第13讲 角（讲义：考点整理+题型归纳+探究式学习+课后检测）2026-2027学年北师大版七年级数学上册

简一数理 初中专题讲义 第13讲 角 （新教材北师大版） 知识点一：角的定义 2 知识点二：角的相关换算 2 知识点三：余角、补角、角平分线 2 【题型1 角的概念理解】 3 【题型2 角的表示方法】 5 【题型3 角的分类】 8 【题型4 画特殊角】 10 【题型5 钟面角】 12 【题型6 方向角的表示】 14 【题型7 与方向角有关的计算题】 16 【题型8 角的单位与角度制】 20 【题型9 角的度数大小比较】 22 【题型10 角的比较】 24 【题型11 三角板中角度计算问题】 26 【题型12 几何图形中角度计算问题】 28 【题型13 角度的四则运算】 30 【题型14 实际问题中角度计算问题】 32 【题型15 角平分线的计算问题】 35 【题型16 角N等分线的有关计算】 37 【题型17 尺规作图作一个角等于已知角】 41 【探究式学习】 45 【课后检测】 51 【复盘笔记】 62 知识点一：角的定义 （1）静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角．这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边，可以无限延伸． （2）动态定义：由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形叫做角．处于初始位置的那条射线叫做角的始边，终止位置的那条射线叫做角的终边． 表示方法：①通常用三个字母表示：两条边上的点的字母写在两旁，顶点上的字母写在中间． ②用一个大写字母来表示：这个大写字母一定要表示角的顶点，而且以它为顶点的角只有一个． ③用数字或希腊字母来表示：可以用希腊字母（，，，，, ...）表示角的大小。为避免混淆，符号π一般不用来表示角度。 【例】 或 知识点二：角的相关换算 ①1度分（），1分秒（）； ②1周角，1平角，1直角； ③1周角平角，1平角直角． 知识点三：余角、补角、角平分线 补角：如果两个角的和是，那么这两个角互为补角，简称互补．等角或同角的补角相等． 如果，则与互补；反之，如果与互补，则． 余角：如果两个角的和是，那么这两个角互为余角，简称互余．等角或同角的余角相等． 如果，则与互余；反之，如果与互余，则． 角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线． 射线OC是的角平分线，． 【题型1 角的概念理解】 【例1】给出下列说法：①射线与射线是同一条射线；②连接两点之间的线段，叫做这两点间的距离；③若，则点是线段的中点；④角的大小与角的两边的长短无关．其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】解：①射线端点为，向方向延伸，射线端点为，向方向延伸，端点不同，延伸方向不同，不是同一条射线，故①错误； ②两点间距离的定义是连接两点之间的线段的长度叫作这两点间的距离，不是线段本身，故②错误； ③若，当点不在线段上时，点不是线段的中点，故③错误； ④角的大小只与角两边张开的程度有关，与角两边的长短无关，故④正确； 综上，正确的说法只有1个． 【变式1-1】下列说法：①平角是一条直线；②射线是直线的一半；③射线与射线表示同一射线；④用一个放大10倍的放大镜去看一个角，这个角的度数不变；⑤；⑥连接两点间的线段叫做这两点的距离，其中错误的有（     ）个． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据角、射线、直线、度分换算关系、两点间距离的基本概念，逐一判断说法正误，统计错误个数即可得到答案． 【详解】解：① 平角是由公共端点的两条反向射线组成的图形，不是直线，∴①错误； ② 射线和直线都是无限延伸的，无法比较长度，不能说射线是直线的一半，∴②错误； ③ 射线端点为A，射线端点为B，端点不同，不是同一条射线，∴③错误； ④ 角的大小只与两边张开的程度有关，放大镜不改变角的张开程度，因此角度数不变，∴④正确； ⑤ ∵，∴，，∴⑤错误； ⑥ 两点间距离是连接两点的线段的长度，不是线段本身，∴⑥错误； 综上，错误的说法共有5个． 【变式1-2】下列说法中正确的有（   ）个 ①如果，那么点C为线段的中点；②射线和射线是同一条射线；③有公共点的两条射线组成的图形叫做角；④连接两点间的线段，叫做这两点间的距离；⑤点C在线段上，点M、N分别是线段的中点．若，则线段． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【分析】本题主要考查了射线的表示方法，线段中点的定义，与线段中点有关的计算，两点之间的距离等等，熟知相关知识是解题的关键．当点B不在线段上时，点B不为线段的中点，据此可判断①；射线中端点相同，延伸方向相同的射线才是同一条射线，据此可判断②；根据角的定义判断③；连接两点的线段的长度叫做这两点间的距离，据此可判断④；根据线段中点的定义和线段的和差关系推出，据此可判断⑤． 【详解】解：①若，当点C在线段上时，点C为线段的中点，当点C不在线段上时，点C不为线段的中点，原说法错误； ②射线和射线不是同一条射线，原说法错误； ③有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，原说法错误； ④连接两点间的线段的长度叫做这两点的距离，原说法错误； ⑤∵点C在线段上，，分别是线段的中点， ∴， ∴， ∴当，，原说法正确； 正确的有：⑤，共1个， 故选：D． 【变式1-3】下列说法错误的是（　　） A．角是由两条有公共端点的射线组成的图形 B．周角的一半叫平角 C．可转化为 D．直线是平角 【答案】D 【分析】本题考查了角的相关概念及度分秒的换算，熟练掌握角的相关概念及度分秒的换算是解题的关键．根据角的相关概念及度分秒的换算逐项分析判断，即可判断答案． 【详解】A、角是由有公共端点的两条射线组成的图形，此说法正确，不符合题意； B、周角的一半是平角，此说法正确，不符合题意； C、，所以此说法正确，不符合题意； D、直线不是平角，此说法不正确，符合题意． 故选D． 【题型2 角的表示方法】 【例2】下列说法中，正确的有（   ） ①射线与射线表示同一条射线； ②； ③两点之间的线段的长度叫作这两点之间的距离； ④将一根细木条固定在墙上，至少需要2个钉子，可以用“两点确定一条直线”来解释； ⑤如图，也可用表示． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了射线的定义、度分秒的换算、两点间距离的定义、直线的性质以及角的表示方法，根据相关定义逐项分析即可得出结果，熟练掌握相关定义是解此题的关键． 【详解】解：①射线与射线表示不同的射线，故原说法错误，不符合题意； ②，故原说法错误，不符合题意； ③两点之间的线段的长度叫作这两点之间的距离，故原说法正确，符合题意； ④将一根细木条固定在墙上，至少需要2个钉子，可以用“两点确定一条直线”来解释，故原说法正确，符合题意； ⑤如图，不能用表示，故原说法错误，不符合题意； 综上所述，正确的有③④，共个， 故选：B． 【变式2-1】下列选项中的两个语句（分号隔开）表述的含义不一致的是（   ） A．画直线l，使点A在直线l上；经过点A画直线l B．延长线段；反向延长线段 C．延长线段至点C，使；延长线段至点C，使 D．画的平分线；画射线，使 【答案】D 【分析】本题考查了几何语句的含义一致性，解题的关键是逐一分析每个选项中两个语句是否表达相同操作或结果，判断即可． 【详解】解：A、画直线l，使点A在直线l上；与经过点A画直线l，均表示过点A作直线l，含义一致，故此选项正确，不符合题意； B、延长线段；与反向延长线段，都是从A向B的方向延长，含义一致，故此选项正确，不符合题意； C、延长线段至点C，使；与延长线段至点C，使，两个表述均使点B为线段的中点，含义一致，故此选项正确，不符合题意； D、画的平分线；与画射线，使，射线可能在的外部，而角平分线必在角内，含义不一致，故此选项错误，符合题意； 故选：D． 【变式2-2】对于如图所示的角，描述错误的是（    ） A．与表示同一个角 B．若是的平分线，则 C． D．可以用表示 【答案】D 【分析】本题考查角的表示方法，角平分线的定义，角的和差关系；根据角度表示的方法：可以在角的两边上各取一个点，将角的顶点放在中间，用三个大写字母表示一个角；也可用一个希腊字母表示一个角；当一个顶点处只有一个角时，可用顶点的大写字母表示这个角，据此判断A、D选项；用角平分线的定义、角的和差关系可判断B、C选项． 【详解】解：A、由图可知：与表示同一个角，故A不符合题意； B、由角平分线的定义可得：若是的平分线，则，故B不符合题意； C、由图可知：，故C不符合题意； D、当一个顶点处有两个或两个以上角时，不能用顶点的大写字母表示角，不可以用表示，故D符合题意． 故选：D． 【变式2-3】如图，点为线段外一点，，，，为上任意四点，连接，，，，下列结论：①以为顶点的角有15个； ②若平分，平分，，则 ③若为的中点，为的中点，则； ④若，，则．其中正确的有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题综合考查了角平分线和线段中点的相关计算．根据角的表示方法可得以O为顶点的角的个数，判断①；根据角平分线的定义，以及角之间的和差关系，进行求解，判断②；根据线段的中点，进行求解，判断③；根据，，得到，判断④． 【详解】解：以O为顶点的角有个，故①正确； 由角平分线的定义可得：，， ∵， ∴ ∴， ∴， ， ∴， 故②正确； 由中点定义可得：，， ∴， ∵, ∴，故③正确； ∵，， ∴， ∴，即，故④错误； 故选：C. 【题型3 角的分类】 【例3】下列说法正确的是（  ） A．整数可分为正整数和负整数 B．两个负数和的绝对值一定等于它们绝对值的和 C．多项式的项是 D．平角是一条直线 【答案】B 【分析】本题考查整数的分类、绝对值性质、多项式项的定义以及平角的概念． 逐一判断各选项的正误即可． 【详解】解：整数包括正整数、负整数和零，选项A忽略零，A错误； 设两个负数，则，即，又，∴，∴B正确； 多项式的项是，C错误； 平角是由两条射线组成的角，度数为，不是一条直线，D错误； 故选：B． 【变式3-1】下列各图中有关角的表示正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据角的表示方法，平角、射线、周角的定义分析判断即可． 【详解】解：图1中，角的顶点为，应表示为； 图2表示正确； 图3，射线和周角是两个概念，射线不能表示周角； 图4表示正确． 所以表示正确的个数为2． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了角的表示方法、平角、射线、周角等知识，理解并掌握相关知识是解题关键． 【变式3-2】α为锐角，β为钝角．甲、乙、丙、丁计算的结果依次为，其中只有一个正确的结果，那么算得结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据锐角钝角的定义确定和的取值范围，推导得到的取值范围，对比选项得到正确结果. 【详解】∵为锐角，为钝角. ∴，， ∴， ∴， 四个结果中，只有在该范围内； ∴正确结果为. 【变式3-3】下列说法：①；②是二次三项式；③除以一个数，等于乘这个数的倒数；④一个平角就是一条直线；⑤两点确定一条直线，其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数的大小比较、多项式的定义、有理数的除法运算、角的定义及直线，熟练掌握各个定义及运算是解题的关键；根据各个概念及运算法则逐一判断每个说法的正误即可． 【详解】解：∵①，，∴，故①错误； ∵②中最高次项的次数为3，∴是三次三项式，故②错误； ∵③除以一个数（非零）等于乘其倒数，故③错误； ∵④平角是由两条射线组成的角，不是直线，故④错误； ∵⑤两点确定一条直线，故⑤正确； ∴正确个数为1个； 故选A． 【题型4 画特殊角】 【例4】如图所示，是一副三角尺，上边三角尺的三个角分别为，，，下边三角尺的三个角分别为，，，那么，在①；②；③；④中，可以用这副三角尺画出来的是（      ） A．①③ B．①④ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查了角的和差，熟练掌握角的和差是解题关键．根据角的和差求解即可得． 【详解】解：∵，，， ∴可以用这副三角尺画出来的是①③④， 故选：D． 【变式4-1】用一副三角板不能画出的角是（    ）． A．75° B．105° C．110° D．135° 【答案】C 【分析】105°=60°+45°，105°角可以用一副三角板中的60°角和45°角画；75°=45°+30°，75°角可以用一副三角板中的45°角和30°角画；135°=90°+45°，135°角可以用一副三角板中的直角和90°角或45°角画；110°角用一副三角板不能画出． 【详解】解：105°角可以用一副三角板中的60°角和45°角画； 75°角可以用一副三角板中的45°角和30°角画； 110°角用一副三角板不能画出； 135°角可以用一副三角板中的直角和90°角或45°角画。 故选：C． 【点睛】本题考查了利用一副三角板画出的特殊角，找出规律是解决此类题的最好方法，应让学生记住凡是能用一副三角板画出的角的度数都是15°的整数倍． 【变式4-2】如图，是平角，过点B任作一条射线，得到与．当分别是什么角时，？ 【答案】当是锐角（即）时，； 当是钝角（即）时，； 当是直角（即）时，． 【分析】首先根据平角的定义，确定，以此作为推导的基础条件．如果要判断和的大小关系，那么可以结合两个角的和为，将大小比较转化为和的大小比较．结合锐角、直角、钝角的定义，对应的不同类型，分别推导对应的两个角的大小关系． 【详解】解：已知是平角， ∴： 当是锐角，即时， ∵： 得是钝角，即， ∴； 当是钝角，即时， 得是锐角，即， ∴； 当是直角，即时， 得是直角，即， ∴． 【变式4-3】用三角尺画出的角．随后用量角器量一量，比一比谁画的角最为准确． 【答案】 【分析】本题为实操画图题，画出特殊角，通过量角器验证准确度即可． 【详解】解：画图略；用量角器分别测量各角的度数，比较各角的准确度即可． 【题型5 钟面角】 【例5】下列说法： 画射线；分时，时针和分针的夹角为；若，，则；若，则为线段的中点；⑤植树时栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一条直线上，依据的数学原理是两点确定一条直线．其中正确的个数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据射线的定义，钟表夹角计算，度分秒换算，线段中点的定义，直线的基本性质，逐一判断每个说法即可得到正确个数． 【详解】解：① 射线一端无限延伸，不可度量长度，故①错误． ② ，时针位置角度为，分针位置角度为， ∴夹角为，故②正确． ③ ，， ∴，故③错误． ④ 若点不在同一直线上，即使，也不是线段的中点，故④错误． ⑤ 栽下两棵树就能确定同一条直线，依据的数学原理是两点确定一条直线，故⑤正确． 综上，正确的说法共有2个， 故选：C． 【变式5-1】2026年1月20日10时30分，钟表的时针与分针所成角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵ 钟表一圈为，分针分钟转一圈， ∴ 分针每分钟转， ∵ 时针小时转一圈， ∴ 时针每分钟转， 10时30分，分针从12点位置转过的角度为， 时针从12点位置转过的角度为， ∴ 时针与分针的夹角为． 【变式5-2】下午2 时30分，时钟的分针与时针所成的角的度数为 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了钟面角，计算钟面角，时针每分钟走，分针每分钟走，分别求出2时30分时时针和分针的位置，再求夹角，熟练掌握分针每分钟转，时针每分钟转是解此题的关键． 【详解】解：∵钟面一圈，12小时格，每格；分针每分钟转，时针每分钟转， ∴在2时整，时针指向，分针指向， ∵经过30分钟，分针转，时针转， ∴时针指向， ∵分针指向180°， ∴夹角为， 故选：C． 【变式5-3】钟表时分时，时针与分针的夹角为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了钟面角，熟练掌握时钟上一大格是、分针每分钟移动，时针每分钟移动是解题的关键． 先求出钟表时，时针与分针的夹角，再求出移动分钟时，分针和时针移动的度数，最后求出钟表时分时，时针与分针的夹角即可． 【详解】解：∵时钟上一大格是， ∴以钟表点刻度为参考，顺时针方向为正，那么钟表时，时针与分针的夹角（大于180度的角）， ∵分针每分钟移动，时针每分钟移动， ∴移动分钟时，分针移动，时针移动了， ∴钟表时分时，时针与分针的夹角为：． 故选：A． 【题型6 方向角的表示】 【例6】一艘轮船由地向南偏西的方向行驶40海里到达地，再由地向北偏西的方向行驶40海里到达地，则、相距（     ）海里． A．30 B．40 C．60 D．50 【答案】B 【分析】由与长度相等，想到通过计算夹角的度数判定三角形形状，进而求解的长度． 【详解】解：如图 由题意得海里， ∵轮船从地向南偏西行驶到地， ∴在的北偏东方向， 又∵在的北偏西方向， ∴， ∴是等边三角形， ∴海里． 【变式6-1】如图，，则射线的方向是（   ） A．东偏北 B．北偏东 C．北偏东 D．北偏东 【答案】B 【分析】本题主要考查了方位角和度分秒的换算，正确的识别图形是解题的关键．根据方位角的概念，看图正确表示出方位角，即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴射线的方向是北偏东． 故选：B． 【变式6-2】为了提高学生体质，2025年新学期国家出台了“中小学课间延长至15分钟，每天1节体育课”政策，孩子们有了更多时间进行体育锻炼．如图，有一次大课间，A、B两处均有学生在练跳绳，为了减少练跳绳时相互干扰，小红同学就拿着跳绳走到了的平分线上的C处，则C处相对观测点O的方向为（   ） A．东偏南 B．南偏东 C．东偏南 D．南偏东 【答案】B 【分析】本题考查了方位角与角的和与差，根据A、B两点的方位可知，根据点C在的平分线上，可知，因为．所以C处相对观测点O的方向为南偏东． 【详解】解：如图：，， ∴， 由条件可知， ∴， ∴C处相对观测点O的方向为南偏东． 故选：B． 【变式6-3】指南针是中国古代四大发明之一．如图，某手机上的指南针显示的方位角为西北时，对应的方向角为北偏西；当指南针显示的方位角为东南时，对应的方向角为（   ） A．北偏东 B．北偏东 C．南偏东 D．南偏东 【答案】C 【分析】本题考查方位角的表示，根据四个方位将四等分，根据进而得出对应的方向角，即可求解． 【详解】解：∵指南针显示的方位角为西北时，对应的方向角为北偏西； ∴当指南针显示的方位角为东南时， 即对应的方向角为南偏东 故选：C． 【题型7 与方向角有关的计算题】 【例7】如图，已知，，是的平分线，，则（     ） A．射线的方向为北偏东 B．射线的方向为北偏东 C．射线的方向为南偏西 D．射线的方向为南偏西 【答案】D 【分析】根据角之间的关系分别求出和的度数，即可求出射线和射线的方位角，根据求出的方位角判断正误即可． 【详解】解：，， ， 是的平分线， ， ， 射线的方向为北偏东， 故A、B选项错误； ， ， ， ， ， ， 射线的方向为南偏西， 故C选项错误，D选项正确． 【变式7-1】如图，是北偏东方向的一条射线，射线与射线互相垂直，则射线所在的方位是（     ） A．东偏北 B．西偏北 C．北偏西 D．北偏西 【答案】D 【分析】利用垂直关系计算射线与正北方向的夹角，从而确定其方位． 【详解】解：如图， 根据题意可知，， 又， ， ， 射线所在的方位是北偏西． 【变式7-2】如图，图中是某航海区域的情况，在灯塔附近有A，B，C，D，E，F，6座海轮，其中到灯塔的距离为，海轮在灯塔和海轮的中点处．且，．则下列说法正确的是（    ） ①若海轮的速度为，则海轮抵达灯塔最少需要20分钟； ②； ③； ④在灯塔的北偏东的方向上． A．①④ B．①② C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了方向角的定义、度分秒的换算以及角的和差计算．根据路程、速度、时间的关系判断①；利用角的和差关系及度分秒换算判断②③；根据方向角的定义判断④即可． 【详解】解：海轮到灯塔的距离为，速度为， 抵达灯塔需要的时间为小时分钟， 故①正确； ， 故②错误； 、 ，，在同一直线上， 故③正确； ，正北方向与夹角为， 在灯塔的北偏东的方向上， 故④正确； 综上所述，说法正确的是①③④． 【变式7-3】2026年4月20日是春季的最后一个节气——谷雨．古人观察发现，每日初昏（日落小时）时分，北斗七星的位置较前一天绕北极星沿东→南→西→北的方向移动了大约．古人将观察到的结果与气候和农耕结合，创造了二十四节气．如图，谷雨这天初昏时分北斗七星的斗柄指向辰位（南偏东），古人称“斗指辰，雨生百谷”．观察图形，立春初昏时分斗柄指向的方向与谷雨初昏时分斗柄指向的方向的夹角约为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题干图得到立春初昏时分斗柄指向的方向，进而计算即可． 【详解】解：由图可知立春初昏时分斗柄指向的方向为东偏北， ∵谷雨这天初昏时分北斗七星的斗柄指向辰位（南偏东）， ∴谷雨这天初昏时分北斗七星的斗柄指向东偏南， ∴立春初昏时分斗柄指向的方向与谷雨初昏时分斗柄指向的方向的夹角约为． 【题型8 角的单位与角度制】 【例8】下列结论正确的是（     ） A．单项式 的系数是 B．近似数 精确到百分位 C．两点间的距离就是连接这两个点的线段 D． 【答案】D 【分析】根据单项式系数的定义分析A；依据近似数的精确度规则判断B；结合两点间距离的定义辨析C；将角度统一单位后比较大小确定D． 【详解】解：A、单项式的系数是，不是，此选项不符合题意； B、，“6”对应百位，故精确到百位，不是百分位，此选项不符合题意； C、两点间的距离是连接两点的线段的长度，不是线段本身，此选项不符合题意； D、，，此选项符合题意． 【变式8-1】下列说法正确的是（   ） A．线段，则点C是线段的中点 B．射线和射线是同一条射线 C．用度、分、秒表示为 D．两点之间的线段叫做两点之间的距离 【答案】C 【分析】本题考查线段中点、射线、度分秒换算、两点间距离的基础概念，只需逐一辨析各选项正误即可，掌握基础知识点是解题关键． 【详解】解：A．当点C不在线段上时，即使，点C也不是线段的中点，故选项A错误，不符合题意． B．射线的端点为A，射线的端点为B，端点不同，不是同一条射线，故选项B错误，不符合题意． C．∵ ，， ∴ ，故选项C正确，符合题意． D．两点之间的距离是两点之间线段的长度，不是线段本身，故选项D错误，不符合题意． 综上，选C． 【变式8-2】下列说法正确的是（    ） A．线段，则点是线段的中点 B．两点之间的线段叫做两点之间的距离 C．用度、分、秒表示为 D．射线和射线是同一条射线 【答案】C 【分析】本题考查了线段中点、两点间距离、度分秒换算及射线的定义，解题的关键是准确掌握相关概念的定义与换算规则； 对选项A需注意点C不一定在线段上；对选项B需区分线段与距离的定义；对选项C需掌握度分秒的换算方法；对选项D需注意射线的端点与方向． 【详解】解：A、若线段，点C不一定在线段上，因此点C不一定是线段的中点，此选项不符合题意． B、两点之间的线段的长度叫做两点之间的距离，而非线段本身，此选项不符合题意． C、，，故，此选项符合题意． D、射线的端点是A，射线的端点是B，二者不是同一条射线，此选项不符合题意． 故选：C． 【变式8-3】下面是小明同学元旦假期用手机截屏提交完成的作业内容，如图所示，他做对的题数是（    ） 3.8963（精确到百分位）≈3.90 的系数是，次数是4 比较大小： 与是同类项 A．1道 B．2道 C．3道 D．4道 【答案】B 【分析】本题考查近似数、单项式的系数与次数、角度换算、同类项的相关知识，需逐一判断每道题的正误，统计做对的题数． 【详解】解：∵3.8963精确到百分位，千分位数字为6，四舍五入后，，∴该题正确； ∵的系数是，次数为所有字母指数和，∴该题正确； ∵ ∴，该题错误； ∵与中相同字母的指数不相同，不是同类项，∴该题错误． 综上，做对的题数是2道． 故选：B． 【题型9 角的度数大小比较】 【例9】以下说法中①一批水果质量一定，按每箱质量相等分装，则装箱数与每箱的质量成反比例关系；②“把弯曲的河道改直，河道长度变短”的依据是“两点确定一条直线”；③若，，则；④代数式的意义是与3的和的2倍；⑤在木条上只要钉两个钉子，木条就被固定在木板上，这说明“两点之间，线段最短”．完全正确的是（   ） A．②③⑤ B．①③④ C．②④⑤ D．①②④ 【答案】B 【分析】根据反比例关系的判定，线段性质，角度换算，代数式的意义，直线的性质逐一判断每个说法的正误即可得到答案． 【详解】解：①：∵总质量=装箱数×每箱质量，总质量一定，即装箱数与每箱质量的乘积为定值， ∴装箱数与每箱质量成反比例关系，故①正确.； ②：“把弯曲的河道改直，河道长度变短”的依据是“两点之间，线段最短”，不是“两点确定一条直线”，故②错误； ③：∵，， ∴，故③正确； ④：代数式的意义是与的和的倍，故④正确； ⑤：钉两个钉子固定木条，依据是“两点确定一条直线”，不是“两点之间，线段最短”，故⑤错误； 综上，正确的说法为①③④． 【变式9-1】某同学假期提交完成的作业内容，用手机截屏如图所示，他做对的题是（　　） ①3.8963（精确到百分位） ②的系数是，次数是3③比较大小： ④与是同类项 A．①④ B．①② C．①③ D．②④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了近似数、单项式的系数和次数、角度换算以及同类项等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．根据近似数的定义、单项式的系数和次数的定义、角度换算法则以及同类项的定义，逐一分析判断，即可获得答案． 【详解】解：①3.8963（精确到百分位），该题正确； ②的系数是，次数是3，该题正确； ③比较大小：，该题错误； ④与不是同类项，该题错误． 综上所述，他做对的题是①②． 故选：B． 【变式9-2】下列说法正确的是（    ） A．如果，那么 B．建筑工人砌墙时，经常先在两端立柱拉线，然后沿着线砌墙，这其中蕴含的道理是“两点确定一条直线” C． D．将一个长方形的平面绕一条边所在的直线旋转一周便得到圆柱体现了“线动成面” 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的性质、直线的基本事实、角度的换算以及点线面体的关系，解题的关键是熟练掌握这些基础数学概念并准确辨析． 对每个选项所涉及的知识点进行判断即可解答． 【详解】A．如果，那么，而不只是，故本选项错误，不符合题意； B．建筑工人砌墙时，先在两端立柱拉线，然后沿着线砌墙，蕴含的道理是两点确定一条直线，这个说法是正确的，符合题意； C．，，所以，故本选项错误，不符合题意； D．将一个长方形的平面绕一条边所在的直线旋转一周得到圆柱体，这体现了面动成体，而不是线动成面，故本选项错误，不符合题意； 故选：B． 【变式9-3】下列说法正确的是（   ） A．工人砌墙时在两端的位置分别插一根木桩，原理是：两点之间，线段最短 B．连接两点之间的线段就是两点之间的距离 C． D．若，则点是线段的中点 【答案】C 【分析】本题考查了两点确定一条直线，两点间的距离，角度比较，中点定义，根据两点确定一条直线，两点间的距离，角度比较，中点定义逐一分析各选项的正确性，结合几何基本概念和单位换算进行判断，掌握相关概念是解题的关键． 【详解】解：、工人砌墙插木桩的原理应为“两点确定一条直线”，而非“两点之间线段最短”，不符合题意； 、两点之间的距离是连接它们的线段的长度，而非线段本身，不符合题意； 、由，符合题意； 、若，点可能在线段外（如点延长线上），此时不是中点，不符合题意； 故选：． 【题型10 角的比较】 【例10】已知和，移动将点与点重合，射线与射线重合，射线和射线置于重合边的同侧，如果射线在的外部，那么下列说法正确的是（     ） A． B． C． D．无法判断和的大小 【答案】A 【分析】根据利用叠合法比较角的大小的方法逐项判断即可． 【详解】解：由题意，将的顶点与的顶点重合，边与重合，与在重合边同侧， 射线在的外部， . 【变式10-1】如图，在的正方形网格中，记，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了角的比较． 根据网格线得出，进而判断出；再由网格线得出，，进而求出，最后由网格线得出，，进而判断出，即可得出结论． 【详解】解：由图知， ， ∴； 由图知，，， ∴， 由图知，，， ∴， ∴， 故选：B． 【变式10-2】如图，将一副三角板叠在一起使直角顶点重合于点O，（两块三角板可以在同一平面内自由转动），下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角板中的角度运算、角的大小比较，正确根据图形进行角的运算与比较是解题的关键．根据角的和差关系以及角的大小比较的方法，并结合图形计算后即可得出结论． 【详解】解：A、与的大小关系不确定，故此结论不一定成立，不符合题意； B、的值不固定，故此结论不一定成立，不符合题意； C、∵， ∴， ∴， 即，故此结论一定成立，符合题意； D、∵， ∴， 即，故此结论不成立，不符合题意； 故选：C． 【变式10-3】有如下说法：①直线是一个平角；②如果线段，则是线段的中点；③在同一平面内，，，；④两点之间，线段最短．其中正确的有（　　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据平角的定义、中点定义、角的和差以及两点之间，线段最短的性质直接判断即可． 【详解】解：①直线是一个平角，角是由有公共端点的两条射线组成的，故错误； ②如果线段，则是线段的中点；M不一定在线段AC上，故错误； ③在同一平面内，，，；射线OC不一定在∠AOB内部，故错误； ④两点之间，线段最短．正确， 故选：A． 【点睛】本题考查了平角的定义、线段中点的定义、角的和差和线段的性质，准确掌握定义，画出图形是解题关键． 【题型11 三角板中角度计算问题】 【例11】将一块含有的等腰直角三角板按照如图方式摆放，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等腰直角三角板的性质可知其在直线上的角为 ，利用平角的定义及对顶角性质建立 与 的关系，即可求解． 【详解】解： 三角板是含有 的等腰直角三角板 ， 三角板在直线上的角为 ， ∴ 与 的邻补角构成直角， ， ， ， ． 【变式11-1】只用一副三角尺，不可作出下列哪一种角（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查用一副三角尺作角的方法，需借助三角尺的固有角度（、、、），通过角度的和差运算判断能否作出选项中的角； 【详解】解：∵一副三角尺的角度为、、、， ∴，可作出， ，可作出， ，，可作出， 无法通过上述角度的和或差运算得到，不可作出， ∴不可作出的角是， 故选：C． 【变式11-2】一副三角板按如图位置摆放，其右侧两顶点重合．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角板中角度的计算，根据，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 【变式11-3】如图，将一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角板中角度计算问题，掌握角的和差计算是解题的关键．根据题意可得，求出的度数，再根据，即可求解． 【详解】解：，， ， 又， ． 故选：C． 【题型12 几何图形中角度计算问题】 【例12】如图，光线射到镜面AB上的点O处，入射光线与镜面的夹角为，嘉琪通过尺规作图作出了经过镜面反射后的光线．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由作图可得，再根据角的和差求解即可． 【详解】解：由作图可得， ∴ ． 【变式12-1】如图，是的平分线，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，，可得的度数，由是的平分线，可得的度数，进而可得的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴． 【变式12-2】已知：在同一平面内，，，且是的角平分线，则（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分两种情况讨论，当在的内部时，先求，再用角平分线求，进而得；当在的外部时，同理进行计算即可． 【详解】解：当在的内部时，如图1所示， ，， ， 是的角平分线， ， ； 当在的外部时，如图2所示， ，， ， 是的角平分线， ， ； 综上所述，的度数为或． 【变式12-3】如图，点在一条直线上，是的平分线，且，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由是的平分线，，得，；由邻补角可求得，结合，解得，进而即可求解． 【详解】解：∵是的平分线，且， ∴， ∵点在同一直线上， ∴ ， ∵， ， ∴ ∴， ∴． 【题型13 角度的四则运算】 【例13】如图，甲从点出发向北偏东方向走向点，乙从点出发向南偏西方向走向点，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了方向角，由所给方向角可得到，再利用角的和差可得． 【详解】解：如图， 由题意，得，，， ∴， ∴ ， 故选：B． 【变式13-1】如图，射线的方向是北偏东，若，则射线的方向是（   ） A．北偏西 B．北偏西 C．东偏北 D．东偏北 【答案】B 【分析】本题主要考查了方位角的计算，熟练掌握“方位角的定义及角度的和差运算”是解题的关键．先根据的方向确定其与北方向的夹角，再结合，计算与北方向的夹角，从而确定的方向． 【详解】解：∵射线的方向是北偏东，， ∴与正北方向的夹角为， ∴射线的方向是北偏西， 故选：． 【变式13-2】下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查度分秒的换算，熟练掌握该知识点是解题的关键． 根据度分秒的换算，逐一计算判断即可． 【详解】解：A、∵，，， ∴，选项说法错误，不符合题意； B、，，选项说法错误，不符合题意； C、，选项说法正确，符合题意； D、，选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 【变式13-3】如图，若、是的三等分线，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的有关计算和度分秒的换算，熟记概念并准确识图是解题的关键． 根据三等分线的定义可得，进而求得的度数，再根据即可求解． 【详解】 、是的三等分线， ， ， ， ； 故答案为：D 【题型14 实际问题中角度计算问题】 【例14】入射光线和平面镜的夹角为，转动平面镜，使入射角减小，反射光线与入射光线的夹角和原来相比较将（    ） A．减小 B．减小 C．减小 D．不变 【答案】C 【分析】要知道入射角和反射角的概念：入射光线与法线的夹角，反射角是反射光线与法线的夹角，在光反射时，反射角等于入射角． 【详解】解：入射光线与平面镜的夹角是，所以入射角为． 根据光的反射定律，反射角等于入射角，反射角也为，所以入射光线与反射光线的夹角是． 入射角减小，变为，所以反射角也变为，此时入射光线与法线的夹角为． 则反射光线与入射光线间的夹角和原来比较将减小． 故选：C． 【点睛】本题考查了有关角的计算，首先要熟记光的反射定律的内容，搞清反射角与入射角的关系，特别要掌握反射角与入射角的概念，它们都是反射光线和入射光线与法线的夹角． 【变式14-1】钟面上3点20分时，时针与分针的夹角度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】时针走一分钟是0.5°，分针走一分钟是6°，利用角度之间数量关系进行求解即可． 【详解】解：由题意，得 （6-0.5）×20°-90°=110°-90°=20°， 故选：A． 【点睛】本题考查钟面角问题，熟知时针和分针所走的度数，找出角度之间的关系是解决问题的关键． 【变式14-2】如图，小明从A处沿南偏西方向行走至点B处，又从点B处沿北偏西方向行走至点E处，则∠ABE＝（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据方位角以及平行线的性质可得∠2=∠3=、∠1=，则∠ABE＝∠1+∠2，最后计算即可． 【详解】解：如图： ∵小明从A处沿南偏西方向行走至点B处，又从点B处沿北偏西方向行走至点E处 ∴∠2=∠3=，∠1= ∴∠ABE＝∠1+∠2=138°． 故答案为D． 【点睛】本题主要考查了方位角和角的运用，正确认识方位角成为解答本题的关键． 【变式14-3】已知：如图1，点A，O，B依次在直线上，现将射线绕点O沿顺时针方向以每秒的速度旋转；同时射线绕点O沿逆时针方向以每秒的速度旋转．如图2，设旋转时间为t秒（）．下列说法正确的是（    ） A．整个运动过程中，不存在的情况 B．当时，两射线的旋转时间t一定为20秒 C．当t值为36秒时，射线恰好平分 D．当时，两射线的旋转时间t一定为40秒 【答案】C 【分析】由题意知，；当时，；当时，；令，计算求解可判断选项A的正误；令，，计算求解可判断选项B、D的正误；将代入，求出的值，然后根据求解的值，根据与的关系判断选项C的正误． 【详解】解：由题意知，；当时，；当时，； 令，即，解得秒， ∴存在的情况； 故A错误，不符合题意； 令，即，解得秒， 令，即，解得秒， ∴当时，两射线的旋转时间t不一定为20秒； 故B、D错误，不符合题意； 当时，， ∴， ∵， ∴射线恰好平分， 故C正确，符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了角的运算，角平分线等知识．解题的关键在于正确的表示各角度． 【题型15 角平分线的计算问题】 【例15】下列说法正确的是（   ） A．连接两点的线段叫做这两点的距离 B．若，则点P为线段的中点 C．过两点有且只有一条直线 D．把一个角分成两个角的射线叫作这个角的角平分线 【答案】C 【详解】解：A、 两点间距离的定义为连接两点的线段的长度叫做这两点间的距离，并非线段本身，∴ A错误； B、若，只有点在线段上时，才是线段的中点，点不在线段上时不符合中点定义，∴ B错误； C、直线的基本性质为过两点有且只有一条直线，∴ C正确； D、角平分线的定义是从角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线叫做角平分线，题干未说明分成两个相等的角，不符合定义，∴ D错误． 【变式15-1】定义：若两个角的度数差的绝对值等于，则称这两个角互为“优角”，其中一个角是另一个角的“优角”．如，，，则和互为“优角”．如图，，射线平分，在的内部．若，则图中互为“优角”的共有（   ） A．3对 B．7对 C．5对 D．9对 【答案】B 【分析】本题考查了新定义及角的和差关系，掌握角的和差是解题的关键．根据互为“优角”的定义进行解答即可． 【详解】解：∵，射线平分， ∴； ∵ ∴互为“优角”； ∵， ∴互为“优角”； ∵ ∴互为“优角”； ∵ ∴互为“优角”； ∵ ∴互为“优角”； ∵ ∴互为“优角”； ∵ ∴互为“优角”； 故共有7对角互为“优角” 故选∶B． 【变式15-2】如图，平分，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线，角的计算．熟练掌握角平分线的定义，角的和差倍分关系，是解答本题的关键． 由角平分线的定义得，再根据，得，结合，即可得出的度数． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴． 故选：A． 【变式15-3】如图，，分别平分，，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、角的和与差，根据角平分线的定义可知，，根据角之间的关系可得． 【详解】解：，分别平分，， ，， ， ． 故选：C． 【题型16 角N等分线的有关计算】 【例16】如图，已知射线OC平分∠AOB，射线OD，OE三等分∠AOB，又OF平分∠AOD，图中等于∠BOE的角共有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据角平分线的定义和三等分线分析求解即可. 【详解】解：∵射线OD，OE三等分∠AOB， ∴ ∵OF平分∠AOD，OC平分∠AOB， ∴ 又∵射线OD，OE三等分∠AOB， ∴ ∴,共3个 故选C. 【点睛】利用角平分线和角的三等分点证明角的等量关系是本题的解题关键. 【变式16-1】定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为（    ） A．或或 B．或或 C．或或 D．或或 【答案】C 【分析】分四种情况，分别计算，即可求解． 【详解】解：如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 综上，为或或， 故选：C． 【点睛】本题考查了角的有关计算，画出图形，采用分类讨论的思想是解决本题的关键． 【变式16-2】如图，设锐角的度数为，若一条射线平分，则图中所有锐角的和为．若四条射线五等分，则图中所有锐角的和为(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角度的计算，角的数量问题，根据题意可得每一个小角的度数为，进而将所有角的度数相加即可求解． 【详解】∵四条射线五等分， ∴每个小角的度数为．如图， 图中所有锐角的和为 ， 故选：A． 【变式16-3】已知是的平分线，，平分，设，则（   ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查角平分线的定义，角的和与差，角的n等分线．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．分类讨论：当位于内部时和当位于外部时，解答即可． 【详解】解：如图1，当位于内部时， ∵，是的平分线， ∴． ∵， ∴，． ∵平分， ∴， ∴； 如图2，当位于外部时， ∵，是的平分线， ∴． ∵， ∴，． ∵平分， ∴， ∴； 综上可知或． 故选：A． 【题型17 尺规作图作一个角等于已知角】 【例17】如图，已知，嘉淇用尺规作出了，其中点为射线上一点，以下是乱排的作图过程： ①连接并延长交于点； ②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点； ③以点为圆心，以长为半径作弧，交前面的弧于点； ④以点为圆心，以任意长为半径作弧，交于点，交于点． 则正确的作图顺序为（    ） A．①③②④ B．①②③④ C．④③①② D．④②③① 【答案】D 【详解】解：先以点为圆心，以任意长为半径作弧，交于点，交于点；再以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；然后以点为圆心，以长为半径作弧，交前面的弧于点；最后连接并延长交于点即可． 即正确的作图顺序为④②③①． 【变式17-1】图1、图2是一个基本作图的痕迹，则下列说法正确的是（     ）. A．这个基本作图是作角的平分线 B．弧①是以为圆心，以任意长为半径所画的弧 C．弧②是以为圆心，以任意长为半径所画的弧 D．弧③是以为圆心，以长为半径所画的弧 【答案】B 【分析】本题考查作一个角等于已知角的尺规作图．通过分析图1和图2的作图痕迹，可还原完整作图过程，并逐项验证选项． 【详解】解：图1的作图为：以点为圆心，任意长为半径画弧①，交角两边于点， 图2的作图为：画射线，以点为圆心，长为半径画弧②，交于点，以点为圆心，长为半径画弧③，与弧②相交于一点，连接与该交点，得所求角， 选项：这个基本作图是作角的平分线，不符合题意，本题是作一个角等于已知角，故选项错误； 选项：弧①是以为圆心，以任意长为半径所画的弧，符合题意，故选项正确； 选项：弧②是以为圆心，以任意长为半径所画的弧，不符合题意，弧②半径应为的长，而非任意长，故选项错误； 选项：弧③是以为圆心，以长为半径所画的弧，不符合题意，弧③半径应为的长，而非的长，故选项错误． 【变式17-2】如图，平面上有四个点、、、，根据下列语句画图： (1)画线段、交于点； (2)作射线； (3)尺规作图：在下方作．（保留作图痕迹） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据线段的定义画图即可； （2）根据射线的定义画图即可 （3）根据作一个角等于已知角的尺规作图步骤，进行作图即可．（以点为圆心，任意长度为半径画弧，分别交于一点（可记作点），交于另一点（可记作点）；以点为圆心，以的长度为半径画弧，两弧的交点可记作点；连接并延长，即可得到射线，此时．） 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【变式17-3】按要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，如图，已知线段和． (1)作； (2)在射线上截取线段． 【答案】(1)如图，即为所求 (2)如图，即为所求， 【详解】（1）略 （2）略 【探究式学习】 1．爱思考的小明同学在学习了《基本的平面图形》之后，对以下关于线段和角的问题分别进行了深入探究． (1)【初步探究】已知，是线段上的点，，分别是线段，的中点，，．小明发现：线段与线段，之间存在一定的数量关系． ①如图1，当时，线段的长为___________；（用含，的式子表示） ②如图2，当时，线段的长为___________；（用含，的式子表示） (2)【类比探究】如图3，，已知射线，在的内部，且．若有射线，分别平分，，请帮助小明同学求的度数；（用含，的式子表示） (3)【拓展延伸】小明同学将一块含角的三角板的顶点和的顶点重合，并分别在，的内部作射线，．已知，（），，． ①如图4，小明同学先将三角板放置于的内部，且使，则___________；（用含，k的式子表示） ②小明同学又把三角板和按如图所示方式摆放（点在射线上，在左侧），再将三角板绕点在所在的平面内逆时针方向转动．若，，（），问在三角板转动的过程中是否存在，使得？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①，② (2)或 (3)①；②存在，或 【分析】（1）分类讨论，根据线段的和差关系，即可求解； （2）分类讨论，当时，当时，分别画出图形，根据角度的和差关系，即可求解； （3）①先求出，根据，，最后求出； ②分三种情况讨论：当时，当时，当时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）①当时， ∵，是线段上的点，，分别是线段，的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②当时， ∵，是线段上的点，，分别是线段，的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）①如图，当时， ∵射线，分别平分，， ∴，，   ∴，       ∵，， ∴；              ②如图，当时， ∵射线，分别平分，， ∴，，                   ∴                    ∵，， ∴； （3）①∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴ ∴ ； ②存在； 当时，如图所示： 根据类比（1）可得：此时， ∴当时，符合题意， 此时， 解得：； 当时，如图所示： 根据旋转可得：，， ∵平分平分， ∴，， ∴， ∴， ∴当时，符合题意， 此时， 解得：； 当时，如图所示： 根据旋转可得：，， ∵平分平分， ∴，， ∴， ∴， ∵此时， ∴此时不可能是的2倍； 综上，当或时，． 2．【实践操作】三角尺中的数学实践活动课上，“奋进”小组将一副直角三角尺的直角顶点叠放在一起，如图，使直角顶点重合于点． 【问题发现】 (1)①填空：如图，若，则的度数是_____，的度数_____，的度数是______． ②如图，你发现与的大小有何关系？与的大小又有何关系？请直接写出你发现的结论． 【类比探究】 (2)如图2，当与没有重合部分时，上述②中你发现的结论是否还依然成立？请说明理由． 【答案】(1)①，，；②， (2)解：当与没有重合部分时，上述②中你发现的结论依然成立，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴上述②中你发现的结论依然成立． 【分析】（1）①根据角的和差关系及直角的定义分别求解即可； ②根据余角的性质可得，根据角的和差关系可得； （2）利用可得；利用周角定义得，根据，即可得到． 【详解】（1）解：①由题意可知，， ∵， ∴，， ∴． ②，．理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）解：略 【课后检测】 1．如图，比较各角的大小，下列说法不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用角的包含关系来判断角的大小即可． 【详解】解：由图可得，，，，，故ACD正确，B错误． 2．10点整，钟表的时针和分针所成锐角的度数是（     ） A．15° B．30° C．40° D．60° 【答案】D 【分析】钟面被平均分成12个大格，计算出每个大格所对应的圆心角的度数，再根据10点整时，时针与分针之间的大格数来计算它们所成锐角的大小． 【详解】解：∵钟表一圈为，共12个大格， ∴每个大格的度数为． ∵10点整时，时针指向10，分针指向12，二者间隔2个大格， ∴所成锐角的度数为． 3．下列语句中，叙述准确规范的是（     ） A．直线a，b相交于点m B．连接，并且平分 C．射线和射线是同一条射线 D．延长线段至点B，使 【答案】D 【分析】由题意依据交点的表示方法、射线的概念，角平分线的定义以及线段的概念进行判断即可． 【详解】解：A选项，点需用大写英文字母表示，点为小写，表述不规范； B选项，连接的操作无法保证平分，叙述逻辑不成立，表述不规范； C选项，射线的端点为表示射线的第一个字母，射线端点为，射线端点为，不是同一条射线，表述错误； D选项，延长线段至点，使，符合线段延长的叙述规范，表述正确． 4．8时30分，钟表的时针与分针所成的角的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据钟面角的性质求解即可． 【详解】解：∵钟面一圈为，共12个大格， ∴每个大格对应． ∵8时30分时，分针指向6，时针经过8后又走了半小时， ∴时针在8与9的正中间， ∴时针与分针间隔个大格， ∴夹角为． 5．下列说法与图的几何图形相符的是（     ） A．点在直线上 B．射线与射线是同一条射线 C．也可以表示为 D．直线与直线为同一条直线 【答案】D 【分析】观察图形，根据点与直线的位置关系、射线的定义、角的表示方法及直线的性质逐一判断． 【详解】解：、点在直线上，故错误； 、射线的端点是，射线的端点是，所以射线与射线不是同一条射线，故错误； 、以为顶点的角不止一个，所以不可以表示为，故错误； 、点都在直线上，，所以直线与直线为同一条直线，故正确． 6．下列说法：①射线和射线是同一条射线；②钟表显示9点，此时时针与分针的夹角是；③若，则点C是线段的中点；④连接两点之间的线段就是这两点之间的距离；⑤是二次三项式．其中说法正确的个数有（    ） A．2个 B．1个 C．4个 D．3个 【答案】B 【详解】解：①射线和射线的端点和方向不同，不是同一条射线，故原说法错误； ②钟表显示9点，此时时针与分针的夹角是，故原说法正确； ③若点C在线段上，且，则点C是线段的中点，故原说法错误； ④连接两点之间的线段的长度就是这两点之间的距离，故原说法错误； ⑤是三次三项式，故原说法错误． 7．已知，在同一平面内，，射线在的外部，平分，平分，若，则的度数为（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】根据射线在外部的两种不同位置分类讨论，利用角平分线的定义和角的和差关系计算即可得到结果． 【详解】解：由题意，分两种情况讨论： ①如图1，当和分别在两侧时， ∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴； ②如图2，当和分别在两侧时， ∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴； 综上，的度数为或． 8．将一张长方形纸片按如图所示方式折叠，为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为、，若的度数为，则用含的代数式表示的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用角的和差以及翻折的性质进行求解． 【详解】解：根据翻折的性质可得，， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴． 9．如图所示，以下描述错误的是（   ） A．点A位于点B的北偏西方向 B．点A位于点C的北偏东方向 C．点C位于点B的北偏西方向 D．点B位于点A的南偏东方向 【答案】C 【分析】根据正北或正南方向线与目标方向线所成的小于的角叫做方向角，结合图示逐项判断即可． 【详解】解：由图可知，点A位于点B的北偏西方向，点C位于点A的南偏西方向， ∴点B位于点A的南偏东方向，点A位于点C的北偏东方向， ∴， ∵， ∴， ∴点C位于点B的北偏西方向， ∴选项C描述错误． 10．如图，某海域有三个小岛、、，在小岛处观测到小岛在它北偏东的方向上，观测到小岛在它南偏东的方向上，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： ． 11．下午点分时，时针与分针的夹角是___________°． 【答案】 【分析】本题考查了钟面角，根据钟面角的定义，分别计算时针和分针的位置，再求其夹角的度数，利用时针与分针相距的份数乘以每份的度数是解题的关键． 【详解】解：点分，时针在与正中间，即； 分针在，即； 夹角． 12．计算：______． 【答案】/100度 【分析】根据角度的计算方法求解即可，注意角度值的进率为60． 【详解】解：． 13．如图，射线表示________方向，射线表示________方向． 【答案】 北偏东 南偏西 【详解】解：射线表示北偏东方向，射线表示南偏西方向． 14．如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交边，于点，；以点为圆心，长为半径画弧，分别交边，于点，；再以点为圆心，长为半径画弧，与弧交于点；作射线交边于点．则的度数为________度． 【答案】 【分析】根据“作一个角等于已知角”的尺规作图可得，，再计算即可求解． 【详解】解：由题可知，， ， ． 15．如图，已知，用直尺和圆规作一个角，使（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】如图，即为所求． 【详解】略 16．如图1，已知线段，，线段在线段上运动，E，F分别是，的中点． (1)若，则________cm． (2)当线段在线段上运动时，试判断的长度是否发生变化．如果不变，请求出EF的长度；如果变化，请说明理由． (3)我们发现，角的很多规律和线段一样． ①如图2，已知在的内部转动，，分别平分和．若，，求的度数． ②由此，请猜想，和之间的数量关系：________． 【答案】(1)10 (2)不变， (3)①；② 【分析】（1）欲求，需求．已知，需求．由，分别是，的中点，得，，那么，进而解决此题； （2）与（1）同理解答即可； （3）①欲求，需求．已知，需求．由，分别平分和，得，，进而解决此题；②与①同理解答即可． 【详解】（1）解：分别是，的中点， ， 又 ． （2）解：不变， ，分别是，的中点， ，， ， ，，， ， ． （3）解：①分别平分和， ， ， 又， ， ， ， ②由①得：， ， ， ． 17．解答以下问题 (1)数学课上，王老师让同学们准备一副三角板，并利用它们画出一些角，例如、、、等，小明利用三角板画出了一个的角，小乐利用三角板画出了一个的角，你还能用一副三角板画出多少度的角？_______（写出个即可，要求小于） (2)小明将一个角的直角三角板的一边与直线重叠，在直线上方，，另一个的直角三角板与三角板共顶点，，并且，平分． ①当两个三角板如图1所示放置时，用含的代数式表示的度数_______； ②如果三角板固定不动，三角板可以绕点转动（角的大小可以变化），当三角板的一边平分时，求的度数． 【答案】(1)、 (2)①；②的度数为或 【分析】（1）运用角的和与差的计算即可得出答案，只要是的倍数的角都可以画出来； （2）分平分和平分两种情况，利用角平分线的定义及角的和差关系分别求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，一副三角板中有、、、的角， ∵，，，，，， ∴还能用一副三角板画出、、、、、的角． （2）解：①∵，，， ∴， ∵平分， ∴． ②如图，当平分时， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 如图，当平分时， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 综上所述：的度数为或． 18．如图，，，，分别是，的角平分线． (1)若，，当绕着点逆时针旋转至射线与重合时（如图），则的大小为 ； (2)在（1）的条件下，继续绕着点逆时针旋转，当时（如图），求的大小并说明理由； (3)在绕点逆时针旋转过程中， ．（用含，的式子表示）． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)或 【分析】（1）根据角平分线的定义、角的和差关系进行解答即可； （2）根据角平分线的定义、角的和差关系进行解答即可； （3）根据题意，分两种情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：如图， ∵，分别是，的角平分线， ∴，， ∴． 又∵，，即， ∴． （2）解：如图， ∵，平分， ∴． ∵，平分， ∴， ∴． ∴． （3）解：如图，，， ∵，，，分别是，的角平分线， ∴易得； 同理，当是钝角且的两边都不在内部时， ； 故答案是：或． 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 63 页 第 1 页 共 63 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 初中专题讲义 第13讲 角 （新教材北师大版） 知识点一：角的定义 2 知识点二：角的相关换算 2 知识点三：余角、补角、角平分线 2 【题型1 角的概念理解】 3 【题型2 角的表示方法】 3 【题型3 角的分类】 5 【题型4 画特殊角】 5 【题型5 钟面角】 6 【题型6 方向角的表示】 6 【题型7 与方向角有关的计算题】 7 【题型8 角的单位与角度制】 8 【题型9 角的度数大小比较】 9 【题型10 角的比较】 10 【题型11 三角板中角度计算问题】 11 【题型12 几何图形中角度计算问题】 11 【题型13 角度的四则运算】 12 【题型14 实际问题中角度计算问题】 13 【题型15 角平分线的计算问题】 14 【题型16 角N等分线的有关计算】 15 【题型17 尺规作图作一个角等于已知角】 15 【探究式学习】 17 【课后检测】 20 【复盘笔记】 25 知识点一：角的定义 （1）静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角．这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边，可以无限延伸． （2）动态定义：由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形叫做角．处于初始位置的那条射线叫做角的始边，终止位置的那条射线叫做角的终边． 表示方法：①通常用三个字母表示：两条边上的点的字母写在两旁，顶点上的字母写在中间． ②用一个大写字母来表示：这个大写字母一定要表示角的顶点，而且以它为顶点的角只有一个． ③用数字或希腊字母来表示：可以用希腊字母（，，，，, ...）表示角的大小。为避免混淆，符号π一般不用来表示角度。 【例】 或 知识点二：角的相关换算 ①1度分（），1分秒（）； ②1周角，1平角，1直角； ③1周角平角，1平角直角． 知识点三：余角、补角、角平分线 补角：如果两个角的和是，那么这两个角互为补角，简称互补．等角或同角的补角相等． 如果，则与互补；反之，如果与互补，则． 余角：如果两个角的和是，那么这两个角互为余角，简称互余．等角或同角的余角相等． 如果，则与互余；反之，如果与互余，则． 角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线． 射线OC是的角平分线，． 【题型1 角的概念理解】 【例1】给出下列说法：①射线与射线是同一条射线；②连接两点之间的线段，叫做这两点间的距离；③若，则点是线段的中点；④角的大小与角的两边的长短无关．其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-1】下列说法：①平角是一条直线；②射线是直线的一半；③射线与射线表示同一射线；④用一个放大10倍的放大镜去看一个角，这个角的度数不变；⑤；⑥连接两点间的线段叫做这两点的距离，其中错误的有（     ）个． A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1-2】下列说法中正确的有（   ）个 ①如果，那么点C为线段的中点；②射线和射线是同一条射线；③有公共点的两条射线组成的图形叫做角；④连接两点间的线段，叫做这两点间的距离；⑤点C在线段上，点M、N分别是线段的中点．若，则线段． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式1-3】下列说法错误的是（　　） A．角是由两条有公共端点的射线组成的图形 B．周角的一半叫平角 C．可转化为 D．直线是平角 【题型2 角的表示方法】 【例2】下列说法中，正确的有（   ） ①射线与射线表示同一条射线； ②； ③两点之间的线段的长度叫作这两点之间的距离； ④将一根细木条固定在墙上，至少需要2个钉子，可以用“两点确定一条直线”来解释； ⑤如图，也可用表示． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2-1】下列选项中的两个语句（分号隔开）表述的含义不一致的是（   ） A．画直线l，使点A在直线l上；经过点A画直线l B．延长线段；反向延长线段 C．延长线段至点C，使；延长线段至点C，使 D．画的平分线；画射线，使 【变式2-2】对于如图所示的角，描述错误的是（    ） A．与表示同一个角 B．若是的平分线，则 C． D．可以用表示 【变式2-3】如图，点为线段外一点，，，，为上任意四点，连接，，，，下列结论：①以为顶点的角有15个； ②若平分，平分，，则 ③若为的中点，为的中点，则； ④若，，则．其中正确的有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型3 角的分类】 【例3】下列说法正确的是（  ） A．整数可分为正整数和负整数 B．两个负数和的绝对值一定等于它们绝对值的和 C．多项式的项是 D．平角是一条直线 【变式3-1】下列各图中有关角的表示正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3-2】α为锐角，β为钝角．甲、乙、丙、丁计算的结果依次为，其中只有一个正确的结果，那么算得结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】下列说法：①；②是二次三项式；③除以一个数，等于乘这个数的倒数；④一个平角就是一条直线；⑤两点确定一条直线，其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型4 画特殊角】 【例4】如图所示，是一副三角尺，上边三角尺的三个角分别为，，，下边三角尺的三个角分别为，，，那么，在①；②；③；④中，可以用这副三角尺画出来的是（      ） A．①③ B．①④ C．②③④ D．①③④ 【变式4-1】用一副三角板不能画出的角是（    ）． A．75° B．105° C．110° D．135° 【变式4-2】如图，是平角，过点B任作一条射线，得到与．当分别是什么角时，？ 【变式4-3】用三角尺画出的角．随后用量角器量一量，比一比谁画的角最为准确． 【题型5 钟面角】 【例5】下列说法： 画射线；分时，时针和分针的夹角为；若，，则；若，则为线段的中点；⑤植树时栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一条直线上，依据的数学原理是两点确定一条直线．其中正确的个数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式5-1】2026年1月20日10时30分，钟表的时针与分针所成角的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】下午2 时30分，时钟的分针与时针所成的角的度数为 （　　） A． B． C． D． 【变式5-3】钟表时分时，时针与分针的夹角为（   ）． A． B． C． D． 【题型6 方向角的表示】 【例6】一艘轮船由地向南偏西的方向行驶40海里到达地，再由地向北偏西的方向行驶40海里到达地，则、相距（     ）海里． A．30 B．40 C．60 D．50 【变式6-1】如图，，则射线的方向是（   ） A．东偏北 B．北偏东 C．北偏东 D．北偏东 【变式6-2】为了提高学生体质，2025年新学期国家出台了“中小学课间延长至15分钟，每天1节体育课”政策，孩子们有了更多时间进行体育锻炼．如图，有一次大课间，A、B两处均有学生在练跳绳，为了减少练跳绳时相互干扰，小红同学就拿着跳绳走到了的平分线上的C处，则C处相对观测点O的方向为（   ） A．东偏南 B．南偏东 C．东偏南 D．南偏东 【变式6-3】指南针是中国古代四大发明之一．如图，某手机上的指南针显示的方位角为西北时，对应的方向角为北偏西；当指南针显示的方位角为东南时，对应的方向角为（   ） A．北偏东 B．北偏东 C．南偏东 D．南偏东 【题型7 与方向角有关的计算题】 【例7】如图，已知，，是的平分线，，则（     ） A．射线的方向为北偏东 B．射线的方向为北偏东 C．射线的方向为南偏西 D．射线的方向为南偏西 【变式7-1】如图，是北偏东方向的一条射线，射线与射线互相垂直，则射线所在的方位是（     ） A．东偏北 B．西偏北 C．北偏西 D．北偏西 【变式7-2】如图，图中是某航海区域的情况，在灯塔附近有A，B，C，D，E，F，6座海轮，其中到灯塔的距离为，海轮在灯塔和海轮的中点处．且，．则下列说法正确的是（    ） ①若海轮的速度为，则海轮抵达灯塔最少需要20分钟； ②； ③； ④在灯塔的北偏东的方向上． A．①④ B．①② C．①③④ D．①②③④ 【变式7-3】2026年4月20日是春季的最后一个节气——谷雨．古人观察发现，每日初昏（日落小时）时分，北斗七星的位置较前一天绕北极星沿东→南→西→北的方向移动了大约．古人将观察到的结果与气候和农耕结合，创造了二十四节气．如图，谷雨这天初昏时分北斗七星的斗柄指向辰位（南偏东），古人称“斗指辰，雨生百谷”．观察图形，立春初昏时分斗柄指向的方向与谷雨初昏时分斗柄指向的方向的夹角约为（    ） A． B． C． D． 【题型8 角的单位与角度制】 【例8】下列结论正确的是（     ） A．单项式 的系数是 B．近似数 精确到百分位 C．两点间的距离就是连接这两个点的线段 D． 【变式8-1】下列说法正确的是（   ） A．线段，则点C是线段的中点 B．射线和射线是同一条射线 C．用度、分、秒表示为 D．两点之间的线段叫做两点之间的距离 【变式8-2】下列说法正确的是（    ） A．线段，则点是线段的中点 B．两点之间的线段叫做两点之间的距离 C．用度、分、秒表示为 D．射线和射线是同一条射线 【变式8-3】下面是小明同学元旦假期用手机截屏提交完成的作业内容，如图所示，他做对的题数是（    ） 3.8963（精确到百分位）≈3.90 的系数是，次数是4 比较大小： 与是同类项 A．1道 B．2道 C．3道 D．4道 【题型9 角的度数大小比较】 【例9】以下说法中①一批水果质量一定，按每箱质量相等分装，则装箱数与每箱的质量成反比例关系；②“把弯曲的河道改直，河道长度变短”的依据是“两点确定一条直线”；③若，，则；④代数式的意义是与3的和的2倍；⑤在木条上只要钉两个钉子，木条就被固定在木板上，这说明“两点之间，线段最短”．完全正确的是（   ） A．②③⑤ B．①③④ C．②④⑤ D．①②④ 【变式9-1】某同学假期提交完成的作业内容，用手机截屏如图所示，他做对的题是（　　） ①3.8963（精确到百分位） ②的系数是，次数是3③比较大小： ④与是同类项 A．①④ B．①② C．①③ D．②④ 【变式9-2】下列说法正确的是（    ） A．如果，那么 B．建筑工人砌墙时，经常先在两端立柱拉线，然后沿着线砌墙，这其中蕴含的道理是“两点确定一条直线” C． D．将一个长方形的平面绕一条边所在的直线旋转一周便得到圆柱体现了“线动成面” 【变式9-3】下列说法正确的是（   ） A．工人砌墙时在两端的位置分别插一根木桩，原理是：两点之间，线段最短 B．连接两点之间的线段就是两点之间的距离 C． D．若，则点是线段的中点 【题型10 角的比较】 【例10】已知和，移动将点与点重合，射线与射线重合，射线和射线置于重合边的同侧，如果射线在的外部，那么下列说法正确的是（     ） A． B． C． D．无法判断和的大小 【变式10-1】如图，在的正方形网格中，记，则（   ） A． B． C． D． 【变式10-2】如图，将一副三角板叠在一起使直角顶点重合于点O，（两块三角板可以在同一平面内自由转动），下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式10-3】有如下说法：①直线是一个平角；②如果线段，则是线段的中点；③在同一平面内，，，；④两点之间，线段最短．其中正确的有（　　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型11 三角板中角度计算问题】 【例11】将一块含有的等腰直角三角板按照如图方式摆放，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式11-1】只用一副三角尺，不可作出下列哪一种角（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】一副三角板按如图位置摆放，其右侧两顶点重合．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式11-3】如图，将一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【题型12 几何图形中角度计算问题】 【例12】如图，光线射到镜面AB上的点O处，入射光线与镜面的夹角为，嘉琪通过尺规作图作出了经过镜面反射后的光线．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式12-1】如图，是的平分线，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式12-2】已知：在同一平面内，，，且是的角平分线，则（   ） A． B． C．或 D．或 【变式12-3】如图，点在一条直线上，是的平分线，且，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【题型13 角度的四则运算】 【例13】如图，甲从点出发向北偏东方向走向点，乙从点出发向南偏西方向走向点，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式13-1】如图，射线的方向是北偏东，若，则射线的方向是（   ） A．北偏西 B．北偏西 C．东偏北 D．东偏北 【变式13-2】下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式13-3】如图，若、是的三等分线，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【题型14 实际问题中角度计算问题】 【例14】入射光线和平面镜的夹角为，转动平面镜，使入射角减小，反射光线与入射光线的夹角和原来相比较将（    ） A．减小 B．减小 C．减小 D．不变 【变式14-1】钟面上3点20分时，时针与分针的夹角度数是（    ） A． B． C． D． 【变式14-2】如图，小明从A处沿南偏西方向行走至点B处，又从点B处沿北偏西方向行走至点E处，则∠ABE＝（　　） A． B． C． D． 【变式14-3】已知：如图1，点A，O，B依次在直线上，现将射线绕点O沿顺时针方向以每秒的速度旋转；同时射线绕点O沿逆时针方向以每秒的速度旋转．如图2，设旋转时间为t秒（）．下列说法正确的是（    ） A．整个运动过程中，不存在的情况 B．当时，两射线的旋转时间t一定为20秒 C．当t值为36秒时，射线恰好平分 D．当时，两射线的旋转时间t一定为40秒 【题型15 角平分线的计算问题】 【例15】下列说法正确的是（   ） A．连接两点的线段叫做这两点的距离 B．若，则点P为线段的中点 C．过两点有且只有一条直线 D．把一个角分成两个角的射线叫作这个角的角平分线 【变式15-1】定义：若两个角的度数差的绝对值等于，则称这两个角互为“优角”，其中一个角是另一个角的“优角”．如，，，则和互为“优角”．如图，，射线平分，在的内部．若，则图中互为“优角”的共有（   ） A．3对 B．7对 C．5对 D．9对 【变式15-2】如图，平分，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式15-3】如图，，分别平分，，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【题型16 角N等分线的有关计算】 【例16】如图，已知射线OC平分∠AOB，射线OD，OE三等分∠AOB，又OF平分∠AOD，图中等于∠BOE的角共有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式16-1】定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为（    ） A．或或 B．或或 C．或或 D．或或 【变式16-2】如图，设锐角的度数为，若一条射线平分，则图中所有锐角的和为．若四条射线五等分，则图中所有锐角的和为(   ) A． B． C． D． 【变式16-3】已知是的平分线，，平分，设，则（   ） A．或 B．或 C．或 D． 【题型17 尺规作图作一个角等于已知角】 【例17】如图，已知，嘉淇用尺规作出了，其中点为射线上一点，以下是乱排的作图过程： ①连接并延长交于点； ②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点； ③以点为圆心，以长为半径作弧，交前面的弧于点； ④以点为圆心，以任意长为半径作弧，交于点，交于点． 则正确的作图顺序为（    ） A．①③②④ B．①②③④ C．④③①② D．④②③① 【变式17-1】图1、图2是一个基本作图的痕迹，则下列说法正确的是（     ）. A．这个基本作图是作角的平分线 B．弧①是以为圆心，以任意长为半径所画的弧 C．弧②是以为圆心，以任意长为半径所画的弧 D．弧③是以为圆心，以长为半径所画的弧 【变式17-2】如图，平面上有四个点、、、，根据下列语句画图： (1)画线段、交于点； (2)作射线； (3)尺规作图：在下方作．（保留作图痕迹） 【变式17-3】按要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，如图，已知线段和． (1)作； (2)在射线上截取线段． 【探究式学习】 1．爱思考的小明同学在学习了《基本的平面图形》之后，对以下关于线段和角的问题分别进行了深入探究． (1)【初步探究】已知，是线段上的点，，分别是线段，的中点，，．小明发现：线段与线段，之间存在一定的数量关系． ①如图1，当时，线段的长为___________；（用含，的式子表示） ②如图2，当时，线段的长为___________；（用含，的式子表示） (2)【类比探究】如图3，，已知射线，在的内部，且．若有射线，分别平分，，请帮助小明同学求的度数；（用含，的式子表示） (3)【拓展延伸】小明同学将一块含角的三角板的顶点和的顶点重合，并分别在，的内部作射线，．已知，（），，． ①如图4，小明同学先将三角板放置于的内部，且使，则___________；（用含，k的式子表示） ②小明同学又把三角板和按如图所示方式摆放（点在射线上，在左侧），再将三角板绕点在所在的平面内逆时针方向转动．若，，（），问在三角板转动的过程中是否存在，使得？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 2．【实践操作】三角尺中的数学实践活动课上，“奋进”小组将一副直角三角尺的直角顶点叠放在一起，如图，使直角顶点重合于点． 【问题发现】 (1)①填空：如图，若，则的度数是_____，的度数_____，的度数是______． ②如图，你发现与的大小有何关系？与的大小又有何关系？请直接写出你发现的结论． 【类比探究】 (2)如图2，当与没有重合部分时，上述②中你发现的结论是否还依然成立？请说明理由． 【课后检测】 1．如图，比较各角的大小，下列说法不正确的是（     ） A． B． C． D． 2．10点整，钟表的时针和分针所成锐角的度数是（     ） A．15° B．30° C．40° D．60° 3．下列语句中，叙述准确规范的是（     ） A．直线a，b相交于点m B．连接，并且平分 C．射线和射线是同一条射线 D．延长线段至点B，使 4．8时30分，钟表的时针与分针所成的角的度数是（     ） A． B． C． D． 5．下列说法与图的几何图形相符的是（     ） A．点在直线上 B．射线与射线是同一条射线 C．也可以表示为 D．直线与直线为同一条直线 6．下列说法：①射线和射线是同一条射线；②钟表显示9点，此时时针与分针的夹角是；③若，则点C是线段的中点；④连接两点之间的线段就是这两点之间的距离；⑤是二次三项式．其中说法正确的个数有（    ） A．2个 B．1个 C．4个 D．3个 7．已知，在同一平面内，，射线在的外部，平分，平分，若，则的度数为（   ） A． B．或 C．或 D．或 8．将一张长方形纸片按如图所示方式折叠，为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为、，若的度数为，则用含的代数式表示的大小为（    ） A． B． C． D． 9．如图所示，以下描述错误的是（   ） A．点A位于点B的北偏西方向 B．点A位于点C的北偏东方向 C．点C位于点B的北偏西方向 D．点B位于点A的南偏东方向 10．如图，某海域有三个小岛、、，在小岛处观测到小岛在它北偏东的方向上，观测到小岛在它南偏东的方向上，则的度数是（   ） A． B． C． D． 11．下午点分时，时针与分针的夹角是___________°． 12．计算：______． 13．如图，射线表示________方向，射线表示________方向． 14．如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交边，于点，；以点为圆心，长为半径画弧，分别交边，于点，；再以点为圆心，长为半径画弧，与弧交于点；作射线交边于点．则的度数为________度． 15．如图，已知，用直尺和圆规作一个角，使（不写作法，保留作图痕迹）． 16．如图1，已知线段，，线段在线段上运动，E，F分别是，的中点． (1)若，则________cm． (2)当线段在线段上运动时，试判断的长度是否发生变化．如果不变，请求出EF的长度；如果变化，请说明理由． (3)我们发现，角的很多规律和线段一样． ①如图2，已知在的内部转动，，分别平分和．若，，求的度数． ②由此，请猜想，和之间的数量关系：________． 17．解答以下问题 (1)数学课上，王老师让同学们准备一副三角板，并利用它们画出一些角，例如、、、等，小明利用三角板画出了一个的角，小乐利用三角板画出了一个的角，你还能用一副三角板画出多少度的角？_______（写出个即可，要求小于） (2)小明将一个角的直角三角板的一边与直线重叠，在直线上方，，另一个的直角三角板与三角板共顶点，，并且，平分． ①当两个三角板如图1所示放置时，用含的代数式表示的度数_______； ②如果三角板固定不动，三角板可以绕点转动（角的大小可以变化），当三角板的一边平分时，求的度数． 18．如图，，，，分别是，的角平分线． (1)若，，当绕着点逆时针旋转至射线与重合时（如图），则的大小为 ； (2)在（1）的条件下，继续绕着点逆时针旋转，当时（如图），求的大小并说明理由； (3)在绕点逆时针旋转过程中， ．（用含，的式子表示）． 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 63 页 第 1 页 共 63 页 学科网（北京）股份有限公司 $