第四章圆的再认识（期中知识清单）九年级数学上学期新教材青岛版

第四章 圆的再认识　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 圆的对称性与垂径定理 1.1 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧。 示例：在 中，直径 垂直于弦 ，垂足为 ，则 ，，。 注意：垂径定理的条件是“垂直于弦的直径”，其中的弦可以是任意弦；由“垂直于弦”出发，即可同时得到“平分弦”和“平分弦所对的两条弧”两个结论。 1.2 不在同一条直线上的三个点确定一个圆 不在同一条直线上的三个点确定一个圆。 示例：已知 三点不共线，分别作线段 、 的垂直平分线，它们的交点就是所求圆的圆心，圆心到任一点的距离就是半径。 1.3 三角形的外接圆与外心 三角形的三个顶点确定一个圆。经过三角形三个顶点的圆叫作三角形的外接圆，外接圆的圆心叫作三角形的外心，这个三角形叫作这个圆的内接三角形。 示例：锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形外部。 2. 圆心角与圆周角 2.1 圆心角 顶点在圆心的角叫作圆心角。 示例：在 中， 的顶点 是圆心，所以 是圆心角。 2.2 圆心角、弧、弦之间的关系 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 示例：在 中，若 ，则 ，；反之，若 ，则 ，。 注意：“同圆或等圆”这一前提不可省略，否则弦、弧、圆心角的对应关系不成立。 2.3 圆周角 顶点在圆上，并且它的两边在圆内的部分是圆的两条弦，像这样的角叫作圆周角。 示例： 的顶点 在 上，且 、 都是 的弦，所以 是圆周角。 2.4 圆周角定理 圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半。 即 （其中 与 都对着同一条弧 ）。 示例：若 所对的圆心角 ，则同弧所对的圆周角 。 2.5 圆周角定理的推论 1 同弧（或等弧）所对的圆周角相等。 示例：在 中，、 都对着弧 ，则 。 2.6 圆周角定理的推论 2 直径所对的圆周角是直角，90° 的圆周角所对的弦是直径。 示例： 是 的直径， 是圆上异于 的点，则 ；反过来，若 ，则弦 是直径。 2.7 圆内接多边形与外接圆 所有顶点都在同一个圆上的多边形叫作圆内接多边形，这个圆叫作这个多边形的外接圆。 示例：四边形 的四个顶点都在 上，则四边形 是 的内接四边形， 是四边形 的外接圆。 2.8 圆周角定理的推论 3 圆内接四边形的对角互补。 示例：四边形 内接于 ，则 ，。 3. 直线与圆的位置关系 3.1 直线与圆的三种位置关系 当直线与圆有两个公共点时，叫作直线与圆相交，直线叫作圆的割线，两个公共点叫作交点；当直线与圆有唯一的公共点时，叫作直线与圆相切，直线叫作圆的切线，唯一的公共点叫作切点；当直线与圆没有公共点时，叫作直线与圆相离。 示例：直线与圆有两个交点时相交，只有一个交点时相切，没有交点时相离。 3.2 圆心到直线的距离与半径的关系 设 的半径为 ，圆心 到直线 的距离为 ： 位置关系 公共点个数 与 的大小关系 相交 两个 相切 唯一一个 相离 没有 示例：，圆心到直线的距离 ，则 ，直线与圆相交。 3.3 切线的判定定理 过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线。 示例：过 的半径 的外端点 作直线 ，则 是 的切线。 3.4 切线的性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径。 示例：直线 与 相切于点 ，连接 ，则 。 3.5 切线长与切线长定理 过圆外一点可以作圆的两条切线，这一点与其中一个切点之间的线段的长，叫作这一点到圆的切线长。 切线长定理：过圆外一点的两条切线长相等。 示例：、 是 的两条切线， 是切点，则 。 4. 三角形的内切圆与内心 4.1 三角形的内切圆、内心与外切三角形 与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆，内切圆的圆心叫作三角形的内心。这个三角形叫作圆的外切三角形。 示例： 与 的三边都相切，则 是 的内切圆，点 是内心， 是 的外切三角形。 4.2 内心的性质 三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点，它到三角形各边的距离相等。任意一个三角形有且只有一个内心，内心在三角形的内部。 示例：点 是 的内心，则 、、 分别平分 、、。 5. 弧长与扇形面积 5.1 弧长公式 若 的半径为 ，圆心角为 的扇形的弧长为 ，面积为 ，则 示例：半径 ，圆心角 的弧长 。 5.2 扇形面积公式 由扇形的弧长 ，可得 。 示例：半径 ，圆心角 的扇形面积 ；也可用 计算。 6. 正多边形与圆 6.1 正多边形的对称性 正多边形都是轴对称图形。一个正 边形有 条对称轴，它们相交于一点。当 是奇数时，正 边形不是中心对称图形；当 是偶数时，正 边形是中心对称图形，对称中心是正 边形外接圆的圆心。 示例：正三角形有 条对称轴，不是中心对称图形；正方形有 条对称轴，是中心对称图形。 6.2 正多边形的中心、半径与边心距 任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。圆心是各对称轴的交点，它到正多边形各顶点的距离相等，到各边的距离也相等。 正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心叫作正多边形的中心，外接圆的半径叫作正多边形的半径，内切圆的半径长叫作正多边形的边心距。 示例：正六边形 的中心为 ，则 是半径，中心到边 的垂线段长是边心距。 6.3 正多边形的中心角 正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等。正多边形每一条边所对的外接圆的圆心角叫作正多边形的中心角。正 边形的每个中心角都等于 。 示例：正六边形每个中心角为 ，正三角形的中心角为 。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 垂径定理的推论 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 【使用提醒】被平分的弦不能是直径，否则“平分弦的直径垂直于弦”不成立（两条直径互相平分但不一定垂直）。 1.2 外心的位置 锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形外部。 1.3 圆内接四边形的外角 圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角。 1.4 切线长定理的几何结构 从圆外一点 引 的两条切线 、（ 为切点），则 ，圆心与 的连线 垂直平分 ，且 平分 。 1.5 三角形的内切圆半径 直角三角形（）的内切圆半径 （ 为直角边， 为斜边）；任意三角形的内切圆半径 （ 为三角形面积）。 1.6 正 边形的内角与中心角 正 边形的每个内角等于 ，每个中心角等于 ，同一个顶点的内角与中心角之和为 。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 垂径定理“知二推三”求半径 在弦长 、弦心距 、半径 、弓形高 、弧的中点这组量中，知道任意两个即可求其余，关键是构造含半径、弦心距、半弦的直角三角形：。如弦长为 、弓形高为 时，，解得 。 2.2 圆中角的计算 “见直径，连圆周角得直角”“见直角，找直径”；把同弧（或等弧）所对的圆周角互相转化，把圆周角与圆心角按倍半关系互化。如 是直径、，则 ，。 2.3 切线判定的两种思路 有公共点：连接圆心与公共点（连半径），证垂直；无公共点：过圆心作垂线，证垂线段的长等于半径。如证明 是切线，先连 ，再证 。 2.4 切线长定理的模型 两条切线长相等、圆心与交点的连线平分夹角、垂直平分切点连线，三者配合求角、求边。如 、，则 。 2.5 弧长、扇形面积的计算 先分清弧长用 、扇形面积用 ；已知弧长求面积可用 。如 、，则 。 3. 大小比较 / 化简 / 运算小技巧 技巧 要点 示例 弦弧角互推 同圆或等圆中，弦、弧、圆心角、圆周角“知一推三” 弦 ，则 ， 弓形面积 弓形面积 扇形面积 三角形面积 圆心角 的弓形 阴影面积割补 阴影 规则图形和差，等积变换（平移、旋转） 大圆面积 小圆面积，得到圆环面积 正多边形速算 正六边形边长 半径；正三角形中心角 正六边形 ，则边长 、面积 内切圆速记 直角三角形内切圆 ，一般三角形 边长为 的直角三角形 4. 常见考试模型 4.1 垂径定理求半径模型（车桥、水管、弓形） 公式：设弦长 、弓形高 ，半径 ，则 。 限定：，，所求半径必须满足圆心到弦的距离非负。 示例：如弦长 、弓形高 ，则 ，解得 。 4.2 切线长模型（两条切线 + 直角三角形） 公式：从圆外一点 引两条切线，切线长 ， 平分 ， 垂直平分 。 限定：切点、交点、圆心构成的图形中边长均为正。 示例：如 、，则 ，。 4.3 阴影部分面积模型（割补法） 公式：阴影面积 大规则图形 小规则图形；弓形 扇形 三角形。 限定：各图形共用同一圆心、同一半径，圆心角对应同一条弧。 示例：如圆心角 、半径 的弓形面积 。 4.4 正多边形计算模型 公式：正 边形中心角 ，边心距、半边长与半径构成直角三角形。 限定： 的整数，边长、边心距均为正。 示例：如正六边形半径 ，则边长 、边心距 、面积 。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：垂径定理的推论漏了“弦不是直径”的限制 典例：判断命题“平分弦的直径垂直于弦”是否正确。 错解：正确。因为垂径定理说“垂直于弦的直径平分弦”，反过来“平分弦的直径垂直于弦”也成立。 正解：错误。当被平分的弦是直径时，平分这条弦的直径不一定垂直于它（两条直径互相平分，但一般不互相垂直）。正确的说法是“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧”。 原因：忽略隐含条件。学生把垂径定理的条件与结论机械对调，忽略了“直径也是弦”这一特殊情况——任意两条直径都互相平分，但未必垂直。凡由“平分弦”推“垂直”，都必须先排除“弦是直径”的情形。 易错点 2：对圆周角定义理解不完整，漏了“两边都是弦” 典例：判断命题“顶点在圆上的角都是圆周角”是否正确。 错解：正确。因为圆周角的顶点在圆上，只要顶点在圆上就是圆周角。 正解：错误。圆周角要求顶点在圆上，并且它的两边都与圆相交（两边在圆内的部分是圆的两条弦）。若顶点在圆上但角的一边不是弦（例如一边是圆的切线），则这个角不是圆周角。 原因：概念理解不完整。学生只记住了“顶点在圆上”这一个特征，忽略了“两边都是弦”这一限定条件，把圆周角的两个必备条件记成了一个。 易错点 3：判定位置关系时误用“点到点的距离”代替“点到直线的距离” 典例： 的半径为 ，点 在直线 上，且 。判断直线 与 的位置关系。 错解：因为 ，所以直线 与 相切。 正解：无法确定。 是圆心到直线 上某一点 的距离，不一定是圆心到直线的距离 （垂线段最短），故 ，直线 与 可能相切，也可能相交。 原因：概念混淆。学生把“圆心到直线上一点的距离”当成了“圆心到直线的距离”，而后者的定义是圆心到直线的垂线段的长。判定位置关系必须用垂线段 与半径 比较。 易错点 4：切线长问题漏分类讨论（点在优弧或劣弧上） 典例：、 是 的切线， 是切点，。求 的度数。 错解：，所以 。 正解：当点 在优弧上时，；当点 在劣弧 上时，由圆内接四边形对角互补得 。所以 或 。 原因：漏分类讨论。点 在圆上有优弧、劣弧两种位置，它们所对的圆周角与圆心角 的关系不同（一个是半倍、一个是补角半倍）。学生默认 只在优弧上，丢掉劣弧一解。 易错点 5：弧长、扇形面积公式的分母记混 典例：扇形的圆心角 ，半径 ，求扇形的面积。 错解：。 正解：。 原因：公式记忆混淆。弧长公式 的分母是 ，扇形面积公式 的分母是 ，且面积公式中半径是平方。学生把两个分母记混，或把面积公式误写成弧长公式的形式。 易错点 6：内心与外心的概念张冠李戴 典例：判断命题“三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等”是否正确。 错解：正确。内心是三角形三边垂直平分线的交点，到三个顶点距离相等。 正解：错误。内心是三角形三条角平分线的交点，到三角形三边的距离相等；外心才是三角形三边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点的距离相等。应把“内心”改为“外心”。 原因：概念混淆。内心、外心名称相近，学生容易把“内心（角平分线交点、到边等距、内切圆圆心）”与“外心（垂直平分线交点、到顶点等距、外接圆圆心）”的张冠李戴，关键是抓住“内切——到边等距”“外接——到顶点等距”的对应关系。 学科网（北京）股份有限公司 $