专题01一元二次方程（知识&考点&公式&5高频&6易错&3重难，期中知识清单）九年级数学上学期新教材青岛版

专题01一元二次方程 目录 识记类 思维导图 知识清单(6类) 考点清单(6类) 公式清单(48类) 辨析清单(10类) 题型类 高频题型清单(5类) 易错题型清单(6类) 重难题型清单(3类) 答题类 答题技巧清单 知识点01一元二次方程的相关概念 1.一元二次方程的定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程． 2.一元二次方程的一般形式：（）．其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项． 注意：是一元二次方程一般形式的重要条件．当时，方程变为，是一元一次方程． 3.一元二次方程的解（根）：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫一元二次方程的根． 4.由一元二次方程的定义求参数：根据"一个未知数""最高次数为2""整式方程"三个条件列方程或不等式求参数．特别注意二次项系数不等于0这一隐含条件． 5.由一元二次方程的解求参数：将已知的根代入方程，得到关于参数的方程，解之即可． 6.一元二次方程的解的估算：对于不易直接求解的一元二次方程，可以通过列表、逐步逼近的方法估算方程的近似解． 知识点02一元二次方程的解法 1.直接开平方法：形如（）或（）的方程，直接开平方求解． 若，则，方程有两个不相等的实数根；若，则，方程有两个相等的实数根；若，则方程无实数根． 2.配方法：通过配方将方程化为的形式，再用直接开平方法求解． 配方步骤：①将二次项系数化为1；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；③方程两边都加上一次项系数一半的平方；④化为的形式求解． 3.公式法：一元二次方程（）的求根公式为： 使用公式法的步骤：①将方程化为一般形式；②确定、、的值；③计算的值；④代入求根公式求解． 4.因式分解法：将方程左边分解为两个一次因式的乘积，右边为0，即化为的形式，则或． 常用因式分解方法：提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）、十字相乘法． 5.换元法：当方程中含有相同的复杂表达式时，可以用一个新的变量来替换这个表达式，将原方程化为关于新变量的一元二次方程，求解后再回代． 6.解分式方程（化为一元二次方程）：有些分式方程通过去分母、整理后可以化为一元二次方程求解．注意：求出解后必须检验，排除使分母为零的增根． 知识点03一元二次方程根的判别式 1.判别式的定义：对于一元二次方程（），式子叫做根的判别式，通常用字母表示，即． 2.判别式与根的情况的关系： 当时，方程有两个不相等的实数根； 当时，方程有两个相等的实数根； 当时，方程没有实数根． 3.根据判别式判断根的情况：先确定、、的值，计算，再根据的符号判断根的情况． 4.根据根的情况求参数：已知方程根的情况，利用判别式列不等式（或等式）求参数的取值范围． "有两个不相等的实数根"；"有两个实数根"或"有实数根"；"没有实数根"．注意：同时要保证． 知识点04一元二次方程根与系数的关系 1.一元二次方程根与系数的关系：如果、是一元二次方程（）的两个根，那么：， 2.一元二次方程根与系数的关系： 已知一根求另一根及参数；求关于两根的对称式的值（如、、等）；已知两根满足某种关系，求参数的值． 3.重要变形公式： ； ； 知识点05一元二次方程的应用——常见题型 1.传播问题：一人传多人，经过若干轮传播后总人数满足一元二次方程． 基本模型：若每轮每人传给人，则经过两轮后总人数为． 2.增长率（降低率）问题：基础量为，平均增长（降低）率为，则依次提升（减低）1次、2次的产量分别为， 3.与图形有关的问题：利用面积、体积等几何量建立一元二次方程．常见类型：矩形面积问题、边框问题、折叠问题等． 4.数字问题：利用数字的位值关系建立方程．如两位数的表示：十位数字为、个位数字为，则该两位数为． 5.营销（利润）问题：利润=售价-进价；总利润=单件利润销售量．当售价变化影响销售量时，建立一元二次方程求最大利润或特定利润． 6.工程问题：工作效率工作时间=工作总量．合作效率=各效率之和． 7.行程问题：路程=速度时间． 8.握手、循环赛问题：个人两两握手（或单循环赛），总次数为． 知识点06黄金分割 1.黄金分割的定义：点把线段AB分成两条线段AC和BC（），如果，那么称线段AB被点黄金分割，点叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比． 2.黄金比的值：黄金比． 3.黄金分割的应用：黄金分割在建筑、艺术、设计等领域有广泛应用，被认为是最具美感的比例关系． 考点01一元二次方程的概念与判断 考点内容：一元二次方程的定义；一般形式（）中各项及系数的识别；判断一个方程是否为一元二次方程；由定义求参数． 常见考法： ①判断所给方程是否为一元二次方程（紧扣"整式方程""一个未知数""最高次数为2"三个条件，特别注意） ②将方程化为一般形式，指出二次项系数、一次项系数和常数项 ③已知方程是一元二次方程，求字母参数的值或取值范围（注意隐含条件） ④已知方程的解（根），代入方程求参数的值 考点02一元二次方程的解法 考点内容：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法、换元法的解题步骤与适用条件；四种基本解法的灵活运用． 常见考法： ①用直接开平方法解形如或的方程 ②用配方法解一元二次方程（注意配方时加"一次项系数一半的平方"） ③用公式法解一元二次方程（先化一般形式，再确定、、，计算，代入公式） ④用因式分解法解一元二次方程（提公因式、公式法、十字相乘） ⑤根据方程特点选择最简便的解法 易错提醒：用公式法时，必须先确定、、的符号（尤其是负号），代入公式时注意符号． 考点03一元二次方程根的判别式的应用 考点内容：判别式的计算；的符号与根的情况的对应关系；根据根的情况求参数取值范围． 常见考法： ①不解方程，利用判别式判断方程根的情况 ②已知方程有两个不相等的实数根（或有实数根），求参数的取值范围（注意或，以及） ③已知方程没有实数根，求参数的取值范围（） ④判别式与其他知识（如韦达定理、函数）综合考查 易错提醒：当题目说"有实数根"时，要分两种情况讨论——一元二次方程（，）和一元一次方程（）． 考点04一元二次方程根与系数的关系的应用 考点内容：韦达定理，；关于两根的对称式的求值． 常见考法： ①已知方程的两根，求两根之和与两根之积 ②已知一根，利用韦达定理求另一根及参数 ③求关于两根的对称式的值（如、、等） ④已知两根满足某种关系（如互为相反数、互为倒数、一根是另一根的2倍等），求参数的值 易错提醒：使用韦达定理的前提是方程有实数根，即．解题时务必先验证判别式． 考点05一元二次方程的应用——增长率与传播问题 考点内容：增长率（降低率）问题的基本模型；传播问题的基本模型总人数． 常见考法： ①已知基础量和最终量，求平均增长率（降低率） ②已知基础量和增长率，求经过若干次增长后的量 ③传播问题中，已知初始人数和传播轮数，求每轮传播人数或总人数 ④增长率问题与其他知识（如利润、面积）综合考查 考点06一元二次方程的应用——几何与实际问题 考点内容：利用面积、体积等几何关系建立一元二次方程；利润问题、工程问题、行程问题等的建模方法． 常见考法： ①矩形面积问题（如围栏问题、边框问题）：设未知数，利用面积公式列方程 ②利润问题：总利润=单件利润销售量，当价格变化影响销量时建立方程 ③数字问题：利用位值原理建立方程 ④握手/循环赛问题：利用公式建立方程 ⑤动态几何问题：动点运动中某时刻满足的面积或距离关系建立方程 1.一元二次方程的基本公式 序号 名称 公式 说明 1 一般形式 （） 为二次项系数，为一次项系数，为常数项 2 求根公式 条件：， 3 根的判别式 两个不等实根；两个相等实根；无实根 4 韦达定理 ； 前提：方程有实数根（） 2.常用变形公式 序号 名称 公式 说明 5 两根平方和 韦达定理的常用变形 6 两根差的平方 即 7 两根差的绝对值 由上式开方得到 8 两根倒数和 条件： 3.应用问题常用公式 序号 名称 公式 说明 9 增长率公式 为基础量，为增长率，为增长次数 10 降低率公式 同上，为降低率 11 握手/循环赛 为人数（或队数） 12 传播模型 每轮每人传人，两轮后总人数 13 黄金比 黄金分割的比值 4.配方法关键步骤 序号 步骤 操作 说明 14 化二次项系数为1 方程两边同除以 前提： 15 移项 常数项移到右边 左边只保留二次项和一次项 16 配方 两边加 "一次项系数一半的平方" 17 写成完全平方 右边化简后开平方求解 辨析01一元二次方程定义中""是不可忽略的条件 一元二次方程的一般形式为，其中是定义的核心条件．当时，方程退化为，是一元一次方程而非一元二次方程．在判断一个含参数的方程是否为一元二次方程时，必须同时满足两个条件：①最高次数为2；②二次项系数不等于0． 辨析02"方程有实数根"与"方程有两个实数根"的区别 "方程有实数根"包含两种情况：①当时，是一元二次方程，需要；②当时，方程退化为一元一次方程，一定有实数根．而"方程有两个实数根"特指一元二次方程且（时两个不等实根，时两个相等实根）．做题时要仔细审题，注意区分． 辨析03判别式的使用前提是 判别式只适用于一元二次方程（）．如果题目给出的方程含参数，不能直接默认它是一元二次方程．必须先讨论是否为0：当时用判别式；当时方程为一元一次方程，单独讨论． 辨析04使用韦达定理前必须验证 韦达定理，成立的前提是方程有实数根，即．很多题目中，利用韦达定理求出参数后，必须回代验证是否成立，否则可能得到不符合题意的"假根"．这是中考中常见的失分点． 辨析05韦达定理中符号容易出错 韦达定理中，两根之和（注意有负号），两根之积（无负号）．记忆口诀："和反积不反"——和要取相反数，积不用取．代入时注意本身可能为负数，中的负号与的符号要正确处理． 辨析06因式分解法中"不能两边同时除以含未知数的式子" 用因式分解法解方程时，如，不能两边同时除以，否则会丢失这个根．正确做法是移项后提取公因式：或． 辨析07配方法中"加一次项系数一半的平方"是针对系数为1的情况 配方时，如果二次项系数不是1，必须先将二次项系数化为1（方程两边同除以二次项系数），然后再加"一次项系数一半的平方"．例如，先化为，再加，即． 辨析08公式法中、、的符号要与一般形式对应 使用求根公式时，、、必须是一元二次方程一般形式中的系数，包括符号．例如方程中，，（不是5），．代入公式时，不要写成． 辨析09应用题中求出的解必须检验是否符合实际意义 一元二次方程的应用题中，求出的解可能有两个，但并非两个解都符合实际意义．例如求人数、长度、价格等，负数解通常要舍去；求增长率时，解应在合理范围内．解题最后一步必须检验解的合理性． 辨析10"两个相等的实数根"不等于"一个实数根" 当时，一元二次方程有"两个相等的实数根"，从代数的角度说是两个根（重根），而不是"一个实数根"．在答题时应写"有两个相等的实数根"，而非"有一个实数根"． 【题型一】一元二次方程的概念判断与参数求解 【例1】关于的方程是一元二次方程，则它的二次项系数是（） A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】利用一元二次方程最高次数为、二次项系数不为的条件求，再计算二次项系数． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴且． 由，得， 解得． ∵， ∴． ∴． ∴二次项系数为． 【变式1-1】已知关于x的方程是一元二次方程，则k的值应为（） A． B．3 C． D．不能确定 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，未知数的最高次数是2，二次项系数不为0，是整式方程，即可求解． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴且， 由得，即， 由得， ∴． 【变式1-2】下列方程中，不一定是一元二次方程的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】四个选项均为含的整式方程，且形式上最高次为二次，解题关键是判断二次项系数是否恒不为即可． 【详解】解：选项中，二次项系数，是一元二次方程； 选项未限定，当时，方程不是一元二次方程，即该方程不一定是一元二次方程； 将选项的方程展开并整理，得，是一元二次方程； 选项中二次项系数，是一元二次方程. 【变式1-3】证明：无论m取何值，关于x的方程都是一元二次方程． 【答案】证明：， ∵无论m取何值，都大于0， ∴无论m取何值，二次项系数都不等于， ∴此方程都是一元二次方程． 【详解】略 【题型二】一元二次方程的解法 【例2】解下列方程： (1)（直接开平方法）； (2)（公式法）； (3)（配方法）； (4)（因式分解法）． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】（）移项后系数化为，再利用直接开平方法解答即可； （）利用公式法解答即可； （）把常数移到右边，再利用配方法解答即可； （）利用提公因式法对左式进行因式分解进行降次，再解一元一次方程即可． 【详解】（1）解：移项，得， 系数化为，得， 开方，得， 即或， ∴，； （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∴，； （3）解：移项，， 配方，得， 即， 开方，得， 即或， ∴，； （4）解：因式分解，得， 化简，得， ∴或， ∴，． 【变式2-1】若，则的值为（） A． B．4 C．4或 D．或2 【答案】B 【分析】采用换元法简化方程，结合的非负性舍去负根． 【详解】解：设，由平方的非负性得． 方程可化为． 整理得． ． 解得，． ∵， ∴不符合题意，舍去． ∴． 【变式2-2】解方程 (1)关于x的方程，下列解法完全正确的是_____． 甲 乙 两边都除以，得 移项，得， 即， 于是或， 丙 丁 整理，得 这里， ， ， 即 整理，得 配方，得， 即 两边开平方，得， (2)选择合适的方法解方程：． 【答案】(1)丁 (2)， 【分析】（1）对甲、乙、丙、丁的解题的过程进行判断，然后作答即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：甲：当时，方程两边可除以，没有考虑的情况，故甲解法错误； 乙：移项，应得，符号错误，故乙解法错误； 丙：整理，应得，这里，故丙解法错误； 丁的解法正确； （2）解：原方程整理，得， 即． 于是或， ，． 【变式2-3】用适当的方法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】略． 【详解】（1）解： ， （2） ， （3） ， （4） 或 ， 【题型三】根的判别式的应用 【例3】已知关于的一元二次方程，下列说法正确的是（） A．方程有两个相等的实数根 B．方程有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】B 【分析】计算一元二次方程根的判别式，根据其符号判断根的情况． 【详解】解：∵一元二次方程中，，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 【变式3-1】关于x的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（） A．且 B．且 C． D． 【答案】B 【分析】需同时满足二次项系数不为与根的判别式非负两个条件，联立求解的取值范围． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴，即， ∵方程有实数根， ∴， ∴， ∴， 综上，且． 【变式3-2】若关于的一元二次方程有实数解，则的取值范围是___________． 【答案】 且 【分析】根据一元二次方程定义，二次项系数不为0；方程有实数解则根的判别式大于等于0，列出两个不等式求解，合并得到结果． 【详解】解：∵原方程是关于的一元二次方程， ∴二次项系数不为，即，得， ∵原方程有实数解， ∴根的判别式， 解得， 综上可得的取值范围是且． 【题型四】根与系数的关系的应用 【例4】已知是一元二次方程的两根，不解方程求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)17 【分析】根据根与系数的关系即可求解． 【详解】（1）解：由根与系数的关系，得：， ； （2）解：原式； （3）解：原式． 【变式4-1】已知实数，是一元二次方程的两根，则代数式______． 【答案】4 【分析】根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积的值，再整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两根， ∴根据根与系数的关系可得，， ∴． 【变式4-2】已知是关于的一元二次方程的两个根，则_______． 【答案】 【分析】已知，是一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，将所求式子展开后代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴根据根与系数的关系可得，， ∴ ． 【变式4-3】若是方程的两个根，且，求m的值．小明的解题过程如下，请判断他的解题过程是否正确，若不正确，请写出正确的解题过程． 解：由一元二次方程的根与系数的关系，得． ， ， ， ， 或． 【答案】解：不正确，正确解题过程如下： 由一元二次方程的根与系数的关系，得． ， ， ， ， 或． 又， ∴, ． 【分析】利用根与系数关系定理，一元二次方程根的判别式，综合求解即可． 【详解】解：略． 【题型五】一元二次方程的应用—增长率问题 【例5】一辆原价为12万元的轿车已使用3年．已知第一年的折旧率是，第三年末这辆轿车的价值是万元，求这辆轿车第二年和第三年平均每年的折旧率． 【答案】 这辆轿车第二年和第三年平均每年的折旧率为. 【分析】设这辆轿车第二年和第三年平均每年的折旧率为，根据题意，列出方程进行求解即可. 【详解】解：设这辆轿车第二年和第三年平均每年的折旧率为， 由题意，第一年末轿车的价值为（万元）， ∴， 整理得， 解得或（不合题意，舍去）； 答：这辆轿车第二年和第三年平均每年的折旧率为. 【变式5-1】为开拓市场，某蛋糕生产厂家采用线下和线上两种销售方式销售蛋糕，厂长统计了今年6月份和8月份线上销售量占总销售量的百分比，并绘制成如图所示的两幅扇形统计图，由统计图可知，线上销售量占比的月平均增长率为________． 【答案】 【分析】设线上销售量占比的月平均增长率为x．根据6月份和8月份数据列一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：设线上销售量占比的月平均增长率为x， 根据题意，得， 解得，（舍）， 即线上销售量占比的月平均增长率为． 【变式5-2】某钢铁厂四月份的产量是50万吨，第二季度的总产量是182万吨，若该厂五、六月份平均每月产量的增长率均为，则下面所列方程正确的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】明确第二季度包含四、五、六三个月，结合月增长率表示各月产量，根据总产量列方程． 【详解】解：∵四月份产量为50万吨，五、六月份平均月增长率为， ∴五月份产量为万吨，六月份产量为万吨， ∵第二季度总产量为182万吨， ∴． 【变式5-3】某产品每件的生产成本为50元，原定销售价为65元．经市场预测，从现在开始的第一个季度销售价将下降，第二个季度又将回升．若要使半年以后的销售总利润不变，如果你作为决策者，将采取什么措施？请将本题补充完整并解答． 【答案】补充问题：若销售量保持不变，且每个季度成本的平均下降率相同，求每个季度成本的平均下降率（结果精确到）；每个季度成本的平均下降率约为． 【分析】先计算半年后的售价，结合总利润不变的条件列一元二次方程，求解成本的平均下降率． 【详解】解：设每个季度成本的平均下降率为x，销售量为m件.半年后的售价为（元）.原销售总利润为（元）， ∵半年后销售总利润不变， ∴， ∵， ∴， 整理得， ∴， 解得或（舍去）， 所以，每个季度成本的平均下降率约为． 【题型六】黄金分割 【例6】在海洋生物观察课上，同学们发现海螺的结构十分奇妙．如图，点是线段的黄金分割点，且．已知，则的长为_________（结果保留根号）． 【答案】 / 【分析】根据黄金分割的计算公式正确计算即可． 【详解】解：点C是线段的黄金分割点， ． 【变式6-1】一般认为，一个人的上半身（肚脐以上的高度）与下半身（肚脐以下的高度）的比例中，如果下半身与身高的比为黄金比，则这个人好看．某位参加空姐选拔的选手身高160厘米，上半身长65厘米，那么她应穿______厘米的鞋子才能好看．（精确到1厘米） 【答案】10 【分析】设应穿厘米的鞋子，根据黄金分割的比例关系列方程求解即可． 【详解】解：设她应穿厘米高的鞋子，原下半身长为厘米，穿鞋子后下半身长为厘米，总身高为厘米， ∵黄金分割要求下半身长与总身高的比为黄金比， ∴， ∴， 去括号，整理得， 解得， 经检验是原方程的根，结果符合题意． 答：她应穿10厘米的鞋子才能好看． 【变式6-2】宽与长的比是的矩形叫作黄金矩形，帕特农神庙正面轮廓视觉上非常接近黄金矩形，嵌套多层近似黄金矩形，如图，矩形截掉正方形后，剩余的矩形仍是黄金矩形，是，求的长度，设的长度是，根据题意，下列的方程中正确的是（） ①；②；③；④． A．① B．①③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【详解】解：设的长度是， 矩形是黄金矩形，是， ，即，故①正确； ，即，故④正确； 四边形是正方形， ， ， 矩形是黄金矩形， ，即，故②正确； ， ，故③正确； 故选：D． 【题型一】忽略二次项系数不为零的条件 易错点：在判断一元二次方程或求参数时，忘记这一隐含条件，导致多解或错解． 易错警示 对于含参数的一元二次方程，求出参数后必须验证二次项系数是否为零．若，方程不再是二次方程，该参数值应舍去． 【例1】若关于的一元二次方程的一个根是，则的值是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将已知根代入方程求出的可能取值，再结合一元二次方程的定义，即二次项系数不为0，舍去不符合条件的解，得到的正确值． 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴把代入方程得， 解得或， 又∵该方程是一元二次方程， ∴二次项系数满足，即， ∴． 【变式1-1】已知关于x的一元二次方程有一根为0，则它的另一个根是_____． 【答案】2 【分析】将代入，结合一元二次方程的定义求出m的值，进而得到原方程，求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一根为0， ∴将代入得， 解得：， ∵一元二次方程 ∴，即， ∴， ∴原方程为， 解得：， 即它的另一个根是2． 【变式1-2】若方程是关于的一元二次方程，则的值为（） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴，且，即， ∴或， 解得或（不符题意，舍去）， ∴． 【变式1-3】已知关于x的方程． (1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元一次方程的定义解答即可； （2）根据一元二次方程的定义解答即可． 【详解】（1）解：∵关于x的方程是一元一次方程， ∴且， 即且， ∴； （2）解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， 【题型二】使用韦达定理时未验证判别式的值大于或等于0 【例2】关于x的一元二次方程有两个实数根、，若，则的值是________． 【答案】 【分析】先利用韦达定理得到两根和与两根积，代入已知等式求解k，再结合该一元二次方程有两个实数根的条件，令判别式大于等于0，求出k的范围进行取舍． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根、， ∴、， 代入，得 ， 解得、， 又∵，解得， ∴不符合题意，舍去， 故． 易错点：利用韦达定理求出参数值后，没有回代验证，导致求出的参数使方程无实根． 易错警示 韦达定理成立的前提是方程有实数根（）．利用韦达定理求出参数后，务必将参数代入判别式验证，舍去使的值． 【变式2-1】按要求完成作答 (1)已知关于的一元二次方程的两根的和为，求的值及方程的两根． (2)已知关于的一元二次方程的两根的积为，求的值． 【答案】(1) 的值为，方程的两根为和． (2) 的值为． 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，以及求解一元二次方程，解决问题的关键是能熟练计算． （1）根据根与系数的关系得到，求出，得到原方程，解方程即可； （2）根据根与系数的关系得到，求出，分类讨论，分别代入原方程求解，即可得答案． 【详解】（1）解：∵一元二次方程的两根的和为， ∴， ∴， ∴， ∴原方程为， 解得，． （2）∵一元二次方程的两根的积为， ∴， ∴， ∴， ∴当时，原方程为， 方程无解，不符合题意，故； 当时，原方程为， ， 综上． 【变式2-2】已知是关于的一元二次方程的两实数根． (1)若，求的值； (2)若菱形的周长为，与交于，与的长分别是关于的方程的两根．求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据一元二次方程有实数根求出的取值范围，再利用根与系数的关系写出两根之和两根之积；把展开变形，代入两根和与两根积，得到关于的方程，解方程后结合的范围取舍． （2）由菱形周长得到边长，利用菱形对角线互相垂直，根据勾股定理得到；结合完全平方公式变形，代入，，列方程求出，再根据取值范围以及线段长度大于0进行取舍． 【详解】（1）解：方程有两个实数根， ， ， 由根与系数的关系得，， ， ， ， ， ， ，， ， ， （2）解：菱形周长为， 菱形边长， 菱形对角线互相垂直平分， ， ， 、是方程的两根 ，， ， ， ， ， ， ， ∴． 【题型三】忽视点的位置导致漏解 【例3】习题课上，老师给了一道方程：． 嘉嘉的解法是：原方程可化为，第一步 所以，即，第二步 所以方程没有实数根．第三步 琪琪的解法是：原方程可化为，第一步 两边都除以，得．第二步 (1)他们的解法都是错误的，分别指出从哪一步开始错误； (2)写出方程正确的解题过程． 【答案】(1)嘉嘉的解法从第一步开始错误；琪琪的解法从第二步开始错误． (2)解：嘉嘉的解法： ， 原方程可化为， ， ， ， ，． 琪琪的解法：， ， ， ， ，． 【分析】（1）根据嘉嘉和琪琪的解题步骤就可以找出错误． （2）嘉嘉的解法是按照配方法解一元二次方程，琪琪的解法是按照提公因式法解一元二次方程． 【详解】（1）解：嘉嘉在解方程移项时，未知数的符号没有变， 嘉嘉的解法从第一步就错了． 琪琪两边都除以了一个带未知数的整式， 琪琪的第二步解法是错误的． （2）略． 易错点：解方程时两边同时除以含未知数的因式，丢失了该因式为零时的根． 易错警示 方程两边不能同时除以含未知数的式子！正确做法是移项后提取公因式，令每个因式分别为零求解． 【变式3-1】方程的根是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据因式分解法解一元二次方程的方法解答即可. 【详解】解：∵， ∴或， ∴，， ∴方程的根是，. 【变式3-2】解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【详解】（1）解：原方程可变形为， ． ，或． 即，； （2）解：原方程可变形为， ． ，或． ，； （3）解：可以把常数项移到方程的右边，得． 两边都加一次项系数的一半的平方，得， 即， 两边开平方，得， 即或， 所以，． 【题型四】因式分解法中两边同除含未知数的因式导致丢根 【例4】习题课上，老师给了一道方程：． 嘉嘉的解法是：原方程可化为，第一步 所以，即，第二步 所以方程没有实数根．第三步 琪琪的解法是：原方程可化为，第一步 两边都除以，得．第二步 (1)他们的解法都是错误的，分别指出从哪一步开始错误； (2)写出方程正确的解题过程． 【答案】(1)嘉嘉的解法从第一步开始错误；琪琪的解法从第二步开始错误． (2)解：嘉嘉的解法： ， 原方程可化为， ， ， ， ，． 琪琪的解法：， ， ， ， ，． 【分析】（1）根据嘉嘉和琪琪的解题步骤就可以找出错误． （2）嘉嘉的解法是按照配方法解一元二次方程，琪琪的解法是按照提公因式法解一元二次方程． 【详解】（1）解：嘉嘉在解方程移项时，未知数的符号没有变， 嘉嘉的解法从第一步就错了． 琪琪两边都除以了一个带未知数的整式， 琪琪的第二步解法是错误的． （2）略． 易错点：解方程时两边同时除以含未知数的因式，丢失了该因式为零时的根． 易错警示 方程两边不能同时除以含未知数的式子！正确做法是移项后提取公因式，令每个因式分别为零求解． 【变式4-1】方程的根是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据因式分解法解一元二次方程的方法解答即可. 【详解】解：∵， ∴或， ∴，， ∴方程的根是，. 【变式4-2】解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【详解】（1）解：原方程可变形为， ． ，或． 即，； （2）解：原方程可变形为， ． ，或． ，； （3）解：可以把常数项移到方程的右边，得． 两边都加一次项系数的一半的平方，得， 即， 两边开平方，得， 即或， 所以，． 【变式4-3】关于x的方程，无论k取何值，必有一根为多少？ 【答案】1 【分析】将方程变形为，无论参数取何值，只要令，方程恒成立，即可得出结果． 【详解】解：原方程展开为：， 重新分组：， 方程变为：， ， 无论k取何值，只要令，方程恒成立， ， 所以，方程必有一根为． 【题型五】公式法代入时符号错误 【例5】已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别是，，那么______，______，______． 【答案】13 【分析】题目给出的根符合一元二次方程求根公式的形式，对比对应位置系数即可求解． 【详解】解：一元二次方程的求根公式为， 题目给出的两根可写为， 将两式对应位置对比，可得 ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，代入得， ∴． 易错点：确定、、时忽略负号，或代入公式时计算错误（如将算成）． 易错警示 公式法中永远是正数（或零），因为任何实数的平方非负．代入时先将、、连同符号一起确定，再逐步计算． 【变式5-1】在用求根公式求一元二次方程的根时，琪琪正确代入了、、得到，则她求解的一元二次方程是（） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵一元二次方程求根公式为，且代入后得， ∴，解得， ，解得， 对比根号内的项，得 ， 将代入，得， ∴原方程为． 【变式5-2】用公式法解下列方程． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ∴, ∴， ∴， 解得：； （2）解： ， ∴， ∴， ∴， 解得：． 【题型六】应用题中未检验解的实际意义 【例6】小明的爸爸想用篱笆圈出一块如图所示的矩形区域用以饲养土鸡．已知面积为的鸡舍一面靠墙（墙长），另外三面用长的篱笆围成，平行于墙的边上有一扇宽的门，则鸡舍垂直于墙的一边为_______m． 【答案】 【分析】设为，则，依据题意列一元二次方程，解一元二次方程，同时还需要满足小于等于墙长，确定最终值即可． 【详解】解：设为，则， 依据题意得： 去括号得：， 整理得：， 因式分解得：， 解得：，， 墙长， ， 即：， 解得， 综上所述，长为． 易错点：求出方程的两个解后，没有根据实际问题的背景舍去不合理的解（如负数的人数、长度为负等）． 易错警示 应用题的最后一步必须是检验！将求得的解代入实际情境中，舍去不符合实际意义的解．特别是增长率问题中，增长率通常为正数且不超过1（100%）． 【变式6-1】如图是一张月历表，在此月历表上可以用一个矩形任意圈出个位置上相邻的数（如2，3，9，）．如果圈出的4个数中最大数与最小数的积为，求这4个数中最小的数． 【答案】这4个数中最小的数是8 【分析】设这4个数中最小的数是，利用这4个数中最小的数与最大的数的关系得到这4个数中最大的数是，结合题目条件列出方程，因式分解即可得到解． 【详解】解：设这4个数中最小的数是，则这4个数中最大的数是， 由题意得， 化简得， 因式分解得， 解得或（舍去）， 答：这4个数中最小的数是8． 【变式6-2】为促进消费，某商场对部分商品进行“折上折”（两次打折数相同）活动．一件原价700元的服装，经过“折上折”优惠活动后，实际售价为448元，则该服装每次平均打___________折． 【答案】八 【详解】设该服装每次平均打折，根据原售价及实际售价，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：设该服装每次平均打折， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴该服装每次平均打八折． 【变式6-3】 某食品店将进价为16元/千克的奶糖按20元/千克的价格出售，每天可销售．老板发现，这种奶糖的售价每涨1元/千克，日销售量就减少．如果食品店想使每天的平均销售利润达到504元，并尽快售完这种奶糖，那么这种奶糖的售价应定为多少？ 【答案】这种奶糖的售价应定为22元/千克. 【分析】根据总利润=每千克利润×日销售量列一元二次方程，结合尽快售完的要求选取涨价幅度更小的解． 【详解】解：设这种奶糖的销售单价应定为x元/千克， 则：， 解得：，， 当时，， 当时，， ∵， ∴， 答：这种奶糖的销售单价应定为22元/千克． 【题型一】判别式与韦达定理的综合应用 【例1】关于的一元二次方程，有下列四个结论：①若是该方程的一个根，则一定有成立；②若，则方程有一根为；③若该方程的解为和，则方程的解是或；④当，，时，方程一定有实数根．其中，正确的有（） A．①②③④ B．②③④ C．②③ D．②④ 【答案】D 【分析】根据根的判别式、一元二次方程的解，逐个验证结论，结合条件推导判别式的符号，最终确定正确选项． 【详解】解：①将代入方程，得， 提取公因式得， 当时等式恒成立，不一定满足，故①错误； ②将代入方程，得，由条件，可得， 因此是方程的根，故②正确； ③原方程的解为和，则原方程可写为， 展开得，即，， 代入新方程得：，， 整理得， 解得或，故③错误； ④由条件，，， 可得， 若，则， 可推出，与矛盾， 因此， 方程判别式， 因为，，所以， ，方程一定有实数根，故④正确. 综上，正确结论为②④． 【变式1-1】在课上，我们已经学习过一元二次方程、一元三次方程根与系数的关系． (1)已知，，为一元三次方程的三个实数根，则___________，___________，___________． (2)问题解决．已知，，为方程的三个实数根，则对于下列结论一定正确的是（） A．B．C．D． (3)若的三个根分别为，，，则的值是___________． (4)拓展提升．已知实数满足，且，求正数的最小值． 【答案】(1)，， (2)A (3)49 (4)3 【分析】（1）利用多项式因式分解与系数对应关系，将三次方程写为的形式，展开后与原方程同次项系数对比，即可解答； （2）由（1）得到，，即可判断A，D选项；由于，，由于，的取值不确定，无法判断符号，即可判断B，C选项； （3）先根据（1）的结论求出，，再利用完全平方公式变形求解即可； （4）由和，推导出，，将a，c看作一元二次方程的两个实根，利用判别式建立关于b的不等式，求解b的最小值． 【详解】（1）解：∵一元三次方程的三个实数根为，，， ∴， 展开，得， 对比方程可得， ，，， ∵， ∴，，． （2）解：∵，，为方程的三个实数根， ∴由（1）可得，， ∴A选项正确，D选项错误． ，的取值不确定，无法判断符号，故B选项错误． ，的取值不确定，无法判断符号，故C选项错误． （3）解：∵的三个根分别为，，， ∴，， ∵， ∴． （4）解：∵，， ∴，， ∴a，c是方程的两个实数根， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴正数的最小值为3． 【变式1-2】已知关于x的方程． (1)求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若，是方程的两根． ①当时，求m的值； ②直接写出代数式的最小值． 【答案】(1)将，整理得 ， ∴， 无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根 (2)①；②0 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式解答即可； （2）①把代入方程，即可求解；②利用一元二次方程根与系数的关系可得，，再代入，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：①把代入方程，得， ． ②将，整理得 ∵，是方程的两根， ，， ∴， 所以代数式的最小值为0． 【变式1-3】关于的一元二次方程①（为常数，且）的两个根分别为，，且，． (1)求证：无论取何值，是方程①的一个根． (2)当时，求的取值范围． (3)若关于的一元二次方程（为常数，且）的一个根比方程①的根大，求的最大值． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ， ， ， 解得：，， ∴无论取何值，是方程①的一个根； (2) (3)的最大值为 【分析】（1）运用提公因式解一元二次方程，即可证明； （2）先根据一元二次方程根与系数的关系求出，，再根据，，推出，可得的取值范围，结合题意求出最后的取值范围，再化简代入，求解即可； （3）先根据题意求出，设的一个根为，再根据题意推出，将代入求出，最后根据配方法求解即可． 【详解】（1）略 （2）∵关于的一元二次方程①（为常数，且）的两个根分别为，， ∴根据根与系数的关系，，， ∴， ∵，， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ （3）∵由（1）得无论取何值，是方程①的一个根， 又∵，， ∴， 设的一个根为， ∵的一个根比方程①的根大， ∴， 把代入中， ， 整理得：， ∵，则， ∴的最大值为． 【题型二】一元二次方程与几何图形的综合 【例2】图1是第届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，看上去像一个风车，代表着中国人民的热情与好客．小瑞同学发现，把一个平行四边形分割成5块（如图2），按照图3的样式无缝拼接恰好成一个矩形．若矩形的面积为，，则图2中平行四边形的周长为________． 【答案】 【分析】图形拼接前后面积不变，矩形面积等于原平行四边形面积，设短直角边，由得到小矩形的边长，用含的代数式表示出拼接后矩形的长与宽，根据矩形面积列出一元二次方程，求出，再利用勾股定理算出平行四边形两条邻边的长度，最后代入周长公式求得平行四边形周长． 【详解】解，如图，设，则， ， ， ，， ， 矩形的面积为， ， 化简得， ， ， ， ， ，， ，， 平行四边形的周长为． 【变式2-1】如图，一艘轮船以的速度沿既定航线由西向东航行，途中接到台风警报，某台风中心正以的速度由南向北移动，距台风中心的圆形区域（包括边界）都属台风影响区．当这艘轮船接到台风警报时，它到台风中心的距离，此时台风中心到轮船既定航线的最近距离．如果这艘轮船不改变航向，那么它会不会进入台风影响区？如果会，从接到警报开始，经过多长时间它就会进入台风影响区（结果精确到）? 【答案】轮船会进入台风影响区，经过大约轮船就会进入台风影响区 【分析】对比台风中心到达A点时，C与台风中心的距离即可得出结论，设时间为未知数，并求解轮船与台风中心距离等于时的时间． 【详解】解：当台风中心到达时：， 此时轮船距：， 所以轮船不改变航向，会进入台风影响区． 如图所示 设x小时后，轮船就进入台风影响区，根据题意可得： （千米），（千米） ∵， ∴ ∴， ∵， 根据勾股定理可得： 解得：，（舍去） ∴轮船经过就进入台风影响区域． 【变式2-2】如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，，两点分别从，同时出发． (1)若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． ①经过几秒，的面积等于？ ②的面积能否等于？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由． (2)若点到达后不停止，立即以原速沿返回；点到达后不停止，继续以原速沿射线方向运动，直到点第一次回到时，两点同时停止运动．在整个运动过程中，第几秒的面积等于？ 【答案】(1)①经过2秒或4秒后，的面积等于；②的面积不能等于； (2)当为秒或秒，的面积等于． 【分析】（1）①设运动时间为x秒，根据三角形面积公式构建方程求解即可； ②设运动时间为x秒，的面积等于，根据三角形面积公式构建方程，解方程即可判断； （2）分两种情况讨论，用面积公式列方程即可得到答案． 【详解】（1）解：①设运动时间为x秒，则，， 又， ∴， 根据题意，得， 解得，． ∴经过2秒或4秒后，的面积等于； ②设运动时间为x秒，的面积等于， 根据题意，得， 整理得， ∴， ∴方程无解， ∴的面积不能等于； （2）解：设运动的时间为t秒， ①当时，， 由题意，得， 解得：，； ②当时，， 由题意，得， 解得：，（舍去）， 综上所述，当为秒或秒时，的面积等于． 【变式2-3】综合与实践． (1)【初步探索】欧几里得的《几何原本》记载，对于形如的方程，可用如图1的几何解法：作直角三角形，其中，，，在斜边上截取，则该方程的其中一个正根是哪段线段的长？说明你的理由． (2)【再次探索】我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中也记载了关于一元二次方程的几何解法：以方程为例，因为，所以有．如图2，用4个长都是，宽都是x的相同矩形，拼成如图所示的正方形，图2中，大正方形的面积可以表示为_____________（用含x的代数式表示）；另一方面，它又等于4个小矩形的面积加上中间小正方形的面积，即等于，故可得原方程的一个正根是____________________． (3)【类比运用】请选用上述两种几何方法中的一种求方程的正根（请在下面画出图形，注意在图中标注出相关线段的长度）． 【答案】(1)该方程的其中一个正根是线段的长，理由如下： ∵在直角三角形中，根据勾股定理得，， ， 整理得，， ∴对于形如的方程中一个正根是线段的长； (2)； (3)； 【分析】（1）在直角三角形中，根据勾股定理得，即可证明结论； （2）根据大正方形的面积可以表示为，再列方程得到．解方程即可求出原方程的一个正根； （3）由题意可得，作直角三角形，其中，，，在斜边上截取，在中，求出，即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：观察图2，大正方形的边长为矩形的长与宽之和，即， 那么大正方形的面积可以表示为， 因为，即，且大正方形面积等于个小矩形的面积加上中间小正方形的面积，即． 化简可得， 进一步变形为． ∴ ∴或， 因为为正数， 所以， 即原方程的一个正根是 （3）解：， ， 作直角三角形，其中，，， 在斜边上截取， 在中，， 则该方程的其中一个正根为的长即． 【题型三】一元二次方程实际应用中的营销与方案问题 【例3】综合与实践 【项目背景】： 学校项目式学习小组针对我市文旅产品“佛宝宝”的销售获利情况开展项目式学习活动，请你与他们共同完成该项目任务． 【驱动问题】： 数学来源于生活，也服务于生活，请你运用所学数学知识帮助销售店老板决策． 【分步探究】： 任务一：市场调查 某文创店以15元/个的成本购入“佛宝宝”钥匙扣．项目式小组同学帮老板调查了近5天该钥匙扣的售价与日销售量情况，记录如下： 时间 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 售价x/（元/个） 20 30 18 22 26 日销售量y（个） 50 30 54 46 38 (1)建立 建立平面直角坐标系，横轴表示售价x（单位：元/个），纵轴表示日销售量y（单位：个），将整理好的数据在平面直角坐标系中描出． (2)观察各点的分布规律，请你建立适当的函数模型刻画它们之间的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围）． 任务三：问题解决 (3)若老板希望每天获得的利润为288元，且尽可能让利于顾客，求每个钥匙扣的售价应定为多少元？ 【答案】(1) (2) (3)21 【分析】（1）将售价x看作点的横坐标，日销售量y看作点的纵坐标，把所有的点的位置确定出来； （2）观察各点的分布规律，所有的点呈一条直线，确定售价x与日销售量y满足一次函数关系，利用待定系数法求出解析式； （3）根据利润公式确定一元二次方程，为尽可能让利于顾客，确定最终答案． 【详解】（1）略 （2）解：观察函数图象发现，售价x与日销售量y满足一次函数关系， ∴设， 将、代入得， 解得， ∴； （3）解：设每个钥匙扣的售价应定为x元， 根据题意可得， 整理得， ∴， 解得：，， ∵尽可能让利于顾客， ∴， 答：每个钥匙扣的售价应定为21元． 【变式3-1】五一假期，全网出圈的“黄站长”带火宣城文旅，各地游客慕名前来游玩．宣城某乡镇果蔬专业合作社依托文旅热度，对果园进行适度改造，引入草莓种植，大力发展采摘旅游业．结合提供的素材，解决相关问题． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 该专业合作社辖区内有一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过12米，且不小于5米． 素材2 经市场调查，奶油草莓深受游客喜爱，销售前景乐观．若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓．受天气诸多因素影响，草莓难以长时间保鲜，负责人决定将草莓降价销售．若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售500平方米草莓．果园每月的承包费为2万元． 问题解决： (1)若中间种植的面积是，则路面设置的宽度是否符合要求． (2)若该专业合作社预期一个月的总利润为52万元，则从购买草莓客户的角度应该降价多少元？ (3)若草莓降价模式保持不变，该专业合作社能否实现每月总利润60万元的预期目标？ 【答案】(1)路面设置的宽度符合要求 (2)从购买草莓客户的角度应该降价元 (3)该合作社不能实现每月60万元的预期目标 【分析】（1）由果园的长、宽及四周道路的宽度，可得出中间种植部分是长为米、宽为米的长方形，根据中间种植的面积列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，取其符合题意的值，再对照的取值范围，即可得出结论； （2）设每平方米草莓平均利润下调元，则每平方米草莓平均利润为元，每月可售出平方米草莓，利用总利润=销售利润−承包费，可列出关于y的一元二次方程，解之可得出y的值，再结合要让利于顾客，即可确定结论． （3）假设该专业合作社能实现每月总利润60万元的预期目标，根据（2）的总利润方程式得到，解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意得， 整理得， 解得， 当时，（不符合题意，舍去）， 故 ， 路面设置的宽度符合要求； （2）解：设每平方米草莓平均利润下调元，则每平方米草莓平均利润为元，每月可售出平方米草莓， 根据题意得， 整理得， 解得，， 又要让利于顾客， ． 答：每平方米草莓平均利润下调元． （3）解：根据题意得， 整理得 则 ∴方程在实数范围内无解 该合作社不能实现每月60万元的预期目标． 【变式3-2】小健为了科学健身，依次采用慢跑、快跑、核心力量训练的健身模式，每次健身总时长60分钟．慢跑平均每分钟消耗热量6千卡，快跑平均每分钟消耗热量12千卡，核心力量训练时，第一分钟消耗千卡，后续每分钟比前一分钟多消耗千卡． (1)小健在某次健身时，其中核心力量训练时长为t分钟（t为整数），则最后一分钟消耗的热量是__________（用含t的代数式表示）千卡，t分钟总消耗热量是__________（用含t的代数式表示）千卡． 提示：若一列数，，…，，满足，则． (2)小健在某次健身中，慢跑时长为快跑时长的3倍，他在本次训练中，总消耗热量是否有可能达到380千卡？若能，请写出慢跑、快跑及核心力量训练的时长，若不能，请说明理由． 【答案】(1)， (2)总消耗热量不可能达到380千卡 【分析】（1）根据题意，列出代数式即可； （2）设快跑时长为x分钟，则慢跑时长为分钟，核心力量训练时长为t分钟，则总消耗热量为千卡，根据题意，可得，令总消耗热量为380千卡，列出一元二次方程，根据解的情况，即可求解． 【详解】（1）解：由题可知，第t分钟消耗的热量是：千卡； t分钟总消耗热量是：千卡； （2）解：总消耗热量不可能达到380千卡，理由如下： 设快跑时长为x分钟，则慢跑时长为分钟，核心力量训练时长为t分钟，（其中x、t均为整数）， 则总消耗热量为：千卡， 根据题意可列方程，，则， 则总消耗热量为：千卡， 当总消耗热量为380千卡时，，整理可得，， 则，即方程没有实数根， 总消耗热量不可能达到380千卡． 【变式3-3】某商场以进价元/件购进某种新商品，在月份试销售阶段发现，在售价不低于元/件的情况下每件销售价格（元）与商品的日销售量（件）始终存在下表中的数量关系： 每件销售价格（元） 日销售量（件） (1)请你观察上面表格中数据的变化规律，填写表中的值为______； (2)若某日该种商品的总利润为元，求该日此种商品每件的售价； (3)若售货员小李发现销售该种商品件与件的日利润相同，且，请求出与所满足的关系式．（要求：用含的代数式表示） 【答案】(1) (2) 元或元 (3) 【分析】（1）根据表中所示规律求出售价为元时的日销量即为的值； （2）设该日此种商品每件的售价是元，列一元二次方程求解即可； （3）分别列出表示日销量是件和件时的日利润，根据日利润相等可得等式为整理得到、的关系即可． 【详解】（1）解：由规律可知销售价格每增加元，日销量减少件， ； （2）解：设该日此种商品每件的售价是元，则每日的销售量为件， 根据题意可得：， 整理可得：， 解得：，， 答：每件商品售价是元或元时，该种商品的总利润为元； （3）解：商品每件的售价是元，由每日的销售量为件， 当销量为件时，可得：， 该商品的售价是元/件， 同理可得：当销量为件时，该商品的售价是元/件， 根据题意可得：， 整理得：， ， ， 即， 答：当时，销售该商品的日利润相同． 技巧 一句话要点 判定一元二次方程——"三条件检查法" 整式方程、一个未知数、最高次数为2，三者缺一不可；含参数时额外验证 选择解法——"一看二选" 一看方程特点（能否直接开方、能否因式分解），二选最简便方法；优先因式分解法，其次公式法 公式法代入——"先定符号再计算" 先将、、连同符号确定，再计算；注意为负数时仍为正 配方法——"一化二移三加" 化二次项系数为1移常数项到右边两边加一次项系数一半的平方 判别式求参数范围——"列式+验证" 根据根的情况列的不等式，同时验证；"有实数根"需讨论的情况 韦达定理求值——"先验后用，整体代入" 使用前先验证；将对称式化为和的组合整体代入 韦达定理求参数——"列方程+验判别式" 由根的关系列关于参数的方程，求出后必须代入验证 增长率问题——"找基础量，套公式" 确定基础量和最终量，套；注意增长用+，降低用- 应用题检验——"双检验" 一验是否满足方程（代入检验），二验是否符合实际意义（舍去不合理解的） 含参方程分类讨论——"先分后合" 按二次项系数是否为0分类；时用二次方程方法，时按一次方程处理 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01一元二次方程 目录 识记类 思维导图 知识清单(6类) 考点清单(6类) 公式清单(48类) 辨析清单(10类) 题型类 高频题型清单(5类) 易错题型清单(6类) 重难题型清单(3类) 答题类 答题技巧清单 知识点01一元二次方程的相关概念 1.一元二次方程的定义：等号两边都是整式，只含有 未知数（一元），并且未知数的最高次数是 （二次）的方程，叫做一元二次方程． 2.一元二次方程的一般形式： （）．其中 是二次项系数， 是一次项系数， 是常数项． 注意： 是一元二次方程一般形式的重要条件．当 时，方程变为 ，是一元一次方程． 3.一元二次方程的解（根）：使一元二次方程左右两边 的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫一元二次方程的根． 4.由一元二次方程的定义求参数：根据"一个未知数""最高次数为2""整式方程"三个条件列方程或不等式求参数．特别注意二次项系数 这一隐含条件． 5.由一元二次方程的解求参数：将已知的根代入方程，得到关于参数的方程，解之即可． 6.一元二次方程的解的估算：对于不易直接求解的一元二次方程，可以通过列表、逐步逼近的方法估算方程的近似解． 知识点02一元二次方程的解法 1.直接开平方法：形如 （）或 的方程，直接开平方求解． 若 ，则 ，方程有两个不相等的实数根；若 ，则 ，方程有两个相等的实数根；若 ，则方程无实数根． 2.配方法：通过配方将方程化为 的形式，再用直接开平方法求解． 配方步骤：①将二次项系数化为1；②移项；③方程两边都加上一次项系数一半的平方；④化为 的形式求解． 3.公式法：一元二次方程 （）的求根公式为： 使用公式法的步骤：①将方程化为一般形式；②确定 、、 的值；③计算 的值；④代入求根公式求解． 4.因式分解法：将方程左边分解为两个一次因式的乘积，右边为0，即化为 的形式，则 或 ． 常用因式分解方法：提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）、十字相乘法． 5.换元法：当方程中含有相同的复杂表达式时，可以用一个新的变量来替换这个表达式，将原方程化为关于新变量的一元二次方程，求解后再回代． 6.解分式方程（化为一元二次方程）：有些分式方程通过去分母、整理后可以化为一元二次方程求解．注意：求出解后必须 ，排除使分母为零的增根． 知识点03一元二次方程根的判别式 1.判别式的定义：对于一元二次方程 （），式子 叫做根的判别式，通常用字母 表示，即 ． 2.判别式与根的情况的关系： 当 时，方程有两个不相等的实数根； 当 时，方程有两个相等的实数根； 当 时，方程没有实数根． 3.根据判别式判断根的情况：先确定 、、 的值，计算 ，再根据 的符号判断根的情况． 4.根据根的情况求参数： "有两个不相等的实数根" ；"有两个实数根"或"有实数根" ；"没有实数根" ．注意：同时要保证 ． 知识点04一元二次方程根与系数的关系 1.韦达定理：如果 、 是一元二次方程 （）的两个根，那么： ， 2.一元二次方程根与系数的关系韦：已知一根求另一根及参数；求关于两根的对称式的值；已知两根满足某种关系，求参数的值． 3.重要变形公式： ； ； 知识点05一元二次方程的应用——常见题型 1.传播问题：一人传多人，经过若干轮传播后总人数满足一元二次方程．基本模型：若每轮每人传给 人，则经过两轮后总人数为 ． 2.增长率（降低率）问题：基础量为，平均增长（降低）率为，则依次提升（减低）1次、2次的产量分别为 3.与图形有关的问题：利用面积、体积等几何量建立一元二次方程．常见类型：矩形面积问题、边框问题、折叠问题等． 4.数字问题：利用数字的位值关系建立方程．如两位数的表示：十位数字为 、个位数字为 ，则该两位数为 ． 5.营销（利润）问题：利润 = ；总利润 = ． 6.工程问题： = 工作总量．合作效率 = ． 7.行程问题：路程 = ． 8.握手、循环赛问题： 个人两两握手（或单循环赛），总次数为 ． 知识点06黄金分割 1.黄金分割的定义：点 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC（），如果 ，那么称线段 AB 被点 ，点 叫做线段 AB 的 ，AC 与 AB 的比叫做 ． 2.黄金比的值：黄金比 ． 3.黄金分割的应用：黄金分割在建筑、艺术、设计等领域有广泛应用，被认为是最具美感的比例关系． 考点01一元二次方程的概念与判断 考点内容：一元二次方程的定义；一般形式（）中各项及系数的识别；判断一个方程是否为一元二次方程；由定义求参数． 常见考法： ①判断所给方程是否为一元二次方程（紧扣"整式方程""一个未知数""最高次数为2"三个条件，特别注意） ②将方程化为一般形式，指出二次项系数、一次项系数和常数项 ③已知方程是一元二次方程，求字母参数的值或取值范围（注意隐含条件） ④已知方程的解（根），代入方程求参数的值 考点02一元二次方程的解法 考点内容：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法、换元法的解题步骤与适用条件；四种基本解法的灵活运用． 常见考法： ①用直接开平方法解形如或的方程 ②用配方法解一元二次方程（注意配方时加"一次项系数一半的平方"） ③用公式法解一元二次方程（先化一般形式，再确定、、，计算，代入公式） ④用因式分解法解一元二次方程（提公因式、公式法、十字相乘） ⑤根据方程特点选择最简便的解法 易错提醒：用公式法时，必须先确定、、的符号（尤其是负号），代入公式时注意符号． 考点03一元二次方程根的判别式的应用 考点内容：判别式的计算；的符号与根的情况的对应关系；根据根的情况求参数取值范围． 常见考法： ①不解方程，利用判别式判断方程根的情况 ②已知方程有两个不相等的实数根（或有实数根），求参数的取值范围（注意或，以及） ③已知方程没有实数根，求参数的取值范围（） ④判别式与其他知识（如韦达定理、函数）综合考查 易错提醒：当题目说"有实数根"时，要分两种情况讨论——一元二次方程（，）和一元一次方程（）． 考点04一元二次方程根与系数的关系的应用 考点内容：韦达定理，；关于两根的对称式的求值． 常见考法： ①已知方程的两根，求两根之和与两根之积 ②已知一根，利用韦达定理求另一根及参数 ③求关于两根的对称式的值（如、、等） ④已知两根满足某种关系（如互为相反数、互为倒数、一根是另一根的2倍等），求参数的值 易错提醒：使用韦达定理的前提是方程有实数根，即．解题时务必先验证判别式． 考点05一元二次方程的应用——增长率与传播问题 考点内容：增长率（降低率）问题的基本模型；传播问题的基本模型总人数． 常见考法： ①已知基础量和最终量，求平均增长率（降低率） ②已知基础量和增长率，求经过若干次增长后的量 ③传播问题中，已知初始人数和传播轮数，求每轮传播人数或总人数 ④增长率问题与其他知识（如利润、面积）综合考查 考点06一元二次方程的应用——几何与实际问题 考点内容：利用面积、体积等几何关系建立一元二次方程；利润问题、工程问题、行程问题等的建模方法． 常见考法： ①矩形面积问题（如围栏问题、边框问题）：设未知数，利用面积公式列方程 ②利润问题：总利润=单件利润销售量，当价格变化影响销量时建立方程 ③数字问题：利用位值原理建立方程 ④握手/循环赛问题：利用公式建立方程 ⑤动态几何问题：动点运动中某时刻满足的面积或距离关系建立方程 1.一元二次方程的基本公式 序号 名称 公式 说明 1 一般形式 （） 为二次项系数，为一次项系数，为常数项 2 求根公式 条件：， 3 根的判别式 两个不等实根；两个相等实根；无实根 4 韦达定理 ； 前提：方程有实数根（） 2.常用变形公式 序号 名称 公式 说明 5 两根平方和 韦达定理的常用变形 6 两根差的平方 即 7 两根差的绝对值 由上式开方得到 8 两根倒数和 条件： 3.应用问题常用公式 序号 名称 公式 说明 9 增长率公式 为基础量，为增长率，为增长次数 10 降低率公式 同上，为降低率 11 握手/循环赛 为人数（或队数） 12 传播模型 每轮每人传人，两轮后总人数 13 黄金比 黄金分割的比值 4.配方法关键步骤 序号 步骤 操作 说明 14 化二次项系数为1 方程两边同除以 前提： 15 移项 常数项移到右边 左边只保留二次项和一次项 16 配方 两边加 "一次项系数一半的平方" 17 写成完全平方 右边化简后开平方求解 辨析01一元二次方程定义中""是不可忽略的条件 一元二次方程的一般形式为，其中是定义的核心条件．当时，方程退化为，是一元一次方程而非一元二次方程．在判断一个含参数的方程是否为一元二次方程时，必须同时满足两个条件：①最高次数为2；②二次项系数不等于0． 辨析02"方程有实数根"与"方程有两个实数根"的区别 "方程有实数根"包含两种情况：①当时，是一元二次方程，需要；②当时，方程退化为一元一次方程，一定有实数根．而"方程有两个实数根"特指一元二次方程且（时两个不等实根，时两个相等实根）．做题时要仔细审题，注意区分． 辨析03判别式的使用前提是 判别式只适用于一元二次方程（）．如果题目给出的方程含参数，不能直接默认它是一元二次方程．必须先讨论是否为0：当时用判别式；当时方程为一元一次方程，单独讨论． 辨析04使用韦达定理前必须验证 韦达定理，成立的前提是方程有实数根，即．很多题目中，利用韦达定理求出参数后，必须回代验证是否成立，否则可能得到不符合题意的"假根"．这是中考中常见的失分点． 辨析05韦达定理中符号容易出错 韦达定理中，两根之和（注意有负号），两根之积（无负号）．记忆口诀："和反积不反"——和要取相反数，积不用取．代入时注意本身可能为负数，中的负号与的符号要正确处理． 辨析06因式分解法中"不能两边同时除以含未知数的式子" 用因式分解法解方程时，如，不能两边同时除以，否则会丢失这个根．正确做法是移项后提取公因式：或． 辨析07配方法中"加一次项系数一半的平方"是针对系数为1的情况 配方时，如果二次项系数不是1，必须先将二次项系数化为1（方程两边同除以二次项系数），然后再加"一次项系数一半的平方"．例如，先化为，再加，即． 辨析08公式法中、、的符号要与一般形式对应 使用求根公式时，、、必须是一元二次方程一般形式中的系数，包括符号．例如方程中，，（不是5），．代入公式时，不要写成． 辨析09应用题中求出的解必须检验是否符合实际意义 一元二次方程的应用题中，求出的解可能有两个，但并非两个解都符合实际意义．例如求人数、长度、价格等，负数解通常要舍去；求增长率时，解应在合理范围内．解题最后一步必须检验解的合理性． 辨析10"两个相等的实数根"不等于"一个实数根" 当时，一元二次方程有"两个相等的实数根"，从代数的角度说是两个根（重根），而不是"一个实数根"．在答题时应写"有两个相等的实数根"，而非"有一个实数根"． 【题型一】一元二次方程的概念判断与参数求解 【例1】关于的方程是一元二次方程，则它的二次项系数是（） A． B．0 C． D． 【变式1-1】已知关于x的方程是一元二次方程，则k的值应为（） A． B．3 C． D．不能确定 【变式1-2】下列方程中，不一定是一元二次方程的是（） A． B． C． D． 【变式1-3】证明：无论m取何值，关于x的方程都是一元二次方程． 【题型二】一元二次方程的解法 【例2】解下列方程： (1)（直接开平方法）； (2)（公式法）； (3)（配方法）； (4)（因式分解法）． 【变式2-1】若，则的值为（） A． B．4 C．4或 D．或2 【变式2-2】解方程 (1)关于x的方程，下列解法完全正确的是_____． 甲 乙 两边都除以，得 移项，得， 即， 于是或， 丙 丁 整理，得 这里， ， ， 即 整理，得 配方，得， 即 两边开平方，得， (2)选择合适的方法解方程：． 【变式2-3】用适当的方法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 【题型三】根的判别式的应用 【例3】已知关于的一元二次方程，下列说法正确的是（） A．方程有两个相等的实数根 B．方程有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【变式3-1】关于x的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（） A．且 B．且 C． D． 【变式3-2】若关于的一元二次方程有实数解，则的取值范围是___________． 【题型四】根与系数的关系的应用 【例4】已知是一元二次方程的两根，不解方程求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【变式4-1】已知实数，是一元二次方程的两根，则代数式______． 【变式4-2】已知是关于的一元二次方程的两个根，则_______． 【变式4-3】若是方程的两个根，且，求m的值．小明的解题过程如下，请判断他的解题过程是否正确，若不正确，请写出正确的解题过程． 解：由一元二次方程的根与系数的关系，得． ， ， ， ， 或． 【题型五】一元二次方程的应用—增长率问题 【例5】一辆原价为12万元的轿车已使用3年．已知第一年的折旧率是，第三年末这辆轿车的价值是万元，求这辆轿车第二年和第三年平均每年的折旧率． 【变式5-1】为开拓市场，某蛋糕生产厂家采用线下和线上两种销售方式销售蛋糕，厂长统计了今年6月份和8月份线上销售量占总销售量的百分比，并绘制成如图所示的两幅扇形统计图，由统计图可知，线上销售量占比的月平均增长率为________． 【变式5-2】某钢铁厂四月份的产量是50万吨，第二季度的总产量是182万吨，若该厂五、六月份平均每月产量的增长率均为，则下面所列方程正确的是（） A． B． C． D． 【变式5-3】某产品每件的生产成本为50元，原定销售价为65元．经市场预测，从现在开始的第一个季度销售价将下降，第二个季度又将回升．若要使半年以后的销售总利润不变，如果你作为决策者，将采取什么措施？请将本题补充完整并解答． 【题型六】黄金分割 【例6】在海洋生物观察课上，同学们发现海螺的结构十分奇妙．如图，点是线段的黄金分割点，且．已知，则的长为_________（结果保留根号）． 【变式6-1】一般认为，一个人的上半身（肚脐以上的高度）与下半身（肚脐以下的高度）的比例中，如果下半身与身高的比为黄金比，则这个人好看．某位参加空姐选拔的选手身高160厘米，上半身长65厘米，那么她应穿______厘米的鞋子才能好看．（精确到1厘米） 【变式6-2】宽与长的比是的矩形叫作黄金矩形，帕特农神庙正面轮廓视觉上非常接近黄金矩形，嵌套多层近似黄金矩形，如图，矩形截掉正方形后，剩余的矩形仍是黄金矩形，是，求的长度，设的长度是，根据题意，下列的方程中正确的是（） ①；②；③；④． A．① B．①③ C．①②④ D．①②③④ 【题型一】忽略二次项系数不为零的条件 在判断一元二次方程或求参数时，忘记这一隐含条件，导致多解或错解．对于含参数的一元二次方程，求出参数后必须验证二次项系数是否为零．若，方程不再是二次方程，该参数值应舍去． 【例1】若关于的一元二次方程的一个根是，则的值是（） A． B． C． D． 【变式1-1】已知关于x的一元二次方程有一根为0，则它的另一个根是_____． 【变式1-2】若方程是关于的一元二次方程，则的值为（） A． B． C． D． 【变式1-3】已知关于x的方程． (1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？ 【题型二】使用韦达定理时未验证判别式的值大于或等于0 【例2】关于x的一元二次方程有两个实数根、，若，则的值是________． 利用韦达定理求出参数值后，没有回代验证，导致求出的参数使方程无实根． 韦达定理成立的前提是方程有实数根（）．利用韦达定理求出参数后，务必将参数代入判别式验证，舍去使的值． 【变式2-1】按要求完成作答 (1)已知关于的一元二次方程的两根的和为，求的值及方程的两根． (2)已知关于的一元二次方程的两根的积为，求的值． 【变式2-2】已知是关于的一元二次方程的两实数根． (1)若，求的值； (2)若菱形的周长为，与交于，与的长分别是关于的方程的两根．求的值． 【题型三】忽视点的位置导致漏解 【例3】习题课上，老师给了一道方程：． 嘉嘉的解法是：原方程可化为，第一步 所以，即，第二步 所以方程没有实数根．第三步 琪琪的解法是：原方程可化为，第一步 两边都除以，得．第二步 (1)他们的解法都是错误的，分别指出从哪一步开始错误； (2)写出方程正确的解题过程． 解方程时两边同时除以含未知数的因式，丢失了该因式为零时的根． 方程两边不能同时除以含未知数的式子！正确做法是移项后提取公因式，令每个因式分别为零求解． 【变式3-1】方程的根是（） A． B． C． D． 【变式3-2】解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【题型四】因式分解法中两边同除含未知数的因式导致丢根 【例4】习题课上，老师给了一道方程：． 嘉嘉的解法是：原方程可化为，第一步 所以，即，第二步 所以方程没有实数根．第三步 琪琪的解法是：原方程可化为，第一步 两边都除以，得．第二步 (1)他们的解法都是错误的，分别指出从哪一步开始错误； (2)写出方程正确的解题过程． 解方程时两边同时除以含未知数的因式，丢失了该因式为零时的根． 方程两边不能同时除以含未知数的式子！正确做法是移项后提取公因式，令每个因式分别为零求解． 【变式4-1】方程的根是（） A． B． C． D． 【变式4-2】解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【变式4-3】关于x的方程，无论k取何值，必有一根为多少？ 【题型五】公式法代入时符号错误 【例5】已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别是，，那么______，______，______． 确定、、时忽略负号，或代入公式时计算错误（如将算成）． 公式法中永远是正数（或零），因为任何实数的平方非负．代入时先将、、连同符号一起确定，再逐步计算． 【变式5-1】在用求根公式求一元二次方程的根时，琪琪正确代入了、、得到，则她求解的一元二次方程是（） A． B． C． D． 【变式5-2】用公式法解下列方程． (1)； (2)． 【题型六】应用题中未检验解的实际意义 【例6】小明的爸爸想用篱笆圈出一块如图所示的矩形区域用以饲养土鸡．已知面积为的鸡舍一面靠墙（墙长），另外三面用长的篱笆围成，平行于墙的边上有一扇宽的门，则鸡舍垂直于墙的一边为_______m． 求出方程的两个解后，没有根据实际问题的背景舍去不合理的解（如负数的人数、长度为负等）． 应用题的最后一步必须是检验！将求得的解代入实际情境中，舍去不符合实际意义的解．特别是增长率问题中，增长率通常为正数且不超过1（100%）． 【变式6-1】如图是一张月历表，在此月历表上可以用一个矩形任意圈出个位置上相邻的数（如2，3，9，）．如果圈出的4个数中最大数与最小数的积为，求这4个数中最小的数． 【变式6-2】为促进消费，某商场对部分商品进行“折上折”（两次打折数相同）活动．一件原价700元的服装，经过“折上折”优惠活动后，实际售价为448元，则该服装每次平均打___________折． 【变式6-3】某食品店将进价为16元/千克的奶糖按20元/千克的价格出售，每天可销售．老板发现，这种奶糖的售价每涨1元/千克，日销售量就减少．如果食品店想使每天的平均销售利润达到504元，并尽快售完这种奶糖，那么这种奶糖的售价应定为多少？ 【题型一】判别式与韦达定理的综合应用 【例1】关于的一元二次方程，有下列四个结论：①若是该方程的一个根，则一定有成立；②若，则方程有一根为；③若该方程的解为和，则方程的解是或；④当，，时，方程一定有实数根．其中，正确的有（） A．①②③④ B．②③④ C．②③ D．②④ 【变式1-1】在课上，我们已经学习过一元二次方程、一元三次方程根与系数的关系． (1)已知，，为一元三次方程的三个实数根，则___________，___________，___________． (2)问题解决．已知，，为方程的三个实数根，则对于下列结论一定正确的是（） A．B．C．D． (3)若的三个根分别为，，，则的值是___________． (4)拓展提升．已知实数满足，且，求正数的最小值． 【变式1-2】已知关于x的方程． (1)求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若，是方程的两根． ①当时，求m的值； ②直接写出代数式的最小值． 【变式1-3】关于的一元二次方程①（为常数，且）的两个根分别为，，且，． (1)求证：无论取何值，是方程①的一个根． (2)当时，求的取值范围． (3)若关于的一元二次方程（为常数，且）的一个根比方程①的根大，求的最大值． 【题型二】一元二次方程与几何图形的综合 【例2】图1是第届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，看上去像一个风车，代表着中国人民的热情与好客．小瑞同学发现，把一个平行四边形分割成5块（如图2），按照图3的样式无缝拼接恰好成一个矩形．若矩形的面积为，，则图2中平行四边形的周长为________． 【变式2-1】如图，一艘轮船以的速度沿既定航线由西向东航行，途中接到台风警报，某台风中心正以的速度由南向北移动，距台风中心的圆形区域（包括边界）都属台风影响区．当这艘轮船接到台风警报时，它到台风中心的距离，此时台风中心到轮船既定航线的最近距离．如果这艘轮船不改变航向，那么它会不会进入台风影响区？如果会，从接到警报开始，经过多长时间它就会进入台风影响区（结果精确到）? 【变式2-2】如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，，两点分别从，同时出发． (1)若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． ①经过几秒，的面积等于？ ②的面积能否等于？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由． (2)若点到达后不停止，立即以原速沿返回；点到达后不停止，继续以原速沿射线方向运动，直到点第一次回到时，两点同时停止运动．在整个运动过程中，第几秒的面积等于？ 【变式2-3】综合与实践． (1)【初步探索】欧几里得的《几何原本》记载，对于形如的方程，可用如图1的几何解法：作直角三角形，其中，，，在斜边上截取，则该方程的其中一个正根是哪段线段的长？说明你的理由． (2)【再次探索】我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中也记载了关于一元二次方程的几何解法：以方程为例，因为，所以有．如图2，用4个长都是，宽都是x的相同矩形，拼成如图所示的正方形，图2中，大正方形的面积可以表示为_____________（用含x的代数式表示）；另一方面，它又等于4个小矩形的面积加上中间小正方形的面积，即等于，故可得原方程的一个正根是____________________． (3)【类比运用】请选用上述两种几何方法中的一种求方程的正根（请在下面画出图形，注意在图中标注出相关线段的长度）． 【题型三】一元二次方程实际应用中的营销与方案问题 【例3】综合与实践 【项目背景】： 学校项目式学习小组针对我市文旅产品“佛宝宝”的销售获利情况开展项目式学习活动，请你与他们共同完成该项目任务． 【驱动问题】： 数学来源于生活，也服务于生活，请你运用所学数学知识帮助销售店老板决策． 【分步探究】： 任务一：市场调查 某文创店以15元/个的成本购入“佛宝宝”钥匙扣．项目式小组同学帮老板调查了近5天该钥匙扣的售价与日销售量情况，记录如下： 时间 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 售价x/（元/个） 20 30 18 22 26 日销售量y（个） 50 30 54 46 38 (1)建立 建立平面直角坐标系，横轴表示售价x（单位：元/个），纵轴表示日销售量y（单位：个），将整理好的数据在平面直角坐标系中描出． (2)观察各点的分布规律，请你建立适当的函数模型刻画它们之间的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围）． 任务三：问题解决 (3)若老板希望每天获得的利润为288元，且尽可能让利于顾客，求每个钥匙扣的售价应定为多少元？ 【变式3-1】五一假期，全网出圈的“黄站长”带火宣城文旅，各地游客慕名前来游玩．宣城某乡镇果蔬专业合作社依托文旅热度，对果园进行适度改造，引入草莓种植，大力发展采摘旅游业．结合提供的素材，解决相关问题． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 该专业合作社辖区内有一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过12米，且不小于5米． 素材2 经市场调查，奶油草莓深受游客喜爱，销售前景乐观．若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓．受天气诸多因素影响，草莓难以长时间保鲜，负责人决定将草莓降价销售．若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售500平方米草莓．果园每月的承包费为2万元． 问题解决： (1)若中间种植的面积是，则路面设置的宽度是否符合要求． (2)若该专业合作社预期一个月的总利润为52万元，则从购买草莓客户的角度应该降价多少元？ (3)若草莓降价模式保持不变，该专业合作社能否实现每月总利润60万元的预期目标？ 【变式3-2】小健为了科学健身，依次采用慢跑、快跑、核心力量训练的健身模式，每次健身总时长60分钟．慢跑平均每分钟消耗热量6千卡，快跑平均每分钟消耗热量12千卡，核心力量训练时，第一分钟消耗千卡，后续每分钟比前一分钟多消耗千卡． (1)小健在某次健身时，其中核心力量训练时长为t分钟（t为整数），则最后一分钟消耗的热量是__________（用含t的代数式表示）千卡，t分钟总消耗热量是__________（用含t的代数式表示）千卡． 提示：若一列数，，…，，满足，则． (2)小健在某次健身中，慢跑时长为快跑时长的3倍，他在本次训练中，总消耗热量是否有可能达到380千卡？若能，请写出慢跑、快跑及核心力量训练的时长，若不能，请说明理由． 【变式3-3】某商场以进价元/件购进某种新商品，在月份试销售阶段发现，在售价不低于元/件的情况下每件销售价格（元）与商品的日销售量（件）始终存在下表中的数量关系： 每件销售价格（元） 日销售量（件） (1)请你观察上面表格中数据的变化规律，填写表中的值为______； (2)若某日该种商品的总利润为元，求该日此种商品每件的售价； (3)若售货员小李发现销售该种商品件与件的日利润相同，且，请求出与所满足的关系式．（要求：用含的代数式表示） 技巧 一句话要点 判定一元二次方程——"三条件检查法" 整式方程、一个未知数、最高次数为2，三者缺一不可；含参数时额外验证 选择解法——"一看二选" 一看方程特点（能否直接开方、能否因式分解），二选最简便方法；优先因式分解法，其次公式法 公式法代入——"先定符号再计算" 先将、、连同符号确定，再计算；注意为负数时仍为正 配方法——"一化二移三加" 化二次项系数为1移常数项到右边两边加一次项系数一半的平方 判别式求参数范围——"列式+验证" 根据根的情况列的不等式，同时验证；"有实数根"需讨论的情况 韦达定理求值——"先验后用，整体代入" 使用前先验证；将对称式化为和的组合整体代入 韦达定理求参数——"列方程+验判别式" 由根的关系列关于参数的方程，求出后必须代入验证 增长率问题——"找基础量，套公式" 确定基础量和最终量，套；注意增长用+，降低用- 应用题检验——"双检验" 一验是否满足方程（代入检验），二验是否符合实际意义（舍去不合理解的） 含参方程分类讨论——"先分后合" 按二次项系数是否为0分类；时用二次方程方法，时按一次方程处理 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $