第12讲：幂函数【七大题型+知识归纳+高分精练】-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列

第12讲：幂函数 题型一、幂函数的概念、参数问题 2 题型二：幂函数的解析式或求值问题 3 题型三：幂函数的值域问题 4 题型四：常见的幂函数基本性质 5 题型五、根据幂函数单调性比较大小 7 题型六：幂函数的单调性解不等式问题 8 题型七：幂函数的奇偶性问题 10 题型八：幂函数性质的综合问题 12 知识点一　幂函数的概念：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 知识点二　五个幂函数的图象与性质 1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y＝x；(2)y＝；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的图象如图． 2．五个幂函数的性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 在[0，＋∞) 上增， 在(－∞，0] 上减 增 增 在(0，＋∞)上减， 在(－∞，0)上减 知识点三　一般幂函数的图象特征 1．所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)． 2．当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数． 特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸． 3．当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数． 4．幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称． 5．在第一象限作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列． 题型一、幂函数的概念、参数问题 【例1】．（25-26高一上·河南信阳·期中）下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】幂函数的定义：， 可知，，均不是幂函数，是幂函数. 故选：D. 【变式1】．（26-27高一上·全国·课后作业）如果幂函数的图象不过原点，则的取值范围为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【详解】由幂函数的形式为知. 因为其图象不过原点，所以指数.由得， 所以.故或. 【变式2】．（2026·湖南长沙·一模）已知幂函数在上单调递减，则实数m的值为（    ） A．0或1 B．或1 C．1 D．0 【答案】C 【详解】由于为幂函数，所以，解得或， 又函数在上单调递减， 所以，即 故当时符合条件． 题型二：幂函数的解析式或求值问题 【例2】．（25-26高一下·河南开封·开学考试）已知幂函数在上单调递减，则（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】A 【详解】因为为幂函数，所以，解得， 当时，，在上单调递增，不符合题意， 当时，，在上单调递减，所以， 所以 【变式1】．（25-26高一上·山西忻州·期末）已知幂函数在上单调递减，则（    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【详解】因为为幂函数，所以，解得或， 当时，在上单调递增，不满足题意； 当时，在上单调递减，满足题意， 所以. 故选：B. 【变式2】．（25-26高二下·江苏常州·期末）已知幂函数的图象不经过原点，则（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【详解】由题意可得，解得或， 当时，，此时图象不经过原点，符合题意； 当时，，此时图象经过原点，不符合题意； 所以，. 题型三：幂函数的值域问题 【例3】．（25-26高一上·江苏无锡·期末）若函数是偶函数，且值域为，则可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】A选项，，需满足，即定义域为， 定义域不关于原点对称，不是偶函数，A选项错误； C选项，，值域为，值域不符合题意，C选项错误； D选项，，需满足，即定义域为， 定义域不关于原点对称，不是偶函数，D选项错误； B选项，，定义域为，定义域关于原点对称， 且，是偶函数，且值域也满足，B选项正确. 故选：B 【变式1】．（25-26高一上·北京·期中）下列函数中，值域为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，因在上单调递增，故其值域为，不合题意； 对于B，，则其值域为，不合题意； 对于C，，则其值域为，不合题意； 对于D，因，则，即的值域为，符合题意. 故选：D 【变式2】．（22-23高一上·湖北襄阳·期末）下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由已知值域为，故A错误； 时，等号成立，所以的值域是，B错误； 因为定义域为， ，函数值域为，故C正确； ，，，所以，故D错误. 故选：C. 题型四：常见的幂函数基本性质 【例4】．（25-26高一上·江苏连云港·阶段检测）已知幂函数为常数，则下列结论正确的是（     ） A．函数的图象都经过点 B．若，则 C．若，则函数为偶函数 D．若函数的图象经过点，则函数在其定义域上单调递增 【答案】D 【详解】A：当时，，则无意义，错， B：当时，，错， C：当时，则且定义域为，，故函数为奇函数，错， D：由，则在定义域上单调递增，对. 故选：D 【变式1】．（25-26高一上·广东广州·期中）已知幂函数的图像过点，则（    ） A．为增函数 B．的值域为 C．为奇函数 D．的定义域为 【答案】B 【详解】设幂函数的解析式为， 因为该函数的图像经过点，代入得， 所以该幂函数的解析式为. 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以A错误； 因为，所以的值域为，所以B正确； 很显然，且定义域关于原点对称，所以该函数为偶函数，所以C错误； 要使函数有意义，则，所以该函数的定义域为，所以D错误. 故选：B. 【变式2】．（25-26高一上·天津·期中）若幂函数的图象经过点，则下列说法错误的是（   ） A．的定义域为 B．)的值域为 C．是偶函数 D．在上单调递减，在上单调递增 【答案】D 【详解】设幂函数，由的图象经过点，得，解得， 对于A，的定义域为，A正确； 对于B，，所以的值域为，B正确； 对于C，，且定义域为，所以是偶函数，C正确； 对于D，由幂函数的性质可知，在上单调递增，在上单调递减，D错误. 故选：D 题型五、根据幂函数单调性比较大小 【例5】．（26-27高一上·河南·期中）设幂函数的图象经过原点，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由为幂函数，令，解得或， 时，的图象经过原点，符合题意，所以， 时，，图象不过原点，不合题意， 因为，所以， 因为在上单调递增， 所以. 【变式1】．（25-26高一上·江苏连云港·期末）下列比较大小中错误的是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，令，由幂函数性质可知时，在第一象限内函数单调递增， 因为，所以，故A正确； 对于B，令，由幂函数性质可知时，在第一象限内函数单调递减， 且为偶函数，所以， 因为，所以，所以，故B正确； 对于C，令，由幂函数性质可知时，在第一象限内函数单调递减， 因为所以，故C正确； 对于D，令，由幂函数性质可知时，在第一象限内函数单调递增， 且为奇函数，所以， 因为，所以，所以，故D错误. 故选：D. 【变式2】．（25-26高一上·四川凉山·期末）已知，，，则实数、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为幂函数在上为增函数， 且，，，所以. 故选：B. 题型六：幂函数的单调性解不等式问题 【例6】．（26-27高一上·江苏·期中）幂函数的定义域为，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题，得，即，解得或，当时，，定义域为，不合题意；当时，，定义域为，合题意．所以，即，所以， 即，解得，所以不等式的解集为． 【变式1】．（25-26高一上·贵州黔南·期末）已知幂函数（为常数）的图象经过点，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵幂函数的图象经过点，，解得， 故，. 因为，故在定义域上单调递增， 故由，可得解得. 故选：C. 【变式2】．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知幂函数为奇函数，且在上单调递减，则满足不等式的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】幂函数在上是单调递减函数， ，， ，， 当时，，， 故是偶函数，不符合题意； 当时，，， 故是奇函数，符合题意； 综上可知，，转化为， 的定义域为，且在上为单调递增函数， 转化为，，. 故选：D. 题型七：幂函数的奇偶性问题 【例7】．（25-26高三上·江苏苏州·阶段检测）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数在上单调递减， 所以，又， 所以， 因为函数的图象关于轴对称， 所以为偶数， 不符合题意舍去，所以， 函数的定义域为，且函数在和上单调递减， 当时，，当时，，所以不等式可化为或或，所以或，所以的取值范围为. 故选：C. 【变式1】．（24-25高一上·辽宁葫芦岛·期末）已知函数是幂函数，对任意的且，满足，若，，则的值（    ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 【答案】B ∵函数是幂函数，，解得或， 或， ∵对任意的且，满足， 在上为增函数，则， ，为上单调递增的奇函数， ，， ，故． 故选：B 【变式2】．（23-24高一上·浙江温州·期中）已知函数是幂函数，对任意，，且，满足，若a，，且，则的值（    ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 【答案】A 【分析】先通过函数是幂函数以及单调性求出的解析式，再利用单调性和奇偶性可得答案. 【详解】因为函数是幂函数， 所以，解得或， 又因为对任意，且，满足， 即对任意，都有， 故函数是幂函数且在上单调递增， 所以， 所以， 则，明显为上的奇函数， 由得， 所以， 所以. 故选：A. 题型八：幂函数性质的综合问题 【例8】．（25-26高一上·福建莆田·期末）已知幂函数在上单调递增， (1)求函数的解析式； (2)如果函数在区间上是增函数，求的取值范围； (3)求关于x的不等式的解集（其中）. 【答案】(1) (2) (3)当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 【详解】（1）由题意可得，解得或， 又因为在上单调递增，所以， 所以，所以. （2）由（1）知， 又因为函数在区间上是增函数， 所以，解得或，即的取值范围为. （3）不等式转化为，则. 当时，解得或，即不等式的解集为； 当时，解得，即不等式的解集为； 当时，解得或，即不等式的解集为. 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 【变式1】．（25-26高一上·湖北十堰·期末）已知幂函数为偶函数. (1)求的解析式； (2)若，求的取值范围； (3)若对任意，都存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由为幂函数，得，解得或， 当时，为偶函数，符合题意： 当时，为奇函数，舍去. 综上：. （2） 或， 所以的取值范围为. （3）因为对，都存在，使得都成立， ，其中， 函数在上单调递增，所以在时取到最大值为4. 即， 因为存在，使得成立， 又因为是关于的在单调递增函数， 或， 故实数的取值范围为. 【变式2】．（25-26高一上·河北沧州·期末）已知幂函数在上单调递减． (1)求的解析式； (2)若命题：，为假命题，求实数的取值范围； (3)求不等式的解集． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为是幂函数，根据幂函数定义，则，系数为1， 所以，即或， 又因为函数在单调递减，所以，所以. 代入得：. （2）因为原命题是假命题，所以其否定为真. 即：. 由（1）可知，，所以， 代入得：， 要小于函数在上的最小值. 易得，在单调递增， 所以最小值在时取到：， 所以. （3）因为，定义域为，函数在和上均单调递减， 当，即时，由可得， 解得，则此时； 当，即时，由可得， 解得，则此时； 当，即时，恒成立， 当时，，无解， 综上：不等式的解集为 一、单选题 1．（26-27高一上·全国·课后作业）下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A选项不满足底数为单独的x的特征，所以不是幂函数； B选项不满足系数为1的特征，所以不是幂函数； C选项不符合y＝xα的单一形式，所以不是幂函数； D选项是幂函数. 2．（2026·四川广安·模拟预测）若幂函数是奇函数，且在上单调递减，则的值可以是（     ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【详解】因为幂函数在上单调递减，所以，故排除B、D项； 又因为幂函数是奇函数，而幂函数是偶函数，排除A项， 所以若幂函数是奇函数，且在上单调递减，则的值可以是. 3．（25-26高二下·全国·期末）若幂函数，与在第一象限内的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，在上单调递增， 且时，当增大时，图象越来越平缓，所以； 当时，在上单调递减， 不妨令，根据题图可得，所以； 综上可得. 4．（25-26高一上·湖南怀化·期末）已知幂函数过点，则（    ） A． B．4 C． D．8 【答案】A 【分析】根据幂函数的定义设函数的解析式，再代入已知点求出函数解析式，再求值即可. 【详解】因为函数为幂函数，所以可设， 因为图象过， 所以 ， 所以，即， 所以 故选：A 5．（25-26高一上·江苏·期末）幂函数的图象过点，则函数的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设幂函数， 因为函数的图象过点， 所以，所以， 故， 所以. 令，所以， 则， 所以当时，. 故选：C. 6．（25-26高一上·江苏连云港·期末）已知幂函数的图象过点，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设幂函数，因为的图象过点，所以，解得， 所以且在上是增函数，奇函数，又，所以， 所以，解得，故选：B 7．（25-26高一上·安徽·期末）已知函数是幂函数，对任意的且，满足，若，则的值（    ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 【答案】B 【详解】函数是幂函数， ，解得或，或， 对任意的且，满足， 在上单调递增，则， 为上单调递增的奇函数， ， ， ，故，故B正确． 故选：B． 8．（25-26高一上·海南·期末）已知幂函数，满足，且，都有 成立，若关于的不等式恰有4个整数解，则实数的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，，解得或， 又在区间上单调递增，所以，所以. 关于的不等式恰有4个整数解， 因为抛物线的对称轴是，则4个整数解分别为， 于是可得 解得. 故选：B 9．（25-26高一上·吉林延边·期末）已知函数（且）的图象恒过定点，幂函数的图象过点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数（且）的图象恒过定点， 设幂函数，， 因为幂函数的图象过点， 则，解得，即， 显然函数的定义域为全体实数， 因为， 所以函数是偶函数， 由幂函数的单调性的性质，函数在上单调递增， 则，即，即， 整理可得，解得或， 所以不等式的解集为. 故选：D. 二、多选题 10．（2026·江苏淮安·一模）幂函数（为常数），则（    ）. A．当时，是奇函数 B．的图象过定点 C．当时，的值域为 D．若，则 【答案】ABC 【分析】根据奇函数的定义、幂函数的性质、幂函数的单调性逐一判断即可. 【详解】A：当时，，此时该函数的定义域为，定义域关于原点对称， 因为，所以是奇函数，故A正确； B：因为，所以的图象过定点，故B正确； C：当时，，此时该函数的定义域为， 因为该函数是定义域内的增函数， 所以有，因此的值域为，故C正确； D：当时，幂函数在上单调递减， 因为，所以，故D错误. 11．（26-27高一上·江西·期中）已知定义在上的偶函数与奇函数均在区间上单调递增，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】因为奇函数在区间上单调递增，由奇函数性质可知在上单调递增， 偶函数在区间上单调递增， 对于A：取， 则，故A错误； 对于B：由题意得，且， ， 所以，即，故B正确； 对于C：，所以， 所以，故C正确； 对于D，取， ，， 所以，故D错误. 12．（25-26高一下·四川眉山·期末）已知点在幂函数的图象上，则下列叙述正确的是（    ） A．函数是奇函数 B．函数是偶函数 C． D．函数在定义域内是减函数 【答案】AC 【详解】因为点在幂函数的图象上，所以，解得. 所以. 由于，所以是奇函数，A正确B错误； 易知，所以C正确； 根据幂函数的性质可知，分别在上单调递减，但是定义域内不是单调函数，所以D错误. 13．（25-26高一上·贵州遵义·期末）下列说法正确的是（   ） A．若幂函数的图象经过点，则解析式为 B．幂函数始终经过点和 C．若函数，则在区间上单调递减 D．若幂函数图象关于轴对称，则 【答案】ABD 【详解】对于A，设幂函数解析式为，代入点，可得，，解得，解析式为，故A正确， 对于B，，，故B正确， 对于C，函数为幂函数，且，所以在区间上单调递减， 又，所以为偶函数， 根据偶函数的性质可得，在区间上单调递增，故C错误， 对于D，由已知可得，，解得或， 又幂函数图象关于轴对称，，，在区间上单调递增， ，， ，故D正确. 三、填空题 14．（25-26高一下·云南玉溪·期末）幂函数在区间上单调递减，则实数__________． 【答案】 【详解】 根据幂函数的定义：形如（为常数）的函数为幂函数，其的系数必须为，因此有： ， 整理得一元二次方程，因式分解得，解得或； 幂函数在上单调递减的充要条件是指数，即， 当时，，此时在上单调递增，不符合题意，舍去； 当时，，此时在上单调递减，符合题意， 综上，实数. 15．（25-26高一上·浙江杭州·期中）请写出一个同时满足下列两个条件的函数解析式：①是奇函数；②是上单调递减的幂函数：_________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】结合所求函数需满足的性质以及幂函数的性质，即可确定答案. 【详解】对于幂函数，定义域为， 由于，即是奇函数； 且在上单调递减，故符合题意的一个函数为. 16．（25-26高一上·河北·期末）若幂函数的图象过点，则不等式的解集为__________． 【答案】 【详解】设，则，即，所以，解得， 所以，则在定义域上单调递增； 所以由得，解得， 所以不等式的解集为． 故答案为： 17．（25-26高一上·甘肃兰州·期末）已知幂函数是奇函数，则满足不等式的实数的取值范围为________． 【答案】 【分析】根据幂函数的定义及奇偶性求得，根据函数的性质解不等式即可． 【详解】因为是幂函数，所以， 解得或， 当时，是奇函数，符合题意； 当时，是偶函数，不符合题意； 所以，，因为在上单调递增， ，所以，解得， 即实数的取值范围为， 故答案为：. 四、解答题 18．（25-26高一下·贵州贵阳·阶段检测）已知幂函数在上单调递增， (1)求函数的解析式； (2)求关于的不等式的解集（其中）. 【答案】(1) (2)当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为 【分析】（1）根据幂函数的定义及性质计算可得； （2）先将不等式转化为，再分类讨论可得不等式的解集. 【详解】（1）因为函数为幂函数，所以， 即，解得或， 又因为在上单调递增，所以， 所以，因此. （2）由（1）知，所以， 所以不等式转化为，即. 当时，解得或，即不等式的解集为； 当时，解得，即不等式的解集为； 当时，解得或，即不等式的解集为. 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 19．（25-26高一上·河南郑州·阶段检测）已知幂函数在上单调递增. (1)求实数的值； (2)若在上是增函数，求的取值范围； (3)求关于的不等式的解集. 【答案】(1) (2) (3)当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【详解】（1）因为幂函数在上单调递增， 所以，即，解得或； 当时，，在上单调递减，不合题意； 当时，，在上单调递增，符合题意； 所以，即实数的值为； （2）由（1）知，，所以，其开口向上，对称轴为； 又在上是增函数，所以，即的取值范围为； （3）依题意，不等式可化为，即，即； 当时，，无解； 当时，由，解得； 当时，由，解得； 综上，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 20．（25-26高一上·河北承德·期中）已知幂函数在上单调递增． (1)求函数的解析式； (2)已知函数． ①求； ②当时，，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)①0；② 【详解】（1）因为是幂函数，所以， 解得或． 因为在上单调递增，所以，即，则． 所以． （2）①，则， 所以． ②由①可知，则要使在上恒成立，则需． 因为，所以， 所以，即． 由题意在上恒成立， 即在上恒成立， 因为，所以， 所以在上恒成立， 所以． 因为当时，， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即实数的取值范围为 21．（25-26高一上·天津西青·期末）已知幂函数的图象过点，且函数. (1)求幂函数的解析式； (2)判断并证明函数在上的单调性； (3)若，使得不等式有解，求实数取值范围. 【详解】（1）设幂函数为 ，其图象过点， ，解得， 故幂函数的解析式为； (2)在上单调递增，证明如下： 由（1）知，故， 任取， 则. 因为，则有，，且，. 所以，即. 故在上单调递增； （3）由（2）知在上单调递增， 所以，即 令，则不等式有解等价于在上有解， 即，. 令，， 易得在区间上单调递减，在上单调递增， 则有，即. 综上，实数的取值范围是. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲：幂函数 题型一、幂函数的概念、参数问题 2 题型二：幂函数的解析式或求值问题 2 题型三：幂函数的值域问题 3 题型四：常见的幂函数基本性质 3 题型五、根据幂函数单调性比较大小 4 题型六：幂函数的单调性解不等式问题 4 题型七：幂函数的奇偶性问题 5 题型八：幂函数性质的综合问题 5 知识点一　幂函数的概念：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 知识点二　五个幂函数的图象与性质 1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y＝x；(2)y＝；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的图象如图． 2．五个幂函数的性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 在[0，＋∞) 上增， 在(－∞，0] 上减 增 增 在(0，＋∞)上减， 在(－∞，0)上减 知识点三　一般幂函数的图象特征 1．所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)． 2．当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数． 特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸． 3．当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数． 4．幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称． 5．在第一象限作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列． 题型一、幂函数的概念、参数问题 【例1】．（25-26高一上·河南信阳·期中）下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（26-27高一上·全国·课后作业）如果幂函数的图象不过原点，则的取值范围为（    ） A． B．或 C． D．或 【变式2】．（2026·湖南长沙·一模）已知幂函数在上单调递减，则实数m的值为（    ） A．0或1 B．或1 C．1 D．0 题型二：幂函数的解析式或求值问题 【例2】．（25-26高一下·河南开封·开学考试）已知幂函数在上单调递减，则（    ） A． B．4 C． D．2 【变式1】．（25-26高一上·山西忻州·期末）已知幂函数在上单调递减，则（    ） A． B． C． D．4 【变式2】．（25-26高二下·江苏常州·期末）已知幂函数的图象不经过原点，则（   ） A． B． C．或 D．或 题型三：幂函数的值域问题 【例3】．（25-26高一上·江苏无锡·期末）若函数是偶函数，且值域为，则可以是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高一上·北京·期中）下列函数中，值域为的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（22-23高一上·湖北襄阳·期末）下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 题型四：常见的幂函数基本性质 【例4】．（25-26高一上·江苏连云港·阶段检测）已知幂函数为常数，则下列结论正确的是（     ） A．函数的图象都经过点 B．若，则 C．若，则函数为偶函数 D．若函数的图象经过点，则函数在其定义域上单调递增 【变式1】．（25-26高一上·广东广州·期中）已知幂函数的图像过点，则（    ） A．为增函数 B．的值域为 C．为奇函数 D．的定义域为 【变式2】．（25-26高一上·天津·期中）若幂函数的图象经过点，则下列说法错误的是（   ） A．的定义域为 B．)的值域为 C．是偶函数 D．在上单调递减，在上单调递增 题型五、根据幂函数单调性比较大小 【例5】．（26-27高一上·河南·期中）设幂函数的图象经过原点，若，则（ ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高一上·江苏连云港·期末）下列比较大小中错误的是（      ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高一上·四川凉山·期末）已知，，，则实数、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 题型六：幂函数的单调性解不等式问题 【例6】．（26-27高一上·江苏·期中）幂函数的定义域为，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高一上·贵州黔南·期末）已知幂函数（为常数）的图象经过点，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知幂函数为奇函数，且在上单调递减，则满足不等式的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型七：幂函数的奇偶性问题 【例7】．（25-26高三上·江苏苏州·阶段检测）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（24-25高一上·辽宁葫芦岛·期末）已知函数是幂函数，对任意的且，满足，若，，则的值（    ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 【变式2】．（23-24高一上·浙江温州·期中）已知函数是幂函数，对任意，，且，满足，若a，，且，则的值（    ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 题型八：幂函数性质的综合问题 【例8】．（25-26高一上·福建莆田·期末）已知幂函数在上单调递增， (1)求函数的解析式； (2)如果函数在区间上是增函数，求的取值范围； (3)求关于x的不等式的解集（其中）. 【变式1】．（25-26高一上·湖北十堰·期末）已知幂函数为偶函数. (1)求的解析式； (2)若，求的取值范围； (3)若对任意，都存在，使得成立，求实数的取值范围. 【变式2】．（25-26高一上·河北沧州·期末）已知幂函数在上单调递减． (1)求的解析式； (2)若命题：，为假命题，求实数的取值范围； (3)求不等式的解集． 一、单选题 1．（26-27高一上·全国·课后作业）下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·四川广安·模拟预测）若幂函数是奇函数，且在上单调递减，则的值可以是（     ） A． B．2 C． D．3 3．（25-26高二下·全国·期末）若幂函数，与在第一象限内的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·湖南怀化·期末）已知幂函数过点，则（    ） A． B．4 C． D．8 5．（25-26高一上·江苏·期末）幂函数的图象过点，则函数的最大值为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·江苏连云港·期末）已知幂函数的图象过点，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·安徽·期末）已知函数是幂函数，对任意的且，满足，若，则的值（    ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 8．（25-26高一上·海南·期末）已知幂函数，满足，且，都有 成立，若关于的不等式恰有4个整数解，则实数的取值范围是（      ） A． B． C． D． 9．（25-26高一上·吉林延边·期末）已知函数（且）的图象恒过定点，幂函数的图象过点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 10．（2026·江苏淮安·一模）幂函数（为常数），则（    ）. A．当时，是奇函数 B．的图象过定点 C．当时，的值域为 D．若，则 11．（26-27高一上·江西·期中）已知定义在上的偶函数与奇函数均在区间上单调递增，且，则（ ） A． B． C． D． 12．（25-26高一下·四川眉山·期末）已知点在幂函数的图象上，则下列叙述正确的是（    ） A．函数是奇函数 B．函数是偶函数 C． D．函数在定义域内是减函数 13．（25-26高一上·贵州遵义·期末）下列说法正确的是（   ） A．若幂函数的图象经过点，则解析式为 B．幂函数始终经过点和 C．若函数，则在区间上单调递减 D．若幂函数图象关于轴对称，则 三、填空题 14．（25-26高一下·云南玉溪·期末）幂函数在区间上单调递减，则实数__________． 15．（25-26高一上·浙江杭州·期中）请写出一个同时满足下列两个条件的函数解析式：①是奇函数；②是上单调递减的幂函数：_________． 16．（25-26高一上·河北·期末）若幂函数的图象过点，则不等式的解集为__________． 17．（25-26高一上·甘肃兰州·期末）已知幂函数是奇函数，则满足不等式的实数的取值范围为________． 四、解答题 18．（25-26高一下·贵州贵阳·阶段检测）已知幂函数在上单调递增， (1)求函数的解析式； (2)求关于的不等式的解集（其中）. 19．（25-26高一上·河南郑州·阶段检测）已知幂函数在上单调递增. (1)求实数的值； (2)若在上是增函数，求的取值范围； (3)求关于的不等式的解集. 20．（25-26高一上·河北承德·期中）已知幂函数在上单调递增． (1)求函数的解析式； (2)已知函数． ①求； ②当时，，求实数的取值范围． 21．（25-26高一上·天津西青·期末）已知幂函数的图象过点，且函数. (1)求幂函数的解析式； (2)判断并证明函数在上的单调性； (3)若，使得不等式有解，求实数取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $