精品解析：山东青岛西海岸新区隐珠初级中学2026-2027学年上学期九年级第一次学情自测数学试题

九年级第一次单元检测数学试题 一、选择题（共9小题，每小题3分，共27分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知方程，则此方程（ ） A. 无实数根 B. 两根之和为 C. 两根之积为 D. 有一个根为 3. 如图2，四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直，则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是（ ） A. BA＝BC B. AC、BD互相平分 C. AC＝BD D. AB∥CD 4. 如果关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则所满足的条件是（ ） A. B. C. D. 5. 若是方程的根，则代数式的值为（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2027 6. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 7. 关于x的一元二次方程x2+kx﹣3＝0有一个根为﹣3，则另一根为（　　） A. 1 B. ﹣2 C. 2 D. 3 8. 某工厂四月份生产零件25万个，第二季度共生产零件91万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，小华剪了两条宽为的纸条，交叉叠放在一起，且它们较小的交角为，则它们重叠部分的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 10. 把方程化为一般形式是__________． 11. 如图，菱形的对角线相交于点O，请你添加一个条件：________ ， 使得该菱形为正方形． 12. 为丰富学生的课余生活，提高学生的身体素质与团队协作能力，增强班级凝聚力与集体荣誉感，促进学生间的交流与互动，弘扬体育精神．某校决定举行排球比赛，计划安排7天，每天安排4场，赛制是参赛的每个队之间都要比赛一场．则有______个球队参加比赛． 13. 有一间长，宽的长方形会议室，在它的中间铺一块长方形地毯，地毯的面积是会议室面积的，会议室的四周，未铺地毯的留空宽度相同，设留空宽度为，则可列方程为_______． 14. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的最大整数值是______． 15. 如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则的长为___________． 三、作图题（共4分） 16. 如图所示，一块儿三角形空地ABC，要在其内部建一个菱形花园，使得B为菱形花园的一个顶点，其余3个顶点分别在的3条边上．请你能设计出此菱形花园． 四、解答题 17. 解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程有两个相等的实数根，求的值． （2）设，是方程的两个实数根，当时，求的值． 19. 如图，菱形的对角线与交于点O，过点C作，过点B作，与交于点E． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求菱形的面积． 20. 如图，的对角线相交于点． （1）求证：； （2）若，连接、，判断四边形的形状，并说明理由． 21. 如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为72． 22. 根据以下素材，探索完成任务． 素材1 泥塑，俗称“彩塑”，泥塑艺术是中国民间传统的一种古老常见的民间艺术.某泥塑作坊制作泥塑进行销售，7月份制作泥塑1000件，同年9月份制作泥塑1440件 素材2 泥塑的制作成本为30元/件，销售一段时间后发现，当泥塑售价为40元/件时，月销售量为400件.若在此基础上每件售价每上涨1元，则月销售量将减少10件 问题解决 （1）任务1：求该泥塑作坊7月份到9月份制作泥塑数量的月平均增长率； （2）任务2：为使月销售利润达到6000元，而且尽可能让顾客得到实惠，该泥塑的售价应定为多少元/件． 23. 对于任意一个实数，具有非负性，即“”这个结论在数学中非常有用．很多情况下我们需要将代数式配成完全平方式，然后利用“”来解决问题． 例如： （1）填空：_____； （2）填空：的最小值为_____； （3）请用作差法比较与的大小，并写出解答过程． 24. 如图，在等边中，，动点从点出发以的速度沿匀速运动．动点同时从点出发以同样的速度沿的延长线方向匀速运动，当点到达点时，点、同时停止运动．设运动时间为．过点作于，连接交于点．以、为边作平行四边形． （1）______（用含的代数式表示）； （2）当为菱形时，求的值； （3）是否存在某一时刻，使点在的平分线上？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级第一次单元检测数学试题 一、选择题（共9小题，每小题3分，共27分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 【详解】解：A．当时，是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意； B．含有分式，不是整式方程，故该选项不正确，不符合题意；        C．未知数项的最高次数是3，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意； D．可变形为，是一元二次方程，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 2. 已知方程，则此方程（ ） A. 无实数根 B. 两根之和为 C. 两根之积为 D. 有一个根为 【答案】C 【解析】 【分析】A、根据方程的系数结合根的判别式即可得出△=8>0，由此可得出该方程有两个不相等的实数根，即A选项不符合题意；B（C）、设方程的两个实数根分别为m、n，根据根与系数的关系即可得出m+n=-2、m•n=-1，由此即可得出B选项不符合题意、C选项符合题意；D、利用公式法求出方程的解，由此即可得出D选项不符合题意．综上即可得出结论． 【详解】解：A.∵在方程中, ∴该方程有两个不相等的实数根，A选项不符合题意； B、C,设方程的两个实数根分别为m、n， ∴m+n=−2，m⋅n=−1， ∴B选项不符合题意，C选项符合题意； D. 利用公式法可知： ∴D选项不符合题意. 故选:C 【点睛】考查根与系数的关系，解一元二次方程-公式法，根的判别式，比较基础，难度不大. 3. 如图2，四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直，则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是（ ） A. BA＝BC B. AC、BD互相平分 C. AC＝BD D. AB∥CD 【答案】B 【解析】 【详解】解：对角线互相垂直平分的四边形为菱形．已知对角线AC、BD互相垂直， 则需添加条件：AC、BD互相平分 故选：B 4. 如果关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则所满足的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方程有两个相等的实数根，则△=0. 【详解】解：由题意得△=b2-4ac=(-6)2-4m=0，解得m=9. 【点睛】本题考查了根的判别式与根的关系. 5. 若是方程的根，则代数式的值为（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2027 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查代数式的值，熟练掌握代数式的值是解题的关键；由题意易得，然后整体代入求解即可． 【详解】解：由题意得：，即， ∴； 故选D． 6. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上4，然后把方程左边写成完全平方的形式即可． 【详解】解：， ， ， ． 故选：B． 7. 关于x的一元二次方程x2+kx﹣3＝0有一个根为﹣3，则另一根为（　　） A. 1 B. ﹣2 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】设方程x2+kx-3=0的另一个根为a，根据根与系数的关系得出-3a=-3，求出方程的解即可． 【详解】解：设方程x2+kx﹣3＝0的另一个根为a， ∵关于x的一元二次方程x2+kx﹣3＝0有一个根为﹣3， ∴由根与系数的关系得：﹣3a＝﹣3， 解得：a＝1， 即方程的另一个根为1， 故选A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解和根与系数的关系，能根据根与系数的关系得出关于a的方程是解此题的关键. 8. 某工厂四月份生产零件25万个，第二季度共生产零件91万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】明确第二季度包含四、五、六三个月，结合月增长率表示各月产量后根据总产量列方程． 【详解】解：四月份产量为25万个， 五月份产量为万个， 六月份产量为万个． ∵第二季度总产量为91万个， ∴． 9. 如图，小华剪了两条宽为的纸条，交叉叠放在一起，且它们较小的交角为，则它们重叠部分的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：过点D作DE⊥AB，垂足为E；过点D作DF⊥BC，垂足为F． 则∠AED=∠CFD=90°，DE=DF=1， 根据题意得： AD∥BC，AB∥DC，∠BCD=60°， ∴四边形ABCD为平行四边形， ∴∠BAD=∠BCD=60°，即∠EAD=∠FCD=60°， ∵在△AED与△CFD中： ， ∴△AED≌△CFD (AAS) ∴AD=CD， ∴平行四边形ABCD为菱形， ∵在Rt△CFD中，∠FCD=60°， ∴∠FDC=30°， ∴在Rt△CFD中，， ∴在Rt△CFD中，， ∴， ∵在菱形ABCD中，BC=CD， ∴， ∴菱形ABCD的面积为：，即纸片重叠部分的面积为． 故选D． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 10. 把方程化为一般形式是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先展开方程左边两个一次式的乘积，再合并同类项，整理为一元二次方程的一般形式即可． 【详解】解： ， 原方程化为一般形式为． 11. 如图，菱形的对角线相交于点O，请你添加一个条件：________ ， 使得该菱形为正方形． 【答案】（或等，答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定方法，已知四边形是菱形，根据对角线相等的菱形是正方形或有一个角是直角的菱形是正方形进行添加条件即可． 【详解】解：已知四边形是菱形， 若添加条件：，则满足“对角线相等的菱形是正方形”的判定定理， 若添加条件：，则满足“有一个角是直角的菱形是正方形”的判定定理， 任选其中一个为答案即可． 12. 为丰富学生的课余生活，提高学生的身体素质与团队协作能力，增强班级凝聚力与集体荣誉感，促进学生间的交流与互动，弘扬体育精神．某校决定举行排球比赛，计划安排7天，每天安排4场，赛制是参赛的每个队之间都要比赛一场．则有______个球队参加比赛． 【答案】8 【解析】 【分析】设有x个球队参赛，根据题意可列出关于x的一元二次方程，再解之，舍去不合题意的解即可． 【详解】解：设有x个球队参赛， 根据题意可得：， 解得：或（舍去）， 故有8个球队参赛． 13. 有一间长，宽的长方形会议室，在它的中间铺一块长方形地毯，地毯的面积是会议室面积的，会议室的四周，未铺地毯的留空宽度相同，设留空宽度为，则可列方程为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据会议室的四周，未铺地毯的留空宽度相同，画出草图，用表示出地毯的长，用表示地毯的宽，再根据地毯的面积是会议室面积的，即可列出方程． 【详解】 解：因为未铺地毯的留空宽度相同，设留空宽度为， ∴地毯的长可表示为：，地毯的宽可表示为：， ∵地毯的面积是会议室面积的， ∴， 即， 综上，可列方程为． 14. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的最大整数值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据方程有两个不相等的实数根，得到，确定符合题意的整数解即可． 【详解】∵x的方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， ∵k是整数， ∴k的最大整数值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，方程满足的条件，解不等式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 15. 如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则的长为___________． 【答案】4 【解析】 【分析】由菱形的面积求出对角线的长，再利用直角三角形斜边中线的性质求出的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，在菱形中， ∴． 三、作图题（共4分） 16. 如图所示，一块儿三角形空地ABC，要在其内部建一个菱形花园，使得B为菱形花园的一个顶点，其余3个顶点分别在的3条边上．请你能设计出此菱形花园． 【答案】 如图所示，四边形BEDF为所求菱形， 【解析】 【分析】首先作的角平分线交AC于点D，再过点D分别作BC边和AB边的平行线，即可得出所求菱形． 【详解】解：作法：（1）作的角平分线交AC于点D，具体作法为：以点B为圆心，任意长为半径作圆，与AB边交于M点，与BC边交于N点，分别以M、N点为圆心，适当长为半径作圆，交于P点，作射线BP，交AC于点D； （2）作交AB于点E，交BC于点F，则四边形BEDF为所求菱形． 证明：∵，， ∴四边形BEDF为平行四边形， ∵BD是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形BEDF为菱形． 【点睛】本题考查复杂作图，涉及角平分线的作法，平行线的性质，平行四边形的判定、菱形的判定等知识点，熟记菱形的判定方法是解题的关键． 四、解答题 17. 解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）， （2） （3）， （4） 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ，． 【小问2详解】 解：， ， ， ． 【小问3详解】 解：， ， ， ，． 【小问4详解】 解：， ， ， 这里：， ， ． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程有两个相等的实数根，求的值． （2）设，是方程的两个实数根，当时，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用判别式求解； （2）根据根与系数的关系（韦达定理）与完全平方式的变形求解． 【小问1详解】 解：∵方程有两个相等的实数根， ， ． 【小问2详解】 解：，是方程的两个实数根，， ，． ． 19. 如图，菱形的对角线与交于点O，过点C作，过点B作，与交于点E． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求菱形的面积． 【答案】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形； （2）24 【解析】 【分析】（1）由菱形的性质得，再结合题意证四边形是平行四边形，即可得结论； （2）根据（1）的结论求出，再根据菱形的性质和面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 20. 如图，的对角线相交于点． （1）求证：； （2）若，连接、，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵, ∴，即． 在和中， ， ∴． （2）解：四边形是矩形．理由： 由（1）知． ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴平行四边形是矩形． 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形的对角线互相平分，证明，再借助证明即可； （2）根据对角线相等的平行四边形是矩形判定即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略． 21. 如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为72． 【答案】所围矩形猪舍的长为9m、宽为8m 【解析】 【分析】设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm，可以得出平行于墙的一边的长为(25−2x+1)m，根据猪舍面积为72列出方程，再根据题意对求出的解进行取舍即可． 【详解】解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm，可以得出平行于墙的一边的长为(25−2x+1)m， 由题意得： x(25−2x+1)=72， 化简，得， 解得：，， 当x=4时，25−2x+1=25−2×4+1=18>12（舍去）， 当x=9时，25−2x+1=25−2×9+1=8<12， 答：所围矩形猪舍的长为9m、宽为8m． 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，读懂题意，根据等量关系列出一元二次方程是解题的关键． 22. 根据以下素材，探索完成任务． 素材1 泥塑，俗称“彩塑”，泥塑艺术是中国民间传统的一种古老常见的民间艺术.某泥塑作坊制作泥塑进行销售，7月份制作泥塑1000件，同年9月份制作泥塑1440件 素材2 泥塑的制作成本为30元/件，销售一段时间后发现，当泥塑售价为40元/件时，月销售量为400件.若在此基础上每件售价每上涨1元，则月销售量将减少10件 问题解决 （1）任务1：求该泥塑作坊7月份到9月份制作泥塑数量的月平均增长率； （2）任务2：为使月销售利润达到6000元，而且尽可能让顾客得到实惠，该泥塑的售价应定为多少元/件． 【答案】（1）月平均增长率为． （2）该泥塑的售价应定为元/件． 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用：增长率问题的模型为，注意检验根是否符合题意；销售利润问题抓住“总利润=单件利润×销量”，并根据“让顾客得到实惠”对根进行取舍． （1）设月平均增长率为，由7月到9月经过两次增长，可列方程． （2）设售价上涨元，则月销售量为件，每件利润为元，由“总利润=单件利润×月销量”列方程，并结合“尽可能让顾客得到实惠”舍去较大的根． 【小问1详解】 解：设该泥塑作坊7月份到9月份制作泥塑数量的月平均增长率为， 由题意，得， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴月平均增长率为． 【小问2详解】 解：设该泥塑的售价上涨元，则月销售量为件，每件利润为元， 由题意，得， 整理，得， 解得，， ∵要尽可能让顾客得到实惠， ∴售价应较低， ∴， ∴， ∴该泥塑的售价应定为元/件． 23. 对于任意一个实数，具有非负性，即“”这个结论在数学中非常有用．很多情况下我们需要将代数式配成完全平方式，然后利用“”来解决问题． 例如： （1）填空：_____； （2）填空：的最小值为_____； （3）请用作差法比较与的大小，并写出解答过程． 【答案】（1）， （2） （3）解： ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）由，再配方即可； （2）由，再利用非负数的性质可得答案； （3）由，再利用非负数的性质可得答案． 【小问1详解】 解： . 【小问2详解】 解： ， ∴的最小值为2． 【小问3详解】 略 24. 如图，在等边中，，动点从点出发以的速度沿匀速运动．动点同时从点出发以同样的速度沿的延长线方向匀速运动，当点到达点时，点、同时停止运动．设运动时间为．过点作于，连接交于点．以、为边作平行四边形． （1）______（用含的代数式表示）； （2）当为菱形时，求的值； （3）是否存在某一时刻，使点在的平分线上？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质可知，由可知，故； （2）由是菱形得到，进而可求解； （3）如图1中，连接交于M，证明，由此构建方程即可解决问题. 【小问1详解】 解：在等边中，， ， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：由题意可知， 在等边中，， ， 当是菱形时，， ， 解得， 即当为菱形时，的值为． 【小问3详解】 解：存在． 理由：如图1中，连接交于M， 平分，， ，， ， ， ， ，， ， 解得． 故存在某一时刻，使点在的平分线上，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $