3.1.2 课时1 椭圆的简单几何性质课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.1.2 课时1 椭圆的简单几何性质 32100 1.通过代数推导的方法，掌握椭圆的范围、对称性和顶点. 2.理解椭圆离心率的几何意义及其相关概念. 学习目标 32100 问题1: 椭圆的定义是什么? 平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆. 问题2: 椭圆的标准方程是什么? (1)焦点在x轴上： (2)焦点在y轴上： 复习导入 32100 探究一 椭圆范围、对称性和顶点 猜想：-b<y<b，-a<x<a. 活动1：观察椭圆 的形状，提炼椭圆的几何性质. 问题1：如图是 图象，猜想它的上下边界分别是多少？如何利用椭圆方程验证？ 综上，椭圆位于直线 和 围成的矩形框里. 证明：因为 ，所以 ， 所以 ，所以 ，即 ， 同理 ，即 . 新知探究 32100 问题2：根据问题1，说说在椭圆 上有哪些特殊点，如何求出这些特殊点坐标？ 特殊点： 、 、 、 ； 根据图象，令y=0，有 ， 所以 (-a，0)， (a，0)， 同理可得 （0，-b）， （0，b）. 32100 如图，当焦点在x轴时，线段 ， 分别叫做椭圆的长轴和短轴， ， ．a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 注：椭圆上的点到焦点距离最小为 ，最大为 . 新知讲解 32100 问题3：我们之前学了图形对称和点对称的有关概念和特点，关于x，y轴以及原点的对称点坐标之间有什么关系？由此，观察椭圆的图象，分析它的对称性. 关于y轴对称的点，其坐标是横坐标相反，纵坐标不变,即f(-x，y)=f(x，y). 关于x轴对称的点，其坐标是横坐标不变，纵坐标相反，即f(x，-y)=f(x，y)； 新知探究 32100 x y O F1 F2 x y O F1 F2 x y O F1 F2 A2 A1 1.从图形上看： 椭圆关于x轴、y轴的轴对称图形，又是中心对称图形；坐标原点为对称中心（椭圆的中心） 32100 y x O P（x，y） P1（-x，y） P3（-x，-y） ①P(x,y) P1(-x,y) ②P(x,y) P2(x,-y) ③P(x,y) P3(-x,-y) 结论:椭圆关于x轴、y轴、原点对称. （2）从方程上看： 32100 练一练 1.椭圆3x2+4y2=12的长轴长、短轴长分别为 (　　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.2， B. ，2 C.4，2 D.2，4 把3x2+4y2=12化成标准形式为,得a2=4,b2=3,则长轴长为4,短轴长为2 ，故选C. C 32100 1 2 3 -1 -2 -3 -4 4 y 1 2 3 -1 -2 -3 -4 4 y 1 2 3 4 5 -1 -5 -2 -3 -4 x 1 2 3 4 5 -1 -5 -2 -3 -4 x 2.画出下列椭圆的草图. （1） （2） A1 B1 A2 B2 B2 A2 B1 A1 椭圆的简单画法： 椭圆四个顶点 连线成图 练一练 32100 活动2：结合以下问题，探究椭圆形状与参数的关系和离心率的几何意义. 问题1：观察视频，你认为椭圆的“扁平程度”与什么有关？如何探究这种关系呢？ 探究二 椭圆的离心率 新知探究 32100 扁平程度是椭圆的重要形状特征，如视频所示： o y B2 B1 A1 A2 F1 F2 c a b x 椭圆的长半轴长为，半焦距为． 保持长半轴长不变，改变椭圆的半焦距，可以发现，越接近，椭圆越扁平． 类似地，保持不变，改变的大小，则越接近，椭圆越扁平； 而当，扩大或缩小相同倍数时，椭圆的形状不变. 这样，利用和这两个量，可以刻画椭圆的扁平程度. 32100 (1)离心率的概念： (2)离心率的取值范围： 椭圆的焦距与长轴长的比 叫做椭圆的离心率，用 e 表示，即 . 用离心率刻画椭圆扁平程度： 因为 a > c > 0，所以0<e <1 o y B2 B1 A1 A2 F1 F2 c a b x 新知讲解 32100 O x y 结论： ① e 越接近 1, c 就越接近 a, 就越小, 此时椭圆就越扁 ② e 越接近 0, c 就越接近 0, 就越大, 此时椭圆就越圆 问题2：离心率与椭圆的形状（扁平）有什么关系？ 还有其他方法 说明这个结论吗？ 32100 利用三角函数的知识来解释： 如图， 中， ， ， . ，e越大, 越大， 越小，椭圆越扁； e越小, 越小， 越大，椭圆越圆. ① e 越接近 1, c 就越接近 a, 就越小, 此时椭圆就越扁 ② e 越接近 0, c 就越接近 0, 就越大, 此时椭圆就越圆 32100 问题3：当e＝0时，曲线是什么？当e＝1时,曲线又是什么？ e=0，这时两个焦点重合，图形变为圆． 如果a=b，则c=0，两个焦点重合， 椭圆的标准方程就变为圆的方程： e与a,b的关系: e=1,为线段. 32100 3.比较下列每组中两个椭圆的形状,哪一个更扁? 离心率e越大，椭圆越扁； 离心率e越小，椭圆越圆 练一练 32100 练一练 4.求椭圆 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标. 解：把原方程化成标准方程，得 ， 于是a=5，b=4， . 因此椭圆的长轴和短轴的长分别是2a=10和2b=8，离心率 ，两个焦点坐标分别是 和 ， 四个顶点坐标分别是 ， ， 和 . 32100 (1)基本量：a, b, c, e (共四个量） (2)基本点：顶点、焦点、中心(共七个点） (3)基本线：对称轴(共两条线） 1.椭圆的基本元素 在Rt△OB2F2中， |OF2|2＝|B2F2|2－|OB2|2 2.椭圆中的特殊三角形： 课堂总结 32100 定 义 图 形 方 程 范 围 对称性 焦 点 顶 点 离心率 F1 F2 M y x O y x O M F1 F2 |MF1|+|MF2|=2a (2a>|F1F2|) (c,0)、(c,0) (0,c)、(0,c) (a,0)、(0,b) |x| a |y| b |x| b |y| a 关于x轴、y轴、原点对称 (b,0)、(0,a) 一个框，四个点，注意光滑和圆扁，莫忘对称要体现 32100 EVCapture4.1.7软件录制 Lavf57.25.100 本视频由湖南一唯信息科技开发的EV录屏软件录制，www.ieway.cn √ √ $