精品解析：山东临沂第三十四中学2026-2027学年上学期九年级数学第一次学情自测卷

2026-2027学年（上）九数第一次月考卷 （考试时间：90分钟，分值：120分） 测试范围：人教版九年级上册第二十五章~第二十六章 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 观察下列表格，估计一元二次方程的一个解的大致范围是（ ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 0.11 0.24 0.39 0.56 0.74 0.96 1.19 1.44 1.71 A. B. C. D. 4. 把函数的图象，经过怎样的平移变换以后，可以得到函数的图象（　） A. 向左平移个单位，再向下平移个单位 B. 向左平移个单位，再向上平移个单位 C. 向右平移个单位，再向上平移个单位 D. 向右平移个单位，再向下平移个单位 5. 若，，为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 在同一坐标系内，一次函数与二次函数的图像可能是 A. B. C. D. 7. 已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如表所示，以下结论正确的是（ ） A. 抛物线的开口向下 B. 当时，随增大而增大 C. 当时，的取值范围是 D. 方程的根为和 8. 已知、是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（ ） A. B. C. D. 9. 如图是某校五四青年的宣传海报，中间是一个长与宽之比为的矩形图案，周围是宽度为的白色边框，其中图案面积等于边框面积的2倍，设这张矩形图案的长为，根据题意列出方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示下列结论：；方程的两个根是；；当时，的取值范围是；当时，随的增大而增大．其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是________． 12. 已知二次函数的对称轴是直线，若关于的一元二次方程的一个根为，则另一个根为__________． 13. 如图，已知抛物线与直线交于两点，则关于x的不等式的解集是________． 14. 飞机着陆时速度快，通常借助直道滑行一段距离来保持飞机稳定．据统计某飞机着陆后滑行的距离（单位：）与滑行的时间（单位：）的函数解析式是，那么飞机着陆后滑行________才能停下来． 15. 如图，我们把抛物线记为，它与x轴交于点O、；将绕点旋转得，交x轴于另一点；将绕点旋转得，交x轴于另一点；……；如此进行下去，直至得．若点在抛物线上，则___________． 三、解答题（共75分） 16. 用适当的方法解一元二次方程： （1） （2） 17. 已知关于的一元二次方程， （1）求证：无论取何实数值，方程总有实数根； （2）若等腰的底边长，另两边长、恰好是这个方程的两个根，求此三角形的周长 18. 已知二次函数． （1）用配方法将化为的形式； （2）写出这个二次函数的顶点坐标；当x取何值时，y随x的增大而减小？ 19. 已知：二次函数，与的一些对应值如表： … 0 1 2 4 … … 3 3 … （1）根据表格中的数据，确定二次函数解析式为________； （2）表格中空白处的值________，________； （3）用五点作图法，在给定坐标系里画出二次函数的图； （4）当时，，则的取值范围为________． 20. 中秋期间，某商场以每盒140元的价格购进一批月饼，当每盒月饼售价为180元时，每天可售出60盒．为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每盒月饼降价1元，那么商场每天就可以多售出5盒． （1）设售价每盒下降x元，则每天能售出多少盒？（用含x的代数式表示）； （2）降价多少元时，每天的销售利润w最大？ （3）为保证销售利润不低于3200元，求降价的取值范围 21. 如图为生活中常见的多功能锅，锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成封闭图形，不妨简称为“锅线”，若某食堂有一口锅，其锅口直径为，锅深，锅盖高（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线记为，把锅盖纵断面的抛物线记为． （1）写出和的解析式：______； （2）如果烹饪时锅内的水位高度是，则此时水面的直径为__________； （3）如果将一个底面直径为，高度为的圆柱形器皿放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请通过计算说明理由． 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴交于点M． （1）求此抛物线的解析式和对称轴； （2）在此抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）连接AC，在直线AC下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年（上）九数第一次月考卷 （考试时间：90分钟，分值：120分） 测试范围：人教版九年级上册第二十五章~第二十六章 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的识别．本题根据一元二次方程的定义解答． 【详解】解：A、当时，是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、是一元二次方程，故本选项符合题意； C、变形为不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D、含有分式，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：B 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握顶点式的顶点坐标为是解题的关键． 直接利用抛物线的顶点式特点确定顶点坐标即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是． 故选：A． 3. 观察下列表格，估计一元二次方程的一个解的大致范围是（ ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 0.11 0.24 0.39 0.56 0.74 0.96 1.19 1.44 1.71 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查估算一元二次方程近似解，根据表中数据可直接得出答案． 【详解】解：由表可知，时，随x的增大而增大， 当时，，当时，， 因此估计一元二次方程的一个解的大致范围是， 故选C． 4. 把函数的图象，经过怎样的平移变换以后，可以得到函数的图象（　） A. 向左平移个单位，再向下平移个单位 B. 向左平移个单位，再向上平移个单位 C. 向右平移个单位，再向上平移个单位 D. 向右平移个单位，再向下平移个单位 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线顶点的变换规律作出正确的选项． 【详解】抛物线的顶点坐标是，抛物线线的顶点坐标是， 所以将顶点向右平移个单位，再向上平移个单位得到顶点， 即将函数的图象向右平移个单位，再向上平移个单位得到函数的图象． 故选C． 【点睛】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式． 5. 若，，为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性和对称性，确定出各点到对称轴的距离是解题的关键． 先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性以及点到对称轴的距离解答． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线，且开口向上， ∵，，， ∴点距离对称轴最近，点距离对称轴最远， ∴， 故选：． 6. 在同一坐标系内，一次函数与二次函数的图像可能是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】x=0，求出两个函数图像在y轴上相交于同一点，再根据抛物线开口方向向上确定出a＞0，然后确定出一次函数图像经过第一、三象限，从而得解． 【详解】x=0时，两个函数的函数值y=b， 所以，两个函数图像与y轴相交于同一点，故B、D选项错误； 由A、C选项可知，抛物线开口方向向上， 所以，a＞0， 所以，一次函数y=ax+b经过第一三象限， 所以，A选项错误，C选项正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图像，一次函数的图像，熟练掌握一次函数和二次函数图像特征和系数的关系是解题的关键． 7. 已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如表所示，以下结论正确的是（ ） A. 抛物线的开口向下 B. 当时，随增大而增大 C. 当时，的取值范围是 D. 方程的根为和 【答案】D 【解析】 【分析】根据表格确定对称轴的位置，进而求出的值，画出二次函数的图象，利用数形结合的思想，进行判断即可． 【详解】解：由表格可知：和的函数值相同，均为， ∴抛物线的对称轴为直线：， ∴和的函数值相等，即：， 根据五点作图法，得到二次函数的图象如下： 由图可知： 抛物线开口向上， 时，随值的增大而减小，时，随值的增大而增大， 当时，x的取值范围是或， 抛物线与轴交于，， ∴方程的根为和； 综上：，，选项错误，不符合题意，选项正确，符合题意； 故选：． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．熟练掌握数形结合的思想是解题的关键． 8. 已知、是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，熟记一元二次方程根与系数的关系是解答本题的关键． 根据一元二次方程的定义，得到，再根据根与系数的关系，得到，由此得到答案． 【详解】解：根据题意得： 是一元二次方程的实数根， ， ， 又、是一元二次方程的两个实数根， ， ， 故选：． 9. 如图是某校五四青年的宣传海报，中间是一个长与宽之比为的矩形图案，周围是宽度为的白色边框，其中图案面积等于边框面积的2倍，设这张矩形图案的长为，根据题意列出方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．分别表示出图案面积和海报面积，根据边框面积图案面积，可得海报面积图案面积边框面积，即可列出方程． 【详解】解：通过题意易知，矩形的面积， 又∵矩形的周围是的边框， ∴整个海报的长为，宽为，面积为， 又∵边框面积矩形图案面积， ∴边框面积， ∴海报面积图案面积边框面积， 即． 故选：D． 10. 如图，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示下列结论：；方程的两个根是；；当时，的取值范围是；当时，随的增大而增大．其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数与不等式的关系． 由抛物线与轴有两交点，可得，可判断；由抛物线的对称性可得抛物线与轴的另一交点坐标，从而可得方程的两个根，可判断；由抛物线的对称轴为直线，可得与的关系，由抛物线经过，，可得，，可判断；由抛物线的开口方向，结合方程的两个根，可得当时，的取值范围，可判断；由图象可得当时，随的增大而增大，可判断． 【详解】解：∵抛物线与轴有两交点， ∴， ∴， ∴正确； ∵抛物线与轴交于，抛物线对称轴为直线， ∴抛物线与轴另一交点坐标为， ∴方程的两个根是，， ∴正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵抛物线经过，， ∴，， ∴， ∴， ∴正确； ∵抛物线开口向下，方程的两个根是，， ∴当时，的取值范围是， ∴不正确； 由图象可得当时，随的增大而增大， ∴正确， ∴正确的有，共4个． 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程（，a，b，c为常数）的定义以及根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 根据一元二次方程根的判别式以及一元二次方程的定义列出不等式，解不等式求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根 ∴且， 解得且， 故答案为：且． 12. 已知二次函数的对称轴是直线，若关于的一元二次方程的一个根为，则另一个根为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，以及抛物线的对称性，明确抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称是解题的关键． 根据抛物线的对称性，可知的图象与x轴的两个交点关于直线对称，两交点的横坐标即为方程的两根，根据对称性建立关系式即可求解． 【详解】解：设方程的另一根为， ∵二次函数的对称轴是直线，关于的一元二次方程的一个根为 ∴， 解得， ∴另一根为， 故答案为：． 13. 如图，已知抛物线与直线交于两点，则关于x的不等式的解集是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，旨在考查学生的数形结合能力．确定抛物线与直线的交点坐标是解题关键． 【详解】解：由图象可知，当时，抛物线位于直线上方， ∴不等式的解集是：， 故答案为： 14. 飞机着陆时速度快，通常借助直道滑行一段距离来保持飞机稳定．据统计某飞机着陆后滑行的距离（单位：）与滑行的时间（单位：）的函数解析式是，那么飞机着陆后滑行________才能停下来． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，飞机停下来时，滑行的距离最远，即此时s有最大值，据此求解即可． 【详解】解： ， 当飞机着陆后滑行，才能停下来； 故答案为：． 15. 如图，我们把抛物线记为，它与x轴交于点O、；将绕点旋转得，交x轴于另一点；将绕点旋转得，交x轴于另一点；……；如此进行下去，直至得．若点在抛物线上，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】由图可知，抛物线在x轴下方，易得，推出由向右平移6045个单位长度得到，进而得到：，把代入即可求解． 【详解】解：由图可知，抛物线在x轴下方， 把代入得：， 解得：， ∴， ∵， ∴由向右平移6045个单位长度得到， ∵： ∴：， 把代入得： ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与几何变换，利用点的坐标确定函数图象的变化，熟练掌握二次函数平移规律，是解题的关键． 三、解答题（共75分） 16. 用适当的方法解一元二次方程： （1） （2） 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程． （1）用因式分解法解方程即可； （2）移项，整理，用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴或， ∴， 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 17. 已知关于的一元二次方程， （1）求证：无论取何实数值，方程总有实数根； （2）若等腰的底边长，另两边长、恰好是这个方程的两个根，求此三角形的周长 【答案】（1） 证明： ， 无论取何值，方程总有实数根． （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，等腰三角形的定义，三角形三边关系，解一元二次方程，分类讨论是解题的关键． （1）根据题意，计算得出，即可得证； （2）根据为底边，则，为腰长，则，则．得出．进而解一元二次方程，得出，根据三角形的三边关系检验，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：为底边，则，为腰长，则，则． ，解得：． 此时原方程化为， ，即． 此时三边为3，2，2能构成三角形，三角形的周长为． 18. 已知二次函数． （1）用配方法将化为的形式； （2）写出这个二次函数的顶点坐标；当x取何值时，y随x的增大而减小？ 【答案】（1） （2）顶点坐标为，当时，y随x增大而减小 【解析】 【分析】（1）按照配方法步骤进行即可； （2）由（1）得到抛物线的顶点、对称轴和开口方向，再利用抛物线的增减性解答即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：∵，， ∴图象开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线； ∴当时，y随x增大而减小． 19. 已知：二次函数，与的一些对应值如表： … 0 1 2 4 … … 3 3 … （1）根据表格中的数据，确定二次函数解析式为________； （2）表格中空白处的值________，________； （3）用五点作图法，在给定坐标系里画出二次函数的图； （4）当时，，则的取值范围为________． 【答案】（1） （2）； （3） （4） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可； （2）由（1）分别把、代入解析式求出，即可； （3）根据表格数据，分别描点、连线画出函数图象； （4）根据图象和取值范围，运用数形结合思想进行分析，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，把，，分别代入， 得，解得， ∴； 【小问2详解】 解：依题意，把代入，得， 即； 把代入，得， 即； 【小问3详解】 解： ∴顶点坐标为，对称轴方程为． 画出二次函数的图象略； 【小问4详解】 解：观察（3）的函数图象：当时，则， ∵当时，， ∴结合函数图象，得． 20. 中秋期间，某商场以每盒140元的价格购进一批月饼，当每盒月饼售价为180元时，每天可售出60盒．为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每盒月饼降价1元，那么商场每天就可以多售出5盒． （1）设售价每盒下降x元，则每天能售出多少盒？（用含x的代数式表示）； （2）降价多少元时，每天的销售利润w最大？ （3）为保证销售利润不低于3200元，求降价的取值范围 【答案】（1）每天能售出盒 （2）降价14元时，每天的销售利润w最大 （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）根据每盒月饼降价1元，那么商场每天就可以多售出5盒，列出代数式即可； （2）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出函数关系式，利用二次函数的性质进行求解即可； （3）求出时的的值，利用二次函数的性质，求出自变量的范围即可． 【小问1详解】 解：由题意，得：每天能售出盒； 答：每天能售出盒； 【小问2详解】 由题意，得：， ∴当时，有最大值为：元； 答：降价14元时，每天的销售利润w最大； 【小问3详解】 当时，， 解得：， ∵，且抛物线的开口向下， ∴． 21. 如图为生活中常见的多功能锅，锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成封闭图形，不妨简称为“锅线”，若某食堂有一口锅，其锅口直径为，锅深，锅盖高（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线记为，把锅盖纵断面的抛物线记为． （1）写出和的解析式：______； （2）如果烹饪时锅内的水位高度是，则此时水面的直径为__________； （3）如果将一个底面直径为，高度为的圆柱形器皿放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请通过计算说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）能正常盖上； 理由如下： 当时，抛物线， 抛物线， 而， ∴锅盖能正常盖上． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征等，注意数形结合思想在解题中的应用. （1）已知、、、四点坐标，利用待定系数法即可确定两函数的解析式； （2）烹饪时锅内的水位高度是，即，列方程求得x的值即可得答案； （3）底面直径为、高度为圆柱形器皿能否放入锅内，需判断当时，、中的值的差与比较大小，从而可得答案． 【小问1详解】 解：由于抛物线、都过点、，设、的解析式为：，； 抛物线还经过， 则有：， 解得：， 即：抛物线； 抛物线还经过， 则有：， 解得：， 即：抛物线， 故答案为：，． 【小问2详解】 解：当烹饪时锅内的水位高度是时，则， ∴， 解得：， ∴此时水面的直径为． 故答案为：； 【小问3详解】 略 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴交于点M． （1）求此抛物线的解析式和对称轴； （2）在此抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）连接AC，在直线AC下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y= ，抛物线的对称轴是 x=3； （2）存在；P点坐标为（3，）． （3）在直线AC下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大．N（，-3） 【解析】 【详解】(1)根据已知条件可设抛物线的解析式为y＝a(x－1)(x－5)． 把点A(0，4)代入上式，解得a＝． ∴y＝(x－1)(x－5)＝x2－x＋4＝(x－3)2－． ∴抛物线的对称轴是直线x＝3． (2)存在，P点的坐标是(3，)．如图1，连接AC交对称轴于点P，连接BP，AB． ∵点B与点C关于对称轴对称， ∴PB＝PC． ∴AB＋AP＋PB＝AB＋AP＋PC＝AB＋AC． ∴此时△PAB的周长最小． 设直线AC的解析式为y＝kx＋b．把A(0，4)，C(5，0)代入y＝kx＋b，得 解得 ∴y＝－x＋4． ∵点P的横坐标为3， ∴y＝－×3＋4＝． ∴P(3，)． (3)在直线AC下方的抛物线上存在点N，使△NAC的面积最大． 如图2，设N点的横坐标为tt，此时点N(t，t2－t＋4)(0＜t＜5)． 过点N作y轴的平行线，分别交x轴，AC于点F，G，过点A作AD⊥NG，垂足为D． 由(2)可知直线AC的解析式为y＝－x＋4． 把x＝t代入y＝－x＋4，得y＝－t＋4． ∴G(t，－t＋4)． ∴NG＝－t＋4－(t2－t＋4)＝－t2＋4t． ∵AD＋CF＝OC＝5， ∴S△NAC＝S△ANG＋S△CGN＝NG·AD＋NG·CF＝NG·OC ＝×(－t2＋4t)×5＝－2t2＋10t＝－2(t－)2＋． ∵当t＝时，△NAC面积的最大值为． 由t＝，得y＝×()2－×＋4＝－3． ∴N(，－3)． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $