3.1.1椭圆及其标准方程（教学设计+导学案+课件）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.1.1　椭圆（一）　教学设计 ——椭圆的定义与标准方程 课型：新授课　课时：第 1 课时（本册·椭圆第1课时） 教材：人教A版·普通高中教科书 数学 选择性必修第一册 一、课标依据 ①　了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，掌握椭圆的定义、标准方程。（出处：选择性必修课程·主题三「几何与代数」·圆锥曲线；对应本课：环节二、三：椭圆的几何定义与标准方程的建立） ②　体会用代数方法（坐标法）研究曲线几何性质的「几何问题代数化」思路。（出处：选择性必修课程·主题三「几何与代数」·解析几何思想；对应本课：环节三、四：建系推导标准方程；由条件求方程） 本课核心素养锚点：数学运算（主要）　直观想象、逻辑推理（次要）。 二、教材与学情分析 是什么：本节是第三章圆锥曲线的开篇。椭圆是到两定点距离之和为定值的点的轨迹；这一节要建立它的标准方程：焦点在 轴时为 （），焦点在 轴时为 ；其中 ，两个定点叫焦点，焦距为 。 从哪来：学生在初中已认识圆（到定点距离等于定长），在必修中已掌握坐标法与圆的方程；本节把「到一点等距」推广为「到两点距离之和为定值」，是坐标法刻画曲线能力的又一次提升。 往哪去：椭圆标准方程是后续研究椭圆几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）以及双曲线、抛物线方程的起点；掌握「建系—列式—化简」的坐标法套路，对整章圆锥曲线至关重要。 核心矛盾：重点：椭圆的几何定义；焦点在 轴、 轴两种形式的标准方程及 。 难点：① 定义中「」不可省略（等于时退化为线段、小于时轨迹不存在）；② 化简根式方程时的平方消根技巧；③ 焦点位置不确定时要分类讨论或先判断。 成因：学生容易把圆的经验直接套用，忽略「两个定点」「定值大于焦距」这两个新条件。 独特价值：椭圆第一次让学生用「到两定点距离之和」这种和式约束来定义曲线，是体会解析几何「用代数方程承载几何条件」思想的典型范例。 知识／能力起点：已掌握平面直角坐标系、两点间距离公式、圆的标准方程与几何意义；具备基本的代数化简（配方、平方）能力。 认知／思维特点：对「到一点等距是圆」有直观，但对「到两点距离之和为定值」的轨迹形状缺乏想象；能接受先建系再化简，但遇到双重根号时容易畏难。 预判困难与兴趣点：① 漏写定义中的条件 ； ② 混淆 的大小与关系，误以为 ； ③ 焦点在 轴时把方程写成 ； ④ 兴趣点：用绳钉实验（两钉之间绷绳画椭圆）直观看到轨迹。 数据来源：待补充：建议以必修阶段「圆的方程」单元测试中坐标法题的得分率作为参照。 三、教学目标 1. 能用自己的话说出椭圆的几何定义：平面内到两个定点 、 的距离之和等于常数 （）的点的轨迹；能说出焦点、焦距 的含义。 布鲁姆层级：理解　｜　SOLO 水平：单点—多点　｜　成功标准：定义判断题 4 题对 3 题及以上 2. 能推导焦点在 轴与 轴上的椭圆标准方程，记住 以及 ；能根据焦点位置正确选用方程形式。 布鲁姆层级：应用　｜　SOLO 水平：多点结构　｜　成功标准：求标准方程题 4 题对 3 题 3. 能由已知条件（焦点位置、焦距、椭圆上一点等）求出椭圆的标准方程，并能判断所给方程是否为椭圆及其焦点所在坐标轴。 布鲁姆层级：应用／分析　｜　SOLO 水平：关联结构　｜　成功标准：列方程求参题 3 题对 2 题及以上 目标 1 的评估证据：例 1 + 变式 1 + 当堂检测第 1、2 题；对应环节：环节二、三。 目标 2 的评估证据：例 2 + 变式 2 + 当堂检测第 3 题 + 作业 A 组；对应环节：环节三、四。 目标 3 的评估证据：例 3 + 变式 3 + 当堂检测第 4 题 + 作业 B、C 组；对应环节：环节四。 四、教学重点、难点与教学方法 重点：椭圆的几何定义；焦点在 x 轴、y 轴上的标准方程及其联系 。 难点：定义中「」必要性的理解；根式方程的化简；焦点位置的判定。 难点成因：从文字条件到代数方程的转化涉及双重根号与多次平方，学生容易在符号与结构上出错。 教法：实验引入 + 坐标法推导 + 对比归纳——先用「绳钉画椭圆」实验给出直观，再严格写出几何定义；标准方程由教师板演建系化简一次，最后用对比表把两种形式统一起来。 学法：几何直观（看轨迹）→ 代数表达（列距离和等式）→ 化简（消双重根号）——本课核心是坐标法套路，学生应重点练习「先判断焦点位置、再设对应方程形式」。 五、教学过程 环节一　情境导入：从圆到椭圆（约4分钟） 回顾：平面内到定点距离等于定长的点的轨迹是圆，其标准方程形如 （复习即可，不需重新推导）。 追问：如果把「一个定点」换成「两个定点」，把「距离等于定长」换成「到两个定点的距离之和等于定值」，轨迹还是圆吗？ 演示：取两枚图钉固定为 、，用一根长度大于两钉间距的细绳套住，笔尖绷紧绳子移动——画出的封闭曲线就是椭圆。 点明：本节课的任务，就是把这个「绳钉实验」翻译成一个代数方程。 【学生活动】观察绳钉实验，口答「两定点距离之和固定时轨迹是什么」；在学案上画出两枚图钉与绳圈的位置。 【设计意图】对应目标 1。用「改一个字（点→两点，等于→和）」的对比制造认知缺口，让椭圆的定义成为圆的自然推广，而不是凭空出现。 环节二　椭圆的几何定义（约8分钟） （1）定义：平面内与两个定点 、 的距离之和等于常数（大于 ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距，记作 。 （2）三个要点：① 和为定值 ；② 必须 （即 ）；③ 动点 满足 。 （3）特例讨论：若 ，轨迹是线段 ；若 ，无轨迹（这样的点不存在）。 〔缺图：zx3_1_def〕 （4）口答：已知两焦点间距离为 8，动点满足条件 ，能否构成椭圆？（能，因为 。）若和为 8 呢？（退化为线段。） 【学生活动】对照课件图 1，在学案上写出定义的三个要点；同桌互查是否漏掉了「大于焦距」这个条件。 【设计意图】对应目标 1。用特例讨论把「」从死记变为理解——它决定了轨迹到底是曲线、线段还是空集。 环节三　标准方程的建立（建系化简）（约12分钟） （1）建系：以焦点 、 所在直线为 轴，线段 的中点为原点建立直角坐标系，则 、。设动点 满足 （）。 （2）列式：。 （3）化简（关键步骤）：移项后两次平方，并利用 引入 使 ，最终得到 （）。 （4）焦点在 轴：若以 、 所在直线为 轴建系，则焦点为 、，方程为 （）。 （5）统一记忆：分母大的那个变量对应长轴，焦点在它所在的轴上；始终有 。 〔缺图：zx3_1_std〕 （6）例题衔接：下面两节用方程解决实际问题。 【学生活动】跟教师一起完成「移项→平方→再平方」的代数化简，注意每一步同解变形；在学案上抄写两种形式并列对比。 【设计意图】对应目标 2。化简是本课最难的一步，板演时把「为什么要引入 」讲透—— 不是随意设的，而是 自然产生的几何量（短半轴）。 环节四　例题精析（约12分钟） 例 1　已知焦点与动点求方程　已知椭圆的两个焦点分别是 、，椭圆上一点 到两焦点的距离之和为 10，求椭圆的标准方程。 【答案】。 【详解】由焦点 、 知焦点在 轴上，且 ；由距离之和为 10 知 ，故 ；于是 。代入焦点在 轴的形式得 。 【方法归纳】已知焦点坐标 → 先定焦点所在轴 → 由距离和求 → 由焦距求 → 用 求 。 变式 1　已知椭圆的两个焦点为 、，椭圆上一点到两焦点的距离之和为 12，求标准方程。 【答案】。 【详解】焦点在 轴上，，，，故方程为 。 例 2　已知 关系与焦点求方程　已知椭圆的焦点在 轴上，短半轴长 ，焦距 ，求椭圆的标准方程。 【答案】。 【详解】焦点在 轴，设方程为 ；由 得 ，由 得 ，故 ，即 ，方程为 。 变式 2　已知椭圆的焦点在 轴上，焦距为 6，且 ，求其标准方程。 【答案】。 【详解】焦点在 轴，设 ；，，则 ，故方程为 。 例 3　已知方程判断焦点位置　判断方程 是否为椭圆，若是，指出焦点在哪条坐标轴上。 【答案】是椭圆，焦点在 轴上。 【详解】两边同除以 36 得 ；分母中 ，故 对应的分母更大，焦点在 轴上（此时 ，，）。 变式 3　把方程 化为标准方程，并说明焦点位置。 【答案】，焦点在 轴上。 【详解】两边同除以 10 得 ；分母 ，故 对应分母更大，焦点在 轴上（，，）。 【学生活动】例 1 由教师板演；变式 1 同桌互批，重点核对焦点在 轴时 在 分母；例 3、变式 3 全班齐答判轴口诀「分母大者对应长轴」。 【设计意图】对应目标 2、3。三例构成「知焦点与动点 → 知 关系 → 由方程读性质」的梯度；判轴口诀把易错点变成顺口溜，降低记忆负担。 环节五　当堂检测（约4分钟） 独立完成约 3 分钟，同桌互换批改，统计错号。 检测题见《学案》「当堂检测」栏（共 4 小题），答案与详解由课件单击依次呈现。 1. 填空并判断：平面内到两个定点 、 的距离之和等于常数（要求＿＿＿）的点的轨迹叫椭圆；若该常数等于 ，轨迹是＿＿＿。 【答案】要求大于 （即 ）；轨迹是线段 。 【详解】由定义，常数必须大于两焦点间距离 （即 ），轨迹才是椭圆；若常数等于 ，动点只能落在线段 上，轨迹退化为该线段。 2. 已知椭圆的两个焦点为 、，椭圆上一点到两焦点的距离之和为 6，求椭圆的标准方程。 【答案】。 【详解】焦点在 轴，；由 得 ，，故方程为 。 3. 已知椭圆焦点在 轴上，焦距 ，且短半轴长 ，求其标准方程。 【答案】。 【详解】焦点在 轴，设 ；由 得 ，由 得 ，，故方程为 。 4. 判断方程 是否为椭圆；若是，焦点在哪条坐标轴上？ 【答案】是椭圆，焦点在 轴上。 【详解】两边同除以 36，得 ；分母 ， 对应分母更大，故焦点在 轴上（，，）。 【学生活动】独立作答 → 同桌互换批改 → 举手统计错号，教师只讲错得最多的那一题。 【设计意图】对应目标 1、2、3。四题分别覆盖定义条件、由焦点与动点求方程、由 求方程、由方程判轴。 环节六　课堂小结与作业布置（约3分钟） 小结一条链：几何定义（到两定点距离之和为定值且 ）→ 建系化简 → 标准方程（焦点在 轴 / 轴）→ 关系 → 判轴口诀（分母大者对应长轴）。 预告：下一课时我们用这个方程研究椭圆的范围、对称性、顶点与离心率。 作业布置见下方分层作业。 【学生活动】齐答小结链条中的空缺处；把 与判轴口诀各默写一遍。 【设计意图】对应全部目标。以「一条链」收束全课，把定义与方程串成结构，并为下一课时留出接口。 教学准备——教具：多媒体课件、椭圆标准图（见课件配图）、细绳与两枚图钉；学具：学案（随堂印发）、直尺、圆规；媒体资源：课件需支持：绳钉画椭圆的动态演示、标准方程两种形式的对比卡片；实验器材：细绳（长度大于两钉间距）、图钉两枚、纸板。 六、板书设计 选型：提纲式（左侧主板书，右侧副板书） 结构：主板书（左侧，随课自上而下生成）： 3.1.1 椭圆（一） 一、几何定义：动点 满足 （） 焦点 、焦距 ；特例：等于→线段，小于→无轨迹 二、标准方程（焦点在 轴）：（） 焦点在 轴： 三、关系：（始终 最大） 四、判轴口诀：分母大者对应长轴，焦点在其所在轴 副板书（右侧）：根式方程两次平方的化简过程 + 错例纠正区（漏写 ）。 与重难点的对应：左侧「一、二、三」对应教学重点；右侧「两次平方化简」对应教学难点。 呈现方式：随课逐步生成，不一次性写完；副板书的化简在环节三即时生成。 七、教学反思（预设要点，供课后填写） 目标达成情况：目标 1、2 预计达成良好；目标 3 中「由方程判轴」与「含参求方程」仍是薄弱点，估计当堂检测第 3、4 题有一定失分。 学情预判是否准确：预判的「漏写 」与「焦点在 轴写反」应在当堂检测第 1、4 题显形，是复核学情预判的关键指标。 情境与实践活动效果：绳钉实验能快速建立椭圆直观；若无实物，用课件动态演示两焦点与绳长关系同样有效。 改进设想：下一课时直接进入几何性质，可在小结时点一句「标准方程已经把 藏在分母里」，为离心率的引入埋下伏笔。 附录　本课易错警示 1. ① 漏写定义条件 （即 ）：等于时轨迹退化为线段、小于时无轨迹，必须强调「大于焦距」才有椭圆。 2. ② 搞错 的关系：始终是 （ 最大），不是 的反向，也不是 。 3. ③ 焦点在 轴时仍把 写在 的分母：记住「分母大者对应长轴，焦点在长轴所在轴」，即 永远在长轴变量的分母上。 4. ④ 由方程判轴只看 字母：必须先化为标准形式（右边为 1、左边两项为正），再比较分母大小。 5. ⑤ 化简根式方程时符号错误：移项要「含一个根号的单独留一边」再平方，否则会出现交叉项。 附：分层作业（题目·答案·详解） 教材原题答案以课本配套教师教学用书为准，下列补充题为本课自编题，答案与详解附后。 说明：下面每一道题的题干之后，紧接该题的【答案】与【详解】（深红），便于投影讲评或印发；其中教材原题的答案以课本配套教师教学用书为准。 作业布置： 基础巩固——下列补充题第 1—4 题：由焦点与动点、由 关系求标准方程；由方程判轴 能力提升——下列补充题第 5—7 题：由椭圆上一点与焦点位置求方程；轨迹方程问题 思维挑战——下列补充题第 8 题：标准方程推导中的代数化简与引入 的必要性 基础巩固 1. 已知椭圆的两个焦点为 、，椭圆上一点到两焦点的距离之和为 14，求椭圆的标准方程。 【答案】。 【详解】焦点在 轴，；由 得 ，，故方程为 。 2. 已知椭圆焦点在 轴上，焦距 ，且 ，求其标准方程。 【答案】。 【详解】焦点在 轴，设 ；，，，故方程为 。 3. 判断方程 是否为椭圆；若是，指出焦点位置。 【答案】是椭圆，焦点在 轴上。 【详解】方程即 ；分母 ，故焦点在 轴上（，，）。 4. 把方程 化为标准方程，并说明焦点在哪条坐标轴上。 【答案】，焦点在 轴上。 【详解】两边同除以 6，得 ；分母 ，故焦点在 轴上（，，）。 能力提升 1. 已知椭圆过点 且与坐标轴的两个交点分别为 、，求该椭圆的标准方程。 【答案】。 【详解】由与坐标轴交点知椭圆过 、，且长轴在 轴上（因为 ），故 、，方程为 ；点 恰为右顶点，符合。 2. 已知椭圆的焦距为 4，且过点 ，焦点在 轴上，求其标准方程。 【答案】。 【详解】焦点在 轴，设 。由焦距 4 得 ，故 。代入点 得 。令 ，则 ，有 ，整理得 ，解得 或 ； 时 舍去，故 、，方程为 。 3. 已知 中，底边 固定，，顶点 满足 ，以 中点为原点、 所在直线为 轴建立坐标系，求点 的轨迹方程。 【答案】（ 时表示椭圆，含端点时为线段两端，通常写作该椭圆方程）。 【详解】以 中点为原点、 为 轴，则 、，焦点即 ，焦距 ；，则 ，故轨迹方程为 （ 不与 共线，实际轨迹为该椭圆）。 思维挑战 8. 已知椭圆的两个焦点为 、，动点 满足 （）。 （1）写出以原点为中心、焦点在 轴上的椭圆标准方程的推导中「第一次平方」后得到的等式； （2）说明为什么必须引入 满足 才能把方程化为最简形式。 【答案】（1）移项平方后可得 ；（2）见详解（令 即可约去公因子得到标准形式）。 【详解】（1）由 两边平方并整理，再移项一次平方，最终可化为 。 （2）因为 ，所以 ，记 （），上式变为 ，两边同除以 即得 ； 正是椭圆的短半轴长，几何意义明确。 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1.1　椭圆（一） ——椭圆的定义与标准方程 第三章 圆锥曲线 人教A版·普通高中教科书 数学 选择性必修第一册 新授课　第 1 课时（本册·椭圆第1课时） 对应目标 1。用「改一个字（点→两点，等于→和）」的对比制造认知缺口，让椭圆的定义成为圆的自然推广，而不是凭空出现。 学习目标 1 能用自己的话说出椭圆的几何定义：平面内到两个定点 、 的距离之和等于常数 （）的点的轨迹；能说出焦点、焦距 的含义。 能推导焦点在 轴与 轴上的椭圆标准方程，记住 以及 ；能根据焦点位置正确选用方程形式。 能由已知条件（焦点位置、焦距、椭圆上一点等）求出椭圆的标准方程，并能判断所给方程是否为椭圆及其焦点所在坐标轴。 60 秒速读：让学生知道本课结束时要能做什么。 情境导入：从圆到椭圆 2 回顾：平面内到定点距离等于定长的点的轨迹是圆，其标准方程形如 （复习即可，不需重新推导）。 追问：如果把「一个定点」换成「两个定点」，把「距离等于定长」换成「到两个定点的距离之和等于定值」，轨迹还是圆吗？ 演示：取两枚图钉固定为 、，用一根长度大于两钉间距的细绳套住，笔尖绷紧绳子移动——画出的封闭曲线就是椭圆。 点明：本节课的任务，就是把这个「绳钉实验」翻译成一个代数方程。 [4′] 对应目标 1。用「改一个字（点→两点，等于→和）」的对比制造认知缺口，让椭圆的定义成为圆的自然推广，而不是凭空出现。 椭圆的几何定义 3 （1）定义：平面内与两个定点 、 的距离之和等于常数（大于 ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距，记作 。 （2）三个要点：① 和为定值 ；② 必须 （即 ）；③ 动点 满足 。 [8′] 对应目标 1。用特例讨论把「$2a>|F,,1,,F,,2,,|$」从死记变为理解——它决定了轨迹到底是曲线、线段还是空集。 椭圆的几何定义 4 （3）特例讨论：若 ，轨迹是线段 ；若 ，无轨迹（这样的点不存在）。 [8′] 对应目标 1。用特例讨论把「$2a>|F,,1,,F,,2,,|$」从死记变为理解——它决定了轨迹到底是曲线、线段还是空集。 椭圆的几何定义 5 （4）口答：已知两焦点间距离为 8，动点满足条件 ，能否构成椭圆？（能，因为 。）若和为 8 呢？（退化为线段。） [8′] 对应目标 1。用特例讨论把「$2a>|F,,1,,F,,2,,|$」从死记变为理解——它决定了轨迹到底是曲线、线段还是空集。 标准方程的建立（建系化简） 6 （1）建系：以焦点 、 所在直线为 轴，线段 的中点为原点建立直角坐标系，则 、。设动点 满足 （）。 （2）列式：。 （3）化简（关键步骤）：移项后两次平方，并利用 引入 使 ，最终得到 （）。 （4）焦点在 轴：若以 、 所在直线为 轴建系，则焦点为 、，方程为 （）。 [12′] 对应目标 2。化简是本课最难的一步，板演时把「为什么要引入 $b$」讲透——$b$ 不是随意设的，而是 $b^^2^^=a^^2^^-c^^2^^$ 自然产生的几何量（短半轴）。 标准方程的建立（建系化简） 7 （5）统一记忆：分母大的那个变量对应长轴，焦点在它所在的轴上；始终有 。 [12′] 对应目标 2。化简是本课最难的一步，板演时把「为什么要引入 $b$」讲透——$b$ 不是随意设的，而是 $b^^2^^=a^^2^^-c^^2^^$ 自然产生的几何量（短半轴）。 标准方程的建立（建系化简） 8 （6）例题衔接：下面两节用方程解决实际问题。 [12′] 对应目标 2。化简是本课最难的一步，板演时把「为什么要引入 $b$」讲透——$b$ 不是随意设的，而是 $b^^2^^=a^^2^^-c^^2^^$ 自然产生的几何量（短半轴）。 例题精析 9 例 1　已知焦点与动点求方程　已知椭圆的两个焦点分别是 、，椭圆上一点 到两焦点的距离之和为 10，求椭圆的标准方程。 【答案】。 【详解】由焦点 、 知焦点在 轴上，且 ；由距离之和为 10 知 ，故 ；于是 。代入焦点在 轴的形式得 。 【方法归纳】已知焦点坐标 → 先定焦点所在轴 → 由距离和求 → 由焦距求 → 用 求 。 变式 1　已知椭圆的两个焦点为 、，椭圆上一点到两焦点的距离之和为 12，求标准方程。 [12′] 对应目标 2、3。三例构成「知焦点与动点 → 知 $a,b,c$ 关系 → 由方程读性质」的梯度；判轴口诀把易错点变成顺口溜，降低记忆负担。 例题精析 10 【答案】。 【详解】焦点在 轴上，，，，故方程为 。 例 2　已知 关系与焦点求方程　已知椭圆的焦点在 轴上，短半轴长 ，焦距 ，求椭圆的标准方程。 【答案】。 【详解】焦点在 轴，设方程为 ；由 得 ，由 得 ，故 ，即 ，方程为 。 变式 2　已知椭圆的焦点在 轴上，焦距为 6，且 ，求其标准方程。 [12′] 对应目标 2、3。三例构成「知焦点与动点 → 知 $a,b,c$ 关系 → 由方程读性质」的梯度；判轴口诀把易错点变成顺口溜，降低记忆负担。 例题精析 11 【答案】。 【详解】焦点在 轴，设 ；，，则 ，故方程为 。 例 3　已知方程判断焦点位置　判断方程 是否为椭圆，若是，指出焦点在哪条坐标轴上。 【答案】是椭圆，焦点在 轴上。 【详解】两边同除以 36 得 ；分母中 ，故 对应的分母更大，焦点在 轴上（此时 ，，）。 变式 3　把方程 化为标准方程，并说明焦点位置。 [12′] 对应目标 2、3。三例构成「知焦点与动点 → 知 $a,b,c$ 关系 → 由方程读性质」的梯度；判轴口诀把易错点变成顺口溜，降低记忆负担。 例题精析 12 【答案】，焦点在 轴上。 【详解】两边同除以 10 得 ；分母 ，故 对应分母更大，焦点在 轴上（，，）。 [12′] 对应目标 2、3。三例构成「知焦点与动点 → 知 $a,b,c$ 关系 → 由方程读性质」的梯度；判轴口诀把易错点变成顺口溜，降低记忆负担。 课堂小结与作业布置 13 小结一条链：几何定义（到两定点距离之和为定值且 ）→ 建系化简 → 标准方程（焦点在 轴 / 轴）→ 关系 → 判轴口诀（分母大者对应长轴）。 预告：下一课时我们用这个方程研究椭圆的范围、对称性、顶点与离心率。 作业布置见下方分层作业。 [3′] 对应全部目标。以「一条链」收束全课，把定义与方程串成结构，并为下一课时留出接口。 当堂检测 14 1. 填空并判断：平面内到两个定点 、 的距离之和等于常数（要求＿＿＿）的点的轨迹叫椭圆；若该常数等于 ，轨迹是＿＿＿。 【答案】要求大于 （即 ）；轨迹是线段 。 【详解】由定义，常数必须大于两焦点间距离 （即 ），轨迹才是椭圆；若常数等于 ，动点只能落在线段 上，轨迹退化为该线段。 2. 已知椭圆的两个焦点为 、，椭圆上一点到两焦点的距离之和为 6，求椭圆的标准方程。 【答案】。 【详解】焦点在 轴，；由 得 ，，故方程为 。 独立作答 3 分钟 → 同桌互换批改 → 只讲错得最多的题。 当堂检测 15 3. 已知椭圆焦点在 轴上，焦距 ，且短半轴长 ，求其标准方程。 【答案】。 【详解】焦点在 轴，设 ；由 得 ，由 得 ，，故方程为 。 4. 判断方程 是否为椭圆；若是，焦点在哪条坐标轴上？ 【答案】是椭圆，焦点在 轴上。 【详解】两边同除以 36，得 ；分母 ， 对应分母更大，故焦点在 轴上（，，）。 独立作答 3 分钟 → 同桌互换批改 → 只讲错得最多的题。 分层作业 16 基础过关 1. 已知椭圆的两个焦点为 、，椭圆上一点到两焦点的距离之和为 14，求椭圆的标准方程。 【答案】。 2. 已知椭圆焦点在 轴上，焦距 ，且 ，求其标准方程。 【答案】。 3. 判断方程 是否为椭圆；若是，指出焦点位置。 【答案】是椭圆，焦点在 轴上。 4. 把方程 化为标准方程，并说明焦点在哪条坐标轴上。 【答案】，焦点在 轴上。 能力提升 基础过关全体必做；能力提升选做；思维挑战供学有余力的同学。 分层作业 17 1. 已知椭圆过点 且与坐标轴的两个交点分别为 、，求该椭圆的标准方程。 【答案】。 2. 已知椭圆的焦距为 4，且过点 ，焦点在 轴上，求其标准方程。 【答案】。 3. 已知 中，底边 固定，，顶点 满足 ，以 中点为原点、 所在直线为 轴建立坐标系，求点 的轨迹方程。 【答案】（ 时表示椭圆，含端点时为线段两端，通常写作该椭圆方程）。 思维挑战 基础过关全体必做；能力提升选做；思维挑战供学有余力的同学。 分层作业 18 1. 已知椭圆的两个焦点为 、，动点 满足 （）。 （1）写出以原点为中心、焦点在 轴上的椭圆标准方程的推导中「第一次平方」后得到的等式； （2）说明为什么必须引入 满足 才能把方程化为最简形式。 【答案】（1）移项平方后可得 ；（2）见详解（令 即可约去公因子得到标准形式）。 基础过关全体必做；能力提升选做；思维挑战供学有余力的同学。 $ 3.1.1　椭圆（一）　学案 ——椭圆的定义与标准方程 一、学习目标 1. 能用自己的话说出椭圆的几何定义：平面内到两个定点 、 的距离之和等于常数 （）的点的轨迹；能说出焦点、焦距 的含义。 2. 能推导焦点在 轴与 轴上的椭圆标准方程，记住 以及 ；能根据焦点位置正确选用方程形式。 3. 能由已知条件（焦点位置、焦距、椭圆上一点等）求出椭圆的标准方程，并能判断所给方程是否为椭圆及其焦点所在坐标轴。 重点：椭圆的几何定义；焦点在 x 轴、y 轴上的标准方程及其联系 。 难点：定义中「」必要性的理解；根式方程的化简；焦点位置的判定。 二、知识梳理（阅读教材后完成） 情境导入：从圆到椭圆 回顾：平面内到定点距离等于定长的点的轨迹是圆，其标准方程形如 （复习即可，不需重新推导）。 演示：取两枚图钉固定为 、，用一根长度大于两钉间距的细绳套住，笔尖绷紧绳子移动——画出的封闭曲线就是椭圆。 椭圆的几何定义 （1）定义：平面内与两个定点 、 的距离之和等于常数（大于 ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距，记作 。 （2）三个要点：① 和为定值 ；② 必须 （即 ）；③ 动点 满足 。 标准方程的建立（建系化简） （1）建系：以焦点 、 所在直线为 轴，线段 的中点为原点建立直角坐标系，则 、。设动点 满足 （）。 （2）列式：。 三、典例剖析 例 1　已知焦点与动点求方程 已知椭圆的两个焦点分别是 、，椭圆上一点 到两焦点的距离之和为 10，求椭圆的标准方程。 变式 1 已知椭圆的两个焦点为 、，椭圆上一点到两焦点的距离之和为 12，求标准方程。 例 2　已知 关系与焦点求方程 已知椭圆的焦点在 轴上，短半轴长 ，焦距 ，求椭圆的标准方程。 变式 2 已知椭圆的焦点在 轴上，焦距为 6，且 ，求其标准方程。 例 3　已知方程判断焦点位置 判断方程 是否为椭圆，若是，指出焦点在哪条坐标轴上。 变式 3 把方程 化为标准方程，并说明焦点位置。 【方法归纳】已知焦点坐标 → 先定焦点所在轴 → 由距离和求 → 由焦距求 → 用 求 。 四、当堂检测 1. 填空并判断：平面内到两个定点 、 的距离之和等于常数（要求＿＿＿）的点的轨迹叫椭圆；若该常数等于 ，轨迹是＿＿＿。 2. 已知椭圆的两个焦点为 、，椭圆上一点到两焦点的距离之和为 6，求椭圆的标准方程。 3. 已知椭圆焦点在 轴上，焦距 ，且短半轴长 ，求其标准方程。 4. 判断方程 是否为椭圆；若是，焦点在哪条坐标轴上？ 五、课后巩固 基础过关 1. 已知椭圆的两个焦点为 、，椭圆上一点到两焦点的距离之和为 14，求椭圆的标准方程。 2. 已知椭圆焦点在 轴上，焦距 ，且 ，求其标准方程。 3. 判断方程 是否为椭圆；若是，指出焦点位置。 4. 把方程 化为标准方程，并说明焦点在哪条坐标轴上。 能力提升 1. 已知椭圆过点 且与坐标轴的两个交点分别为 、，求该椭圆的标准方程。 2. 已知椭圆的焦距为 4，且过点 ，焦点在 轴上，求其标准方程。 3. 已知 中，底边 固定，，顶点 满足 ，以 中点为原点、 所在直线为 轴建立坐标系，求点 的轨迹方程。 六、易错警示 ① 漏写定义条件 （即 ）：等于时轨迹退化为线段、小于时无轨迹，必须强调「大于焦距」才有椭圆。 ② 搞错 的关系：始终是 （ 最大），不是 的反向，也不是 。 ③ 焦点在 轴时仍把 写在 的分母：记住「分母大者对应长轴，焦点在长轴所在轴」，即 永远在长轴变量的分母上。 ④ 由方程判轴只看 字母：必须先化为标准形式（右边为 1、左边两项为正），再比较分母大小。 ⑤ 化简根式方程时符号错误：移项要「含一个根号的单独留一边」再平方，否则会出现交叉项。 学科网（北京）股份有限公司 $