第13讲：函数的应用（一）【四大题型+知识归纳+高分精练】讲义-2026-2027学年高一上学期数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版必修第一册）

第13讲：函数的应用（一） 题型一、二次函数模型 2 题型二、分段函数模型 3 题型三、分式型函数模型 4 题型四：给定函数模型 5 知识点1. 函数模型的含义 函数模型：用函数描述现实事物的变化规律，把实际问题转化为函数问题，通过研究函数性质，再回到实际给出结论。 解题基本步骤（4 步） 1. 审题：读懂题意，找出变量，分清自变量x，函数y； 2. 建模：建立函数关系式，注意写出实际定义域（非常关键）； 3. 解模：利用函数性质（单调性、最值等）求解； 4. 还原：把数学结果翻译成实际问题答案，检验合理性。 口诀：审题→建模→解模→作答 知识点2. 常见 3 类函数模型 （1）一次函数模型 形式： · 特点：均匀变化，增长量恒定； · ：匀速增长；：匀速减少； · 适用：行程、单价固定的销售、匀速变化问题。 （2）二次函数模型 形式：，也常用顶点式 · 特点：先增后减 / 先减后增，存在最大值或最小值； · 开口向上，有最小值；开口向下，有最大值； · 最值注意：顶点横坐标是否在定义域内，不在则最值在区间端点取到； · 适用：面积问题、利润问题、抛体运动。 （3）幂函数模型 形式：（为常数，） 注意：纯幂函数是，实际模型多带系数与常数项 · 常见：（二次），（根式，如面积→边长）； · 特点：增长速度随变化；区别于一次均匀增长； · 适用：几何量换算（体积、面积）等。 题型一、二次函数模型 【例1】．（26-27高一上·安徽蚌埠·阶段检测）某储能电站采用新型储能技术，对电网低谷电能进行储存、高峰电能释放利用．已知该电站每月储能处理量（充放电总容量）最少为400吨标准电量，最多为800吨标准电量，月储能运营成本（元）与月储能处理量（吨标准电量）之间的函数关系可近似地表示为，且每处理一吨标准电量可产生的电网调度收益为300元． (1)该电站每月储能处理量为多少吨标准电量时，才能使每吨的平均储能运营成本最低？ (2)该电站每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该电站不亏损？ 【变式1】．（26-27高一上·全国·课堂例题）第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7日至2月14日在我国哈尔滨举办，此次亚冬会上中国体育代表团获得32枚金牌、85枚奖牌，名列金牌榜和奖牌榜首位．亚冬会结束后，人们对冰雪的热爱不减，亚冬会周边纪念品依然十分畅销．某商家以每套30元的价格购进一批纪念品套件．若该纪念品每套的售价是40元时，每天可售出60套；若每套的售价每降价1元，则每天可以多卖10套． (1)设纪念品每套降价元，求该纪念品的销售量与之间的函数解析式． (2)求每套纪念品的售价定为多少元时，每天销售纪念品套件所获的利润W最大？最大利润是多少元？ 【变式2】．（26-27高一上·全国·课堂例题）随着人们对交通安全的认识不断提高，骑电动车必须戴头盔，所以头盔已成为人们日常生活中不可或缺的物品．某商人将进货单价为8元的某种头盔按10元一个销售时，每天可卖出100个．现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种头盔销售单价每涨1元，销售量就减少10个，问他将售价定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大值． 题型二、分段函数模型 【例2】．（26-27高一上·四川·期中）某公司引进一种智能设备投入生产，已知该设备的固定投入为万元，每生产吨产品还需再投入材料、人工等费用万元.根据市场调研，产品的销售单价（万元/吨）与生产量（吨）满足如下关系：（生产吨产品就需更换新设备），假设生产的产品可以全部售出. (1)求总利润（万元）关于生产量（吨）的函数： (2)至少需要生产多少吨产品，公司才不会出现亏损？ (3)当生产量为多少吨时，可使总利润达到最大？ 【变式1】．（25-26高一下·四川泸州·期中）某公司计划生产一种新型节能产品，固定成本为10万元，每生产千件，需要另外投入成本万元．当产量不足8千件时，；当产量不小于8千件时，．已知每件产品的售价均为0.05万元，且生产的产品能全部售出． (1)请写出年利润（单位：万元）关于年产量（单位：千件）的函数解析式； (2)当年产量为多少千件时，该公司在这一产品的生产中所获年利润最大？最大年利润是多少万元？ 【变式2】．（25-26高一下·河南开封·开学考试）为响应黄河流域生态保护和高质量发展战略部署，河南某新材料科技公司成功研发了一种用于绿色建筑的复合环保板材，并计划在省内推广.已知该产品年固定研发成本为50万元，每生产1万吨需另外投入生产成本80万元（含原材料､人工､能耗等）.设该公司一年生产该板材万吨且全部售完，其总销售收入（万元）与年产量（万吨）满足如下关系式： (1)写出年利润（万元）关于年产量（万吨）的函数解析式（利润总销售收入总成本）； (2)当年产量为多少万吨时，该公司获得的年利润最大？并求出最大年利润. 题型三、分式型函数模型 【例3】．（25-26高一上·江苏镇江·阶段检测）在环保科技展览会上，某公司推出了一种新型环保材料供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场.已知该种材料年固定研发成本为50万元，每生产一吨需另投入90元.设该公司一年内生产该材料万吨且全部售完，总销售收入为（万元）与年产量（万吨）满足如下关系式：. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万吨）的函数解析式（利润=销售收入-成本）； (2)当年产量为多少万吨时，该公司获得的年利润最大?并求出最大利润. 【变式1】．（26-27高一上·北京西城·阶段检测）学校决定在艺术中心利用一侧原有墙体，建造一间墙高为米，底面积为平方米，且背面靠墙的长方体形状的荣誉室．由于荣誉室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：荣誉室前面新建墙体的报价为每平方米元，左右两面新建墙体报价为每平方米元，屋顶和地面以及其他报价共计元．设荣誉室的左右两面墙的长度均为米． (1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队的整体报价最低？并求最低报价； (2)现有乙工程队也要参与此荣誉室的建造竞标，其给出报价方案为：所有需要建造的面积（包括前面墙体、左右两侧墙体、屋顶和地面）统一按照每平方米元报价（其中为乙工程队的报价系数），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（乙工程队的整体报价比甲工程队的整体报价更低），试求实数的取值范围． 【变式2】．（25-26高一上·河南·阶段检测）某工厂拟在年底用万元购买一台新设备，并在年初立即投入生产使用.调研发现该设备使用年所需要的各种支出费用总和为万元，据以往销售方的大数据估计，，预计该设备每年的生产总收入为万元.设使用年后该设备的盈利额为万元（盈利额等于总收入减去购买成本及各种使用支出费用）. (1)写出与之间的函数关系式； (2)当时，工厂要求该设备在使用年后获得最大的年平均盈利额，并将其出售. （i）求购买该设备的最低价； （ii）若选择以最低价购买该设备，且该设备的年折旧率为（固定资产使用年后，价值的损耗与前一年价值的比率），求使用年后的总获利. 参考数据：. 题型四：给定函数模型 【例4】．（25-26高一下·广东广州·期末）将药物注射进患者的血液中，药物在血液中释放某有效治疗因子，该因子在血液中的浓度随着时间（单位：小时）的变化情况如图所示，其函数模型可以用函数近似，其中． (1)根据图象求参数，，的值； (2)当浓度时药物才有疗效，求注射该药物一次的有效治疗时长（保留两位小数）． （参考数据：，） 【变式1】．（25-26高一上·江西景德镇·期末）国产电影《哪吒2之魔童闹海》斩获2025年全球票房榜第一名.某企业借此契机推出一款“哪吒纪念玩偶”，前期研发与模具等固定成本为80（万元），每生产（万个）还需投入生产成本万元，且据测算，若该款玩偶年产量为万个每个售价50元且全部售完. (1)求出利润（万元）关于年产量万个的函数解析式； (2)当产量至少为多少个时，该公司在该款玩偶生产销售中才能收回成本； (3)当产量达到多少万个时，该公司所获得的利润最大？并求出最大利润. 【变式2】．（25-26高一上·宁夏银川·期末）中国队的熊猫受到了各国友人的喜爱，造成了一难求的局面，通过市场分析，对熊猫而言，某企业每生产（万件）获利（万元），且满足，2024年8月该企业计划引进新的生产设备和新的产品方案优化产品，优化后的产品的其他成本总投入为万元.由市场调查分析得知，当前熊猫供不应求.记该企业2024的8月优化后的产品的利润为（单位：万元）. (1)求函数的解析式； (2)当2024年8月优化后的产品产量为多少万件时，该企业8月的利润最大？最大利润是多少？请说明理由. 一、单选题 1．（25-26高二下·河北·期末）在人工智能分拣系统中，自动化流水线每小时能够处理的快递包裹数量叫作分拣吞吐量．某物流智能分拣线的吞吐量满足关系式：（），其中为传送带的运行速度（单位：），则这条分拣线吞吐量的最大值为（     ） A．90 B．110 C．135 D．160 2．（25-26高一上·安徽安庆·期末）为了保护水资源，提倡节约用水，某市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如下表：若某户居民某月的用水量为m3，其缴纳的水费为元，则（    ） 每户每月用水量 水价 不超过12m3的部分 3元/ m3 超过12m3但不超过18m3的部分 6元/ m3 超过18m3的部分 9元/ m3 A． B．当时， C．若，则 D．若，则 3．（25-26高一上·广西钦州·期末）某商场“国庆节”期间搞促销活动，规定：如果顾客购物的总金额不超过500元，不享受折扣优惠；如果顾客的购物总金额超过500元，那么超过500元的部分享受折扣优惠，折扣优惠按下表计算． 享受折扣的购物金额 折扣优惠 超过500元不超过1000元的部分 10％ 超过1000元的部分 20％ 王先生在商场获得的折扣优惠金额为130元，则王先生购物实际付款（    ）． A．1270元 B．1440元 C．1350元 D．1250元 4．（25-26高一上·湖南·阶段检测）如图，在一块等腰三角形空地中欲建一个内接矩形花园（阴影部分），已知，，则内接矩形花园面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·云南曲靖·期中）某人从A地出发，开汽车以80千米/小时的速度经2小时到达B地，在B地停留2小时，汽车离开A地的距离y（单位：千米）是时间t（单位：小时）的函数，则该函数的解析式为（　　） A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝ 6．（25-26高一上·山东济宁·期中）随着市场需求和消费习惯的转变，摆摊创业正吸引着越来越多创业者．小李打算批发某种水果摆摊售卖，设他进货总费用（百元）与进货量（单位：百斤）之间的关系为（为常数），若满足“随着进货量的增大，水果每斤的平均价格逐渐减小”，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·江西·阶段检测）“双11”购物节期间，小李在某网上购物平台搜索销售商品A的店铺，筛选出优惠幅度比较大的甲、乙、丙、丁四家店铺．已知这4家店铺原来销售的商品A都是每件60元，购物节期间某时间段内对于商品A，甲每件均按原价的6折（即原价的）销售；乙按原价买二送一；丙首件按原价、第二件8折（即原价的）、第三件免单；丁按照原价销售，顾客支付款不超过100元的部分按照30%返现，超过100元的部分按照返现．若该时间段内小李准备购买（或3)件A商品（包含赠送的及免单的），设在甲、乙、丙、丁店铺购买所需费用分别为，，，，记，，，中的最小值为，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（25-26高一上·河北沧州·期末）某企业生产一种机器的固定成本为万元，但每生产台时又需可变成本万元，市场对此商品的年需求量为台，销售收入函数为(万元) ，其中是产品的年产量单位：百台，则下列说法正确的是（    ） A．利润表示为年产量的函数为 B．当年产量为台时企业所得的利润最大，为万元 C．当年产量(单位：百台时，企业不亏本 D．企业不亏本的最大年产量为台 9．（25-26高一上·陕西汉中·期末）一水池有2个进水口，1个出水口，每个进水口的进水速度如图甲所示，出水口的出水速度如图乙所示.某天从到，该水池的蓄水量如图丙所示，则下列说法正确的有（    ） A．到只进水不出水 B．到不进水只出水 C．到有一个进水口关闭 D．到不进水不出水 10．（25-26高一上·福建宁德·期中）同一条公路连接A，B，C三地，B地在A､C两地之间.甲､乙两车分别从A地､B地同时出发前往目的地C地.甲车速度始终保持不变，乙车中途停车休息一次，随后继续匀速行驶.下图表示甲乙两车从出发到目的地过程中两车之间的距离与时间的函数关系.下列结论正确的是（     ）    A．后两车同时到达C地 B．乙车中途休息40分钟 C．甲车的速度是 D．甲车行驶与乙车相遇 11．（25-26高一上·浙江温州·期中）根据官方最新统计，截至2025年1月温州市机动车保有量为341.2万辆，这不仅反映了人们的生活水平不断提高；同时也对城市基础设施带来了极大的挑战，在一般情况下，大桥上的车流速度（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当，车流速度是车流密度的一次函数．规定车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）．下列说法正确的是（   ） A．若车流密度为50辆/千米时，则车流速度为50千米/小时 B．若车流密度为50辆/千米时，则车流量为2500辆/小时 C．当车流密度为200辆/千米时，车流量可以达到最大值 D．车流量最大值可以达到约为3333辆/小时 三、填空题 12．（25-26高一下·安徽滁州·开学考试）某型号汽车在某种路面的刹车距离米与汽车车速公里小时的关系式是，若该车在行驶过程中发现前面米处有障碍物，这时为了能在离障碍物不少于米处停车，则该汽车的最大速度为__________． 13．（25-26高一上·天津北辰·阶段检测）某建筑公司用8000万元购得一块空地，计划在该地块上建筑一栋至少12层，每层4000平方米的楼房.经初步估计得知，如果将楼房建为层，则每平方米的平均建筑费用为（单位：元）.则楼房每平方米的平均综合费用的最小值是________元.（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用） 14．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）某商场搞促销活动，促销活动期间，若顾客一次性购物总金额不超过200元，则不享受任何优惠；若顾客一次性购物总金额超过200元，但不超过500元，则超过部分优惠；若顾客一次性购物总金额超过500元，则在享受上一档优惠（超过200元但不超过500元的部分）的同时，超过500元的部分优惠.某人在该商场促销期间一次性购物享受了60元的优惠，则此人这次在该商场购物实际所付金额为__________元. 15．（25-26高一上·天津南开·期中）如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，若处有一棵树与两墙的距离分别是和，不考虑树的粗细.现用长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃，设此矩形花圃的最大面积为，若将这棵树围在矩形花圃内，则函数（单位：）的解析式为__________. 四、解答题 16．（26-27高一上·天津南开·开学考试）在精准扶贫中，某村的李师傅在县政府的扶持下，去年下半年，他对家里的个温室大棚进行修整改造，然后，个大棚种植香瓜，另外个大棚种植甜瓜，今年上半年喜获丰收，现在他家的甜瓜和香瓜已全部售完，他高兴地说：“我的日子终于好了”.最近，李师傅在扶贫工作者的指导下，计划在农业合作社承包个大棚，以后就用个大棚继续种植香瓜和甜瓜，他根据种植经验及今年上半年的市场情况，打算下半年种植时，两个品种同时种，一个大棚只种一个品种的瓜，并预测明年两种瓜的产量、销售价格及成本如下： 品种项目 产量（斤/每棚） 销售价（元/每斤） 成本（元/每棚） 香瓜 甜瓜 现假设李师傅今年下半年香瓜种植的大棚数为个，明年上半年个大棚中所产的瓜全部售完后，获得的利润为元.根据以上提供的信息，请你解答下列问题： (1)求出与之间的函数关系式； (2)求出李师傅种植的个大棚中，香瓜至少种植几个大棚？才能使获得的利润不低于万元. 17．（2026高三·全国·专题练习）某企业生产两种产品，根据市场调查与预测，产品的利润与投资成正比，其关系如图1；产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2（注：利润和投资单位：万元）. (1)分别将两种产品的利润表示为投资的函数关系式； (2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入两种产品的生产. （ⅰ）若平均投入生产两种产品，可获得多少利润? （ⅱ）问：如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润?其最大利润约为多少万元? 18．（25-26高一上·山东菏泽·期末）某公司生产某种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收入（单位：元）关于月产量（单位：台）满足函数 (1)将利润（单位：元）表示为月产量的函数；（利润总收入-总成本） (2)记为月平均单件利润（单位：元），当月产量为何值时，公司所获月平均单件利润最大？最大月平均单件利润为多少元？ 19．（25-26高一上·安徽黄山·期末）鱼灯是黄山市传统民俗工艺品，深受广大游客喜爱.某厂家欲生产一款鱼灯，经过市场调研发现，生产该款鱼灯需投入固定成本10万元，每生产万盏鱼灯另需投入变动成本万元.若这款鱼灯的售价为80元／盏，且该厂家2026年生产的万盏鱼灯均能售完. (1)求该厂家2026年利润（单位：万元）的函数解析式； (2)求该厂家2026年产量为多少万盏时所获年利润最大？最大年利润是多少？ 20．（25-26高一上·山西忻州·期末）某AI公司为提高经济效益，大力进行新产品研发，现计划投入100万元，全部用于甲、乙两种产品的研发，每种产品至少要投入10万元，对市场进行调研分析后发现，甲产品的利润，乙产品的利润与研发投入（单位：万元）分别满足，设甲产品的投入为（单位：万元），两种产品的总利润为（单位：万元）. (1)求的表达式； (2)试问如何安排甲、乙两种产品的研发投入，才能使总利润最大，最大利润是多少万元？ 21．（25-26高一上·河北承德·期末）近几年，哈尔滨花式宠爱南方游客成为新晋顶流，“南方小土豆”“广西小砂糖橘”等对游客的爱称也成为网络热梗．哈尔滨的旅游热潮在一定程度上提升了该区域的经济发展活力．为了迎接全国游客，某工厂计划在2026年利用3D技术生产哈尔滨纪念徽章，通过调研分析：生产徽章全年需要投入固定成本8万元，生产徽章（万件），其他成本为（万元），且经调研可知每个哈尔滨纪念徽章的售价为12元，且每年内生产的徽章当年全部销售完． (1)求2026年的利润（万元）关于年产量（万件）的表达式； (2)2026年的年产量为多少万件时，该工厂所获利润最大？最大利润是多少？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲：函数的应用（一） 题型一、二次函数模型 2 题型二、分段函数模型 4 题型三、分式型函数模型 7 题型四：给定函数模型 10 知识点1. 函数模型的含义 函数模型：用函数描述现实事物的变化规律，把实际问题转化为函数问题，通过研究函数性质，再回到实际给出结论。 解题基本步骤（4 步） 1. 审题：读懂题意，找出变量，分清自变量x，函数y； 2. 建模：建立函数关系式，注意写出实际定义域（非常关键）； 3. 解模：利用函数性质（单调性、最值等）求解； 4. 还原：把数学结果翻译成实际问题答案，检验合理性。 口诀：审题→建模→解模→作答 知识点2. 常见 3 类函数模型 （1）一次函数模型 形式： · 特点：均匀变化，增长量恒定； · ：匀速增长；：匀速减少； · 适用：行程、单价固定的销售、匀速变化问题。 （2）二次函数模型 形式：，也常用顶点式 · 特点：先增后减 / 先减后增，存在最大值或最小值； · 开口向上，有最小值；开口向下，有最大值； · 最值注意：顶点横坐标是否在定义域内，不在则最值在区间端点取到； · 适用：面积问题、利润问题、抛体运动。 （3）幂函数模型 形式：（为常数，） 注意：纯幂函数是，实际模型多带系数与常数项 · 常见：（二次），（根式，如面积→边长）； · 特点：增长速度随变化；区别于一次均匀增长； · 适用：几何量换算（体积、面积）等。 题型一、二次函数模型 【例1】．（26-27高一上·安徽蚌埠·阶段检测）某储能电站采用新型储能技术，对电网低谷电能进行储存、高峰电能释放利用．已知该电站每月储能处理量（充放电总容量）最少为400吨标准电量，最多为800吨标准电量，月储能运营成本（元）与月储能处理量（吨标准电量）之间的函数关系可近似地表示为，且每处理一吨标准电量可产生的电网调度收益为300元． (1)该电站每月储能处理量为多少吨标准电量时，才能使每吨的平均储能运营成本最低？ (2)该电站每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该电站不亏损？ 【答案】(1)每月储能处理量为400吨标准电量时，每吨的平均储能运营成本最低 (2)该电站每月可以获利，最大利润45000元． 【详解】（1）根据题意，每吨的平均储能运营成本，， 由基本不等式， 当且仅当吨时，每吨的平均储能运营成本最低是200元. （2）每月的获利，， 化简，因为，所以， 当吨时，可获利45000元. 综上，该电站每月可以获利，最大利润45000元. 【变式1】．（26-27高一上·全国·课堂例题）第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7日至2月14日在我国哈尔滨举办，此次亚冬会上中国体育代表团获得32枚金牌、85枚奖牌，名列金牌榜和奖牌榜首位．亚冬会结束后，人们对冰雪的热爱不减，亚冬会周边纪念品依然十分畅销．某商家以每套30元的价格购进一批纪念品套件．若该纪念品每套的售价是40元时，每天可售出60套；若每套的售价每降价1元，则每天可以多卖10套． (1)设纪念品每套降价元，求该纪念品的销售量与之间的函数解析式． (2)求每套纪念品的售价定为多少元时，每天销售纪念品套件所获的利润W最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1). (2)每套售价定为38元时，每天利润最大，最大利润是640元． 【详解】（1）解：该纪念品每套的售价是40元时，每天可售出60套， 若每套的售价每降价1元，则每天可以多卖10套， 根据题意，可知当纪念品每套降价元时，每天可以多卖套， 因为商家以每套30元的价格购进，所以且，即， 则销售量与之间的函数解析式为. （2）解：根据题意，可知当纪念品每套降价元时，售价为元， 由（1）可知每天销售量为套， 则， 所以当时，取最大值为，故售价为元， 即每套售价为元时，每天的利润最大，最大利润为元. 【变式2】．（26-27高一上·全国·课堂例题）随着人们对交通安全的认识不断提高，骑电动车必须戴头盔，所以头盔已成为人们日常生活中不可或缺的物品．某商人将进货单价为8元的某种头盔按10元一个销售时，每天可卖出100个．现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种头盔销售单价每涨1元，销售量就减少10个，问他将售价定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大值． 【答案】当售价定为14元时，可使每天所赚的利润最大，最大利润为360元． 【分析】根据给定条件，求出利润与售价的函数关系，再利用二次函数性质求出最大值. 【详解】设每个提价元（，），利润为元． 每天销售总额为元， 进货总额元，显然，即， 因此 ，当且仅当时取等号， 此时销售单价应为14元，最大利润为360元， 所以当售价定为14元时，可使每天所赚的利润最大，最大利润为360元． 题型二、分段函数模型 【例2】．（26-27高一上·四川·期中）某公司引进一种智能设备投入生产，已知该设备的固定投入为万元，每生产吨产品还需再投入材料、人工等费用万元.根据市场调研，产品的销售单价（万元/吨）与生产量（吨）满足如下关系：（生产吨产品就需更换新设备），假设生产的产品可以全部售出. (1)求总利润（万元）关于生产量（吨）的函数： (2)至少需要生产多少吨产品，公司才不会出现亏损？ (3)当生产量为多少吨时，可使总利润达到最大？ 【答案】(1) (2)吨 (3)吨 【详解】（1）由题意，， . （2）当时，由，得. 故，整理得. 故，解得，结合，知， 当时，由恒成立， 综上可知至少需要生产吨产品，公司才不会出现亏损. （3）当时，. 因为. （当且仅当，即（吨）时取“”号） 所以（万元）. 当时，因为抛物线的对称轴， 所以（万元）. 因为，所以当生产量吨时，总利润达到最大. 【变式1】．（25-26高一下·四川泸州·期中）某公司计划生产一种新型节能产品，固定成本为10万元，每生产千件，需要另外投入成本万元．当产量不足8千件时，；当产量不小于8千件时，．已知每件产品的售价均为0.05万元，且生产的产品能全部售出． (1)请写出年利润（单位：万元）关于年产量（单位：千件）的函数解析式； (2)当年产量为多少千件时，该公司在这一产品的生产中所获年利润最大？最大年利润是多少万元？ 【答案】(1) (2)当年产量为100千件时，该公司所获年利润最大，最大年利润为1240万元． 【详解】（1）由每件产品的售价均为万元，得x千件产品的销售收入为万元，                                 当时，；                     当时，，               所以年利润关于年产量x的函数解析式为. （2）当时，，   函数在上单调递增， 此时（万元）；       当时，，                           当且仅当，即时取等号，而， 所以当年产量为100千件时，该公司所获年利润最大，最大年利润为1240万元． 【变式2】．（25-26高一下·河南开封·开学考试）为响应黄河流域生态保护和高质量发展战略部署，河南某新材料科技公司成功研发了一种用于绿色建筑的复合环保板材，并计划在省内推广.已知该产品年固定研发成本为50万元，每生产1万吨需另外投入生产成本80万元（含原材料､人工､能耗等）.设该公司一年生产该板材万吨且全部售完，其总销售收入（万元）与年产量（万吨）满足如下关系式： (1)写出年利润（万元）关于年产量（万吨）的函数解析式（利润总销售收入总成本）； (2)当年产量为多少万吨时，该公司获得的年利润最大？并求出最大年利润. 【答案】(1) (2)当年产量为15万吨时，年利润最大，最大年利润为1200万元 【详解】（1）由， 可得， （2）当时，是对称轴为的二次函数， 则在上单调递增， 故当时，万元， 时，， 显然，， 由基本不等式得：， 当且仅当，即时，等号成立，万元， ， 当年产量为万吨时，该公司获得的年利润最大，且最大年利润为1200万元. 题型三、分式型函数模型 【例3】．（25-26高一上·江苏镇江·阶段检测）在环保科技展览会上，某公司推出了一种新型环保材料供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场.已知该种材料年固定研发成本为50万元，每生产一吨需另投入90元.设该公司一年内生产该材料万吨且全部售完，总销售收入为（万元）与年产量（万吨）满足如下关系式：. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万吨）的函数解析式（利润=销售收入-成本）； (2)当年产量为多少万吨时，该公司获得的年利润最大?并求出最大利润. 【答案】(1) (2)当年产量为万吨时，该公司获得的年利润最大，且最大利润为1600万元. 【详解】（1）由， 可得， （2）当时，是对称轴为的二次函数， 则在上单调递增， 故当时，万元， 时，， ，，， 由基本不等式得：，当且仅当时，等号成立，万元， ， 当年产量为万吨时，该公司获得的年利润最大，且最大利润为1600万元. 【变式1】．（26-27高一上·北京西城·阶段检测）学校决定在艺术中心利用一侧原有墙体，建造一间墙高为米，底面积为平方米，且背面靠墙的长方体形状的荣誉室．由于荣誉室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：荣誉室前面新建墙体的报价为每平方米元，左右两面新建墙体报价为每平方米元，屋顶和地面以及其他报价共计元．设荣誉室的左右两面墙的长度均为米． (1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队的整体报价最低？并求最低报价； (2)现有乙工程队也要参与此荣誉室的建造竞标，其给出报价方案为：所有需要建造的面积（包括前面墙体、左右两侧墙体、屋顶和地面）统一按照每平方米元报价（其中为乙工程队的报价系数），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（乙工程队的整体报价比甲工程队的整体报价更低），试求实数的取值范围． 【答案】(1)，甲工程队的最低报价元 (2) 【详解】（1）依题意得： . ， 当且仅当，即时等号成立. 故当左右两侧墙的长度为米时，甲工程队的报价最低为元. （2）对任意的恒成立. 从而对任意的恒成立， 令， 因为，所以， 令，则，， 函数在区间上是单调递减的，所以的最小值为， ∴ 所以的取值范围为. 【变式2】．（25-26高一上·河南·阶段检测）某工厂拟在年底用万元购买一台新设备，并在年初立即投入生产使用.调研发现该设备使用年所需要的各种支出费用总和为万元，据以往销售方的大数据估计，，预计该设备每年的生产总收入为万元.设使用年后该设备的盈利额为万元（盈利额等于总收入减去购买成本及各种使用支出费用）. (1)写出与之间的函数关系式； (2)当时，工厂要求该设备在使用年后获得最大的年平均盈利额，并将其出售. （i）求购买该设备的最低价； （ii）若选择以最低价购买该设备，且该设备的年折旧率为（固定资产使用年后，价值的损耗与前一年价值的比率），求使用年后的总获利. 参考数据：. 【答案】(1) (2)（i）万元；（ii）万元 【详解】（1）由条件可知，，，所以，所以. （2）（i）因为，令， 由对勾函数性质可知在上单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又因为在时取得最大值，所以， 所以且，解得， 所以购买该设备的最低价为万元； （ii）当时，， 使用年后设备的剩余价值为万元， 所以使用年后的总获利为万元. 题型四：给定函数模型 【例4】．（25-26高一下·广东广州·期末）将药物注射进患者的血液中，药物在血液中释放某有效治疗因子，该因子在血液中的浓度随着时间（单位：小时）的变化情况如图所示，其函数模型可以用函数近似，其中． (1)根据图象求参数，，的值； (2)当浓度时药物才有疗效，求注射该药物一次的有效治疗时长（保留两位小数）． （参考数据：，） 【答案】(1)，， (2)小时 【详解】（1）由， 由图象知， 联立得，得，则， 由， 综上，； （2）由（1）知， 当时，，则， 所以，因此第一段满足条件的范围是， 当时，，则， 所以，因此第二段满足条件的范围是， 综上，总有效时长为小时. 【变式1】．（25-26高一上·江西景德镇·期末）国产电影《哪吒2之魔童闹海》斩获2025年全球票房榜第一名.某企业借此契机推出一款“哪吒纪念玩偶”，前期研发与模具等固定成本为80（万元），每生产（万个）还需投入生产成本万元，且据测算，若该款玩偶年产量为万个每个售价50元且全部售完. (1)求出利润（万元）关于年产量万个的函数解析式； (2)当产量至少为多少个时，该公司在该款玩偶生产销售中才能收回成本； (3)当产量达到多少万个时，该公司所获得的利润最大？并求出最大利润. 【答案】(1) (2)当产量至少为16162个时，该公司在该款玩偶生产销售中才能收回成本 (3)当产量达到30万个时，该公司所获得的利润最大，最大利润为545万元 【详解】（1）由题意可知：总销售额为万元，总成本为万元，利润， 故当时，； 当时，； 当时，. 综上所述：利润G（万元）关于年产量x万个的函数解析式为. （2）由题意可知：要收回成本，须满足， 当时，则，解得， 且，所以当产量至少为16162个时，该公司在该款玩偶生产销售中才能收回成本. （3）当时，则在内单调递增， 所以在内的最大值为； 当时，则， 因为的图象开口向下，对称轴为， 可知在内单调递增，所以在内的最大值为； 当时，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以在内的最大值为； 且，所以当产量达到30万个时，该公司所获得的利润最大，最大利润为545万元. 【变式2】．（25-26高一上·宁夏银川·期末）中国队的熊猫受到了各国友人的喜爱，造成了一难求的局面，通过市场分析，对熊猫而言，某企业每生产（万件）获利（万元），且满足，2024年8月该企业计划引进新的生产设备和新的产品方案优化产品，优化后的产品的其他成本总投入为万元.由市场调查分析得知，当前熊猫供不应求.记该企业2024的8月优化后的产品的利润为（单位：万元）. (1)求函数的解析式； (2)当2024年8月优化后的产品产量为多少万件时，该企业8月的利润最大？最大利润是多少？请说明理由. 【答案】(1) (2)当2024年8月优化后的产品产量为万件时，该企业8月的利润最大，最大利润是万元 【分析】（1）由题意得，代入化简即可； （2）分别求出和时的最大值，将其比较即可得到答案. 【详解】（1）由题意得， 又，所以. （2）当时，， 在上单调递减，在上单调递增，图象对称轴为， 则当时，取得最大值； 当时， ， 当且仅当，即时，取得最大值. 因为，所以的最大值为， 故当2024年8月优化后的产品产量为万件时，该企业8月的利润最大，最大利润是万元． 一、单选题 1．（25-26高二下·河北·期末）在人工智能分拣系统中，自动化流水线每小时能够处理的快递包裹数量叫作分拣吞吐量．某物流智能分拣线的吞吐量满足关系式：（），其中为传送带的运行速度（单位：），则这条分拣线吞吐量的最大值为（     ） A．90 B．110 C．135 D．160 【答案】A 【详解】（）， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以，. 所以当时，这条分拣线吞吐量取得最大值，最大值为. 2．（25-26高一上·安徽安庆·期末）为了保护水资源，提倡节约用水，某市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如下表：若某户居民某月的用水量为m3，其缴纳的水费为元，则（    ） 每户每月用水量 水价 不超过12m3的部分 3元/ m3 超过12m3但不超过18m3的部分 6元/ m3 超过18m3的部分 9元/ m3 A． B．当时， C．若，则 D．若，则 【答案】C 【详解】对于A：根据题意，当时，水价， 当时，， 所以阶梯水价的正确分段函数应为，A错误； 对于B：当时，，B错误； 对于C：若，则①或②或③， ①③无解，由②解得，C正确； 对于D：若，则④或⑤或⑥， ④⑤无解，由⑥解得，D错误； 故选：C. 3．（25-26高一上·广西钦州·期末）某商场“国庆节”期间搞促销活动，规定：如果顾客购物的总金额不超过500元，不享受折扣优惠；如果顾客的购物总金额超过500元，那么超过500元的部分享受折扣优惠，折扣优惠按下表计算． 享受折扣的购物金额 折扣优惠 超过500元不超过1000元的部分 10％ 超过1000元的部分 20％ 王先生在商场获得的折扣优惠金额为130元，则王先生购物实际付款（    ）． A．1270元 B．1440元 C．1350元 D．1250元 【答案】A 【分析】设顾客购物总金额为元，求出购物优惠金额的函数关系，再由给定条件求得答案. 【详解】设顾客购物总金额为元，购物实际付款为元， 当时，； 当时，，优惠金额； 当时，， 优惠金额为， 而王先生在商场获得的折扣优惠金额为130元，，因此， 解得，所以王先生购物实际付款（元）. 故选：A 4．（25-26高一上·湖南·阶段检测）如图，在一块等腰三角形空地中欲建一个内接矩形花园（阴影部分），已知，，则内接矩形花园面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，矩形的面积为．取的中点，连接，交于．由等腰三角形求得，由三角形相似表示出，从而得到，然后得到，通过配方法求得其最大值. 【详解】设，矩形的面积为． 取的中点，连接，交于． 因为，所以，，则． 易知，则，则， 则AI＝，所以， 所以， 当时，取得最大值，且最大值为96，故内接矩形花园面积的最大值为． 故选： 5．（25-26高一上·云南曲靖·期中）某人从A地出发，开汽车以80千米/小时的速度经2小时到达B地，在B地停留2小时，汽车离开A地的距离y（单位：千米）是时间t（单位：小时）的函数，则该函数的解析式为（　　） A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝ 【答案】B 【分析】利用分段函数模型运算即可得解. 【详解】∵从地出发，开汽车以千米/小时的速度 经小时到达地， ∴当时，； ∵在地停留小时， ∴当时，； 综上知，函数解析式是. 故选：B 6．（25-26高一上·山东济宁·期中）随着市场需求和消费习惯的转变，摆摊创业正吸引着越来越多创业者．小李打算批发某种水果摆摊售卖，设他进货总费用（百元）与进货量（单位：百斤）之间的关系为（为常数），若满足“随着进货量的增大，水果每斤的平均价格逐渐减小”，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】表示出平均价格的函数，再利用其单调性列式求解. 【详解】设水果每斤的平均价格为， 则， 随着进货量的增大，水果每斤的平均价格逐渐减小，即函数在单调递减， 则需满足，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：C. 7．（25-26高一上·江西·阶段检测）“双11”购物节期间，小李在某网上购物平台搜索销售商品A的店铺，筛选出优惠幅度比较大的甲、乙、丙、丁四家店铺．已知这4家店铺原来销售的商品A都是每件60元，购物节期间某时间段内对于商品A，甲每件均按原价的6折（即原价的）销售；乙按原价买二送一；丙首件按原价、第二件8折（即原价的）、第三件免单；丁按照原价销售，顾客支付款不超过100元的部分按照30%返现，超过100元的部分按照返现．若该时间段内小李准备购买（或3)件A商品（包含赠送的及免单的），设在甲、乙、丙、丁店铺购买所需费用分别为，，，，记，，，中的最小值为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意先求出各个函数的解析式，进而判断各选项即可. 【详解】由题意，， ， ， . 对于A，，则，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于CD，，故C错误，D正确. 故选：D 二、多选题 8．（25-26高一上·河北沧州·期末）某企业生产一种机器的固定成本为万元，但每生产台时又需可变成本万元，市场对此商品的年需求量为台，销售收入函数为(万元) ，其中是产品的年产量单位：百台，则下列说法正确的是（    ） A．利润表示为年产量的函数为 B．当年产量为台时企业所得的利润最大，为万元 C．当年产量(单位：百台时，企业不亏本 D．企业不亏本的最大年产量为台 【答案】BC 【详解】对A，当时，；当时，； 故，A错误； 对B，当时，，故当时，取到最大值； 当时，，故当年产量为475台时年利润最大，最大为万元，B正确； 对C、D，不亏本即，当时，，解得； 当时，，解得； 故时，企业才不亏本，企业不亏本的最大年产量为4800台，故C正确，D错误. 故选：BC. 9．（25-26高一上·陕西汉中·期末）一水池有2个进水口，1个出水口，每个进水口的进水速度如图甲所示，出水口的出水速度如图乙所示.某天从到，该水池的蓄水量如图丙所示，则下列说法正确的有（    ） A．到只进水不出水 B．到不进水只出水 C．到有一个进水口关闭 D．到不进水不出水 【答案】AC 【详解】由甲、乙两图可得进水速度为1，出水速度为2， 由图丙知到的蓄水量为，即每小时的进水量为， 所以到只进水不出水，A正确； 由图丙知，到蓄水量减少了， 所以有一个进水口进水，同时出水口出水，即有一个进水口关闭，故B错误，C正确； 由图丙知，到蓄水量不变，所以可能是不进水也不出水， 也可能是2个进水口进水，同时1个出水口出水，故D错误. 故选：AC. 10．（25-26高一上·福建宁德·期中）同一条公路连接A，B，C三地，B地在A､C两地之间.甲､乙两车分别从A地､B地同时出发前往目的地C地.甲车速度始终保持不变，乙车中途停车休息一次，随后继续匀速行驶.下图表示甲乙两车从出发到目的地过程中两车之间的距离与时间的函数关系.下列结论正确的是（     ）    A．后两车同时到达C地 B．乙车中途休息40分钟 C．甲车的速度是 D．甲车行驶与乙车相遇 【答案】ACD 【分析】根据函数的图象对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】    根据函数图象可得两地之间的距离为，两车行驶了小时，同时到达地，A正确， 段：甲乙同向行驶，甲在后追赶乙； 段：乙休息，其中在段，甲在后追赶乙，在点时甲乙相遇，在段，甲超过乙的休息地继续行驶；乙车中途休息，B错误； 段：乙在后追赶甲，在点时，甲乙同时到达地. 在段，乙休息，，C正确； 在段，，解得， 因为在点时乙开始休息，当甲乙相遇时，甲所需行驶里程为， 则甲乙相遇时所用的时间，D正确. 故选：ACD. 11．（25-26高一上·浙江温州·期中）根据官方最新统计，截至2025年1月温州市机动车保有量为341.2万辆，这不仅反映了人们的生活水平不断提高；同时也对城市基础设施带来了极大的挑战，在一般情况下，大桥上的车流速度（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当，车流速度是车流密度的一次函数．规定车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）．下列说法正确的是（   ） A．若车流密度为50辆/千米时，则车流速度为50千米/小时 B．若车流密度为50辆/千米时，则车流量为2500辆/小时 C．当车流密度为200辆/千米时，车流量可以达到最大值 D．车流量最大值可以达到约为3333辆/小时 【答案】ABD 【分析】根据题意用分段函数并结合待定系数法求出函数的关系式即可判断A，再由题意得到的解析式，代值即可判断B，最后根据分段函数求得最值即可判断C，D． 【详解】由题意，当时,； 当时，设 由已知得， 解得， ∴； 所以时，，故A正确； 由上可得， 时，，故B正确； ①当时，为增函数， ∴当时，取得最大值，且最大值为 ， ②当时，， ∴当时，取得最大值，且最大值为．， 所以的最大值为， 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，且最大值为3333辆/小时，故C错误，D正确； 故选：ABD. 三、填空题 12．（25-26高一下·安徽滁州·开学考试）某型号汽车在某种路面的刹车距离米与汽车车速公里小时的关系式是，若该车在行驶过程中发现前面米处有障碍物，这时为了能在离障碍物不少于米处停车，则该汽车的最大速度为__________． 【答案】公里小时 【分析】由题意得到，求解即可. 【详解】若该车在行驶过程中发现前面米处有障碍物，且能在离障碍物不少于米处停车， 则， 解得， 即该汽车的最大速度为公里小时. 13．（25-26高一上·天津北辰·阶段检测）某建筑公司用8000万元购得一块空地，计划在该地块上建筑一栋至少12层，每层4000平方米的楼房.经初步估计得知，如果将楼房建为层，则每平方米的平均建筑费用为（单位：元）.则楼房每平方米的平均综合费用的最小值是________元.（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用） 【答案】 【分析】根据题意建立楼房每平方米的平均综合费用的函数关系，利用基本不等式求解即可. 【详解】设楼房每平方米的平均综合费用为元，依题意得：，， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以当时，取得最小值（元） 故答案为： 14．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）某商场搞促销活动，促销活动期间，若顾客一次性购物总金额不超过200元，则不享受任何优惠；若顾客一次性购物总金额超过200元，但不超过500元，则超过部分优惠；若顾客一次性购物总金额超过500元，则在享受上一档优惠（超过200元但不超过500元的部分）的同时，超过500元的部分优惠.某人在该商场促销期间一次性购物享受了60元的优惠，则此人这次在该商场购物实际所付金额为__________元. 【答案】590 【分析】设此人这次在该商场购物不优惠，共花费元，分析出，从而得到方程，求出答案. 【详解】设此人这次在该商场购物不优惠，共花费元，显然， 若，则最多优惠元，小于60元， 故，所以，解得， 所以此人这次在该商场购物实际所付金额为元. 故答案为：590 15．（25-26高一上·天津南开·期中）如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，若处有一棵树与两墙的距离分别是和，不考虑树的粗细.现用长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃，设此矩形花圃的最大面积为，若将这棵树围在矩形花圃内，则函数（单位：）的解析式为__________. 【答案】 【分析】设，则可表示出矩形的面积，再结合分类讨论即可得. 【详解】设，则， 由题意可得且，故， 当时，由，可取，则得； 当时，不可取，又，则； 综上，可得. 故答案为：. 四、解答题 16．（26-27高一上·天津南开·开学考试）在精准扶贫中，某村的李师傅在县政府的扶持下，去年下半年，他对家里的个温室大棚进行修整改造，然后，个大棚种植香瓜，另外个大棚种植甜瓜，今年上半年喜获丰收，现在他家的甜瓜和香瓜已全部售完，他高兴地说：“我的日子终于好了”.最近，李师傅在扶贫工作者的指导下，计划在农业合作社承包个大棚，以后就用个大棚继续种植香瓜和甜瓜，他根据种植经验及今年上半年的市场情况，打算下半年种植时，两个品种同时种，一个大棚只种一个品种的瓜，并预测明年两种瓜的产量、销售价格及成本如下： 品种项目 产量（斤/每棚） 销售价（元/每斤） 成本（元/每棚） 香瓜 甜瓜 现假设李师傅今年下半年香瓜种植的大棚数为个，明年上半年个大棚中所产的瓜全部售完后，获得的利润为元.根据以上提供的信息，请你解答下列问题： (1)求出与之间的函数关系式； (2)求出李师傅种植的个大棚中，香瓜至少种植几个大棚？才能使获得的利润不低于万元. 【答案】(1)（且） (2)香瓜至少种植个大棚 【分析】（1）根据题意，直接表示所获利润即可得到函数解析式； （2）根据函数值范围，直接求解自变量范围即可得到结果. 【详解】（1）由题知， ，且. （2）由（1）知，， 令，解得， 又且， 所以香瓜至少种植个大棚，才能使获得的利润不低于万元. 17．（2026高三·全国·专题练习）某企业生产两种产品，根据市场调查与预测，产品的利润与投资成正比，其关系如图1；产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2（注：利润和投资单位：万元）. (1)分别将两种产品的利润表示为投资的函数关系式； (2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入两种产品的生产. （ⅰ）若平均投入生产两种产品，可获得多少利润? （ⅱ）问：如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润?其最大利润约为多少万元? 【答案】(1)， (2)（i）万元；（ii）当A，B两种产品分别投入2万元、16万元时，可使该企业获得最大利润，约为8.5万元 【详解】（1）设两种产品分别投资x万元，x万元，， 所获利润分别为万元、万元. 由题意可设，. 过点，则，则， 过点，则，解得，则， 故.. （2）（ⅰ）由（1）得，. 所以总利润万元. （ⅱ）设产品投入x万元，产品投入万元，该企业可获总利润为y万元. 则，. 令，，则. 所以当时，，此时，. 所以当两种产品分别投入2万元、16万元时， 可使该企业获得最大利润，约为8.5万元. 18．（25-26高一上·山东菏泽·期末）某公司生产某种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收入（单位：元）关于月产量（单位：台）满足函数 (1)将利润（单位：元）表示为月产量的函数；（利润总收入-总成本） (2)记为月平均单件利润（单位：元），当月产量为何值时，公司所获月平均单件利润最大？最大月平均单件利润为多少元？ 【答案】(1) (2)当月产量为200台时，公司所获月平均单件利润最大，最大月平均单件利润为100元 【详解】（1）由题意知，当月产量为台时，增加投入为元， 所以，又， 所以 （2）因为且， 所以     ， ①当时， ， 当且仅当时，即时取等号，此时的最大值为100．     ②当时，则在上单调递减， 所以．     综上，当月产量为200台时，公司所获月平均单件利润最大，最大月平均单件利润为100元． 19．（25-26高一上·安徽黄山·期末）鱼灯是黄山市传统民俗工艺品，深受广大游客喜爱.某厂家欲生产一款鱼灯，经过市场调研发现，生产该款鱼灯需投入固定成本10万元，每生产万盏鱼灯另需投入变动成本万元.若这款鱼灯的售价为80元／盏，且该厂家2026年生产的万盏鱼灯均能售完. (1)求该厂家2026年利润（单位：万元）的函数解析式； (2)求该厂家2026年产量为多少万盏时所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】(1) (2)6万盏时所获年利润最大，最大年利润是110万元 【详解】（1）由题意知，鱼灯的售价为80元／盏，则2026年生产的万盏鱼灯售万元， 当时， ， 当时， ， 所以，. （2）当时时，， 所以时，取到最大值108. 当时，， 当且仅当时，取到最大值110. 综上可得：该厂家2026年的产量为6万盏时，所获年利润最大，最大年利润是110万元. 20．（25-26高一上·山西忻州·期末）某AI公司为提高经济效益，大力进行新产品研发，现计划投入100万元，全部用于甲、乙两种产品的研发，每种产品至少要投入10万元，对市场进行调研分析后发现，甲产品的利润，乙产品的利润与研发投入（单位：万元）分别满足，设甲产品的投入为（单位：万元），两种产品的总利润为（单位：万元）. (1)求的表达式； (2)试问如何安排甲、乙两种产品的研发投入，才能使总利润最大，最大利润是多少万元？ 【答案】(1) (2)甲投入万元，乙投入 万元时，利润最大是 万元 【详解】（1）甲产品的投入为（单位：万元），则乙产品的投入为（单位：万元）， 则乙产品的利润 当时，， 所以， 当时，， 所以， 综上所述，. （2）当时，令，则，， 则， 当时，函数有最大值， 即当时，函数有最大值. 当时， ， 当且仅当，即 因为. 所以当甲投入万元，乙投入 万元时，才能使总利润最大，最大利润是 万元. 21．（25-26高一上·河北承德·期末）近几年，哈尔滨花式宠爱南方游客成为新晋顶流，“南方小土豆”“广西小砂糖橘”等对游客的爱称也成为网络热梗．哈尔滨的旅游热潮在一定程度上提升了该区域的经济发展活力．为了迎接全国游客，某工厂计划在2026年利用3D技术生产哈尔滨纪念徽章，通过调研分析：生产徽章全年需要投入固定成本8万元，生产徽章（万件），其他成本为（万元），且经调研可知每个哈尔滨纪念徽章的售价为12元，且每年内生产的徽章当年全部销售完． (1)求2026年的利润（万元）关于年产量（万件）的表达式； (2)2026年的年产量为多少万件时，该工厂所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)年产量为4万件时，利润最大，最大为25万元 【分析】（1）由题意，确定总收入为，再结合成本即可求解； （2）由（1）分段计算最值即可求解. 【详解】（1）由题意，总收入为（万元）． 当时，； 当时，． 所以2026年的利润 （2）当时，，当时，利润最大，最大为万元． 当时，， 当且仅当，即时，利润最大，最大为25万元． 因为，所以年产量为4万件时，利润最大，最大为25万元． 1 学科网（北京）股份有限公司 $