3.1.1 椭圆及其标准方程课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

讲课人： 日期： 3.1.1 椭圆及其标准方程 学习目标 学习目标 核心素养 1.理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程. 数学抽象 2.会求简单的椭圆标准方程，了解其推导过程. 逻辑推理 如图5 . 31, 在直角坐标系内，设任得到什么结论？ 新课引入 用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线和双曲线.我们把椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线. 新课引入 观看视频，请说说你看到的椭圆 自然界中的椭圆 竹子的斜截面，脐橙，西瓜，鸡蛋，晶状体 篮球的光影， 倾斜的水面， 行星公转的 轨道…… 椭圆是自然界中常见的图形 新课引入 椭圆是圆锥曲线的一种，具有丰富的几何性质，在科研、生产和人类生活中具有广泛的应用. 那么，椭圆到底有怎样的几何特征？我们该如何利用这些特征建立椭圆的方程，从而为研究椭圆的几何性质奠定基础？ 探索新知 探究：取一条定长的细绳，若把细绳两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖. 问题1：所画出的轨迹是什么形状？ 问题2：笔尖与两定点之间满足怎样 的几何关系？ 椭圆 笔尖到两个定点的距离的和 等于常数. 探索新知 |MF1|+|MF2|=常数（|MF1|+|MF2|>|F1F2|） 这两个定点叫做椭圆的焦点(focus), 两焦点间的距离|F1F2|叫做椭圆的焦距(focus distance), 焦距的一半称为半焦距. 平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆(ellipse). M F1 F2 (ii)当常数 < |F1F2|时, 点M的轨迹不存在. 点M的轨迹是线段F1F2; F1 F2 M (i)当常数 = |F1F2|时, 椭圆的定义 探索新知 巩固训练1.甲：动点到两定点的距离之和（）；乙：动点的轨迹是椭圆. 则命题甲是命题乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 例1.已知点,, 下列说法正确的是（　　） A.平面内到两点的距离之和等于4的点的轨迹是椭圆 B. 平面内到两点的距离之和等于的点的轨迹是椭圆 C. 平面内到两点的距离之和等于2的点的轨迹是椭圆 D.平面内到点的距离相等的点的轨迹是椭圆 B 探索新知 问题：从椭圆的画法中，你能发现椭圆有哪些对称性？ F1 F2 M 椭圆关于定点F1,F2所在的直线对称， 关于线段F1F2的中垂线对称，且对称轴的交点是椭圆的对称中心 探索新知 问题：观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单？ 以对称轴为坐标轴建立坐标系 焦点F1,F2的坐标分别为(-c,0),(c,0). 椭圆可看作点集 P={M||MF1|+|MF2|=2a}. 探索新知 移项后平方 整理，得 再平方 整理，得 两边同时除以 得 因为2a＞2c＞0，即a＞c＞0，所以a2-c2＞0. ① 探索新知 思考：观察下图，你能从中找出表示a, c, 的线段吗？ x y O P F1 F2 a c a b c |OF1|=|OF2|=c, 称方程 是椭圆的方程, 这个方程叫做椭圆的标准方程. 它两个焦点分别是F1(-c, 0), F2(c, 0) 由图可知, |PF1|=|PF2|=a, 且a2=b2+c2 ② 令 ② 探索新知 x y O M F1 F2 将x轴与y轴互换. 这是焦点在y轴上的椭圆的标准方程. y2对应大分母a2. 焦点是F1(0, -c), F2(0, c). (a>b>0) 2. 焦点在y轴上的椭圆的标准方程 思考： 如果焦点F1, F2在y轴上, 且F1(0, -c), F2(0, c), a, b的意义同上, 那么椭圆的方程是什么？ 探索新知 椭圆标准方程 定义 图形 方程 焦点 a,b,c之间的关系 F1 F2 M x O y F1 F2 M x O y F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c)，F2(0,c) a2=b2+c2 哪个分母大，焦点就在哪条坐标轴上！ 探索新知 （1）在椭圆中，,,的关系是 .( ) × [解析] 在椭圆中,,,的关系是 . （2）已知椭圆的方程为，则椭圆的焦点在 轴上.( ) × [解析] 因为,所以椭圆的焦点在 轴上. 2、判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） × [解析] 由椭圆的方程为,得, . （4）椭圆的焦点在 轴上.( ) √ [解析] 根据椭圆的定义和标准方程知，椭圆 的焦点在 轴上. （3）已知椭圆的方程为，则， .( ) 典例分析 例1:已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0),(2,0),并且经过点 求它的标准方程. 解：由于椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为 由椭圆的定义知c=2， 所以 所以b2=a2-c2=10-4=6， 所以，所求椭圆的标准方程为 还能用其他方法求它的标准方程吗？ 定义法 探索新知 追问：你还能用其他方法求它的标准方程吗？试比较不同方法的特点． 待定 系数法 探索新知 变式、求焦点在轴上，焦距是4，且经过点 的椭圆的标准 方程. 解：根据题意可知 ，又焦点在轴上，故焦点坐标为 . 椭圆经过点 ， 由椭圆的定义可得 ，即 ， ，故椭圆的标准方程为 . 典例分析 例2:在圆x2+y2=4上任取一点P,过点P作x轴的垂线段PD,D为垂足.当点P在圆上运动时,线段PD的中点M的轨迹是什么?为什么? 解：设点M的坐标为(x,y),点P的坐标为(x0,y0)则点D的坐标为(x0,0). 由点M是线段PD的中点，得 因为点P(x0,y0)在圆x2+y2=4上,所以 把x0=x，y0=2y代入方程 得 即 所以点M的轨迹是椭圆. 相关点代入法 探索新知 思考：由例 2 我们发现，可以由圆通过“压缩”得到椭圆．你能由圆通过“拉伸”得到椭圆吗？如何“拉伸”？由此你能发现椭圆与圆之间的关系吗？ 典例分析 变式、设A,B点的坐标分別为(-5,0),(5,0).直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积是 求点M的轨迹方程. 解：设点M的坐标为(x,y),因为点A的坐标是(-5,0),所以直线AM的斜率 由已知，有 同理，直线BM的斜率 化简，得点M的轨迹方程为 点M的轨迹是除去(-5,0),(5,0)两点的椭圆. 课堂小结 椭圆的定义： 椭圆的标准方程： 对称美、简洁美 本节课的数学方法、数学思想有哪些? （1）具体方法：坐标法、待定系数法； （2）数学思想：数形结合、分类讨论、方程思想等。 本节课你体验到哪些数学美? 课堂检测 D 课堂检测 2.设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝6，则动点M的轨迹是 A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段 √ 解析　∵|MF1|＋|MF2|＝6＝|F1F2|， ∴动点M的轨迹是线段. 课堂检测 3.［2024·肇庆高二期中］已知椭圆 的焦距等于2，则实数 的值为( ) A.3或5 B.8 C.或 D.或 [解析] 若椭圆的焦点在轴上，则， ，则 ，可得； 若椭圆的焦点在 轴上，则，， 则 ，可得. 综上所述， 或5.故选A. √ 课堂检测 C 课堂检测 5.求满足下列条件的椭圆的标准方程. （1），焦点在轴上； （2），焦点在轴上； （3） 解：（1）； （2）； （3）或 课后作业 课本第109页课后习题（必做）（15分钟） 分层作业基础练（必做）（20分钟） 分层作业过关练（选做）（15分钟） 希望同学们：好学数学 学好数学 祝语 谢谢大家观看 讲课人： 日期： Lavf58.46.101 Lavf58.46.101 $