第一章一元二次方程（期中知识清单）九年级数学上学期新教材青岛版

第一章 一元二次方程　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 一元二次方程 1.1 一元二次方程的定义 方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2，像这样的方程叫作一元二次方程。 示例：，， 都是一元二次方程。 1.2 一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般形式是 。其中 ，， 分别叫作这个方程的二次项、一次项和常数项，， 分别叫作二次项系数和一次项系数。 示例： 中，二次项为 ，二次项系数为 ；一次项为 ，一次项系数为 ；常数项为 。 注意：一般形式中必须限定 ，否则方程退化为一次方程，就不再是一元二次方程。 1.3 一元二次方程的根 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值就是这个方程的解，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根。 示例：把 代入 ，左边 右边，所以 是它的根。 2. 一元二次方程的解法 2.1 方程 的根的情况 一般地，方程 ： 的取值 根的情况 方程有两个不相等的实数根 ， 方程有两个相等的实数根 方程无实数根 示例： 的根是 ，； 的根是 ； 无实数根。 2.2 形如 的方程 形如 的一元二次方程，通过开平方降次可以转化成两个一元一次方程。 示例：解 ，根据平方根的意义，得 或 ，所以 ，。 2.3 配方法 当一元二次方程的二次项系数为 时，可先把常数项移到方程的右边，然后在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方，把方程的左边配成一个完全平方式，再由平方根的意义求解方程。这种解一元二次方程的方法叫作配方法。 示例：解 ，移项得 ，两边同时加上 ，得 ，再开方降次求解。 注意：如果一元二次方程的二次项系数不是 ，为了便于配方，可以先利用等式的基本性质把二次项系数化为 。 2.4 公式法 一般地，当 时，一元二次方程 的两个根是 这个式子叫作一元二次方程的求根公式。用求根公式解一元二次方程的方法叫作公式法。 示例：解 ，，，，，代入求根公式得 ，。 注意：确定 ，， 的值时，要注意它们的符号。 2.5 因式分解法 运用因式分解将一元二次方程转化为两个一次因式的乘积等于 的形式，由此得到两个一元一次方程。通过解这两个一元一次方程得到一元二次方程的根。这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法。 示例：解 ，因式分解得 ，所以 或 ，即 ，。 3. 一元二次方程根的判别式 3.1 根的判别式 代数式 叫作一元二次方程 的根的判别式，通常用 表示，即 。 示例：方程 中，。 3.2 判别式与根的情况的关系 对于一元二次方程 ： 的取值 根的情况 方程有两个不相等的实数根 方程有两个相等的实数根 方程没有实数根 反之，如果方程有两个不相等的实数根，那么 ；如果方程有两个相等的实数根，那么 ；如果方程没有实数根，那么 。 示例： 中 ，有两个不相等的实数根； 中 ，没有实数根。 4. 一元二次方程根与系数的关系 4.1 根与系数的关系 如果一元二次方程 的两个实数根为 ，，那么 示例： 中，，。 5. 一元二次方程与实际问题 5.1 黄金分割点 在正五角星中，线段 上点 满足 ，我们称点 为线段 的黄金分割点。这个比值 是一个无理数，精确到 的近似值是 。 示例：设 ，，则 ，由 得 ，解得较长段 。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 特殊值根判定： 与 方程 化为一般形式后：若 ，则有一根 ，另一根为 ；若 ，则有一根 ，另一根为 。 1.2 缺项方程的根的特征 且 时， 的两根互为相反数； 时， 有一根为 ，另一根为 。 1.3 两根对称式速算公式 设 ，，则 ；；；。 【使用提醒】使用前先验证 ，方程确有两个实数根。 1.4 两根符号判定 两正根： 且 且 ；两负根： 且 且 ；一正一负：。 【使用提醒】判两正根、两负根时， 与和、积的符号条件缺一不可；一正一负只看 （此时 恒正，不必再验证）。 1.5 逆用根与系数构造方程 以 ， 为两根的一元二次方程可取 。 1.6 配方求二次三项式的最值 ： 时在 处取最小值 ， 时取最大值。如 ，最小值为 ，此时 。 【使用提醒】若题目限定了 的取值范围，最值点需结合范围讨论，顶点不在范围内时最值在端点处取得。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 解法选择策略 依次观察：缺常数项先提公因式，形如 的直接开平方；能十字相乘（见”十字相乘法”）先分解；不易分解用公式法，先算 再代入；配方法只在题目指定或推导时使用。如解 ：，，，不必用公式法。 2.2 判别式求参数范围的规范流程 化一般形式（系数含参数时先写明二次项系数 ）→ 算 → 按”根的情况”列等式或不等式 → 解出参数并回检系数 。特例：题目只说”有实数根”且二次项系数含参，须分系数为 （一次方程）与不为 （）两类，取并集。如 有实数根： 或 ，综上 。 2.3 不解方程求对称式的值 化一般形式 → 确认 → 由根与系数的关系写出 与 → 把目标式变形为只含 、 的对称式（用 1.3），整体代入。如 ：，，则 。 2.4 利用根的定义降次求值 把根 代入方程得 ，即 ，逐次替换降次后整体代入。如 是 的根，则 。 2.5 根据定义求参数（“一元二次方程”双条件） 含参方程是”一元二次方程”须同时满足：最高次数为 ，且二次项系数 。先令指数等于 ，再排除使系数为 的值。如 是一元二次方程： 且 ，故 。 2.6 换元法解复杂方程 同一代数式（如 ）重复出现两次以上时，设其为 ，先解 的一元二次方程，再逐个回代解 。如 ：设 ，得 或 ； 时 或 ； 时无实数解，舍去。 【使用提醒】回代后无实数解的 值一律舍去。 3. 大小比较 / 化简 / 运算小技巧 技巧 要点 示例 配方速记 ，即加”一次项系数一半的平方”；二次项系数不是 先化为 ； 型整体配成 避免分数 夹逼法估算无理数根 （ 为非负整数）时，，据此确定根的整数部分或区间 的正根 ，由 得 十字相乘法分解 找 ， 使 且 ，则 ，解方程时令每个因式为 ，根为 ， 计算防错顺序 先化一般形式、确认系数符号再算 ： 为负时 加括号， 先定符号再乘 ： 配方法比较大小 / 判断非负性 比较 、 就看 的符号：作差后配方写成”平方 常数”判定正负，并单独说明取等条件 ，故 ，当 时取等号 黄金分割数 叫作黄金分割数；线段比例问题 可设 ，，化为 求解 时较长段 4. 常见考试模型 4.1 平均增长率 / 下降率模型 公式：两期 ，推广 期为 （ 为基量， 为变化率，增长用加、下降用减）。 限定：下降率须 ，负根舍去。 示例：如 ，（舍负），。 【使用提醒】年平均下降额（元）不等同于年平均下降率（百分数），比较”哪个下降得快”应算下降率而非下降额。 4.2 单循环 / 双循环与传播模型 公式：单循环（每两队赛 场）总场次 ；双循环 ； 人两两握手同单循环；传播问题从 人开始每轮每人传染 人，两轮后共 人（起始 人则为 ）。 限定：队数、人数为正整数，负根舍去。 示例：如单循环共 场：，（舍 ）。 【使用提醒】双循环总场数 必为两个连续正整数的乘积，如 可以、 不可以，可先据此判断真伪再解方程。 4.3 面积类模型（边框、彩条、围栏） 公式：四周等宽 的边框、道路：；一面靠墙、篱笆长 ：（ 为垂直于墙的边）。 限定：解出的 须使每条边长为正，否则舍去。 示例：如篱笆长 靠墙围 ：， 或 ，均符合题意。 4.4 数字问题模型 公式：连续整数设 ，，；连续奇数、偶数设 ，，；两位数 十位数字 个位数字。 限定：解出的 须使每个数位符合实际（如十位数字不为 ）。 示例：如两个连续奇数之积为 ：，（舍 ），即 ，。 4.5 营销利润模型 公式：总利润 （原单件利润 变价 ）（原销量 每变价 元的销量变化 ），即 型（涨价则 ）。 限定： 受实际限制：售价高于进价、销量非负，不合题意的根舍去；问”最大利润”用 1.6 配方求最值。 示例：如 ，即 ， 或 ，均符合题意。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：含参方程是”一元二次方程”，漏了二次项系数 ≠ 0 典例：若 是关于 的一元二次方程，求 的值。 错解：由 得 ，所以 。 正解：由题意得 且 。由 得 ，又 ，所以 。 原因：概念理解错误。“一元二次方程”的定义包含两个缺一不可的条件：未知数的最高次数是 、二次项系数不为 。学生只盯着”次数”这个显性条件列式，把”系数不为 “当成理所当然，忽略了 时二次项消失、方程退化为一元一次方程。凡由定义反求参数，都要回代检查系数是否为 。 易错点 2：“方程有实数根”不等于”二次方程有实数根”，漏讨论二次项系数为 0 典例：关于 的方程 有实数根，求 的取值范围。 错解：方程有实数根，则 ，即 ，所以 或 。 正解：① 当 即 时，方程为 ，不成立，无实数根；② 当 时，，得 或 ，且 。综上， 或 。 原因：漏分类讨论。学生把”有实数根”直接翻译成”“，默认方程已经是二次方程；当二次项系数含参数时，必须先讨论系数为 的退化情形——此时方程可能是一次方程（有根），也可能是矛盾方程（无根）。本题恰好是矛盾方程， 必须剔除；而”有两个不相等的实数根”类题目则必须强调系数 ，两种问法的隐含条件不同。 易错点 3：两边约去含未知数的因式，丢根 典例：解方程：。 错解：两边同除以 ，得 。 正解：移项得 ，即 ，所以 或 ，即 ，。 原因：思维层面的解法错误——把解一元一次方程时”两边同除以同一个非零数”的习惯，迁移到了含未知数的式子上。 的值随 变化， 时它恰为 ，两边同除导致失根。因式分解法解方程的依据是”两个因式之积为 ，则至少一个因式为 “，必须先移项使一边为零，再分解降次，绝不能随意约去含未知数的因式。 易错点 4：完全平方式只配正的一次项系数，漏负值 典例：若 是完全平方式，求 的值。 错解：因为 ，所以 ，即 。 正解：完全平方式要求一次项系数为 ，即 或 ，解得 或 。此时原式分别为 或 。 原因：漏分类讨论。学生把”完全平方式”默认为” 的形式”，忽略了 也是完全平方式，一次项系数可以取负。根源是对完全平方公式 中”“只记了”＋“。凡”待定系数 常数的两倍”构造完全平方式，都要成对取值。 易错点 5：实际问题的解不检验，保留不合题意的根 典例：某种药品原售价每盒 元，两次降价后每盒售价为原售价的 ，求该药品两次降价的平均降价率。 错解：设平均降价率为 ，则 ，解得 ，。所以平均降价率为 或 。 正解：由 ，得 ，。检验：，不合题意，舍去。所以平均降价率为 。 原因：忽略隐含条件。降价率 必须满足 ，列方程只保证了”售价 “这一数量关系，但根必须回到实际情境检验。学生潜意识认为”方程解出来就是对的”，缺少”解方程 检验 作答”的完整意识；一元二次方程有两个根，应用题舍根是常态而不是例外。 易错点 6：用根与系数的关系前不验证 典例：已知一元二次方程 的两根为 ，，求 的值。 错解：由根与系数的关系得 ，，所以 。 正解：先看根是否存在：，方程没有实数根，因此 ， 不存在， 的值无从谈起。 原因：忽略使用前提。根与系数的关系成立的前提是方程有实数根（），学生一看到含 、 的题目就直接套公式求值，跳过了”方程是否有实数根”的验证。这类题目正是围绕这个前提设坑：系数凑出 ，错的不是计算而是第一步。 学科网（北京）股份有限公司 $