第三章锐角三角函数（期中知识清单）九年级数学上学期新教材青岛版

第3章 锐角三角函数　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 锐角三角函数 1.1 正切 在 中，，锐角 的对边与邻边的比叫作 的正切，记作 ，即 示例：在 中，， 的对边为 、邻边为 ，则 。 注意：在直角三角形中，当锐角的大小确定时，这个锐角的对边与邻边的比值随之确定；当锐角的大小发生变化时，这个锐角的正切值也随之变化。 1.2 坡度（坡比） 把斜坡起止点 ， 的高度差 与它们的水平距离 的比叫作坡度（或坡比），通常用字母 表示，即 其中 是坡面与水平面所成的坡角，坡度等于坡角的正切值。 示例：某斜坡高度差 ，水平距离 ，则坡度 ，坡角 满足 。 1.3 正弦 在 中，，锐角 的对边与斜边的比叫作 的正弦，记作 ，即 示例：在 中，， 的对边为 、斜边为 ，则 。 1.4 余弦 在 中，，锐角 的邻边与斜边的比叫作 的余弦，记作 ，即 示例：在 中，， 的邻边为 、斜边为 ，则 。 1.5 锐角三角函数 锐角 的正弦、余弦、正切都是锐角 的三角函数。当锐角 的大小发生变化时， 的三角函数值也随之发生变化。 示例： 由 增大到 时， 由 增大到 。 1.6 用边长表示三角函数 在 中，，，， 的对边分别为 ，，，则 示例：在 中，，，由勾股定理 ，则 ，。 2. 30°，45°，60°角的三角函数值 2.1 特殊角的三角函数值 、、 角的正弦、余弦、正切值如下表： 角 示例：，，。 2.2 由三角函数值求锐角 当 ， 都是锐角时，如果 或 或 ，那么 。 示例：已知锐角 满足 ，则 。 3. 用计算器求锐角三角函数值 3.1 用计算器求锐角三角函数值 将计算器设置为以”度”为角的度量单位（显示器上方显示 DEG），按相应的三角函数名称键，再输入锐角的度数，即可得到该锐角相应三角函数的值（或精确到 的近似值）。 示例：求 ，按键后屏幕显示 ，按精确到 取近似值，得 。 3.2 由三角函数值用计算器求锐角 在角的度量单位为”度”的状态下，先按副功能键和相应三角函数的名称键，再输入三角函数的值，按键后屏幕上显示以度为单位的锐角；再用换算键将它换算成”度、分、秒”的形式。 示例：由 ，按键后屏幕显示 ，换算成度分秒得锐角 。 4. 解直角三角形 4.1 解直角三角形的定义 由直角三角形中的已知元素求出未知元素的过程，叫作解直角三角形。 示例：已知 中 ，，，由勾股定理得 ，由 得 ，。 4.2 解直角三角形的条件 在直角三角形中，除直角外，再知道两个元素（至少有一个是边）就可以求出其他元素。 示例：已知一条边和一个锐角（如斜边 与 ），或已知两条边，均可解直角三角形；只知两个锐角不能确定三角形的大小。 4.3 解直角三角形的依据 解直角三角形主要依据直角三角形中元素之间的三种关系： 关系 内容 三边关系 勾股定理： 两锐角关系 两锐角互余： 边角关系 锐角三角函数：，， 示例：已知 ，，由勾股定理 ；由 得 ，。 5. 解直角三角形与实际问题 5.1 仰角与俯角 在实际测量中，从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角叫作仰角；从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角叫作俯角。 示例：从地面观测旗杆顶端，视线与水平线所成的锐角是仰角；从楼顶观测地面物体，视线与水平线所成的锐角是俯角。 5.2 解直角三角形的应用思路 运用解直角三角形的知识解决实际问题，关键在于把实际问题转化为解直角三角形问题：构造直角三角形，利用锐角三角函数、勾股定理等求出未知量。 示例：测旗杆高度，作 构造 ，由 求出 ，再加测角仪高度 得旗杆高。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 同角三角函数的关系 ；。已知一个锐角的任一三角函数值，可借助这两个关系求出其余两个。 1.2 互余两角的三角函数关系 时，，，，即 ，。 1.3 锐角三角函数的增减性与取值范围 锐角 增大时， 增大、 减小、 增大，且 ，。据此可比较三角函数值大小、由值判断角的大小。 1.4 特殊角三角函数值的速记规律 正弦值分母统一为 、分子依次为 ：，，；余弦值与正弦值相反；正切 ，，。 1.5 由三角函数值确定特殊角 锐角 的三角函数值等于某特殊角对应值时， 即等于该特殊角，如 则 ， 则 。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 求锐角三角函数值的一般步骤 在直角三角形中确认直角与目标锐角 → 用勾股定理求出未知的边 → 按定义写出”对边/斜边/邻边”的比值并化简（结果常需分母有理化）。 2.2 解直角三角形的一般步骤 明确已知元素（至少含一条边）→ 先用”两锐角互余”求角、用勾股定理或三角函数求边 → 由边求角用三角函数，需要近似值时用计算器按要求精确。 2.3 构造直角三角形解非直角三角形 通过作高把非直角三角形分割成两个直角三角形分别解之，再合并结果；含 、、 时先标出对应边的倍数关系。如已知 、 的斜三角形，作 分成两个直角三角形求解。 2.4 构造图形求非特殊角的三角函数值 利用 （ 的一半）、、 与特殊角的关系，构造直角三角形求其三角函数值，如构造含 的直角三角形再作角平分线求 。 3. 大小比较 / 化简 / 运算小技巧 技巧 要点 示例 比较三角函数值大小 利用增减性：锐角越大 、 越大、 越小 ； 已知一个值求其余 用 、 求出其余三角函数值 时 ， 分母有理化 、 特殊角混合运算 先代入特殊值，再按二次根式运算顺序计算 4. 常见考试模型 4.1 仰角、俯角测高模型 公式：物高 测点到物的水平距离 （ 为仰角或俯角） 测角仪（观测点）自身高度。 限定：仰角从低处看高处、俯角从高处看低处；测角仪或人眼的高度要加到结果上，结果按题目精确度要求取近似值。 示例：距旗杆 处、测角仪高 、仰角 ，则旗杆高 。 4.2 坡度、坡角模型 公式：坡度 （ 为坡角， 为高度差， 为水平距离）。 限定：坡度是比值（常写成 或百分数），坡角是角度，两者由正切联系；由坡度求坡角用计算器或特殊角。 示例：坡度为 即 ，则坡角 。 4.3 方向角（方位角）模型 公式：以正北、正南为基准描述方向（如”北偏东 ““南偏东 ”），把航行、测量方向问题转化为含方向的直角三角形求解。 限定：方向角要正确分辨偏转方向；“东北方向”即北偏东 等特殊方位可直接用特殊角。 示例：沿东北方向航行 海里，向北、向东的分量各为 海里。 4.4 双测点测高（河宽、距离）模型 公式：设目标高度（或宽度）为 ，在同一水平线上两处测得仰角（或方向角），分别用 表示两处到目标的水平距离，据两处间距列方程求解。 限定：用”同一水平线上两观测点的不同角”消元；解出的边长须为正。 示例：相距 的 、 两处测吊舱 的仰角为 、，设高为 ，则 、 到垂足的距离分别为 、，两者之差为 ，列方程解出 。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：求 的三角函数值时，对边、邻边定位错乱 典例：在 中，，，，求 ，， 的值。 错解：由勾股定理得 ，所以 ，，。 正解：在 中，斜边 ；对 而言，对边是 ，邻边是 ，所以 ，，。 原因：概念理解错误。正弦、余弦、正切都是针对”某个锐角”定义的，对边、邻边是相对该锐角而言——换一个角，对边与邻边就互换。学生习惯以图形中”斜放”的那个锐角为基准找对边、邻边，求 时没有转换视角，甚至把 的邻边当成了斜边。纠正要点：求哪个角的三角函数，就先”站在哪个角上”找对边（不相邻的直角边）与邻边（相邻的直角边）。 易错点 2：求三角函数值不先由勾股定理求第三边，乱套定义 典例：在 中，，直角边 ，，求 ， 的值。 错解：，。 正解：先由勾股定理求斜边 ，所以 ，。 原因：步骤缺失。正弦、余弦的分母必须是”斜边”，学生拿到两条直角边就直接相除，忽略了定义中分母是斜边而非另一条直角边。纠正要点：求 、 前先”锁定斜边”；只有求 才只需两条直角边，可直接相除。 易错点 3：忽略锐角三角函数必须依托直角三角形的前提 典例：已知在 中，，，求 的长。 错解：，所以 。 正解：题目未说明 是直角三角形， 只在直角三角形中成立，条件不足，无法确定 的长。若补充 ，则 。 原因：概念理解错误。“对边”“斜边”这些概念只对直角三角形有意义，锐角三角函数必须依托直角三角形。学生一看到 就默认三角形是直角三角形，忽略了”三角函数成立的前提是直角三角形”这一隐含条件。纠正要点：套用三角函数前先确认三角形是否直角三角形、直角在哪个顶点。 易错点 4：特殊角三角函数值记忆混淆 典例：计算 的值。 错解：，，所以原式 。 正解：，，所以 。 原因：记忆缺失与迁移错误。正弦值随角增大而增大、余弦值随角增大而减小， 的正弦应是三个特殊角正弦值中最小的，不可能是 （那是 或 ）。学生把 、、、 四者混记。纠正要点：用规律背记特殊值表——正弦”分母 2、分子 “且随角递增，余弦与之相反，背完用增减性自查。 易错点 5：解直角三角形时忽略”至少有一条边”的条件 典例：在 中，，，能否求出 ，， 的值？ 错解：能。因为 ，所以 ，，三边可求。 正解：不能求出具体数值。只知道 （一个锐角），只能确定三边的比 ，不能确定三边的具体长度；必须再知道一条边的长度，才能求出三边的值。 原因：条件遗漏。解直角三角形要求”除直角外，再知道两个元素，且至少有一个是边”；只知一个锐角，三角形只确定了形状（三边之比）而未确定大小。学生误把”确定三边之比”当作”确定三边之长”。纠正要点：区分”确定形状（角度、比值）“与”确定大小（具体长度）“，求具体长度必须有边。 易错点 6：实际问题中仰角、俯角不分，或忘记加观测点自身高度 典例：用高 的测角仪，在距旗杆底部 处测得旗杆顶端的仰角为 ，求旗杆的高度。 错解：设旗杆高为 ，则 ，所以 。 正解：测角仪测得的仰角是从测角仪顶端（高 ）看旗杆顶的角，所以旗杆高出测角仪顶端的部分 ，旗杆总高 。 原因：审题遗漏。学生把”仰角”的顶点误放在地面上，忽略了测角仪（或人眼）有一定高度，测得的仰角对应的对边只是”旗杆超出测角仪顶端的那一段”。纠正要点：实际问题先画示意图，标出观测点（测角仪、人眼）的位置，物高 由三角函数求出的部分 观测点自身高度。 学科网（北京）股份有限公司 $