵ A与B相遇时，两车行驶的路程和等于甲乙两站的总路程， ∴ ； ∵ A与B相遇后再经过小时后与C相遇，此时A和C行驶的总时间为小时，路程和也等于总路程， ∴ ， 联立两式得： ， 故， 整理，得 ， 解得 ， 将代入，得； 故甲乙两站的路程为． 14．用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放： 则第_______个图形中有颗黑色棋子． 【答案】 【分析】根据每多一个图形便增加颗棋子，推导出第个图形有颗棋子，然后代数求值即可． 【详解】解：∵第一个图形有颗棋子， 第二个图形有颗棋子， 第三个图形有颗棋子， 第四个图形有颗棋子， ∴第个图形有颗棋子， 令， 解得， 即第个图形有颗棋子． 15．某商品每件标价为150元，若按标价打8折后，再降价10元销售，仍获利，则该商品每件的进价为多少元？ 【答案】该商品每件的进价为元． 【分析】设该商品每件的进价为x元，结合售价、进价与利润率的关系列方程求解． 【详解】解：设该商品每件的进价为x元， 根据题意得，， 解得， 答：该商品每件的进价为元． 16．工程应用题： 某工程队承接一项修路工程，实际每天修路的长度是原计划的1.2倍，结果提前5天完成任务．已知原计划每天修路100米，求这项工程的总修路长度． 【答案】这项工程总修路长度为3000米 【分析】设原计划完成任务需要天，则实际用时天，实际每天修路：（米），再根据工作总量不变建立方程求解． 【详解】解：设原计划完成任务需要天，则实际用时天． 实际每天修路：（米） 由题意得： 解得 总长度：（米） 答：这项工程总修路长度为3000米． 17．如图，数轴上一点M沿数轴向右移动4个单位长度到达点N，再向左移动10个单位长度到达点P． (1)若点M与数轴原点重合，求点M，N，P所表示的数的和； (2)若点M，点P所表示的数互为相反数，求点N表示的数． 【答案】(1) (2)7 【分析】（1）先根据数轴的特征求出点M，N，P所表示的数，再求和即可； （2）设点M表示的数为，由题意得，则点N表示的数为，点P表示的数为，再由相反数的性质建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，点M表示的数为0， 则点N表示的数为， 点P表示的数为， ∴点M，N，P所表示的数的和为； （2）解：设点M表示的数为， 由题意得，则点N表示的数为， 点P表示的数为， ∵点M，点P所表示的数互为相反数， ∴ 解得 ∴点N表示的数为． 18．如图，点A，B是数轴上两点，点A对应的数为a，点B对应的数为b，满足 (1)____，____； (2)点P从A出发以每秒2个单位向右运动，运动时间为t秒，当时，求t的值； 【答案】(1)，4； (2)t的值为4.5或9 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，； （2）解：由题意得，点P表示的数为， ∴，， ∵， ∴， 解得或， ∴t的值为4.5或9． 19．如图，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，是最小的正整数，且、满足． (1) ， ， ； (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则数轴上折痕所表示的数为 ，点与数 表示的点重合． (3)动点、同时从原点出发，点向负半轴运动，点向正半轴运动，点的速度是点速度的倍，秒钟后，点到达点． ①点的速度是每秒 个单位． ②点到达点后，改变方向，按原速度向负半轴方向运动，再经过多少秒，点与点能相遇，并求出相遇时点的位置所对应的数？ 【答案】(1)，1，6 (2)2，3 (3)①3②4秒；相遇时位置对应的数是 【分析】（1）根据绝对值的非负性和最小的正整数即可求出的值． （2）先求出的距离，利用折叠的性质再求出点到折痕数的距离，即可求出折痕数，利用点求出折痕数到点的距离，即可求出与重合的数． （3）①根据题意，点走过的路程为2，时间为2，由路程、速度、时间的关系即可求出． ②设再经过秒钟，点与点能相遇，根据追及问题的方法，用行驶的距离减去行驶的距离等于距离即可得出答案． 【详解】（1）解：， ，， ，． 是最小的正整数， ． （2）解：表示，表示6， ， 将数轴折叠，使得点与点重合， 点到折痕的数的距离是， 折痕数是． 表示的数是1， 到折痕数的距离是， 与点重合的数是． （3）解：①从原点出发到达点， 所走的距离是， 走了2秒到达点， ． 点的速度是点速度的倍， ． ②设再经过秒，点与点相遇，则， ， ， 再经过4秒，点与点相遇． 所走的距离是， 表示， 相遇时的位置所对应的数是． 20．秋季来临，某新款运动鞋比较受年轻人喜爱，黑龙江总代理张老板就用480000元购进2000双这款运动鞋，计划每天销售200双，实际销售时超过计划数的部分用正数表示，不足计划数的部分用负数表示，这批运动鞋在前7天的销售情况记录如下： 销售天数 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 每天超出或不足计划数的部分（单位：双） (1)这七天共销售运动鞋多少双？ (2)计划这批运动鞋全部售完后共获利，则每双鞋的定价应为多少元？ (3)若前七天销售的运动鞋均以（2）中的定价售出，按此定价继续销售，以第五天的销售量又销售两天后，没有售出的运动鞋按七折销售很快售完，求这批运动鞋全部销售后张老板共盈利多少元？（其他费用忽略不计） 【答案】(1)这七天共销售运动鞋1440双 (2)每双鞋的定价应为300元 (3)这批运动鞋全部销售后张老板共盈利102000元 【分析】（1）根据正负数的意义列式计算即可； （2）设每双鞋的定价应为x元．利用总利润、销售单价、销售数量、进货总价的关系列出关于x的一元一次方程求解即可； （3）利用总利润、销售单价、销售数量、进货总价求解即可． 【详解】（1）解： （双）． 答：这七天共销售运动鞋1440双． （2）解：设每双鞋的定价应为x元． 根据题意： ． 答：每双鞋的定价应为300元． （3）解：第五天的实际销售量：（双）， 第8、9天共销售：（双）， 剩余运动鞋数量：（双） 总销售额：（元）； 张老板共盈利：（元） 答：这批运动鞋全部销售后张老板共盈利102000元． 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 55 页 第 1 页 共 55 页 学科网（北京）股份有限公司 $