专题03 锐角三角函数（知识&考点&公式&6高频&4易错&4重难&6模型，期中知识清单）九年级数学上学期新教材青岛版

专题03 锐角三角函数 目 录 识记类 思维导图 知识清单(5类) 考点清单(4类) 公式清单(9类) 辨析清单(4类) 题型类 高频题型清单(8类) 易错题型清单(3类) 重难题型清单(4类) 答题类 解题模型清单(6类) 答题技巧清单 知识点01 锐角三角函数的定义 1. 在直角中，，设的对边为，邻边为，斜边为。 2. 正弦：。 3. 余弦：。 4. 正切：。 5. 、、统称为的三角函数。三角函数值是比值，没有单位。 知识点02 30°、45°、60°角的三角函数值 ，，。 ，，。 ，，。 记忆规律：正弦值随角度增大而增大，余弦值随角度增大而减小，正切值随角度增大而增大。 知识点03 用计算器求锐角三角函数值 1. 已知角度求三角函数值：输入角度，按对应的、、键即可得到函数值。 2. 已知三角函数值求角度：使用、、（反三角函数）键求解。 3. 计算器的计算结果一般为近似值，需根据题目要求取精确值或保留指定小数位数。 知识点04 解直角三角形 1. 解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程。 2. 直角三角形中的三边关系（勾股定理）：。 3. 直角三角形中的边角关系：，，。 4. 直角三角形中的角角关系：（两锐角互余）。 5. 解直角三角形的条件：至少需要两个已知元素（其中至少有一个是边）。 知识点05 解直角三角形与实际问题 1. 仰角与俯角：视线在水平线上方时，视线与水平线的夹角叫做仰角；视线在水平线下方时，视线与水平线的夹角叫做俯角。 2. 方位角：从正北方向按顺时针方向转到目标方向线所成的角。如北偏东。 3. 坡度（坡比）：坡面的铅直高度与水平距离的比叫做坡度，记作。坡度与坡角的关系：。 4. 解题步骤：①审题，理解题意，画出示意图；②将实际问题转化为解直角三角形的问题；③选择合适的三角函数关系列方程；④解方程求解，检验结果的合理性。 考点01 三角函数的定义与计算 考点内容：掌握锐角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义及其在直角三角形中的边角比值关系，理解三角函数值随角度变化的增减性规律，并能运用同角三角函数的基本关系式进行简单的计算与转化。 常见考法： ①在直角三角形中，已知两边求三角函数值； ②已知三角函数值求角度或边长； ③在非直角三角形中，作高构造直角三角形求三角函数值； ④在坐标系中求某条线段与坐标轴夹角的三角函数值。 考点02 特殊角的三角函数值 考点内容：熟记  、 、 等特殊角的正弦、余弦、正切值，理解互余两角三角函数之间的关系，并能熟练进行含特殊角三角函数值的代数式化简与求值运算。 常见考法： ①直接求、、的三角函数值； ②含特殊角三角函数值的混合运算（化简求值）； ③利用特殊角的三角函数值判断角度大小。 考点03 解直角三角形 考点内容：综合运用勾股定理、直角三角形两锐角互余的性质以及锐角三角函数的定义，掌握在已知直角三角形中两个元素（至少包含一条边）的情况下，求解其余未知边长和角度的方法。 常见考法： ①已知两边求第三边及两个锐角； ②已知一边和一个锐角，求其他边和角； ③解直角三角形与勾股定理、全等三角形等知识综合。 考点04 解直角三角形的实际应用 考点内容：理解仰角、俯角、坡度（坡比）、坡角及方位角等基本概念，能够将测量高度、航行距离、工程坡度等实际问题抽象为直角三角形模型，并通过作高构造直角三角形来解决相关的计算与设计问题。 常见考法： ①测量物体高度（仰角、俯角问题）； ②航行问题（方位角问题）； ③工程问题（坡度、坡比问题）； ④设计方案类问题（如设计楼梯、斜坡等）。 正弦定义 余弦定义 正切定义 平方关系 角函数值 ，， 角函数值 ，， 角函数值 ，， 互余关系 ， 坡度公式 辨析01 三角形的三条重要线段都是线段，不是直线或射线 辨析01 三角函数值没有单位 三角函数值是两条线段的比值，是一个纯数，没有单位。不能写成""等形式。 辨析02 不是乘以 是一个完整的符号，表示角的正弦值，不能理解为""乘以""。去掉""后""没有意义。 辨析03 角度越大，正弦值/正切值越大，但余弦值越小 在范围内： 角度增大 增大，减小，增大。 辨析04 互余两角的三角函数关系 若，则，，。 即一个角的正弦等于它余角的余弦，一个角的正切等于它余角的正切的倒数。 【题型一】根据定义求三角函数值 【例1】如图，求，，的值． 【答案】，， 【分析】根据勾股定理分别求出，的长，再根据锐角三角函数的定义计算即可． 【详解】解：如图，，，，， 在中，，， ， 在中，，， ， ， ， ． 【变式1-1】如图，在中，，，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先在中利用勾股定理求出，再根据同角的余角相等得出，进而利用锐角三角函数关系即可求出的值．得出是解题关键． 【详解】解：在中， ， ， ， ， ， ． 【变式1-2】如图，在中，，，，求的值． 【答案】的值为 【分析】先利用勾股定理求出的值，进而即可求出的值． 【详解】解：由题意得，， ∴． 【变式1-3】如图，在中，，，．试求出的三个三角函数值． 【答案】，， 【分析】由勾股定理可得，再结合正弦、余弦、正切的定义计算即可得出结果． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴，，． 【变式1-4】在中，的对边分别为a、b、c．根据下列所给条件，分别求出的三个三角函数值： (1)； (2)． 【答案】(1) ，， (2) ，， 【分析】（1）利用勾股定理求出的值，再根据锐角三角函数的定义求解即可； （2）利用勾股定理求出的值，再根据锐角三角函数的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， ∴； （2）解：∵在中，，， ∴， ∴． 【题型二】由三角函数值求边长 【例1】如图，在中，，，，则的长为（     ） A．10 B．6 C． D． 【答案】A 【分析】先根据正切定义求得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴． 【变式1-1】为庆祝国庆，我校要在如图所示的五角星中（图中所有线段的长度均相等，且），从顶点A开始，沿边每隔25厘米装一盏闪光灯，如果F、J两点间的距离等于（）米，则需要安装闪光灯的盏数是（     ）（参考数据： ） A．100 B．90 C．85 D．80 【答案】D 【分析】连接，过点作于点，根据等腰三角形三线合一的性质求出，，再由三角函数定义求出五角星的边长，随后求出五角星的周长，即可计算一共需要安装闪光灯的盏数． 【详解】解：先计算五角星的边长，如图，连接，过点作于点， 已知，由，可由三线合一知也是中线， ， 由三线合一知也是角平分线， ， ， ， 则五角星的周长为， 需要安装闪光灯的盏数是． 【变式1-2】如图所示，在中，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，作射线交于点．若，，则的长为（   ） A． B．4 C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形的相关计算，作垂线(尺规作图)，等腰三角形的性质．由锐角的余弦定义得到，据此求解即可． 【详解】解：由作图知，， ∴， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 【变式1-3】如图，点为正方形的边上一点，连接，，是的中线，若，则的长为______________． 【答案】 【分析】根据正方形性质得出，，利用直角三角形斜边中线性质得出，利用三角函数定义求出，利用勾股定理求出，进而可求出的长． 【详解】解：∵点为正方形的边上一点， ∴，， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式1-4】在中，，，，求的长和的值． 【答案】 的长为，的值为 【分析】利用锐角余弦的定义求出的长度，再通过勾股定理求出的长度，最后根据锐角正切的定义计算的值． 【详解】解：在中，，如图， ∵ ，，， ∴ ， 由勾股定理得 ， ∴ ． 【题型三】特殊角三角函数值的运算与应用 【例1】求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)1(2)6(3)(4)0 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【变式1-1】在中，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦的定义可得的度数，进而可得的度数，再由正切的定义可得答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， ∴． 【变式1-2】的值等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据特殊角的三角函数值，进行求解即可． 【详解】解：由特殊角的三角函数值，得． 【变式1-3】计算：． 【答案】 【详解】解： 【变式1-4】如图，在中，，，．求的大小． 【答案】 【分析】根据三角函数的定义求出的正弦值，再根据特殊角的三角函数值求角度． 【详解】解：在中，，，， ， ． 【题型四】解直角三角形的基本计算 【例1】如图，在中，，，．解这个直角三角形．（结果精确到） 【答案】，，． 【分析】根据直角三角形的两个锐角互余求出的度数，利用的正切与余弦即可求出、的长度． 【详解】解：在中，，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【变式1-1】如图，在中，，，．解这个直角三角形． 【答案】，，. 【分析】利用勾股定理求出的长度，即可求出的正弦，根据的正弦求出的度数，再根据直角三角形的两个锐角互余求出的度数． 【详解】解：在中，，，． ， ， ， ， ， 【变式1-2】在中，，为上的高，且，，求的值和的长． 【答案】或，或 【分析】第一种情况为钝角三角形，在中，由勾股定理就可以用表示出，进而得出，就可以求出的值，在中，由勾股定理就可以求出的值，进而得出的值；第二种情况为锐角三角形，利用第一种情况的解题原理，即可得到结果． 【详解】解：如图： ， ． ． ， ， ． ． ； 在中， 解得， ； 如图： ， ． ． ， ， ． ． ； 在中， 解得， ． 综上所述，或，或． 【变式1-3】在中，，根据下列条件解直角三角形．（计算结果中，长度精确到，角度精确到） (1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【答案】(1)，， (2)，， (3)，，． (4)，， 【分析】（1）先利用勾股定理求得a，再利用正弦的定义求得，然后利用三角形内角和定理求即可； （2）先利用勾股定理求得c，再利用正弦的定义求得，再利用三角形内角和定理求即可； （3）先利用三角形内角和定理求，再利用正弦的定义求得c，最后利用勾股定理求得b即可； （4）先利用三角形内角和定理求，再利用正弦的定义求得b，然后利用勾股定理求得a即可． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴，， ∴， ∴． （2）解：∵在中，，，， ∴，， ∴， ∴． （3）解：∵在中，，，， ∴，， 解得：， ∴． （4）解：∵在中，，，， ∴，， 解得：． ∴． 【变式1-4】在中，，根据下列条件解直角三角形： (1)已知，求的长； (2)已知，求的度数； (3)已知，求的长； (4)已知，求的长． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）已知两条直角边长，利用勾股定理求斜边的长； （2）已知的邻边与斜边长，通过余弦值结合特殊角三角函数求的度数； （3）已知斜边长与的度数，利用的余弦求邻边的长； （4）已知的邻边长与角度，利用的正切求对边的长． 【详解】（1）解：∵，，， ∴． （2）解：∵，，， ∴， ∵为锐角， ∴． （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴． （4）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 【题型五】非直角三角形的有关计算 【例1】如图，在中，，求和的长． 【答案】， 【分析】本题考查了解直角三角形．作于点D，证明为等腰直角三角形，求得，在中利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理即可求解． 【详解】解：作于点D， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上，，． 【变式1-1】中，，平分交于，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作于点，作于点，过点作于点，设，，先用三角函数的知识表示出和，进而表示出的面积和的长，在中利用勾股定理并整理得到；再利用角平分线的定义和三角函数的知识表示出和，进而表示出和的面积，利用整理得到，令，，联立方程解出的值即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作于点，作于点，过点作于点， 设，， ，，， ， 在中，，， ，， ，， 在中，， ， 整理得：，即； 平分， ， ，， ，， ， ， 整理得：； 令，，则， 解得：或（舍去）， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理、三角形的面积公式、一元二次方程的应用，熟练掌握相关知识点，利用等面积法和勾股定理建立方程是解题的关键．本题属于几何压轴题，有一定难度，适合有能力解决几何难题的学生． 【变式1-2】如图，的三个顶点都在边长是的小正方形的顶点上，则____________________． 【答案】 【分析】过作于，则，求出和的长，再解直角三角形求出即可． 【详解】解：如图，过作于， ∴， ∵小正方形的边长为， ∴，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形．理解和掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【变式1-3】如图，在中，已知，，，求的面积． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，过点作于点，根据得出，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∵，, ∴， ∴． 【变式1-4】如图，在中，，，，求的面积． 【答案】 【分析】过点C作于点D，构造出两个直角三角形，再根据所给条件直接求解即可． 【详解】解：如图，过点C作于点D． 在中，，， ∴， ∴． 在中， ∵， ∴，． ∴． ∴． 【点睛】本题考查了解三角形，解题关键是构造出直角三角形． 【题型六】仰角俯角问题 【例1】如图，在建筑物上，挂着长的宣传条幅．从另一建筑物的顶部处看条幅顶端，仰角为；看条幅底端，俯角为．求两建筑物间的距离．（结果精确到） 【答案】两建筑物间的距离约为 【分析】过点作于点，设，则，，在中，根据锐角三角函数的定义即可得出结论． 【详解】解：过点作于点，则， 设， ∵， ∴在中，， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴，即 ， 解得． 答：两建筑物间的距离约为． 【变式1-1】如图，飞机在空中处探测到它的正下方地平面上目标，从飞机上看地平面指挥台的俯角为，此时飞机与指挥台的距离为，则此时飞行高度为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线性质得出，在中利用正弦函数定义建立与的关系． 【详解】解：由题意可知飞机水平视线与地面平行， ∴， 在中，，， ∵， ∴． 【变式1-2】如图所示，“五一”期间小苏在瓯江口放风筝，已知风筝线长固定为24米，当风筝到达A点时，测得此时仰角为，n秒后，风筝到达B点，测得此时仰角为“”，测得风筝在这n秒内上升的高度为（     ）米 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，过作水平线的垂线，垂足为，过作于，过作于，证明四边形为矩形，可得，再分别求解，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，过作水平线的垂线，垂足为，过作于，过作于， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 【变式1-3】如图，为了测得电视塔的高度，在D处用高为的测角仪，测得电视塔顶端A的仰角为，再向电视塔方向前进，又测得电视塔顶端A的仰角为．求这个电视塔的高度．（精确到） 【答案】219米 【分析】设，在中表示出，分别在、中利用三角函数表示出米，米，由米，可知米，据此列出关于x的方程求解即可． 【详解】解：如图：设， 在中，米， 在中，米， ∵米， ∴， 解得：， ∴米． 答：这个电视塔的高度约为219米． 【变式1-4】综合与实践：测量长安塔高 “长安塔”位于西安世界园艺博览会园区制高点小终南山上，此塔具有“天人长安”文化的标志性意义，某校九年级“综合与实践”小组开展了“长安塔高度的测量”项目化学习，经过测量，形成了如下不完整的项目报告： 课题 测量长安塔的高度 测量目的 1、学会运用三角函数有关知识解决生活实际问题； 2、培养学生动手操作能力，增强团队合作精神． 测量工具 测角仪，皮尺等 测量方案 方案一：如图1，在水平地面上的点C处测得塔顶端A的仰角为，点C到点B的距离为m米．方案二：如图2，在水平地面上的点C处测得塔顶端A的仰角为，从水平地面的C点向前走到点D处，测量的距离，并在D处测得塔顶端A的仰角为． 图示    请根据以上测量数据，回答问题： (1)根据方案一的方法，可测得长安塔的塔高______________米；（用含，的式子表示） (2)该小组在实践中发现：无法直接到达塔底端的B点，因此方案一中的无法直接测量，所以该小组采用方案二的方法，若测得，，米，请你利用所测数据计算塔高．（计算结果保留整数，参考数据：，，，） 【答案】(1) (2)99米 【分析】（1）根据正切的定义计算即可得出结果； （2）设米，则米，解直角三角形得出米，米，求出的值，即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意得， 在中，，米， ∴（米）； （2）解：设米， ∵米， ∴米， 在中，， ∴（米）， 在中，， ∴（米）， ∴， 解得， ∴（米）， 故塔高约为米． 【题型七】方位角问题 【例1】如图，一辆小汽车在某城市街道上由西向东行驶，距离路边处的“车速检测仪O”测得该车从北偏西的点A行驶到北偏西的点B，所用时间为，求该车从点A到点B的平均速度． 【答案】 【分析】过点作交线段的延长线于点，求出，，根据得到，根据速度等于路程除以时间即可得到该车从点A到点B的平均速度． 【详解】解：过点作交线段的延长线于点， 由题意可得，，， 在中，，， ∴ 在中，，， ∴ ∴， ∴该车从点A到点B的平均速度为． 【变式1-1】如图，某渔船在港观测到灯塔在它的北偏东方向上；当渔船沿正北方向航行30海里至港时，观测到灯塔在它的东北方向上，则灯塔与港之间的距离为____________海里．（结果精确到0.1海里，参考数据：，，，） 【答案】 28.2 【分析】过点作延长线的垂线构造直角三角形，设垂线段长为未知数，利用两个直角三角形的公共边和已知角度建立方程求解． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点． 设海里， 在中， 灯塔在港的东北方向， ． 海里，海里． 在中，，海里． ， ． 即． 解得． （海里）． 故灯塔与港之间的距离约为海里． 【变式1-2】如图，某海警船向正西方向航行，在A处望见一艘正在作业的渔船D在南偏西方向，海警船航行到B处时望见渔船D在南偏东方向，又航行了一小时到达C处，望见渔船D在南偏东方向，若海警船的速度为25海里/时，则A，B之间的距离为________海里．（，结果精确到0.1海里） 【答案】68.3 【分析】过点D作垂直于H，因为D处在A处南偏西、在B处南偏东，所以和都是等腰直角三角形，得，因为海警船速度为25海里/时，航行1小时从B到C，所以海里，那么．因为D处在C处南偏东，所以，在中，结合正切函数的定义，建立与的关系式，求解， 由即可得解． 【详解】过点D作于H，则， 由题意可知A、B、C三点在同一条东西向直线上． 在A处望见D在南偏西， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； 在B处望见D在南偏东， 同理，也是等腰直角三角形，． ∴， ∴． 已知海警船速度为25海里/时，从B航行1小时到C， ∴海里． ∵在C处望见D在南偏东， ∴， 在中，， 即． 又∵， ∴ ， 整理得， 解得． ， 代入， 得（海里）． 【变式1-3】海船以的速度向正北方向航行，在处看灯塔在海船的北偏东处，半小时后航行到处，发现此时灯塔与海船的距离最短．画出相应的图形，并计算灯塔到处的距离．（精确到） 【答案】作图： ； 灯塔到处的距离约为． 【分析】点到直线最短得，结合方位角构造直角三角形，利用三角函数求解的长度． 【详解】解：海船速度为，航行时间为， ． 点到直线的距离中垂线段最短，航行至处时灯塔与海船距离最短， ，为直角三角形，． 在处看灯塔在北偏东处， ． 在中，， ． 代入，， 得． 答：灯塔到处的距离约为． 【变式1-4】如图，在东西方向的海面线上，有A、B两艘巡逻船和观测点D（A、B、D在直线上），两船同时收到渔船C在海面停滞点发出的求救信号．测得渔船分别在巡逻船A、B北偏西和北偏东方向，巡逻船A和渔船C相距120海里，渔船在观测点D北偏东方向．求巡逻船B与观测点D间的距离．（结果取整数．参考数据：，．） 【答案】巡逻船与观测点间的距离约为76海里 【分析】过点作于点，先解直角三角形求出，，的长，则可得的长，再证出，则可得的长，然后根据求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点， 由题意得：，，海里，， ∴在中，（海里）， （海里）， 在中，（海里）， ∴海里， ∵在中，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， 解得（海里）， ∴（海里）， 答：巡逻船与观测点间的距离约为76海里． 【题型八】坡度坡角问题 【例1】水坝是人类治水的重要工程，类型多样．图1为某重力坝模型，图2为其横断面示意图，已知背水坡的坡度i为，坝底的水平宽度为，则背水坡的铅直高度为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据坡度的定义可得，据此可得答案． 【详解】解：，坡度i为， ， ， ． 【变式1-1】如图，一水库大坝的横断面为梯形，坝顶宽为，坝高为，斜坡的坡度，斜坡的坡度． (1)求斜坡与坝底的长度（精确到）； (2)求斜坡的坡角α（精确到）． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）过点B作于点E，过点C作于点F，根据坡度比分别求出、的长，然后求出，根据勾股定理求出； （2）根据斜坡的坡度，得出，再求出结果即可． 【详解】（1）解：过点B作于点E，过点C作于点F，如图所示： 则，， 根据题意得：， ∵梯形中，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵斜坡的坡度，斜坡的坡度， ∴， ， ∴， 在中，根据勾股定理得： ； （2）解：∵斜坡的坡度， ∴， ∴． 【变式1-2】如图，小明在处测得处的俯角为，处的俯角为，，，若斜面坡度为，则斜坡的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设平行于水平线，，，可得，根据坡度的定义得出，根据正切函数的定义及特殊角的三角函数值得出，根据俯角的定义得出，，根据角的和差关系得出，，即可得出，，可得是等腰直角三角形，即可得出答案． 【详解】解：如图，设平行于水平线，，， ∴， ∵斜面坡度为， ∴， ∴， ∴， ∵在处测得处的俯角为，处的俯角为， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴． 【变式1-3】如图，某公园为了加强安全管理，决定将园内原滑梯改建为，其坡度由改为，已知原滑梯的长为，点D、B、C在同一水平面上，改善后的滑梯会加长多少米？（精确到） 【答案】改善后滑梯会加长． 【分析】根据坡度及勾股定理求出，进而计算即可． 【详解】解：在中，，， ∴ 解得：（负值舍去）， 在中，， 解得：， ∴． 即改善后滑梯会加长． 【变式1-4】如图，小亮从A地出发去B地，先沿着坡角为的坡道向前走了100米到C地，再沿着水平方向走了一段距离到E地，最后沿着坡角为的坡道向前走了150米到B地，求小亮沿垂直方向上升了多少米？（图中所有点均在同一平面内，，．参考数据：，，，，，） 【答案】小亮沿垂直方向上升了米 【分析】过点作，垂足为，过点作，垂足为，分别在直角三角形和直角三角形中，利用正弦分别求出和，于是可求出沿垂直方向上升的米数． 【详解】解：如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为， 由题意得四边形是矩形， ， 在直角三角形和直角三角形中， 、， 、， 、， （米）． 答：小亮沿垂直方向上升了米． 【题型一】三个三角函数的定义辨析 【例1】如图，中，，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据余弦和正切的定义计算即可得出结果． 【详解】解：∵中，， ∴，，故A选项正确，符合题意． 易错警示：在确定某个角的三角函数时，将对边和邻边搞混，尤其是非直角顶点处的角。 纠正：先明确直角顶点和目标角，目标角的对边是不含直角顶点的那条边，邻边是含直角顶点的那条边（不是斜边）。 【变式1-1】如图，在中，，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查锐角三角函数的定义及运用，解题的关键是熟练掌握在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．根据锐角三角函数的定义解答即可． 【详解】解：∵， A、 ，∴，故A错误； B、 ，∴，故B错误； C、，∴，故C正确； D、，∴，故D错误． 故选：C． 【变式1-2】如图，在中，，于点，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，得到，后根据三角函数的定义解答即可． 本题考查了余角的性质，三角函数的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：根据，得到， A. ，正确，不符合题意；     B. ，本选项错误，符合题意；     C. ，正确，不符合题意；     D. ，正确，不符合题意； 故选：B． 【变式1-3】在中，，下列选项中的关系式正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据三角函数的定义即可作出判断． 【详解】解：在中，， ∴，，，，故A、B、C错误， ，故D正确， 故选：D． 【题型二】特殊角三角函数值记错 【例1】当锐角时，的值（     ） A．小于 B．大于 C．小于 D．大于 【答案】B 【分析】在锐角范围内，余弦值随角度的增大而减小． 【详解】解：∵， ∴锐角时，的值大于． 故选：B． 易错警示：混淆、、的三角函数值，如将误记为。 纠正：牢记规律——正弦值从小到大为、、，余弦值从大到小为、、，正切值为、、。 【变式1-1】求下列等式中锐角的度数． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）整理等式求出的值，对照特殊锐角的三角函数值得到的度数． （2）整理等式求出的值，对照特殊锐角的三角函数值得到的度数． 【详解】（1）解：， 移项得 ， 化简得 ， ∵是锐角， ∴． （2）解：， ， 化简得 ， ∵是锐角， ∴． 【变式1-2】求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)(2) 【分析】代入特殊角的三角函数值，进行混合运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1-3】在锐角中，，求的度数． 【答案】 【详解】解：， ，，即， ，， ． 【题型三】实际问题中角度与边长的对应关系搞错 【例1】如图，飞机的飞行高度为，此时从飞机上看地面控制点A的俯角为，飞机到控制点的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质将俯角转化为直角三角形的内角，利用正弦函数的定义列式求解即可． 【详解】解：由题意可知，水平线与地面平行， 等于俯角，即， 在中，，， ， ， ． 易错警示：在仰角、俯角、方位角问题中，没有正确标注角度，导致三角函数关系列错。 纠正：画图时先画水平线和铅直线，将角度标注在正确位置。仰角/俯角都是视线与水平线的夹角，不是与铅直线的夹角。 【变式1-1】如图，河坝横断面迎水坡的坡角是，坝高，则坡面的长度是________m． 【答案】 【分析】利用坡角的度数结合锐角三角函数即可求解． 【详解】解：根据题意可知，，， 在中，， ， ， ， 即坡面的长度是． 【变式1-2】如图，人字梯、的长都为2米．当时，人字梯顶端离地面的高度是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【详解】解：由题意可知，则为直角三角形， 在中，，，， ， ． 【变式1-3】一天正午，太阳光与水平地面的夹角为．身高为的小明站在水平地面上，此时他的影长为________．（参考数据，，） 【答案】 【分析】本题将实际问题转化为直角三角形问题，利用锐角正切的定义求解，小明身高垂直地面，影长为水平直角边，结合太阳光与地面的给定夹角，代入参考正切值即可计算出影长． 【详解】解：设此时小明的影长为， 由题意可得，小明身高垂直于水平地面，身高、影长与太阳光构成直角三角形，其中太阳光与水平地面的夹角为，该角的对边为小明身高，邻边为影长， 根据正切的定义得，将代入得， 解得． 【题型一】折叠背景下的锐角三角函数应用 【例1】如图，在矩形中，点，分别是边，上的点，连接，把沿折叠，点落在上的点处，若的延长线恰好经过点，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质，折叠，勾股定理，平行线的性质，锐角三角函数等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． 根据矩形的性质，设，，，再根据折叠和平行线的性质等，可求出，，最后利用勾股定理，求出的值即可． 【详解】解：矩形， 设，，， 由折叠可得，，，，，， ， ，， ， ， 同理可得，，则， ， ， 的延长线恰好经过点， ， ，， ， ， ， 在中，， 则，化简得， 、均大于0， ， 在中，． 故选：B． 【变式1-1】如图，在矩形ABCD中，，，将沿AC折叠到的位置，交AD于点E，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用矩形对边平行及折叠性质证得，从而得出，设，在中利用勾股定理构建方程求解的长，最后根据正切定义计算即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，，，， ， 由折叠的性质可得， ，即， ， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即， 解得，即， ． 【变式1-2】综合与实践 折纸中蕴藏着丰富的数学知识，也启迪着数学问题的解决．综合实践课上，老师和同学们一起通过折纸，探究数学的奥秘． 【折纸探究】 如图1，在矩形纸片中，点、分别在边和上，将矩形纸片沿折叠，点落在边上的点处，点落在点处，连接，则与的位置关系为______； 折叠一：小明发现，当点F和点B重合时，连接，如图2，则有，请说明理由； 折叠二：如图3，若矩形是一张纸（），探究、和三者之间的数量关系，并说明理由； 【解决问题】 小华受【折纸探究】的启发，解决了下面的问题．如图4，在矩形纸片中，点E、F分别在边和上，连接、、，平分，，，求的值．（用含有k的代数式表示） 【答案】【折纸探究】； 折叠一： 理由：连，交于点． ∵点和点关于对称， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 折叠二：， 理由：过点作，垂足为，连接，交于点，连接． ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点和点关于对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即：． 【解决问题】 【分析】解：折纸探究：由折叠的性质可得；折叠一：可证明，得结论；折叠二：过点作，垂足为，连接，交于点，连接，证明，得，从而求出、和的关系；解决问题：延长到点，使得，连接，交于点，连接．易证，可转化为“折叠二”问题，得，把代入， 得 【详解】解：折纸探究：根据轴对称的性质得出， 折叠一：略 折叠二：略 解决问题： 延长到点，使得，连接，交于点，连接． ∵平分， ∴， ∴， 转化为“折叠二”问题， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定以及性质，三角函数的定义，关键是作适当的辅助线构造相似三角形． 【题型二】旋转背景下的锐角三角形应用 【例1】如图，中，，将绕点顺时针方向旋转得到，连接交于点．取的中点，连接，．若，，，则的长为______． 【答案】 【分析】作于点，设，通过解直角三角形可得，，由旋转的性质可得，，，．由，使用面积法可求出，进而可证明，则，因此是的中位线，从而得到，解出的值后，求出的长即可． 【详解】解：如图，作于点，设， 在直角中，， 由勾股定理可得，， 由旋转的性质可知，，，， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即点是的中点， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴，解得， ∴． 【变式1-1】解答以下问题 (1)如图1，已知在中，，，，点M 为 内部任意一点，连接，，．如何求的最小值呢？ 某同学想到，如图2，可以将绕点 B 顺时针旋转60°，得到新的，连接，由旋转可知，，，．将问题中的转化为，即当A，M，D，E共线时，线段和取得最小值． 请你按照以上思路，计算当A，M，D，E共线时，求的面积； (2)在（1）的条件下，计算的最小值； (3)如图3，已知四边形为矩形，，，点N为四边形内部任意一点，连接，，．求的最小值． 【答案】(1)9 (2) (3) 【分析】（1）根据旋转的性质得到线段长和角度，利用锐角三角函数解直角三角形，根据三角形面积公式求解； （2），将绕点B顺时针旋转90°，得到，根据旋转性质和勾股定理，将转化为，当A，M，P，Q共线时，取得最小值，根据勾股定理进行求解； （3）将绕点D逆时针旋转120°，得到顶角为的等腰三角形，底角都是，根据锐角三角函数将转化为，当点B，N，I，J共线时，取得最小值，通过构造直角三角形根据勾股定理求出最小值． 【详解】（1）解：如图1，过点E作的垂线交的延长线于点F， 由题可知，，， ， 由旋转知， ，， ； （2）解：如图2，将绕点B顺时针旋转90°，得到， 连接，过点Q作延长线的垂线，垂足为H， 由旋转的性质可知，，，， 为等腰直角三角形，即， ，即当A，M，P，Q共线时，取得最小值， ，， ， ∵在中，，，， ，， ， ， 在中，由勾股定理得， 的最小值为； （3）解：如图3，将绕点D逆时针旋转120°，得到，连接， 过点D作于点L，过点J作线段的垂线交的延长线于点K， 延长线段交线段的延长线于点O， 由旋转的性质可知，，，， 是顶角为的等腰三角形， ， ， ，即当点B，N，I，J共线时，取得最小值， ∵四边形为矩形， ，， ， 又， ， ∵在中，，，， ∴， 易证得四边形为矩形， ，， ，， 在中，由勾股定理，得， 的最小值为． 【点睛】本题考查解直角三角形、线段转化、等边三角形性质、直角三角形性质、矩形性质、旋转性质、勾股定理、两点之间线段最短，解题关键是线段转化和构造直角三角形利用勾股定理求线段长． 【变式1-2】数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，． 【初步感知】 （1）如图1，连接，，在纸片绕点旋转过程中，则的值为___________． 【深入探究】 （2）如图2，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点，试判断与的位置关系并求出的长． 【拓展延伸】 （3）在纸片绕点旋转过程中，试探究三点能否构成以为直角边的直角三角形、若能，直接写出所有直角三角形的面积；若不能，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）4或16或12或 【分析】（1）根据，，．证明，，继而得到，即，再证明，得到． （2）连接，延长交于点Q，根据(1)得，得到，根据中线得到，继而得到，结合，得到即，得到，再证明，得证矩形，再利用勾股定理，三角形相似的判定和性质计算即可求出，从而求出． （3）运用分类思想解答即可． 【详解】解：（1）∵，，． ∴， ∴，， ∴即， ∵ ∴， ∴． （2）连接，延长交于点Q，根据（1）得， ∴， ∵是中线， ∴， ∴， ∵， ∴即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得； ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴． （3）如图，当与重合时，此时，此时是直角三角形， 故； 如图，当在的延长线上时，此时，此时是直角三角形， 故； 如图，当时，此时是直角三角形， 过点A作于点Q， ∵， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 故； 如图，当时，此时是直角三角形，过点A作于点Q，交于点N， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得； 故． 综上，直角三角形的面积为4或16或12或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形相似的判定和性质，三角形中位线定理的判定和应用，三角形全等的判定和性质，三角函数的应用，勾股定理，熟练掌握三角函数的应用，三角形相似的判定和性质，矩形的判定和性质，中位线定理是解题的关键． 【题型三】解直角三角形与函数综合 【例1】如图，在矩形中，，．为中点，连接．动点从点出发，沿射线以的速度运动．过作，过作于点，当经过点时，点停止运动．设点的运动时间为．与四边形重叠部分图形的面积为． (1)当点落在边上时，的值为________； (2)当经过点时，的值为________； (3)求关于的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)当时，；当时，；当时， 【分析】（1）首先根据题意画图，勾股定理求出，证明出，得到，，然后利用，得到，然后代数求解即可； （2）首先根据题意画图，得出，然后根据代数求出，进而求解即可； （3）根据题意分3种情况讨论，然后解直角三角形求出相应线段的长，然后根据割补法求解即可． 【详解】（1）解：如图所示， ∵在矩形中，，． ∴，， ∵为中点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴，即， ∴； （2）解：如图所示， ∵， ∴ 由（1）可得，，， ∴，即， ∴， ∴， ∴； （3）解：当时，，如图①， 此时， ∵， ∴， ∴， ∴，． ． ． 当时，如图②，过作交于点，设交于N， ∴， 为中点， ，， ， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形． 在中，，． ． 同理可得， ∴， ； ③当时，如图③，设交于F、G，交于H， ∴； ∵， ∴， 在中，， ∴； 同理可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 综上所述，当时，；当时，；当时，． 【点睛】此题考查了矩形的性质，解直角三角形，勾股定理，平行四边形的性质与判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【变式1-1】已知：在平面直角坐标系中，为坐标原点．直线与轴、轴分别交于、两点，直线与轴交于点，． (1)求直线的解析式； (2)如图1，点是线段上一点，过点作交线段于点，设点的纵坐标为，线段的长为，求与的函数解析式；（不要求写自变量的取值范围） (3)如图2，在（2）的条件下，过点作直线交轴于点，直线的解析式为，过点作轴交直线于点，连接，作，，连接，取的中点，连接、，与交于点，连接，，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）首先求出，然后利用待定系数法求解； （2）表示出，利用勾股定理求出，然后利用求解即可； （3）首先得到，求出，，利用勾股定理求出；过点H作轴于点M，过点G作轴于点N，求出，利用中点坐标公式得到，求出；求出，过点E作轴于点Q，解直角三角形得到，，求出，利用两点间距离公式得到，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点， ∴当时，， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得， 解得 ∴直线的解析式为； （2）解：∵点是线段上一点，点的纵坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵直线的解析式为， ∴将代入得，， ∴直线的解析式为， 当时， 解得 ∴， ∵直线与轴交于点， ∴当时， 解得， ∴， ∴， ∵轴交直线于点， ∴将代入 ∴，即， ∴； 如图，过点H作轴于点M，过点G作轴于点N， ∵轴，轴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵点是的中点，， ∴点K的坐标为，即， ∴； ∵， ∴可得直线的表达式为， 联立和得，， 解得， ∴， 如图，过点E作轴于点Q， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 将代入得， ∴， ∴， ∵， ∴ 解得，（不符合题意，舍去） ∴， ∴点的坐标为． 【变式1-2】已知在中，，点是边上的一点，将沿着过点的直线翻折，点落在边上，记作点，折痕所在的直线与射线交于点，过点作，交射线于点． (1)如图1，当点和点重合时，求的长； (2)如图2，当点在边上时，设，求关于的函数解析式并写出定义域； (3)延长，交的延长线于点，当是以为腰的等腰三角形时，求的长． 【答案】(1) (2)，定义域为 (3)或 【分析】（1）首先在中，由、和，根据三角函数定义得，再通过勾股定理算出．因沿翻折后与重合，利用翻折性质可得、、，进而推出且．设，则、，在中，由勾股定理列方程，求解得，即； （2）由翻折性质得、、，结合得，通过“同角的余角相等”推出；再由角的和差关系得，进而判定，得到．在中，由和得，又，而，故．结合在上的边界条件，当与重合时，当与重合时，确定定义域为； （3）设，先由，根据相似得、，再分两种情况讨论等腰：①当在延长线上时，因，故，通过角的等量代换得，即，作得，结合列方程解得，进而；②当在线段上时，因，故，通过角的转化得，即，由勾股定理得，结合列方程解得，进而． 【详解】（1）解：在中，，，， ∴， ∴. ∵沿着折叠得到， ∴，，， ∴，． 设，则，， 在中，由勾股定理得，解得，故； （2）解：由翻折性质知，，． ，， ，， ． ，， . ， ． 在中，，， ， 又，， ． 当点在上时，由（1），当与重合时，∴， 当点与点重合时，，∴， ∴定义域是． 综上，关于的函数解析式是，定义域是. （3）设，易得， ∴，即， ∴，． ①如图，点在的延长线上时， ∵， ∴只能，此时． 同（2）得到，， ∴，即． 又∵， ∴， ∴，是等腰三角形， ∴． 在中作于，则， ∴，即， ∴， 解方程，得． 当，； ②如图，点在线段上时， ∵， ∴只能，此时， ∵， ∴，即， ∴． ∵，， ∴， ∴，． ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，解得， ∴． 【点睛】本题以直角三角形翻折为背景，主要考查直角三角形的性质、翻折的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的分类讨论，以及函数解析式的构建与定义域求解，重点考查几何图形中边与角的等量转化能力和分类讨论思想的应用． 【题型三】三角函数实际应用的综合问题 【例1】风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在一处坡角为的坡地新安装了一架风力发电机，如图1．某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图2为测量示意图．已知斜坡长16米，在地面点处测得风力发电机塔杆顶端点的仰角为，利用无人机在点的正上方63米的点处测得点的俯角为，求该风力发电机塔杆的高度．（参考数据：，，） 【答案】该风力发电机塔杆的高度为28米． 【分析】首先通过作辅助线构造直角三角形，将实际问题转化为数学模型；根据垂直关系证明是矩形，得到矩形对边相等；设长为未知数x，分别在和中，利用三角函数推出和的长；在中，根据已知的值，推导出；根据联立方程求出x，得到的值，从而求出． 【详解】解：如图，延长交的延长线于点F，过点B作于点G． 由题意可知，，， ∴． 又∵， ∴四边形是矩形． ∴米，． 在中，，（米）， ∴（米）． 设（米）， 在中，， ∴（米）， 在中，， ∴， ∴， ∴． 观察图形可知，， 代入数值：， 解得． ∴（米）． 答：该风力发电机塔杆的高度为28米． 【变式1-1】综合与实践 【活动主题】为支持美丽乡村建设，班级同学前往村开展综合实践活动，帮助村民测算新建公路的长度． 【问题背景】如图，村到公路的乡村小路为，为进一步方便通行，现准备新建一条公路，连接村和公路（所在的直线为）． 【工具准备】皮尺、测角仪、测平仪、计算器等． 【测量过程】测得，且点在同一平面上． 【数据信息】用计算器计算得如下参考数据：． 【问题解决】请你根据以上数据信息，求新建公路的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形，利用锐角三角函数找边和角的关系．过点作于点，过作于点则构造了、和矩形，进而利用三角函数计算线段的长即可求得答案． 【详解】 解：如图，过点作于点，过作于点 四边形为矩形， ， 在中，， ， 答：新建公路的长约为． 【变式1-2】如图是一款手推婴儿车，图是该款婴儿车的车架示意图，，为半径均为的圆形轮胎的圆心，后轮支架杆与地面所成的角为，主支架杆与所成的角度为，推手支架的支点恰好为的中点．已知．（参考数据：，，，．） (1)求主支架杆点距地面的高度；（结果精确到） (2)手推婴儿车的车把高度合适范围一般在，即握把距地面的高度范围是．若推手支架的长为，，则此手推婴儿车的车把是否符合要求，请说明理由． 【答案】(1) (2)不符合要求，理由如下： 过点作交于点，过点作于点， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∵， ∴． 在中，∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴握把距地面的高度为：， ∵， ∴不符合要求． 【分析】（1）连接， 利用勾股定理求得的长，再推出，即可求解； （2）过点作交于点，过点作于点，求得，解直角三角形即可求解． 【详解】（1）解：连接， ∵，， ∴，， 由题意得， ∴， 即， ∵的半径为， ∴主支架杆点距地面的高度为：； （2）略 【变式1-3】根据山东省《关于加快5G产业发展的实施意见》，潍坊市2021年完成建设4000余处5G基站，实现中心城区和各县市城区、重要功能区、重要场所的5G信号深度覆盖；2022年，全市5G基站将突破13000个，到2025年，全市实现5G信号全覆盖．如图，在坡度为的斜坡上有一建成的5G基站塔，小颖同学在坡脚测得塔顶的仰角为，然后她沿坡面行走13米到达处，在处测得塔顶的仰角为（点、、、均在同一平面内）（参考数据：，，） (1)求处的竖直高度； (2)求基站塔的高． 【答案】(1)处的竖直高度为5米； (2)基站塔的高为19.25米． 【分析】（1）过点作，设，则，在中，由勾股定理列式计算即可求解； （2）延长交于点，过点作，设米，则（米），（米）．在中，解直角三角形求得，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：过点作， ∵斜坡的坡度为， 设米，则米， 在中，由勾股定理得， 解得：（负值舍去）， 米， 即处的竖直高度为5米； （2）解：延长交于点，过点作， 则四边形是矩形， 米，米， 由题意可得：， 设米，则（米），（米）， ∴在中，， 即， 解得：， 经检验：符合题意，即米， 米， 又∵斜坡的坡度为， ，即， 解得：米， 米， 答：基站塔的高为19.25米． 【变式1-4】如图，海上观察哨所B位于观察哨所A正北方向，距离为50海里，在某时刻，哨所A与哨所B同时发现一走私船，其位置C位于哨所A北偏东的方向上，位于哨所B南偏东的方向上． (1)求观察哨所A与走私船所在的位置C的距离； (2)若观察哨所A发现走私船从C处以24海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东的方向前去拦截，若缉私艇在D处恰好成功拦截，求缉私艇拦截走私船所用时间． （参考数据：，，，） 【答案】(1)，C的距离约为30海里 (2)缉私艇所用时间是2小时 【分析】（1）先求出，再根据三角函数计算即可； （2）延长交于点M，由题意得，根据三角函数求出海里，海里，可知海里，进而可知缉私艇拦截走私船所用时间． 【详解】（1）解：在中，，， ， 在中，， （海里）， ，C的距离约为30海里； （2）解：延长交于点M，由题意得， 在中，（海里）， （海里）， 在中，， （海里）， （海里）， （小时）， 答：缉私艇所用时间是2小时． 【变式1-5】如图①，、是两座垂直于同一水平地面且高度不同的铁塔．小明和小丽为了测量两座铁塔的高度，从地面上的点E处测得铁塔顶端A的仰角为，铁塔顶端C的仰角为，沿着向前走20米到达点F处，测得铁塔顶端A的仰角为．已知，点E、B、D构成的中，． (1)图②是图①中的一部分，求铁塔的高度； (2)小明说，在点E处只要再测量一个角，通过计算即可求出铁塔的高度，那么可以测量的角是 ，若将这个角记为α，则铁塔的高度是 ；（用含的式子表示） (3)小丽说，除了在点E处测量角的度数外，还可以在点F处再测量一条线段的长度，通过计算也可求出铁塔的高度，那么可以测量的线段是 ．（请写出两个不同的答案，可用文字描述）（参考数据：，，，，，，，，） 【答案】(1)米 (2)， (3)或点F到的距离 【分析】（1）解直角三角形表示出，，然后根据求解即可； （2）可以测量的角是，求出，然后解直角三角形表示出，最后在中，由正切可求； （3）测得长度或点F到的距离，利用解直角三角形和勾股定理分别求解即可． 【详解】（1）解：在中，，， ∴，即， 在中，，， ∴，即， ∵， ∴，即， ∴米； （2）解：可以测量的角是， ∵米； ∴（米）， 在中，，， ∴，即， 在中，，， ∴， ∴； （3）解：在点F处再测量长度或F到的距离，通过计算也可求出铁塔的高度， ①测得，如图， 在中，，（米）， ∴利用勾股定理可得，， 在中，米， ∴利用勾股定理可得，， ∴在中，； ②测得F到的距离为n，如图，过点F作于点G，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在中，． 【模型一】单直角三角形模型（直接解直角三角形） 【模型解读】 在直角中，，已知两个元素（至少一个边），直接利用三角函数或勾股定理求解。 核心结论：根据已知条件选择合适的三角函数关系式，一步到位求出未知元素。 适用场景：基础的测量问题、简单的实际应用场景。 【模型二】双直角三角形叠加模型（两个直角三角形共用一条边） 【模型解读】 两个直角三角形共用一条公共边（通常是高或底边），需要分别在两个三角形中建立关系。 核心结论：设公共边为，分别在两个直角三角形中用三角函数表示其他边，再利用总长度列方程。 适用场景：测量物体高度时观测点在两个不同位置，或两个角度观测问题。 【模型三】仰角俯角模型 【模型解读】 从高处或低处观测目标，视线与水平线形成仰角或俯角，构造直角三角形求解。 核心结论：仰角/俯角始终是视线与水平线的夹角。利用建立高度与水平距离的关系。 适用场景：测量建筑物高度、旗杆高度、山谷深度等。 仰角、俯角：如图，图中仰角是∠1，俯角是∠2 【模型四】方位角模型 【模型解读】 在航行或行走问题中，利用方位角（如北偏东）确定方向，构造直角三角形。 核心结论：方位角从正北方向顺时针度量。将方位角转化为直角三角形中的内角，利用三角函数求解距离。 适用场景：航行问题、行走路线问题、两个运动物体的距离计算。 方向角：如图，A点位于O点的北偏东30°方向，B点位于O点的南偏东60°方向，C点位于O点的北偏西45°(或西北)方向 【模型五】坡度坡比模型 【模型解读】 在斜坡、堤坝、楼梯等问题中，坡度是核心关系。 核心结论：坡面、铅直高度、水平距离构成直角三角形，坡角是坡面与水平面的夹角。 适用场景：修路、建坝、设计楼梯等工程问题。 坡度(坡比)、坡角：如图，坡角为α，坡度(坡比)i＝tan α＝ 【模型六】构造直角三角形模型（作高法） 【模型解读】 在非直角三角形中，通过作高构造直角三角形，将一般三角形问题转化为解直角三角形问题。 核心结论：作高后形成两个直角三角形，利用公共高作为中间量，分别在两个直角三角形中建立三角函数关系。 适用场景：已知一般三角形的部分边角信息，求面积或其他元素。 技巧 一句话要点 确定对边、邻边、斜边 先找直角顶点和目标角，目标角对面是对边，含直角顶点的是邻边 特殊角函数值速记 正弦：、、（递增）；余弦反过来（递减） 解直角三角形的选法 已知两边用勾股定理；已知一边一角用三角函数；优先用原始数据 仰角俯角画图法 先画水平线，再画铅直线，视线与水平线的夹角就是仰角/俯角 坡度问题的转化 坡比，直接对应，转化为解直角三角形 互余角函数值转换 ，遇到余弦可以转化为正弦来简化计算 实际问题检验 求出的边长应为正值，角度在到之间，注意是否符合实际 混合运算化简 先代入特殊角函数值，再按先乘除后加减的顺序化简，注意的有理化 试卷第76页（共77页） 股份有限公6 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 锐角三角函数 目 录 识记类 思维导图 知识清单(5类) 考点清单(4类) 公式清单(9类) 辨析清单(4类) 题型类 高频题型清单(8类) 易错题型清单(3类) 重难题型清单(4类) 答题类 解题模型清单(6类) 答题技巧清单 知识点01 锐角三角函数的定义 1. 在直角中，，的对边为，邻边为，斜边为。 2. ______=______。 3. ______=______。 4. ______=______。 5. 、 、 统称为的三角函数。三角函数值是 ，没有单位。 知识点02 30°、45°、60°角的三角函数值 ______，______，______。 ______，______，______。 ______，______，______。。 记忆规律：正弦值随角度增大而_________，余弦值随角度增大而_____，正切值随角度增大而_____。 知识点03 用计算器求锐角三角函数值 1. 已知角度求三角函数值：输入角度，按对应的、、键即可得到函数值。 2. 已知三角函数值求角度：使用、、（反三角函数）键求解。 3. 计算器的计算结果一般为近似值，需根据题目要求取精确值或保留指定小数位数。 知识点04 解直角三角形 1. 解直角三角形：在直角三角形中，由_________求出_________的过程。 2. 直角三角形中的三边关系（勾股定理）：_________。 3. 直角三角形中的边角关系：_________，_________，_________。 4. 直角三角形中的角角关系： （两锐角互余）。 5. 解直角三角形的条件：至少需要_________（其中至少有一个是边）。 知识点05 解直角三角形与实际问题 1. 仰角与俯角：视线在水平线上方时，视线与水平线的夹角叫做_________；视线在水平线下方时，视线与水平线的夹角叫做_________。 2. 方位角：从正北方向按_________方向转到目标方向线所成的角。如北偏东。 3. 坡度（坡比）：坡面的_________与_________的比叫做坡度，记作。坡度与坡角的关系：_________。 4. 解题步骤：①审题，理解题意，画出示意图；②将实际问题转化为解直角三角形的问题；③选择合适的三角函数关系列方程；④解方程求解，检验结果的合理性。 考点01 三角函数的定义与计算 考点内容：掌握锐角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义及其在直角三角形中的边角比值关系，理解三角函数值随角度变化的增减性规律，并能运用同角三角函数的基本关系式进行简单的计算与转化。 常见考法： ①在直角三角形中，已知两边求三角函数值； ②已知三角函数值求角度或边长； ③在非直角三角形中，作高构造直角三角形求三角函数值； ④在坐标系中求某条线段与坐标轴夹角的三角函数值。 考点02 特殊角的三角函数值 考点内容：熟记  、 、 等特殊角的正弦、余弦、正切值，理解互余两角三角函数之间的关系，并能熟练进行含特殊角三角函数值的代数式化简与求值运算。 常见考法： ①直接求、、的三角函数值； ②含特殊角三角函数值的混合运算（化简求值）； ③利用特殊角的三角函数值判断角度大小。 考点03 解直角三角形 考点内容：综合运用勾股定理、直角三角形两锐角互余的性质以及锐角三角函数的定义，掌握在已知直角三角形中两个元素（至少包含一条边）的情况下，求解其余未知边长和角度的方法。 常见考法： ①已知两边求第三边及两个锐角； ②已知一边和一个锐角，求其他边和角； ③解直角三角形与勾股定理、全等三角形等知识综合。 考点04 解直角三角形的实际应用 考点内容：理解仰角、俯角、坡度（坡比）、坡角及方位角等基本概念，能够将测量高度、航行距离、工程坡度等实际问题抽象为直角三角形模型，并通过作高构造直角三角形来解决相关的计算与设计问题。 常见考法： ①测量物体高度（仰角、俯角问题）； ②航行问题（方位角问题）； ③工程问题（坡度、坡比问题）； ④设计方案类问题（如设计楼梯、斜坡等）。 正弦定义 余弦定义 正切定义 平方关系 角函数值 ，， 角函数值 ，， 角函数值 ，， 互余关系 ， 坡度公式 辨析01 三角形的三条重要线段都是线段，不是直线或射线 辨析01 三角函数值没有单位 三角函数值是两条线段的比值，是一个纯数，没有单位。不能写成""等形式。 辨析02 不是乘以 是一个完整的符号，表示角的正弦值，不能理解为""乘以""。去掉""后""没有意义。 辨析03 角度越大，正弦值/正切值越大，但余弦值越小 在范围内： 角度增大 增大，减小，增大。 辨析04 互余两角的三角函数关系 若，则，，。 即一个角的正弦等于它余角的余弦，一个角的正切等于它余角的正切的倒数。 【题型一】根据定义求三角函数值 【例1】如图，求，，的值． 【变式1-1】如图，在中，，，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，在中，，，，求的值． 【变式1-3】如图，在中，，，．试求出的三个三角函数值． 【变式1-4】在中，的对边分别为a、b、c．根据下列所给条件，分别求出的三个三角函数值： (1)； (2)． 【题型二】由三角函数值求边长 【例1】如图，在中，，，，则的长为（     ） A．10 B．6 C． D． 【变式1-1】为庆祝国庆，我校要在如图所示的五角星中（图中所有线段的长度均相等，且），从顶点A开始，沿边每隔25厘米装一盏闪光灯，如果F、J两点间的距离等于（）米，则需要安装闪光灯的盏数是（     ）（参考数据： ） A．100 B．90 C．85 D．80 【变式1-2】如图所示，在中，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，作射线交于点．若，，则的长为（   ） A． B．4 C． D．2 【变式1-3】如图，点为正方形的边上一点，连接，，是的中线，若，则的长为______________． 【变式1-4】在中，，，，求的长和的值． 【题型三】特殊角三角函数值的运算与应用 【例1】求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4) 【变式1-1】在中，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】的值等于（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】计算：． 【变式1-4】如图，在中，，，．求的大小． 【题型四】解直角三角形的基本计算 【例1】如图，在中，，，．解这个直角三角形．（结果精确到） 【变式1-1】如图，在中，，，．解这个直角三角形． 【变式1-2】在中，，为上的高，且，，求的值和的长． 【变式1-3】在中，，根据下列条件解直角三角形．（计算结果中，长度精确到，角度精确到） (1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【变式1-4】在中，，根据下列条件解直角三角形： (1)已知，求的长； (2)已知，求的度数； (3)已知，求的长； (4)已知，求的长． 【题型五】非直角三角形的有关计算 【例1】如图，在中，，求和的长． 【变式1-1】中，，平分交于，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，的三个顶点都在边长是的小正方形的顶点上，则____________________． 【变式1-3】如图，在中，已知，，，求的面积． 【变式1-4】如图，在中，，，，求的面积． 【题型六】仰角俯角问题 【例1】如图，在建筑物上，挂着长的宣传条幅．从另一建筑物的顶部处看条幅顶端，仰角为；看条幅底端，俯角为．求两建筑物间的距离．（结果精确到） 【变式1-1】如图，飞机在空中处探测到它的正下方地平面上目标，从飞机上看地平面指挥台的俯角为，此时飞机与指挥台的距离为，则此时飞行高度为（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图所示，“五一”期间小苏在瓯江口放风筝，已知风筝线长固定为24米，当风筝到达A点时，测得此时仰角为，n秒后，风筝到达B点，测得此时仰角为“”，测得风筝在这n秒内上升的高度为（     ）米 A． B． C． D． 【变式1-3】如图，为了测得电视塔的高度，在D处用高为的测角仪，测得电视塔顶端A的仰角为，再向电视塔方向前进，又测得电视塔顶端A的仰角为．求这个电视塔的高度．（精确到） 【变式1-4】综合与实践：测量长安塔高 “长安塔”位于西安世界园艺博览会园区制高点小终南山上，此塔具有“天人长安”文化的标志性意义，某校九年级“综合与实践”小组开展了“长安塔高度的测量”项目化学习，经过测量，形成了如下不完整的项目报告： 课题 测量长安塔的高度 测量目的 1、学会运用三角函数有关知识解决生活实际问题； 2、培养学生动手操作能力，增强团队合作精神． 测量工具 测角仪，皮尺等 测量方案 方案一：如图1，在水平地面上的点C处测得塔顶端A的仰角为，点C到点B的距离为m米．方案二：如图2，在水平地面上的点C处测得塔顶端A的仰角为，从水平地面的C点向前走到点D处，测量的距离，并在D处测得塔顶端A的仰角为． 图示    请根据以上测量数据，回答问题： (1)根据方案一的方法，可测得长安塔的塔高______________米；（用含，的式子表示） (2)该小组在实践中发现：无法直接到达塔底端的B点，因此方案一中的无法直接测量，所以该小组采用方案二的方法，若测得，，米，请你利用所测数据计算塔高．（计算结果保留整数，参考数据：，，，） 【题型七】方位角问题 【例1】如图，一辆小汽车在某城市街道上由西向东行驶，距离路边处的“车速检测仪O”测得该车从北偏西的点A行驶到北偏西的点B，所用时间为，求该车从点A到点B的平均速度． 【变式1-1】如图，某渔船在港观测到灯塔在它的北偏东方向上；当渔船沿正北方向航行30海里至港时，观测到灯塔在它的东北方向上，则灯塔与港之间的距离为____________海里．（结果精确到0.1海里，参考数据：，，，） 【变式1-2】如图，某海警船向正西方向航行，在A处望见一艘正在作业的渔船D在南偏西方向，海警船航行到B处时望见渔船D在南偏东方向，又航行了一小时到达C处，望见渔船D在南偏东方向，若海警船的速度为25海里/时，则A，B之间的距离为________海里．（，结果精确到0.1海里） 【变式1-3】海船以的速度向正北方向航行，在处看灯塔在海船的北偏东处，半小时后航行到处，发现此时灯塔与海船的距离最短．画出相应的图形，并计算灯塔到处的距离．（精确到） 【变式1-4】如图，在东西方向的海面线上，有A、B两艘巡逻船和观测点D（A、B、D在直线上），两船同时收到渔船C在海面停滞点发出的求救信号．测得渔船分别在巡逻船A、B北偏西和北偏东方向，巡逻船A和渔船C相距120海里，渔船在观测点D北偏东方向．求巡逻船B与观测点D间的距离．（结果取整数．参考数据：，．） 【题型八】坡度坡角问题 【例1】水坝是人类治水的重要工程，类型多样．图1为某重力坝模型，图2为其横断面示意图，已知背水坡的坡度i为，坝底的水平宽度为，则背水坡的铅直高度为（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，一水库大坝的横断面为梯形，坝顶宽为，坝高为，斜坡的坡度，斜坡的坡度． (1)求斜坡与坝底的长度（精确到）； (2)求斜坡的坡角α（精确到）． 【变式1-2】如图，小明在处测得处的俯角为，处的俯角为，，，若斜面坡度为，则斜坡的长是（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，某公园为了加强安全管理，决定将园内原滑梯改建为，其坡度由改为，已知原滑梯的长为，点D、B、C在同一水平面上，改善后的滑梯会加长多少米？（精确到） 【变式1-4】如图，小亮从A地出发去B地，先沿着坡角为的坡道向前走了100米到C地，再沿着水平方向走了一段距离到E地，最后沿着坡角为的坡道向前走了150米到B地，求小亮沿垂直方向上升了多少米？（图中所有点均在同一平面内，，．参考数据：，，，，，） 【题型一】三个三角函数的定义辨析 【例1】如图，中，，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 易错警示：在确定某个角的三角函数时，将对边和邻边搞混，尤其是非直角顶点处的角。 纠正：先明确直角顶点和目标角，目标角的对边是不含直角顶点的那条边，邻边是含直角顶点的那条边（不是斜边）。 【变式1-1】如图，在中，，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，在中，，于点，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】在中，，下列选项中的关系式正确的是（  ） A． B． C． D． 【题型二】特殊角三角函数值记错 【例1】当锐角时，的值（     ） A．小于 B．大于 C．小于 D．大于 易错警示：混淆、、的三角函数值，如将误记为。 纠正：牢记规律——正弦值从小到大为、、，余弦值从大到小为、、，正切值为、、。 【变式1-1】求下列等式中锐角的度数． (1)； (2)． 【变式1-2】求下列各式的值： (1)； (2)． 【变式1-3】在锐角中，，求的度数． 【题型三】实际问题中角度与边长的对应关系搞错 【例1】如图，飞机的飞行高度为，此时从飞机上看地面控制点A的俯角为，飞机到控制点的距离为（     ） A． B． C． D． 易错警示：在仰角、俯角、方位角问题中，没有正确标注角度，导致三角函数关系列错。 纠正：画图时先画水平线和铅直线，将角度标注在正确位置。仰角/俯角都是视线与水平线的夹角，不是与铅直线的夹角。 【变式1-1】如图，河坝横断面迎水坡的坡角是，坝高，则坡面的长度是________m． 【变式1-2】如图，人字梯、的长都为2米．当时，人字梯顶端离地面的高度是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式1-3】一天正午，太阳光与水平地面的夹角为．身高为的小明站在水平地面上，此时他的影长为________．（参考数据，，） 【题型一】折叠背景下的锐角三角函数应用 【例1】如图，在矩形中，点，分别是边，上的点，连接，把沿折叠，点落在上的点处，若的延长线恰好经过点，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，在矩形ABCD中，，，将沿AC折叠到的位置，交AD于点E，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】综合与实践 折纸中蕴藏着丰富的数学知识，也启迪着数学问题的解决．综合实践课上，老师和同学们一起通过折纸，探究数学的奥秘． 【折纸探究】 如图1，在矩形纸片中，点、分别在边和上，将矩形纸片沿折叠，点落在边上的点处，点落在点处，连接，则与的位置关系为______； 折叠一：小明发现，当点F和点B重合时，连接，如图2，则有，请说明理由； 折叠二：如图3，若矩形是一张纸（），探究、和三者之间的数量关系，并说明理由； 【解决问题】 小华受【折纸探究】的启发，解决了下面的问题．如图4，在矩形纸片中，点E、F分别在边和上，连接、、，平分，，，求的值．（用含有k的代数式表示） 【题型二】旋转背景下的锐角三角形应用 【例1】如图，中，，将绕点顺时针方向旋转得到，连接交于点．取的中点，连接，．若，，，则的长为______． 【变式1-1】解答以下问题 (1)如图1，已知在中，，，，点M 为 内部任意一点，连接，，．如何求的最小值呢？ 某同学想到，如图2，可以将绕点 B 顺时针旋转60°，得到新的，连接，由旋转可知，，，．将问题中的转化为，即当A，M，D，E共线时，线段和取得最小值． 请你按照以上思路，计算当A，M，D，E共线时，求的面积； (2)在（1）的条件下，计算的最小值； (3)如图3，已知四边形为矩形，，，点N为四边形内部任意一点，连接，，．求的最小值． 【变式1-2】数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，． 【初步感知】 （1）如图1，连接，，在纸片绕点旋转过程中，则的值为___________． 【深入探究】 （2）如图2，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点，试判断与的位置关系并求出的长． 【拓展延伸】 （3）在纸片绕点旋转过程中，试探究三点能否构成以为直角边的直角三角形、若能，直接写出所有直角三角形的面积；若不能，请说明理由． 【题型三】解直角三角形与函数综合 【例1】如图，在矩形中，，．为中点，连接．动点从点出发，沿射线以的速度运动．过作，过作于点，当经过点时，点停止运动．设点的运动时间为．与四边形重叠部分图形的面积为． (1)当点落在边上时，的值为________； (2)当经过点时，的值为________； (3)求关于的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围． 【变式1-1】已知：在平面直角坐标系中，为坐标原点．直线与轴、轴分别交于、两点，直线与轴交于点，． (1)求直线的解析式； (2)如图1，点是线段上一点，过点作交线段于点，设点的纵坐标为，线段的长为，求与的函数解析式；（不要求写自变量的取值范围） (3)如图2，在（2）的条件下，过点作直线交轴于点，直线的解析式为，过点作轴交直线于点，连接，作，，连接，取的中点，连接、，与交于点，连接，，求点的坐标． 【变式1-2】已知在中，，点是边上的一点，将沿着过点的直线翻折，点落在边上，记作点，折痕所在的直线与射线交于点，过点作，交射线于点． (1)如图1，当点和点重合时，求的长； (2)如图2，当点在边上时，设，求关于的函数解析式并写出定义域； (3)延长，交的延长线于点，当是以为腰的等腰三角形时，求的长． 【题型三】三角函数实际应用的综合问题 【例1】风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在一处坡角为的坡地新安装了一架风力发电机，如图1．某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图2为测量示意图．已知斜坡长16米，在地面点处测得风力发电机塔杆顶端点的仰角为，利用无人机在点的正上方63米的点处测得点的俯角为，求该风力发电机塔杆的高度．（参考数据：，，） 【变式1-1】综合与实践 【活动主题】为支持美丽乡村建设，班级同学前往村开展综合实践活动，帮助村民测算新建公路的长度． 【问题背景】如图，村到公路的乡村小路为，为进一步方便通行，现准备新建一条公路，连接村和公路（所在的直线为）． 【工具准备】皮尺、测角仪、测平仪、计算器等． 【测量过程】测得，且点在同一平面上． 【数据信息】用计算器计算得如下参考数据：． 【问题解决】请你根据以上数据信息，求新建公路的长． 【变式1-2】如图是一款手推婴儿车，图是该款婴儿车的车架示意图，，为半径均为的圆形轮胎的圆心，后轮支架杆与地面所成的角为，主支架杆与所成的角度为，推手支架的支点恰好为的中点．已知．（参考数据：，，，．） (1)求主支架杆点距地面的高度；（结果精确到） (2)手推婴儿车的车把高度合适范围一般在，即握把距地面的高度范围是．若推手支架的长为，，则此手推婴儿车的车把是否符合要求，请说明理由． 【变式1-3】根据山东省《关于加快5G产业发展的实施意见》，潍坊市2021年完成建设4000余处5G基站，实现中心城区和各县市城区、重要功能区、重要场所的5G信号深度覆盖；2022年，全市5G基站将突破13000个，到2025年，全市实现5G信号全覆盖．如图，在坡度为的斜坡上有一建成的5G基站塔，小颖同学在坡脚测得塔顶的仰角为，然后她沿坡面行走13米到达处，在处测得塔顶的仰角为（点、、、均在同一平面内）（参考数据：，，） (1)求处的竖直高度； (2)求基站塔的高． 【变式1-4】如图，海上观察哨所B位于观察哨所A正北方向，距离为50海里，在某时刻，哨所A与哨所B同时发现一走私船，其位置C位于哨所A北偏东的方向上，位于哨所B南偏东的方向上． (1)求观察哨所A与走私船所在的位置C的距离； (2)若观察哨所A发现走私船从C处以24海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东的方向前去拦截，若缉私艇在D处恰好成功拦截，求缉私艇拦截走私船所用时间． （参考数据：，，，） 【变式1-5】如图①，、是两座垂直于同一水平地面且高度不同的铁塔．小明和小丽为了测量两座铁塔的高度，从地面上的点E处测得铁塔顶端A的仰角为，铁塔顶端C的仰角为，沿着向前走20米到达点F处，测得铁塔顶端A的仰角为．已知，点E、B、D构成的中，． (1)图②是图①中的一部分，求铁塔的高度； (2)小明说，在点E处只要再测量一个角，通过计算即可求出铁塔的高度，那么可以测量的角是 ，若将这个角记为α，则铁塔的高度是 ；（用含的式子表示） (3)小丽说，除了在点E处测量角的度数外，还可以在点F处再测量一条线段的长度，通过计算也可求出铁塔的高度，那么可以测量的线段是 ．（请写出两个不同的答案，可用文字描述）（参考数据：，，，，，，，，） 【模型一】单直角三角形模型（直接解直角三角形） 【模型解读】 在直角中，，已知两个元素（至少一个边），直接利用三角函数或勾股定理求解。 核心结论：根据已知条件选择合适的三角函数关系式，一步到位求出未知元素。 适用场景：基础的测量问题、简单的实际应用场景。 【模型二】双直角三角形叠加模型（两个直角三角形共用一条边） 【模型解读】 两个直角三角形共用一条公共边（通常是高或底边），需要分别在两个三角形中建立关系。 核心结论：设公共边为，分别在两个直角三角形中用三角函数表示其他边，再利用总长度列方程。 适用场景：测量物体高度时观测点在两个不同位置，或两个角度观测问题。 【模型三】仰角俯角模型 【模型解读】 从高处或低处观测目标，视线与水平线形成仰角或俯角，构造直角三角形求解。 核心结论：仰角/俯角始终是视线与水平线的夹角。利用建立高度与水平距离的关系。 适用场景：测量建筑物高度、旗杆高度、山谷深度等。 仰角、俯角：如图，图中仰角是∠1，俯角是∠2 【模型四】方位角模型 【模型解读】 在航行或行走问题中，利用方位角（如北偏东）确定方向，构造直角三角形。 核心结论：方位角从正北方向顺时针度量。将方位角转化为直角三角形中的内角，利用三角函数求解距离。 适用场景：航行问题、行走路线问题、两个运动物体的距离计算。 方向角：如图，A点位于O点的北偏东30°方向，B点位于O点的南偏东60°方向，C点位于O点的北偏西45°(或西北)方向 【模型五】坡度坡比模型 【模型解读】 在斜坡、堤坝、楼梯等问题中，坡度是核心关系。 核心结论：坡面、铅直高度、水平距离构成直角三角形，坡角是坡面与水平面的夹角。 适用场景：修路、建坝、设计楼梯等工程问题。 坡度(坡比)、坡角：如图，坡角为α，坡度(坡比)i＝tan α＝ 【模型六】构造直角三角形模型（作高法） 【模型解读】 在非直角三角形中，通过作高构造直角三角形，将一般三角形问题转化为解直角三角形问题。 核心结论：作高后形成两个直角三角形，利用公共高作为中间量，分别在两个直角三角形中建立三角函数关系。 适用场景：已知一般三角形的部分边角信息，求面积或其他元素。 技巧 一句话要点 确定对边、邻边、斜边 先找直角顶点和目标角，目标角对面是对边，含直角顶点的是邻边 特殊角函数值速记 正弦：、、（递增）；余弦反过来（递减） 解直角三角形的选法 已知两边用勾股定理；已知一边一角用三角函数；优先用原始数据 仰角俯角画图法 先画水平线，再画铅直线，视线与水平线的夹角就是仰角/俯角 坡度问题的转化 坡比，直接对应，转化为解直角三角形 互余角函数值转换 ，遇到余弦可以转化为正弦来简化计算 实际问题检验 求出的边长应为正值，角度在到之间，注意是否符合实际 混合运算化简 先代入特殊角函数值，再按先乘除后加减的顺序化简，注意的有理化 试卷第76页（共77页） 股份有限公6 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $