第11讲：奇偶性【七大题型+知识归纳】讲义-2026-2027学年高一上学期数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版必修第一册）

第11讲 奇偶性 题型一、判断函数的奇偶性 2 题型二、由奇偶性求解析式 3 命题角度1　求对称区间上的解析式 3 命题角度2　构造方程组求解析式 3 题型三、由奇偶性求参数 4 题型四、由函数奇偶性解不等式 4 题型五、函数奇偶性对称性的应用 4 题型六：抽象函数的奇偶性 5 题型七：函数奇偶性的综合问题 6 知识点1　函数奇偶性的定义 前提条件：奇(偶)函数的定义域关于原点对称． 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称 知识点2　用奇偶性求解析式 如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，想求关于原点的对称区间[－b，－a]上的解析式，其解决思路为： (1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设． (2)要利用已知区间的解析式进行代入． (3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)． 知识点3　奇偶性与单调性 若函数f(x)为奇函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性；若函数f(x)为偶函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性． 题型一、判断函数的奇偶性 【例1】．（26-27高一上·全国·课后作业）判断下列各函数是否具有奇偶性 (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 【变式1】．（26-27高一上·全国·课后作业）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3) 【变式2】．判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 题型二、由奇偶性求解析式 命题角度1　求对称区间上的解析式 【例2】．（26-27高一上·全国·课堂例题）函数是定义域为R的偶函数，当时，，则当时，的表达式为　________　. 【变式1】．（25-26高一上·上海宝山·期末）已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，则 在时的解析式是_____. 【变式2】．（25-26高一上·江苏扬州·期中）函数是定义在上的奇函数，且当，，则时，__________. 命题角度2　构造方程组求解析式 【例3】．（25-26高三上·山东临沂·期中）设函数的定义域为，，，若为奇函数，为偶函数，则____________. 【变式1】．（24-25高一上·上海·阶段检测）已知函数为奇函数，为偶函数，，则_______． 【变式2】．（25-26高一上·江苏扬州·期中）已知函数，，的定义域都为，其中为奇函数，为偶函数，且，，则函数__________. 题型三、由奇偶性求参数 【例4】．（26-27高一上·全国·课后作业）若函数是上的偶函数，则的值为______． 【变式1】．（25-26高一上·宁夏吴忠·期末）已知定义域为的奇函数，则的值为_____． 【变式2】．（4.1 函数的奇偶性课堂例题）已知函数是定义在上的奇函数，则_____，_____. 题型四、由函数奇偶性解不等式 【例5】．（26-27高三上·四川眉山·阶段检测）已知偶函数的定义域为，且在上是增函数，若，则不等式的解集是______. 【变式1】．（2026高一上·全国·专题练习）已知偶函数在上单调递增，则的解集为______ 【变式2】．（25-26高一上·江苏连云港·期末）已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，，则关于的不等式的解集为_____________. 题型五、函数奇偶性对称性的应用 【例6】．（25-26高一上·北京·期中）定义在上的偶函数满足：对任意的，（），有，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高一上·山西太原·期中）已知偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（24-25高二下·贵州遵义·阶段检测）已知函数是定义在上的奇函数，对任意，且，都有，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 题型六：抽象函数的奇偶性 【例7】．（26-27高一上·湖南邵阳·开学考试）已知函数的定义域为，，且当时，． (1)判断函数的奇偶性，并写出必要的证明过程； (2)证明：函数在区间上单调递减； (3)解不等式：． 【变式1】．（25-26高一上·广东汕头·期中）定义在非零实数集上的函数对任意非零实数，满足：，且当时. (1)求及的值； (2)判断的奇偶性并证明； (3)解不等式：. 【变式2】．（25-26高一上·河南信阳·期中）定义在非零实数集上的函数满足，且是区间上的递增函数． (1)求的值； (2)证明：函数是偶函数； (3)解不等式 题型七：函数奇偶性的综合问题 【例8】．（26-27高一上·广东揭阳·开学考试）已知是定义在上的奇函数． (1)求，的值及的解析式； (2)判断在定义域上的单调性，并证明； (3)解不等式：． 【变式1】．（25-26高一下·湖南长沙·阶段检测）函数是定义在上的奇函数，且． (1)求的解析式，并用函数单调性的定义证明在区间上为增函数； (2)解不等式． 【变式2】．（25-26高一上·湖北孝感·期末）已知定义在上的函数满足下列两个条件：①对任意、，都有；②对任意，.请解答下列问题： (1)判断的奇偶性及在定义域内的单调性，并证明； (2)解不等式：； (3)证明：对任意正整数，. 提示：①；②. 一、单选题 1．（26-27高一上·辽宁·期中）已知是定义在上的偶函数，则（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高一上·全国·期中）函数的图象大致是（ ） A． B．C．D． 3．（26-27高一上·北京·期中）已知偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 4．（26-27高一上·湖南·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 5．（26-27高一上·福建泉州·开学考试）已知函数是定义在上的奇函数，在区间上单调递增，且，则不等式的解集为（     ）. A． B． C． D． 6．（25-26高一下·云南丽江·期末）设奇函数的定义域为，对任意的，且，都有不等式，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 7．（26-27高一上·全国·课后作业）已知定义在上的函数，满足，且当时，，则下列说法正确的是（ ） A． B．为奇函数 C． D．若，则的取值范围为 二、多选题 8．（25-26高二·全国·暑假作业）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．是偶函数，递增区间是 B．是偶函数，递减区间是 C．是奇函数，递减区间是 D．是奇函数，递增区间是 9．（25-26高一上·江西宜春·期末）已知满足，且时，，.则（   ） A．是奇函数 B．是上的增函数 C． D．的解集为 10．（25-26高一上·安徽马鞍山·期末）已知定义在上的函数满足，且当时，，则下列说法正确的是（   ） A． B．的图象关于原点对称 C．在上单调递增 D．关于的不等式的解集为 11．（25-26高一上·江苏镇江·期末）设函数的定义域为，满足，且函数在上是减函数，，则（    ） A． B．为奇函数 C．若，则 D．不等式的解集为 三、填空题 12．（26-27高一上·北京·期中）设是定义在上的偶函数，当时，的图象如图所示，则不等式的解集为______． 13．（25-26高一上·广东汕头·期末）已知是奇函数，且当时，，则＝________ 14．（25-26高一下·天津河北·开学考试）已知函数是定义域在上的奇函数，且在上为增函数，若，则实数的取值范围是______． 15．（25-26高一下·山东德州·阶段检测）已知定义在R上的函数在区间上单调递减，若函数为偶函数，且，则不等式的解集为______ 四、解答题 16．（26-27高一上·辽宁·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求的解析式； (2)用定义判断在区间上的单调性. 17．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知函数是定义在上的奇函数，且 (1)求的解析式； (2)用定义法证明：在上是增函数； (3)若实数满足，求实数的范围． 18．（26-27高三上·甘肃天水·阶段检测）已知是定义在上的偶函数，当时，． (1)求在时的解析式； (2)解不等式：； (3)若在上恒成立，求实数的取值范围． 19．（26-27高一上·江西·期中）函数的定义域，且满足对任意，有：． (1)求，的值； (2)判断的奇偶性并证明； (3)如果，，且在上是增函数，求的取值范围． 20．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知是定义在上的奇函数． (1)判断在定义域上的单调性，并证明； (2)解不等式：； (3)若，，成立，求实数的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 奇偶性 题型一、判断函数的奇偶性 2 题型二、由奇偶性求解析式 4 命题角度1　求对称区间上的解析式 4 命题角度2　构造方程组求解析式 6 题型三、由奇偶性求参数 7 题型四、由函数奇偶性解不等式 8 题型五、函数奇偶性对称性的应用 9 题型六：抽象函数的奇偶性 10 题型七：函数奇偶性的综合问题 13 知识点1　函数奇偶性的定义 前提条件：奇(偶)函数的定义域关于原点对称． 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称 知识点2　用奇偶性求解析式 如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，想求关于原点的对称区间[－b，－a]上的解析式，其解决思路为： (1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设． (2)要利用已知区间的解析式进行代入． (3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)． 知识点3　奇偶性与单调性 若函数f(x)为奇函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性；若函数f(x)为偶函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性． 题型一、判断函数的奇偶性 【例1】．（26-27高一上·全国·课后作业）判断下列各函数是否具有奇偶性 (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 【答案】(1)奇函数 (2)非奇非偶函数 (3)非奇非偶函数 (4)奇函数 (5)既是奇函数又为偶函数 【详解】（1）定义域：，因为对于任意，且，所以为奇函数. （2）定义域：，即，所以为非奇非偶函数. （3）定义域：，解得，所以为非奇非偶函数. （4）定义域：，即或，所以， ，所以，所以函数为奇函数 （5）定义域：，解得，所以，因此既是奇函数又为偶函数. 【变式1】．（26-27高一上·全国·课后作业）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3) 【答案】(1)偶函数 (2)既是奇函数又是偶函数 (3)偶函数 【详解】（1）∵函数的定义域为R，关于原点对称，又， ∴为偶函数． （2）∵函数的定义域为，关于原点对称，且，∵， ∴既是奇函数又是偶函数． （3）的定义域是，关于原点对称．当时，，； 当时，，． 综上可知，对于，都有，为偶函数． 【变式2】．判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 【答案】(1)偶函数； (2)奇函数； (3)奇函数； (4)非奇非偶函数； (5)既是奇函数又是偶函数 【详解】（1）因为的定义域为，关于原点对称， 又， 所以为偶函数． （2）由，则函数的定义域为，它关于原点对称， 又， 所以为奇函数． （3）由， 则函数定义域为，关于原点对称，此时，所以， 所以，所以， 所以是奇函数． （4）由，则函数的定义域为， 所以函数定义域不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数． （5）由，所以，所以函数的定义域为，关于原点对称. 因为对定义域内的每一个，都有，所以，， 所以既是奇函数又是偶函数. 题型二、由奇偶性求解析式 命题角度1　求对称区间上的解析式 【例2】．（26-27高一上·全国·课堂例题）函数是定义域为R的偶函数，当时，，则当时，的表达式为　________　. 【答案】 【分析】利用偶函数的性质， 结合题设条件，代入化简即可． 【详解】当 时，，则 因为 是偶函数，所以 ． 即当 时，． 【变式1】．（25-26高一上·上海宝山·期末）已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，则 在时的解析式是_____. 【答案】 【分析】当时，，求出，再根据奇函数的定义求出. 【详解】当时，， 则当时，，有， 因为是定义域为的奇函数，所以， 故 在时的解析式是. 故答案为： 【变式2】．（25-26高一上·江苏扬州·期中）函数是定义在上的奇函数，且当，，则时，__________. 【答案】 【分析】当时，，所以可写出的解析式.因为函数是定义在上的奇函数，所以可以通过求得. 【详解】当时，，所以. 因为函数是定义在上的奇函数，所以. 故答案为：. 命题角度2　构造方程组求解析式 【例3】．（25-26高三上·山东临沂·期中）设函数的定义域为，，，若为奇函数，为偶函数，则____________. 【答案】 【详解】因为为奇函数，所以，即. 又为偶函数，所以， 即，得. 将代入， 得：, ,,.故答案为：. 【变式1】．（24-25高一上·上海·阶段检测）已知函数为奇函数，为偶函数，，则_______． 【答案】 【详解】函数为奇函数，则， 为偶函数，则， 因为①，则， 所以②， 则由①-②可得. 故答案为：． 【变式2】．（25-26高一上·江苏扬州·期中）已知函数，，的定义域都为，其中为奇函数，为偶函数，且，，则函数__________. 【答案】 【详解】因为偶函数，所以，又， 得，即①. 又为奇函数，所以，又， 得②. 将①代入②得，， ，解得. 故答案为：. 题型三、由奇偶性求参数 【例4】．（26-27高一上·全国·课后作业）若函数是上的偶函数，则的值为______． 【答案】 【详解】函数是定义在上的偶函数， ，即． ， ， ， ． 【变式1】．（25-26高一上·宁夏吴忠·期末）已知定义域为的奇函数，则的值为_____． 【答案】1 【详解】由题可知，所以， 又是奇函数，所以，即， 所以，所以． 故答案为：1 【变式2】．（4.1 函数的奇偶性课堂例题）已知函数是定义在上的奇函数，则_____，_____. 【答案】 1 0 【详解】因为函数是定义在上的奇函数， 所以且，所以，. 此时，是定义在上的奇函数. 故答案为：1；0 题型四、由函数奇偶性解不等式 【例5】．（26-27高三上·四川眉山·阶段检测）已知偶函数的定义域为，且在上是增函数，若，则不等式的解集是______. 【答案】 【详解】 因为是定义域为的偶函数，且在上单调递增， 所以在上单调递减，且，先分析的正负分布： 当时，；当时，； 当时，；当时，. 不等式等价于以下两个不等式组： ，即，解得； ，即，解得. 综上，原不等式的解集为. 【变式1】．（2026高一上·全国·专题练习）已知偶函数在上单调递增，则的解集为______ 【答案】 【详解】由题意得偶函数在上单调递增，若， 则，两边平方可得， 即，解得， 所以的解集为. 【变式2】．（25-26高一上·江苏连云港·期末）已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，，则关于的不等式的解集为_____________. 【答案】 【详解】关于的不等式，且，所以，又因为是定义在上的偶函数， 所以，因为在单调递减，所以，所以，即得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 题型五、函数奇偶性对称性的应用 【例6】．（25-26高一上·北京·期中）定义在上的偶函数满足：对任意的，（），有，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题设在上单调递减，又为偶函数，所以. 故选：A 【变式1】．（25-26高一上·山西太原·期中）已知偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由偶函数的对称性，且在上单调递减，则在上单调递增， 又，则等价于或， 所以或，故解集为. 故选：C 【变式2】．（24-25高二下·贵州遵义·阶段检测）已知函数是定义在上的奇函数，对任意，且，都有，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，且，都有，则在上单调递减， 又函数是定义在上的奇函数，则在上单调递减， 由，则，且， 故或时，或时， 所以的解集为. 故选：D 题型六：抽象函数的奇偶性 【例7】．（26-27高一上·湖南邵阳·开学考试）已知函数的定义域为，，且当时，． (1)判断函数的奇偶性，并写出必要的证明过程； (2)证明：函数在区间上单调递减； (3)解不等式：． 【答案】(1)为偶函数，证明如下： 首先，的定义域为关于原点对称； 其次，令，则，得． 令，则，得． 令，则，， 所以是偶函数． (2)证明：，设， ， 因为，所以，则，即， 所以，即． 所以在区间上单调递减． （3）由题意得， 因为为偶函数，所以， 又在上单调递减， 则由，得， 解得或， 所以不等式的解集为或． 【变式1】．（25-26高一上·广东汕头·期中）定义在非零实数集上的函数对任意非零实数，满足：，且当时. (1)求及的值； (2)判断的奇偶性并证明； (3)解不等式：. 【详解】（1）在中，令，可得，解得. 令，可得，解得. (2)函数是偶函数，理由如下： 的定义域是，，， 令，可得，所以函数是偶函数. （3）任意时，，由题意得： ， 所以在上是增函数， 可化为，即， 又由（2）知是偶函数，所以可化为， 又在上是增函数，所以，且， 解得：且， 所以不等式的解集为. 【变式2】．（25-26高一上·河南信阳·期中）定义在非零实数集上的函数满足，且是区间上的递增函数． (1)求的值； (2)证明：函数是偶函数； (3)解不等式 【详解】（1）由，令，得，得， 令，得，解得. (2)因为的定义域为，， 令，得， 即，所以函数为偶函数． （3）不等式， 即， ， 由（2）知为偶函数，得， 又是区间上的递增函数， ，解得或， 所以不等式的解集为. 题型七：函数奇偶性的综合问题 【例8】．（26-27高一上·广东揭阳·开学考试）已知是定义在上的奇函数． (1)求，的值及的解析式； (2)判断在定义域上的单调性，并证明； (3)解不等式：． 【答案】(1) (2) 在定义域上单调递增，证明如下： 设 ，易知 ，，，. 则 则 ，所以 在 上单调递增. (3) 【详解】（1）由已知 是定义在 上的奇函数，可得 . 又 ，所以 ，，.经检验，满足条件. （2）略 （3）因为 是定义在 上的奇函数，且 在 上单调递增， 由 可得 所以解得 ，故原不等式的解集为 . 【变式1】．（25-26高一下·湖南长沙·阶段检测）函数是定义在上的奇函数，且． (1)求的解析式，并用函数单调性的定义证明在区间上为增函数； (2)解不等式． 【详解】（1）∵函数在上是奇函数， ∴，即，∴，. 又∵，即，解得， ∴的解析式为. 函数在区间上为增函数，证明如下： 证明：任取，且， 则， ∵，∴，，， ，，故， ∴，即， ∴函数在区间上为增函数. （2）∵函数在上是奇函数， ∴不等式等价于. 又∵在上是增函数， ，解得． 【变式2】．（25-26高一上·湖北孝感·期末）已知定义在上的函数满足下列两个条件：①对任意、，都有；②对任意，.请解答下列问题： (1)判断的奇偶性及在定义域内的单调性，并证明； (2)解不等式：； (3)证明：对任意正整数，. 提示：①；②. 【详解】（1）令，则，解得； 令，则， 所以为定义在上的奇函数， 设，则，所以， 因为 ，所以，则，， 又，所以， 又当，，所以， 所以，即，所以在上是减函数. （2）由得， 因为定义域为且在上是减函数，所以， 解得，故原不等式的解集为. （3）因为， 因为，， 所以， 所以 ， 因为，所以，则， 所以， 故. 一、单选题 1．（26-27高一上·辽宁·期中）已知是定义在上的偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据定义域关于原点对称，函数奇偶性的定义列式即可求解. 【详解】由题意可知，得， 并且，即，故， 因此. 2．（26-27高一上·全国·期中）函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得函数的定义域为. ， 且， 为奇函数，所以函数的图象关于原点对称，故排除D； 又且时，，故排除C； 当时，，故A不正确，B正确. 3．（26-27高一上·北京·期中）已知偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】偶函数在 单调递减，则在单调递增. 由和偶函数性质得. 由可得以下两种情况： ① 时： ② 时： 所以不等式的解集为. 4．（26-27高一上·湖南·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数是定义在R上的偶函数，所以对，， 关于直线对称，则， 又因为在上单调递增，所以. 5．（26-27高一上·福建泉州·开学考试）已知函数是定义在上的奇函数，在区间上单调递增，且，则不等式的解集为（     ）. A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，且，则. 对于不等式， 若，因为在区间上单调递增，可得，不合题意； 若，由奇函数对称性可知在区间上单调递增， 可得，符合题意； 综上所述：不等式的解集为. 6．（25-26高一下·云南丽江·期末）设奇函数的定义域为，对任意的，且，都有不等式，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为对任意的且，都有不等式， 所以函数在单调递增， 因为是奇函数，所以对，，且， 即函数是偶函数. 因为函数在单调递增，所以函数在单调递减， 当可化为或 又为偶函数，，所以①或②， 由①得，解得; 由②得，可得，解得； 综上不等式的解集是. 7．（26-27高一上·全国·课后作业）已知定义在上的函数，满足，且当时，，则下列说法正确的是（ ） A． B．为奇函数 C． D．若，则的取值范围为 【答案】D 【详解】对于A，在中， 令，得，因此， 再令，得，则，故A错误； 对于B，令，得，又结合选项A知，所以， 又定义域为，关于原点对称，所以是偶函数，故B错误； 对于C，设，令，则， 所以，则在上是增函数， 所以，故C错误； 对于D，结合选项B知是偶函数，则等价于， 又结合选项C知在上是增函数，所以，解得，且， 所以的取值范围为，故D正确． 二、多选题 8．（25-26高二·全国·暑假作业）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．是偶函数，递增区间是 B．是偶函数，递减区间是 C．是奇函数，递减区间是 D．是奇函数，递增区间是 【答案】CD 【详解】将函数去掉绝对值得， 画出函数的图象，如图，观察图象可知， 函数的图象关于原点对称， 故函数为奇函数，且在上单调递减，在上单调递增，故CD正确． 9．（25-26高一上·江西宜春·期末）已知满足，且时，，.则（   ） A．是奇函数 B．是上的增函数 C． D．的解集为 【答案】AB 【分析】令可得出，再令结合函数奇偶性的定义可判断A选项；利用函数单调性的定义可判断B选项；利用赋值法可判断C选项；由题意得出，结合函数的单调性可得出关于的不等式，即可解得原不等式的解集，可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为函数满足， 令可得，解得， 令，则，即，故函数为奇函数，A对； 对于B选项，任取、且， 则， 故函数是上的增函数，B对； 对于C选项，因为，故，， 故，C错； 对于D选项，由得， 因为函数是上的增函数，则，解得， 故的解集为，D错. 故选：AB. 10．（25-26高一上·安徽马鞍山·期末）已知定义在上的函数满足，且当时，，则下列说法正确的是（   ） A． B．的图象关于原点对称 C．在上单调递增 D．关于的不等式的解集为 【答案】ACD 【分析】利用赋值法，结合偶函数的定义性质判断AB；利用增函数的定义推理判断C；利用偶函数的性质及单调性求解不等式判断D. 【详解】对于A，令，得，则，A正确； 对于B，令，得，则， 令，对，， 函数是偶函数，其图象关于轴对称，B错误； 对于C，，则，而当时，，则， ，因此在上单调递增，C正确； 对于D，不等式，则，解得或， 不等式，则，解得或， 不等式化为或，解得或或， 因此不等式的解集为，D正确. 故选：ACD 11．（25-26高一上·江苏镇江·期末）设函数的定义域为，满足，且函数在上是减函数，，则（    ） A． B．为奇函数 C．若，则 D．不等式的解集为 【答案】ACD 【详解】对于A，令，，得，即，则，A正确； 对于B，令，，得，即，解得， 令，得，即，为偶函数，B错误； 对于C，由，得，即， 则，，因此，C正确； 对于D，由，得，得， 从而，原不等式变为， 而偶函数在上单调递减，则在上单调递增，即， 解得，又且，因此原不等式的解集为，D正确. 故选：ACD 三、填空题 12．（26-27高一上·北京·期中）设是定义在上的偶函数，当时，的图象如图所示，则不等式的解集为______． 【答案】 【详解】由图可知在上，的解集为， 因为是定义在上的偶函数， 所以在上，的解集为， 所以不等式的解集为. 13．（25-26高一上·广东汕头·期末）已知是奇函数，且当时，，则＝________ 【答案】 【详解】因为是奇函数，且当时，， 所以. 14．（25-26高一下·天津河北·开学考试）已知函数是定义域在上的奇函数，且在上为增函数，若，则实数的取值范围是______． 【答案】 【详解】因为为奇函数且在上为增函数，故在上为增函数， 因为为上的奇函数，故即为， 故，故. 15．（25-26高一下·山东德州·阶段检测）已知定义在R上的函数在区间上单调递减，若函数为偶函数，且，则不等式的解集为______ 【答案】 【详解】因为定义在R上的函数在区间上单调递减， 所以函数在区间上单调递减，且的定义域为R， 又函数为偶函数，则， 所以的图象关于直线对称，所以函数在区间上单调递增， 因为，则， 根据已知区间单调性和对称性：时，或时， 所以由得或，解得或， 则不等式的解集是. 四、解答题 16．（26-27高一上·辽宁·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求的解析式； (2)用定义判断在区间上的单调性. 【详解】（1）由题意可知，所以， 又因为，所以，则. 则. 又，为奇函数，满足题意. 所以. (2)单调递增. 取任意，且， 则. 因为，所以. 因为，所以，即. 所以. 所以函数在区间上单调递增. 17．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知函数是定义在上的奇函数，且 (1)求的解析式； (2)用定义法证明：在上是增函数； (3)若实数满足，求实数的范围． 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数， 所以有，即，所以， 又因为，即，解得，所以（经检验符合题意）. (2)任取，且， 那么， 由于且，所以，，而，， 所以，即，因此在上是增函数. （3）实数满足，即满足， 由于是奇函数，所以，不等式化为， 由（2）可知在上是增函数，该函数图象连续，所以，解得， 所以实数的取值范围为. 18．（26-27高三上·甘肃天水·阶段检测）已知是定义在上的偶函数，当时，． (1)求在时的解析式； (2)解不等式：； (3)若在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）∵当时，，∴当时，， 又是定义在上的偶函数，， 故当时， （2）易知在上单调递减，在上单调递增 则不等式即为, 可得 解得或 即所求不等式的解集为 （3）由在上恒成立， 在上恒成立， 又与在上单调递增， ，解得或， 故实数的取值范围为 19．（26-27高一上·江西·期中）函数的定义域，且满足对任意，有：． (1)求，的值； (2)判断的奇偶性并证明； (3)如果，，且在上是增函数，求的取值范围． 【详解】（1）由对任意，有， 令，则，解得， 令，则，解得． (2)为偶函数，证明如下： 令，，则， 结合（1）有，即，所以为偶函数． （3）由，则， 由，得，即， 结合（2）知为偶函数，又因为在上是增函数， 所以，且，，解得，且，， 所以的取值范围为． 20．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知是定义在上的奇函数． (1)判断在定义域上的单调性，并证明； (2)解不等式：； (3)若，，成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)由题意可知的定义域关于原点对称，即， 且，解得，所以， 任取且，则， 因为，所以，因为，所以， 则，可得，即， 所以在上单调递增． （2）由题意可得， 因为单调递增，且定义域为， 所以有 解得，所以不等式的解集为． （3）因为在单调递增， 所以， 则原条件等价于：， 化简得， 令，要使在上恒成立，只需端点值非负， 即， 解得或或，所以的取值范围为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $