山东聊城市东昌府区度假区外国语（高新区文轩）中学等校2026-2027学年九年级上学期第一次 学情自测数学试题

2026–2027学年第一学期第一次学情调研 九年级数学试题 时间：120分钟　分值：120分 一、单选题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列关于的方程一定是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．把一元二次方程化成一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．如图，已知，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定的是（     ） A． B． C． D． 4．用配方法解一元二次方程，配方正确的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，点D在上，，交于E，则下列结论不正确的是（     ） A． B． C． D． 6．如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（     ） A． B． C． D． 7．在研究相似问题时，甲、乙两同学的观点如下： 甲：将边长为5、12、13的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距均为1，则新三角形与原三角形相似． 乙：将邻边为5和12的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似． 对于两人的观点，下列说法正确的是（   ） A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对 C．两人都对 D．两人都不对 8．规定：对于任意实数，，，，有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算．如：，则关于的方程的根的情况，下列说法正确的是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 9．在矩形中，由8个面积均为1的小正方形组成的型模板如图放置，则矩形的周长为（     ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，，点P从A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过ts时与相似，那么t的值为（     ） A．2 B．或2 C． D．或2 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11．若是关于x的一元二次方程，则m的值为______． 12．四边形的四边长分别是，，，，四边形四边形，四边形的最长边是，则四边形与四边形的相似比是________． 13．已知，分别是关于的方程的两个根，且满足，则的值为______． 14．黄金分割在生活中有着非常广泛的应用，如图，在国旗上的五角星中，两点都是线段的黄金分割点．若，则的长为______．（结果保留根号） 15．如图，在中，是的中点，是上靠近的三等分点，与交于点，若，则__________． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（本题满分12分）解下列方程； (1) (2) (3) 17．（本题满分8分）如图，等边的边长为2，点D，B，C，E在同一直线上，，． (1)求证：； (2)求的长． 18．（本题满分8 分）定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的“倒方程”是______； (2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出c的值； (3)m是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为_____． 19．（本题满分8分）《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南同学利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平（即），并且边与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，求树的高度． 20．（本题满分 10分）近年来，电商直播带货成了一个火热的职业．某电商在抖音平台上对一款成本为60元/件的服装进行直播销售，如果按每件100元销售，那么每天可售出20件．经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件，设每件服装降价x元（降价后不得低于成本）． (1)平均每天销售量增加 件，每件服装盈利 元．（用含x的代数式表示） (2)当每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元？ (3)商家平均每天盈利能达到1350元吗？请说明理由． 21．（本题满分8分）【主题】如何裁剪木板使面积最大． 素材1：利用配方法求解一元二次方程的解是常用的解题方法，这种方法还可以用来求解代数式的最值． 素材2：求解代数式的最大值． 解：原式． ∵， ∴， ∴ ∴的最大值为4． 【问题解决】 如图，有一块直角三角形木板的面积为，一条直角边长为，现王师傅要沿着边截一个矩形台面，D，G分别在边，上，，分别与，交于点M，H，求该矩形台面面积的最大值． 22．（本题满分11分）综合与实践 问题情境：数学活动课上，张老师要求学生对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边之间的数量关系进行探究，下面是他们的探究过程． (1)【数学思考】 如图1，在矩形中，，，，分别是，上的两点，连接，，于点，则________； (2)【深入探究】 如图2，在矩形中，，分别交，于点，，分别交，于点，．求证：； (3)【拓展延伸】 如图3，在中，，点在边上，连接，过点作于点，且的延长线交于点．若，，请求出的长． 23．（本题满分10分）如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边向点C以的速度移动，动点Q从点C开始沿边向点B以的速度移动，如果P，Q两点分别从A，C两点同时出发，当点Q运动到点B时，两点停止运动．设运动时间为． (1)当_________时，？当_________时，的长度为？ (2)连接，是否存在t的值，使得的面积为？若存在，请求出此时的t值；若不存在，请说明理由． (3)是否存在的值，使得的面积与四边形的面积之比等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 试卷第6页（共6页） 试卷第5页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 《2026–2027学年第一学期第一次学情调研九年级数学试题》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B C A D C A A C B 1．D 【解析】A、当时，该方程不含二次项，不是一元二次方程，所以该方程不一定是一元二次方程； B、方程含有，两个未知数，所以该方程不是一元二次方程； C、方程分母含未知数，不是整式方程，所以该方程不是一元二次方程； D、方程只含一个未知数，的最高次数为2，是整式方程，且二次项系数不为0，是一元二次方程． 2．B 【解析】整理得， 所以二次项系数为4，一次项系数为，常数项为． 3．C 【解析】 ， ，即， A、添加，根据两边对应成比例及夹角相等，则； B、添加，根据两角对应相等，则； C、添加，虽然两边对应成比例，但和不是它们的夹角，则和不一定相似； D、添加，根据两角对应相等，则． 4．A 【解析】 故选：A． 5．D 【解析】， ， ， ， ， ，故A正确； ， ， ，，故B、C正确，D错误． 6．C 【解析】若设停车场内车道的宽度为，则停车位通过平移可合成长为，宽为的矩形，根据题意得：． 7．A 【解析】如图： 由题知，，延长， 则，， ， 同理可得，， ， 即新三角形与原三角形相似，甲是对的； 如图： 由题知，， ， 新矩形与原矩形不相似，乙不对． 故选：A． 8．A 【解析】由题意得：， ∴ ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：． 9．C 【解析】由题意得：8个小正方形的边长均为1， ∴，，， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， 在中，，即， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴矩形的周长为． 10．B 【解析】由题意，得，． ，， ． ①当时， ， ， ， ， 解得； ②当时， ， ， ， ， 解得， 综上所述，的值为或2． 11． 【解析】∵方程是关于的一元二次方程， ∴需满足， 由解得或又由得， ∴． 12． 【解析】四边形的四边长分别是，，，， 四边形的最长边为， 四边形四边形，四边形的最长边是， 四边形与四边形的相似比是． 13．12 【解析】∵，分别是关于的方程的两个根， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴一元二次方程为： ， 检验判别式： ， ∴方程有两个实根， 值符合题意． 14． 【解析】设，则， ∵两点都是线段的黄金分割点， ∴， ∴， ∴，整理得， 解得：，（舍去）， ∴， 故答案为：． 15．3 【解析】过点E作，交于点， 在中，∵是的中点， ∴， ∵是上靠近的三等分点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 16．（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴2x-6=0或x-2=0， ∴，． （3）解：∵ ∴， ∴或， ∴，． 17．(1)证明：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴． 18．（1）解：根据新定义，方程的倒方程是：． （2）解：由题可知，方程的倒方程为， 将代入此方程， 得， 解得． （3）解：由题知，一元二次方程的倒方程是， 是此方程的一个实数根， ， ， ． 19．解：根据题意可得：，， ， ， ，，， ， ， ， 答：树的高度为15.5米． 20．（1）根据题意有：平均每天销售量增加件，每件服装盈利元， 故答案为：，； （2）根据题意，得． 解得，． 经检验，或均符合本题要求． 答：当每件服装降价10元或20元时，商家平均每天能盈利1200元 （3）不能，理由：根据题意，得． 化简，得． ∵， ∴方程没有实数根， ∴商家平均每天盈利不能达到1350元． 21．解：如图， ∵直角三角形木板的面积为，一条直角边长为， ∴,即：，解得：， ∴， ∵， ∴，即：，解得：， 在矩形中有：，，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴ ， ， 设，则， ∴，， ∴，， ∴， 设矩形的面积为，则： ，   ∵， ∴， ∴当时，， ∴矩形台面面积的最大值为． 22．（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵于点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵在矩形中，，， ∴； （2）证明：过点作于点，过点作于点，且交于点． ∵四边形是矩形， ， ． 同理，， ， ∵， ∴， ∵， ． ， ， ． （3）解：过点作，延长交于点． 在中，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ∴ 又， ， ， ， ． 23．（1）解：根据题意可得：， 则， 当时，，解得：； 当的长度为时，， 解得：或（舍去）； 故答案为：；4． （2）解：存在． ∵， ， ∴， 整理得：， 解得：，． ∵， ∴， ∴当时，的面积为． （3）解：存在． 若，则， 即， 整理得：， 解得：，． ∵， ∴， ∴当时，的面积与四边形的面积之比等于． 答案第4页（共11页） 答案第5页（共11页） 学科网（北京）股份有限公司 $