专题02 图形的相似（知识&考点&公式&6高频&4易错&4重难&6模型，期中知识清单）九年级数学上学期新教材青岛版

专题02 图形的相似 目 录 识记类 思维导图 知识清单(5类) 考点清单(4类) 公式清单(8类) 辨析清单(5类) 题型类 高频题型清单(6类) 易错题型清单(4类) 重难题型清单(7类) 答题类 解题模型清单(6类) 答题技巧清单 知识点01 相似图形与相似多边形 1. 相似图形：形状相同的图形叫做相似图形。相似图形与大小无关，只与形状有关。 2. 相似多边形：对应角分别相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形。 3. 相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比。若多边形与多边形相似，相似比为，则。 4. 相似多边形的性质：对应角相等，对应边成比例。 5. 周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。即若相似比为，则周长比为，面积比为。 知识点02 相似三角形的判定 判定方法1：两角对应相等，两三角形相似。（AA） 符号语言：在和中，若，，则。 判定方法2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。（SAS） 符号语言：在和中，若且，则。 判定方法3：三边对应成比例，两三角形相似。（SSS） 符号语言：在和中，若，则。 判定方法4（预备定理）：平行于三角形一边的直线截另外两边（或延长线），所得三角形与原三角形相似。 知识点03 相似三角形的性质 性质1：相似三角形的对应边成比例，对应角相等。 性质2：相似三角形的对应高之比、对应中线之比、对应角平分线之比都等于相似比。 性质3：相似三角形的周长比等于相似比。 性质4：相似三角形的面积比等于相似比的平方。 知识点04 相似三角形的实际应用 1. 利用相似三角形测量物体的高度（如旗杆、建筑物）：构造相似三角形，利用对应边成比例列方程求解。 2. 利用相似三角形测量不可到达的距离（如河宽）：构造相似三角形，利用比例关系间接求解。 3. 解题步骤：①审题，构造相似三角形；②设未知数；③列比例式；④解方程求解。 知识点05 图形的位似 1. 位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线所在直线都经过同一点，那么这两个图形叫做位似图形。这个点叫做位似中心。 2. 位似比：对应点到位似中心的距离之比等于位似比（也等于相似比）。 3. 位似图形的性质：①位似图形一定是相似图形；②对应点连线所在直线交于位似中心；③对应线段平行（或共线）且成比例。 4. 坐标系中的位似变换：以原点为位似中心，位似比为，则点的对应点为或。 考点01 相似三角形的判定 考点内容：相似三角形的判定方法 常见考法： ①利用"两角对应相等"判定相似（最常用）； ②利用"两边对应成比例且夹角相等"判定相似； ③利用"三边对应成比例"判定相似； ④选择或补充条件使两个三角形相似（开放性试题）。 考点02 相似三角形的性质证明与计算 考点内容：利用相似三角形的性质的应用 常见考法： ①利用相似比求线段长度； ②利用面积比等于相似比的平方求面积； ③证明线段成比例或角相等； ④相似三角形中的动点问题。 考点03 位似变换与坐标 考点内容：利用图形位似的性质与作图 常见考法： ①判断两个图形是否为位似图形，找位似中心； ②求位似图形的相似比（位似比）； ③在坐标系中求位似变换后对应点的坐标； ④画已知图形放大或缩小后的位似图形。 考点04 相似三角形的实际应用 考点内容：在实际背景下抽象出几何图形，利用相似三角形的性质求解 常见考法： ①测量物体高度（旗杆、建筑物、树高等）； ②测量不可到达的距离（河宽等）； ③利用影子长度求物体高度。 相似多边形定义 对应角相等，对应边成比例 相似比 判定（AA） ， 判定（SAS） 且 判定（SSS） 对应线段之比 周长比 面积比 位似变换坐标 点 或 辨析01 全等与相似的关系 全等是相似的特殊情况（相似比）。全等三角形一定相似，相似三角形不一定全等。 辨析02 "对应边成比例"与"任意两边成比例"的区别 判定相似时必须强调"对应边"成比例，不能随意搭配。例如的三边为3、4、5，的三边为6、8、10，应按大小对应：。 辨析03 "两边成比例且夹角相等"中"夹角"的含义 "夹角"必须是成比例的两条边的夹角。若不是夹角，则不能判定相似（SSA不能判定相似）。 辨析04 相似比的方向性 与的相似比为，则与的相似比为，不是同一个值！ 辨析05 位似与相似的区别 位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形。位似要求对应点连线交于同一点（位似中心），而一般相似无此要求。 【题型一】利用平行线分线段成比例定理求解 【例1】已知直线及直线外一点C，嘉淇用尺规按①~③的步骤操作，如图：   ①在直线上任取两点D，E，作射线； ②以点D为圆心，长为半径画弧交射线于点F，作射线； ③以点E为圆心，长为半径画弧交射线于点G，作直线． 根据嘉淇的作图，下列结论： 结论Ⅰ：； 结论Ⅱ：； 结论Ⅲ：； 结论Ⅳ：． 其中一定正确的是（    ） A．只有结论Ⅰ B．只有结论Ⅱ C．结论Ⅱ和Ⅳ D．结论Ⅱ和Ⅲ 【答案】C 【详解】解：由作图可得，， ∴是的中位线， ∴，， ； 故结论Ⅱ和Ⅳ一定正确，结论Ⅰ不能证明，结论Ⅲ错误． 【变式1-1】如图，在中，，，，，求的长． 【答案】的长为． 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例进行计算即可． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴，即， ∴， ∴，即的长为． 【变式1-2】如图，若，，则的长为_____． 【答案】6 【分析】根据平行线分线段成比例得出，再代入数值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得． 【变式1-3】如图，在中，．求证：． 【答案】证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【分析】本题利用平行四边形对边平行的性质，得到两组平行线，借助平行线分线段成比例定理，通过等线段代换完成比例式的传递，最终证得结论． 【详解】略 【题型二】利用两角对应相等判定相似求解 【例1】如图，在中，，，，，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：， ， ， ， ， ， ； (2) 【分析】（1）根据垂直的定义和平行线的性质可证，，根据两个角对应相等的两个三角形相似可证； （2）利用勾股定理求出，再根据相似三角形对应边成比例即可求出结果． 【详解】（1）略 （2）解：在中，，，， ， ， ， ， ． 【变式1-1】顶角是的等腰三角形称为“黄金三角形”，其底边和腰的比为黄金比，如图，请在“黄金三角形”的边上求作一点，使得． 【答案】如图，点D即为所求． 【分析】作，使交于点D，再根据为公共角，即可得到． 【详解】略 【变式1-2】如图，在中，E是边上一点，且，连接与对角线相交于点F． (1)求与的周长比； (2)若的面积是，求的面积． 【答案】(1)与的周长之比为 (2)的面积为 【分析】（1）先求出，再证明，由相似三角形的性质解答即可； （2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵相似三角形的周长比等于相似比， ∴与的周长比为； （2）解：∵相似三角形的面积比等于相似比的平方， ∴， ∵的面积是， ∴的面积为． 【变式1-3】如图，等边三角形的边长为3，是边上的一点且，现将折叠，使得点与点重合，折痕为，点、分别在和上． (1)求证：； (2)求线段的长． 【答案】(1)证明：是等边三角形， ，， 根据折叠可知， ， ， ， ， ， ． (2) 【分析】（1）根据等边三角形的性质可知，由折叠可知，从而说明，即可得证； （2）设，则，即，根据相似三角形相似比相等，分别表示，的长，再由列方程即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：设，则， 根据折叠可知，， ，， ，， ， ， ， ，， ， ， ， 解得， 经检验，是所列方程的根， 即的长为． 【变式1-4】如图所示，在矩形中，E是上一点，于点F． (1)求证：． (2)若，点E是边的中点，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）根据矩形的性质、直角三角形的性质求出，，根据“两角对应相等的两个三角形相似”即可得解； （2）由矩形的性质得，，根据勾股定理求出，再根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是矩形，，点E是边的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴． 【题型三】选择或添加条件使两个三角形相似 【例1】如图，在中，，，，则下列各对三角形中相似的有（    ）个 ①与        ②与 ③与        ④与 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用平行四边形性质，可以得到，用两角分别相等的两个三角形相似得到；利用，，，得到，用两边对应成比例，且夹角相等证明；用得到，两直线平行，内错角相等得到，用两角分别相等的两个三角形相似得到． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ，， ； ，，， ， ，， ， 又， ； ， 即， ， ， 又， ． 【变式1-1】如图，已知，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，可知两三角形有一组角对应相等，依据添加的条件，逐个判断即可． 【详解】解：， ，即， A、添加，根据两边对应成比例及夹角相等，则； B、添加，根据两角对应相等，则； C、添加，虽然两边对应成比例，但和不是它们的夹角，则和不一定相似； D、添加，根据两角对应相等，则． 【变式1-2】在和中，，，根据下列条件，一定能判断和相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合相似三角形的判定定理分析各选项即可． 【详解】解：如图， A、，， ， 不能判定和相似，不符合题意； B、，和不是对应边，不能判定和相似，不符合题意； C、，和不是对应角，不能判定和相似，不符合题意； D、，， ， 又， ，符合题意． 【变式1-3】如图，在中，为边上一点，下列给出的条件不能判定的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定方法逐项分析判断即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ， 故选项不符合题意； ∵，， ∴， ∵， ， 故选项不符合题意； ，， ， 故选项不符合题意； 添加条件，没有夹角的条件，无法证明， 故选项符合题意． 【题型四】相似多边形的性质 【例1】如图，在中，，设，若都与相似，试确定a与b之间的关系． 【答案】 【分析】根据相似多边形的对应边成比例进行解答即可． 【详解】解：设，，，都与相似， ∴，即， ∴， ∴ ∴， ∴ ∴． 【变式1-1】如图，四边形四边形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先利用相似多边形的性质得到，，然后利用四边形内角和求解即可． 【详解】解：∵四边形四边形， ∴，， ∴． 【变式1-2】如图，将矩形沿线段翻折，使点恰好落在边上的点处，再沿边将矩形剪开，所得的另一个矩形和原来的矩形相似，则原来的矩形的宽与长的比值为______． 【答案】 【分析】根据翻折变换的性质得到，根据相似多边形的性质得到比例式，整理得到一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：由翻折变换的性质可知，， 则， ∵矩形和矩形相似， ∴，即， 整理得，， 解得，（负值已舍去）， ∴原来的矩形的宽与长的比值为． 【变式1-3】如图，在中，点分别在边上，连接，平分，． (1)求证：； (2)若，四边形与四边形相似，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（1）先运用性质结合证明四边形是平行四边形，再根据平分，，推出，证明是菱形，即可求解； （2）先运用菱形性质推出，再根据相似性质推出，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴，． ∵， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是菱形， ∴； （2）∵四边形是菱形， ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形与四边形相似， ∴， ∴， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴的长为． 【题型五】坐标系中的位似变换问题 【例1】如图，在平面直角坐标系中，和是以原点O为位似中心的位似图形，已知，，则的值为（     ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】首先得到，，然后由位似的性质得到，进而求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵和是以原点O为位似中心的位似图形， ∴， ∴． 【变式1-2】如图，五边形是以坐标原点为位似中心的位似图形，已知点的坐标分别为．若五边形的周长为16，则五边形的周长为（     ） A．24 B．32 C．40 D．48 【答案】A 【分析】根据位似图形的性质得到，即五边形的相似比为，据此即可求解． 【详解】解：∵五边形是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点的坐标分别为， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴五边形的相似比为， ∵五边形的周长为16， ∴五边形的周长为24． 【变式1-3】如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点O．若点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为________． 【答案】 【分析】先由点的坐标得到位似比，由此可求解坐标． 【详解】解：∵点的对应点的坐标为， ∴与的位似比为， ∴点的对应点的坐标为，即． 【变式1-4】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)①以原点为位似中心，在轴的右侧画出将放大为原来的倍得到的． ②画出将向左平移个单位，再向上平移个单位后得到的． (2)判断与是不是位似图形，若是，请在图中标出位似中心，并写出点的坐标． 【答案】(1)解：①如图，为所作， ②如图，为所作， (2)是位似图形，如图，点为所求， 点的坐标为 【分析】（1）①将、延长一倍，即可得到与，连接即可； ②根据平移的性质描点，然后连线即可； （2）作直线、、，并判断是否交于同一个点即可． 【详解】（1）①略 ②略 （2）解：由图可知，直线、、交于同一个点， ∴与是位似图形，且交点即为点， ∴点的坐标为． 【题型六】相似三角形的实际应用 【例1】如图，为一块铁板余料．已知，高．要用这块余料裁出一个正方形材料，且使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上，这个正方形的边长为多少厘米？ 【答案】48厘米 【分析】设这个正方形的边长为厘米，可证明四边形是矩形，得到，则，证明，得到，据此建立比例式求解即可． 【详解】解：设这个正方形的边长为厘米， ∵四边形是正方形， ∴； ∵是的高，即， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； ∵，即， ∴， ∴，即， 解得， 答：这个正方形的边长为48厘米． 【变式1-1】图1是广场上的矩形公益广告牌的示意图，数学小组借助平面镜测量公益广告牌的高度． 如图2，所在直线垂直地面于点，甲把光源放置于点处，垂直地面于点，点，在同一水平线上，乙沿方向移动平面镜，移到点时，从点发出的光线反射到点处；移到点时，从点发出的光线反射到点处．经测量：米，米，米，米，记点，处的法线分别为，，即，，根据光的反射定律，，． (1)求证：； (2)求此公益广告牌的高度． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (2)米 【分析】（1）根据垂直的意义得到，得到结合进行求证即可； （2）通过和求出，再由求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵米，米，米， ∴， ∴（米）， 同理可得，， ∴， ∵米， ∴， ∴（米）， ∴（米）． 答：公益广告牌的高度为4.5米． 【变式1-2】为了测量学校教学大楼的高度，三个数学小组设计了不同的方案，测量方案与数据如下表： 课题 测量教学大楼（）的高度 测量小组 第一组 第二组 第三组 测量示意图       说明 人站在大楼影子的顶端，为人的影长 为标杆，人的眼睛与标杆顶端与大楼顶端在同一条直线上 点处放一个平面镜，人的眼睛恰好在平面镜中看到大楼的顶端 测量数据 ， ，，， ，， 说明：图中所有点都在同一平面内 (1)交流反思时，老师发现三组中有一组测量数据不完整，是第_________________组； (2)请你在正确的方案中选择一种，求教学大楼的高度． 【答案】(1)一 (2)解：选择第二组的方案， 延长交的延长线于点G，如图所示： 根据题意得， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴教学大楼的高度为； 选择第三组的方案， 根据题意得， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴教学大楼的高度为． 【分析】（1）第一组方案，可证明，得到，已知数据中只有的长，没有的长，无法求出的长，即数据不完整；第二组的方案，延长交的延长线于点G，可证明，根据相似三角形的性质求解即可；第三组的方案，可证明，根据相似三角形的性质求解即可； （2）选择第二组的方案，延长交的延长线于点G，根据相似三角形的判定和性质求解即可；选择第三组的方案，直接利用相似三角形的判定和性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 【变式1-4】综合与实践 【问题情境】 数学活动课上，老师要求九年级（2）班各学习小组的同学测量操场上不同旗杆的高度，活动过程如下： (1)利用镜子测量：如图1，小康站在操场上点E处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶端A，．小组中的同学测得小康的眼睛距地面的高度米，小康到镜面的距离米，镜面到旗杆的距离米．求旗杆的高度． (2)利用标杆测量：如图2，小英站在操场上的点E处，她的眼睛D，标杆的顶端C和旗杆的顶端A在一条直线上，小组中的同学测得小英的眼睛到地面的高度米，标杆高米，米，米，，，均垂直于地面，与水平面平行．求旗杆的高度． 【答案】(1)7.5米 (2)11.5米 【分析】（1）证明，由相似三角形的性质得出，代入数值即可得出的值． （2）证明，由相似三角形的性质得出．代入数值即可得出的值，最后由线段的和差关系即可求出的值． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∴． ∴． ∴． 答：旗杆的高度为7.5米． （2）解：∵，，均垂直于地面，与水平面平行， ∴，米． ∵， ∴． ∴． ∵（米），米，（米）， ∴． ∴． ∴（米）． 答：旗杆的高度为11.5米． 【题型一】相似三角形的对应边找错 【例1】如图，已知，，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知条件得出对应边成比例，结合公共角证明三角形相似，利用相似三角形的性质逐一判断选项． 【详解】解：，， ， ， ， ，故A正确； ，故B正确； ， ，故D正确； 由可知，仅当时，，题目未给出与的数量关系，故C错误． 易错警示：在判定相似时，没有按"对应"关系写比例式，导致搭配错误。 纠正：先确定对应顶点，再写对应边的比。大边对大边，小边对小边。 【变式1-1】如图，中，点、分别是边、上的点，且，下列结论不一定能得出的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线分线段成比例定理可判断A、B选项正确，根据得出，根据相似三角形的性质可判断C选项正确，D选项不一定能得出，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，，故B选项正确，不符合题意； ∴，故A选项正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴，，故C选项正确，不符合题意； ∴， ∵与不一定相等， ∴不一定能得出，故D选项符合题意． 【变式1-2】若的三边长分别为，和2，的两边长分别为1和，要使，则第三边的长应为_______． 【答案】 【分析】先将的三边从小到大排序，根据相似三角形对应边成比例确定对应边的比值，进而计算第三边长． 【详解】解：的三边长分别为，，，从小到大排序可得 ， 已知两边长为和，从小到大排序可得 ， ∵，， ∴这两组边是对应边，相似比是， ∵，对应边成比例，设第三边长为， ∴， 计算得， ∴，解得． 【变式1-3】如图，在和中，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明：， ， ， ， (2)证明：， ， 由（1）知，， ， ， 【分析】（1）先由三边对应成比例证，得到，同减公共角即可得； （2）由变形得，结合（1）得到的等角，可证，可得，再根据比例的基本性质把比例式化为乘积式即可． 【详解】（1）略 （2）略 【题型二】SAS判定中两边及夹角条件遗漏 【例1】如图，已知，，，．将沿图中的剪开，则剪下的阴影三角形与不相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、，，由两角对应相等，可得出剪下的阴影三角形与相似，不符合题意； B、，但对应成比例的两边的夹角不一定相等，无法得出剪下的阴影三角形与相似，符合题意； C、，，且，由两边对应成比例及夹角相等，可得出剪下的阴影三角形与相似，不符合题意； D、由，，可得出，不符合题意． 易错警示：只验证"两边成比例"，忘记验证"夹角相等"就判定相似。 纠正：使用SAS判定法时，必须同时验证"两边对应成比例"和"夹角相等"两个条件。 【变式1-1】如图，四边形的对角线，相交于，且将这个四边形分成①②③④四个三角形，若，则下列结论正确的是（     ） A．①和②相似 B．①和③相似 C．①和④相似 D．②和④相似 【答案】B 【分析】已知，结合对顶角相等，利用两边对应成比例且夹角相等的三角形相似判定定理，判断哪两个三角形相似． 【详解】解：∵，， ∴，即①和③相似． 【变式1-2】在与中，有下列条件：①；②；③；④．如果从中任取两个条件组成一组，那么能判定的共有_______组． 【答案】3 【分析】枚举所有任取两个条件的组合，根据相似三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：从4个条件中任取两个，共得到6种组合，逐一判断如下： 取①②， ∵，， ∴，三边对应成比例，可判定； 取①③，两边对应成比例，但相等的角不是这两边的夹角，无法判定相似； 取①④，两边对应成比例，但相等的角不是这两边的夹角，无法判定相似； 取②③，两边对应成比例，但相等的角不是这两边的夹角，无法判定相似； 取②④， ∵，， ∴两边对应成比例且夹角相等，可判定； 取③④， ∵，， ∴两角对应相等，可判定； 综上，能判定相似的共有3组． 【变式1-3】依据下列各组条件，说明和是否相似： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) ． 证明： ∵ ， ∴ ． ∴ ． ∴ ． (2) ． 证明： ∵ 在中，， ∴ ． ∵ ， ∴ ． (3) ． 证明： ∵ ， ∴ ． ∴ ． 【分析】 （1）计算三组对应边的比值，验证是否成比例，判断三角形是否相似． （2）先利用三角形内角和求出中的度数，再验证两组对应角是否相等． （3）验证两组对应边的夹角相等且夹边成比例，判断三角形是否相似． 【详解】（1）详见参考答案． （2）详见参考答案． （3）详见参考答案． 【变式1-4】如图，已知，，，．求证：． 【答案】证明：∵，， ∴． 又∵， ∴． 【分析】利用图形中的对顶角相等这一隐含条件，并结合已知边长数据，即可根据“两边成比例且夹角相等”判定三角形相似． 【详解】略 【题型三】相似三角形的面积比与相似比混淆 【例1】若两个相似三角形对应高的比为，则这两个相似三角形的相似比为______． 【答案】 【分析】利用相似三角形对应高的比等于相似比的性质求解即可． 【详解】解：∵相似三角形对应高的比等于相似比，已知两个相似三角形对应高的比为， ∴这两个相似三角形的相似比为． 易错警示：误将面积比当作相似比，或误将相似比当作面积比。 纠正：相似比 面积比，反过来面积比为 相似比为。 【变式1-1】如果两个相似三角形对应高的比为，那么这两个相似三角形的对应中线的比为_______，对应角平分线的比为_________． 【答案】 【分析】根据相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比，据此解答即可． 【详解】解：∵两个相似三角形对应高的比为， ∴这两个相似三角形的相似比为， ∵相似三角形对应中线的比等于相似比， ∴这两个相似三角形的对应中线的比为， ∵相似三角形对应角平分线的比等于相似比， ∴这两个相似三角形的对应角平分线的比为． 【变式1-2】若两个相似三角形的相似比为，则这两个相似三角形周长的比为____________，面积的比为____________． 【答案】 【分析】利用相似三角形的性质：周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，结合已知相似比计算即可． 【详解】解：相似三角形的周长比等于相似比，两个相似三角形的相似比为， 这两个相似三角形周长的比为； 相似三角形的面积比等于相似比的平方， 面积比为． 【变式1-3】如图，这是一个由一块三角形草坪按的比例画出的图形，它的底边长为，高为．草坪的实际面积是多少平方米？ 【答案】草坪的实际面积为． 【分析】先根据比例尺求出这块三角形草坪的底边长和底边上的高，然后根据三角形面积公式求出结果即可． 【详解】解：∵一块三角形草坪按的比例画出的图形，它的底边长为，高为， ∴这块三角形草坪的底长为：，底边上的高为， ∴草坪的实际面积为：． 【题型四】位似变换解答问题时漏解 【例1】如图，已知点，，以为位似中心，按比例，把缩小，则点的对应点的坐标为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据位似变换的性质，以原点为位似中心时，点的对应坐标等于原坐标乘以位似比或其相反数，位似比为，把缩小，即缩小倍或倍． 【详解】解：∵点，位似中心为原点，位似比为，把缩小， ∴点A的对应点的坐标为或， 即或． 易错警示：在坐标系中求位似变换后的坐标时，只写了一种情况，遗漏了。 纠正：位似中心在两个图形之间时，对应点坐标取负值，两种情况都要考虑。 【变式1-1】在直角坐标平面上有、两点，以原点为位似中心把线段缩小到原来的一半，得到线段，那么的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查以原点为位似中心的位似变换的坐标规律，在平面直角坐标系中，若位似变换以原点为位似中心，相似比为，则位似图形对应点的坐标等于原坐标乘或，据此计算即可得到结果． 【详解】解：∵已知点，以原点为位似中心把线段缩小到原来的一半，得到线段， ∴相似比，的坐标为或， ∴的坐标为或． 【变式1-2】在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心画一个三角形，使它与位似，且相似比为，则点的对应点的坐标是______________． 【答案】或/或 【分析】位似变换以原点为位似中心，相似比为，对应点坐标为原坐标分别乘以和，计算即可得结果． 【详解】解：∵以原点为位似中心，相似比为，点的坐标为， ∴点的对应点的坐标为或， 整理得点的坐标为或． 【变式1-3】如图，直线与x轴，y轴分别交于A、B两点，与是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为，则点的坐标为_______________． 【答案】或 【详解】解：当时，，当时，，则点B的坐标为， ． ，且相似比为， ， ，， 当在点A右侧时，； 当在点A左侧时，； 或． 【题型一】相似三角形与动点问题 【例1】如图，已知中，，，，点由点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从出发沿方向以的速度向点运动．连接，设运动的时间为（单位：）（其中）．当为何值时，与相似（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题有公共角，先用含的代数式表示线段与的长度，再分两种相似对应情况进行分类讨论，根据相似三角形对应边成比例列方程求出的值． 【详解】解：，，， ． ， 分两种情况讨论． 当时， ，即， 解得， 当时， ，即， 解得， 综上所述，当为或时，与相似． 【变式1-1】如图，在中，，，．点P从点C出发，沿折线向终点A运动，在上以每秒3个单位长度的速度运动，在上以每秒4个单位长度的速度运动，点Q从点A出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，P、Q两点同时出发，当一点到达端点时另一点也随之停止运动，设点P运动的时间为t秒． (1)线段的长 ．（用含t的代数式表示） (2)当与的一边平行时，求t的值． 【答案】(1)当时，；当时， (2)或 【分析】（1）分和两种情况进行讨论求解即可； （2）分和两种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：∵，点P从点C出发，沿折线向终点A运动，在上以每秒3个单位长度的速度运动， ∴点P到达点B的时间为（秒）， ∵，，， ∴， ∵点Q从点A出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向终点C运动， ∴点Q到达点C的时间为（秒）， ∵在上以每秒4个单位长度的速度运动，， ∴点P到达点A的时间为（秒）， ∴当时，， 故； 当时，； （2）解：由题意，， ∴， 如图所示，当时，即点P在上运动时，当时， ∴ ∴ ∴ ∴； 如图所示，当时，即点P在上运动时，当时， ∴ ∴ ∴ ∴； 综上所述，当与的一边平行时，或． 【变式1-2】如图，在中，，，，为的中点．动点从点开始沿边以的速度运动，过点作，垂足为．设点的运动时间为（）． (1)当为何值时，四边形为矩形？ (2)设四边形的面积为，写出与的关系式； (3)是否存在某一时刻，使四边形与的面积比为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； (4)当为何值时，的值最小？ 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据平行线分线段成比例，可得，即可求解； （2）根据，可得，再由，即可求解； （3）根据题意可得，即可求解； （4）过点D作于点F，延长至点M，使，过点M作于点E，交于点P，则，由垂线段最短得，的最小值为的长，证得，可得，再根据，可得，然后根据，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：在中，，，， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∵为的中点， ∴， 即， ∴， 即当t的值为时，四边形为矩形； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴ ， 即； （3）解：根据题意得：， 即， 解得：（舍去）或4， 故存在某一时刻，使四边形与的面积比为； （4）解：如图，过点D作于点F，延长至点M，使，过点M作于点E，交于点P，则， 此时， 由垂线段最短得，的最小值为的长， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， 即当时，的值最小． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，垂线段最短性质的应用，轴对称性质，求函数解析式，关键是构造直角三角形和应用相似三角形解决问题． 【题型二】四边形背景下的相似三角形性质与判定应用 【例1】如图1，在锐角中，是边上的高，，动点P沿线段从点A向点D运动，过点P作，交于E，交于F，以为边向下作正方形． (1)设长为x，利用相似三角形的性质，可用含x的代数式表示正方形的边长为___________；如图2，当_________时，恰好落在边上，此时长为_________； (2)如图3，当在外部，且正方形与公共部分的面积为6时，求点P的位置（即求的值）． 【答案】(1)，， (2)2 【分析】（1）证明，根据相似三角形的对应高之比等于相似比求解即可；证明四边形是矩形，得出，根据列出关于x的方程，求解即可； （2）设，由（1）同理可求，，根据正方形与公共部分的面积为6，得出四边形的面积为6，则可列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，，， ∴ ∴， 又，， ∴， ∴； ∵正方形， ∴，， 又， ∴四边形是矩形， ∴， 又， ∴， 解得， ∴； （2）解：设， 由（1）同理可求，， ∵在外部， ∴， ∵正方形与公共部分的面积为6， ∴四边形的面积为6， ∴， 解得， 即的值为2． 【变式1-1】已知，正方形，连接对角线，点、分别在边、上，连接、交于、两点，，有如下结论：①；②；③；④若，最小时，；上述结论中，所有正确结论的序号是______． 【答案】①②③ 【分析】利用正方形性质及三角形内角和定理，结合已知角度关系推导 的度数即可判断①； 利用相似三角形的判定定理，证明 即可判断②； 通过旋转变换构造全等三角形，证明线段与， 的数量关系即可判断③； 利用轴对称性质确定最小时点 的位置，结合勾股定理计算的长度即可判断④． 【详解】解：①∵四边形是正方形， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ②∵是正方形的对角线， ∴， 由①可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ③如图，将绕点逆时针旋转得到， 由旋转可得，， ∴，，， ∴， 由①可知，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，故③正确； ④∵四边形是正方形， ∴， ∴如图，作点关于的对称点，连接，交于点， 由对称可得，，， ∴，，当三点共线时，最小，如上图， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点是的中点， ∴， 由③可知，， ∵， 设，则，， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴当最小时，，故④错误； 综上所述，正确结论的序号是①②③． 【变式1-2】如图，在中，，相交于点，点在上，且，连接交于点，则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（     ）． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】利用平行四边形对边平行的性质判定，求出线段比判断①；根据两边对应成比例且夹角相等判断②；利用相似三角形周长比等于相似比判断③；通过面积比例关系计算判断④． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故①错误； 在和中，， ∵，， ∴， ∴与不相似，故②错误； ∵，且相似比为， ∴，故③正确； ∵，， ∴，即为中点， 设，则， ∴， ∴， ∵，且相似比为， ∴， ∴ ， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，正确的结论有③④，共2个． 【变式1-3】如图，在平行四边形中，，，点P沿方向以每秒个单位长度运动，点M为中点，连接，作点A关于直线的对称点．设点P的运动时间为t秒． (1)求的长． (2)求的长（用含t的代数式表示）． (3)当点M、P、C三点共线时，求t的值． (4)当点落在直线上时，直接写出的面积． 【答案】(1)3 (2)的长为 或； (3)t的值为； (4)的面积为或3 【分析】（1）利用等腰三角形的性质和勾股定理解答即可； （2）利用分类讨论的方法，根据距离=速度×时间解答即可； （3）画出符合题意的图形，利用平行线的性质求得的长度，利用时间=距离÷速度解答即可得出结论； （4）依据分类讨论的方法，画出图形，利用平行线分线段成比例定理求得t值，再利用三角形的面积公式解答即可得出结论． 【详解】（1）解：，M为中点， ∴， ∴； （2）解：当时，此时点P在上， 由题意得：， ∴， 当时，此时点P在上， 由题意得：点P移动的距离， ， 综上，的长为 或； （3）解：当点M、P、C三点共线时，如图所示： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵M为中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ， 由（2）知： ； ∴， ∴， ∴当点M、P、C三点共线时，t的值为； （4）解：当时，此时点P在上， 过点P作于点E，如图， 由轴对称的性质得：， ， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴的面积； 当时，此时点P在上， 过点P作于点E，如图， 由轴对称的性质得：， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴的面积； 综上，的面积为或3． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，平行线的性质，轴对称的性质，等腰直角三角形的判定与性质，本题是动点问题，利用含t的代数式表示出相应线段的长度是解题的关键． 【题型三】图形动态变化背景下的相似三角形性质与判定应用 【例1】如图，在中，，点在上，点在上，点关于直线的轴对称点为点，连接，，分别与相交于点，点，若，，，则的长度为 __________________ ． 【答案】 【分析】根据等腰三角形性质、轴对称图形性质证明三角形相似，再根据两个三角形相似对应边成比例求出长度，进而求出的长度． 【详解】解：∵， ∴， ∵点关于直线的轴对称点为点， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式1-1】如图，在矩形纸片中，点，是边，上的点，连接，将四边形沿折叠，点的对应点恰好落在边上，点的对应点为点，连接．若，，则的最小值是_________． 【答案】 【分析】连接，过点F作于点M，交于点J，延长到点N，使，连接，证明，得到，然后结合折叠的性质得到当点A，G，N三点共线时，取得最小值，即的长度，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接，过点F作于点M，交于点J，延长到点N，使，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 由折叠得，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由折叠得，， ∵， ∴ ∴当点A，G，N三点共线时，取得最小值，即的长度， ∵，，， ∴， ∴的最小值是． 【变式1-3】如图1，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，动点P沿着边AB从点A运动到点B，同时动点Q沿着边BC，CD从点B运动到点D，它们同时到达终点，BD与PQ交于点E．若记点Q的运动路程为x，线段BP的长记为y． (1)求y关于x的函数表达式． (2)如图2，当点Q在CD上时，求． (3)将矩形沿着PQ折叠，点B的对应点为点F，连结EF，当EF所在直线与△BCD的一边垂直时，求BP的长． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）设点P的速度为a，点Q的速度为b，根据题意可得，再设两点的运动时间为t，则，从而得到，即可求解； （2）证得△BPE~△DQE，可得，再由，即可求解； （3）分四种情况讨论：当点Q在BC上，EF⊥CD时；当点Q在CD上，EF⊥BC时； 当点Q在CD上，EF⊥BD时； 当点Q在CD上，EF⊥CD时，即可求解． 【详解】（1）解：设点P的速度为a，点Q的速度为b，根据题意： ，解得：， 设两点的运动时间为t，则， ∴， ， ∴； （2）解：∵AB∥CD， ∴∠CDB=∠ABD，∠DQP=∠BPQ， ∵∠BEP=∠DEQ， ∴△BPE~△DQE， ∴， ∵DQ=14-x，BP=y， ∴， ∴； （3）解：如图，当点Q在BC上，EF⊥CD时，过点E作EG⊥BC于点G， 在矩形ABCD中，BC⊥CD， ∴EF∥BQ， ∴∠BQE=∠FEQ， ∵∠BEQ=∠FEQ， ∴∠BEQ=∠BQE， ∴BE=BQ， ∵AB＝8，AD＝6， ∴BD=10， 设BE=BQ=m， ∵EF⊥BC， ∴EG∥CD， ∴△BCD∽△BGE， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵EG∥BP， ∴，即， 解得：， 当时，， ∴； 当点Q在CD上，EF⊥BC时，如图， ∵EF∥AB， ∴∠BPE=∠FEP， ∵∠BEP=∠FEP， ∴∠BPE=∠BEP， ∴BP=BE=y， ∵AB∥CD， ∴∠BPE=∠DQE， ∵∠DEQ=∠DQE， ∴∠DEQ=∠DQE， ∴DE=DQ=14-x， ∴14-x+y=10，即x=4+y， ∴，解得：，即； 当点Q在CD上，EF⊥BD时，过点P作PM⊥BD于点M，如图，则∠FEP=∠BEP=45°， ∴∠PEM=∠EPM=45°， ∴PM=EM， ∵AB∥CD， ∴△BPE∽△DQE， ∴， ∴， ∵， ∴， 设PM=3n，则BM=4n，EM=3n， ∴BP=5n， ∴BE=EM+BM=7n， ∴，解得：， ∴； 当点Q在CD上，EF⊥CD时，如图， ∵AB∥CD， ∴△BPE∽△DQE， ∴， ∴，， ∵AB∥CD， ∴EF⊥AB， ∵EF=BE=，PB=PF， 设PB=PF=s， ∵EF∥AD， ∴△BME∽△BAD， ∴， ∴BM=，， ∴， 在Rt△FMP中， ，解得：， 即， 综上所述，BP的长为或或或 【点睛】本题考查了矩形和折叠问题和三角形的全等，勾股定理，等腰三角形的性质和判定，相似三角形的综合运用，解题的关键熟练掌握相关知识点，并利用分类讨论思想解答是解题的关键． 【例2】如图1，正方形和正方形，连接，． (1)【发现】当正方形绕点A旋转，如图2， ①线段与之间的数量关系是 ； ②直线与直线之间的位置关系是 ； (2)【探究】如图3，若四边形与四边形都为矩形，且，时，上述两个结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请写出新结论，并说明理由． (3)【应用】在（2）的情况下，连接（点E在上方），如图4，若，且，，求线段的长． 【答案】(1)①；② (2)不成立，新结论为：；成立． 证明： 四边形和四边形都是矩形， ， ， 即 ， ， ， ， ，， 即， 如图，延长交于点，交于点． 在 中，， 在 中，， ， ，即 ． 综上，不成立，新结论为：；成立． (3) 【分析】（1）通过证明 ，得出线段相等和垂直关系． （2）利用两边对应成比例且夹角相等证明 ，从而探究线段的数量和位置关系． （3）先求出，结合得四边形为平行四边形，得。再由勾股定理求，最后由（2）的结论即可求出． 【详解】（1）解：①四边形和四边形都是正方形， ， 在 和 中： ， ， . ② 由①知 ， 如图，延长交于点，交于点． 在 中，， 在 中，， ， ，即 ． （2）略 （3）由（2）知，． ， ， 在 中，由勾股定理： ， ， ， 点在上方，且， 四边形为平行四边形， ， ， 在 中，由勾股定理： ， 由（2）中结论，可得． 【变式2-1】【课本再现】 (1)如图1，是的角平分线，的直角顶点在上，两条直角边分别交、于、，，求证：． 【深度探究】 (2)在平行四边形中，，点为上一动点（不与，重合），，，点为直线上一动点，连结，将射线绕点逆时针旋转度（）交直线于点． ①如图2，若，，，求的值； ②如图3，若，求的值（用含有，的代数式表示）． 【答案】(1)证明：如图，作， 是的角平分线， ， ，， 四边形是矩形， ， ， 即， 在与中， ， ， ． (2)①；② 【分析】（1）利用角平分线的性质作辅助线，再证明全等即可求出答案． （2）①利用矩形的性质过点P分别作，的垂线，构造相似三角形，再利用相似三角形的性质求解．②借鉴第①问的方法，过点P作的平行线，构造相似三角形求解． 【详解】（1）略 （2）解：①如图所示，,过点P分别作，的垂线，交于点H，交于点N， 在平行四边形中，， 四边形是矩形， ， ， ， 又， ， ， ，， ，， ， ， ，， ， ， ， ， 又， ， ； ②如图，作，作， ， ，， ， ， ，，， ， ，， ， ，， ， 又， 四边形是等腰梯形， ， ， ， ， ． 【变式2-2】江老师在教学《图形的旋转》时，发现特殊位置的图形，通过旋转后，在一般情况下的图形中，很多性质有一致性，并且在解决问题的方法上，也有一致性．下面是江老师设计的一个教学片段，请结合问题进行探究思考． 【问题呈现】 在正方形的边上分别有点和，，，，连接，结合图形旋转，探究的数量关系． 【问题探究】 (1)如图1，此时与的数量关系是______，位置关系是______； (2)如图2，当绕点逆时针旋转时，与的数量关系是否有变化？如果不变化，请证明结论；如果变化，请说明理由． 【拓展应用】 (3)如图3，当绕点A逆时针旋转时，延长交于点．已知，求线段的长度． 【答案】(1)， (2)不变，理由如下： 由旋转性质得：旋转角， 由（1）得， 在和中， ， ， ； (3) 【分析】（1）根据正方形的性质得到，，因为，所以，且，可以解决问题； （2）由旋转性质得：旋转角，由（1）得，可证，根据全等三角形的性质得到．； （3）连接，延长，与交于点．在中，求出，长，然后证明，利用列方程求解即可． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ，，， ∵，， ∴， ， ， ∵， ； （2）不变，理由：略 （3）连接，延长交于， 四边形是正方形，，， ， ， ，， ， ， 在中，， ， ， 在中， ， ， 由（2）得， ， ， ， ，， ， ， ， 解得，． 【变式2-3】如图1，四边形为正方形，，将边绕点顺时针旋转至，连接，，交于点． (1)用含的代数式表示和的大小． (2)求证：． (3)如图2，作和的平分线分别交和的延长线于点，．若，求的长． 【答案】(1)， (2)证明：如图所示，连接， 由（1）得，， ． 由正方形的性质可得，， ． 又， ， ， 即． 在中，由勾股定理得 ； (3) 【分析】（1）由旋转的性质可得，，则由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得的度数；求出的度数，证明，据此可得的度数； （2）连接，可证明，得到，由勾股定理得，则； （3）连接，记交于点，证明，得到，，可证明，，则可证明；证明与平行，得到，则可证明，进而得到，进一步可证明；设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由旋转的性质可得，， ； 在正方形中，，， ，， ； （2）略 （3）解：如图所示，连接，记交于点， 平分， ； 由（1）得， 又∵， ， ，， ， ， ， ； 平分， ， ， ∵， ； ， 与平行， ， ， ， ∴， ， ， ； 设，则， 由正方形的性质可得， 由勾股定理得 ， 解得，（舍）， ， ，， ． 【题型四】一线三等角模型的应用 【例1】在中，，，点在边上运动（不与、点重合），点在边边上，且．    (1)如图1，求证：； (2)如图1，当时，求的长； (3)过点作交射线于点，连接，当时，求的长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2) (3) 【分析】（1）由题意易得，则有，然后问题可求证； （2）由题意易得，则有，然后根据平行线所截线段成比例可进行求解； （3）由题意可分①当点F在的延长线上，②当点F在线段上，然后进行分类求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ， ∵，， ， ， ， ， ， ∵， ∴， ， ； （3）解：①当点F在的延长线上，作于，于，于，则，    ∴四边形为矩形， ，， ∵，，， ， 在中，由勾股定理，得， ∴， ∵，， ， ∵， ∴， ， ， ， ， ， 当时，由点不与点重合，可知为等腰三角形， ， ， ； ②当点F在线段上，如图所示：    同理①可得：， ， 当时，由点不与点重合，可知为等腰三角形， ， ， ； 综上所述：当时，． 【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，锐角三角函数等，等腰三角形的判定和性质知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题． 【变式1-1】【问题情景】 （1）如图①，小红把三角板（）放置到矩形中，使得顶点、、分别落在、、上，则线段与的数量关系为_________； 【变式探究】 （2）如图②，小红把三角板（）放置到矩形中，使得顶点、、分别在、、边上，若，，求的长； 【拓展应用】 （3）如图③，小红把放到平行四边形中，使得顶点、、分别在、、边上，，，以为顶点作，交于点，交的延长线于点，直接写出的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）先利用含角的直角三角形的性质得到，再通过证明得到，即可得出结论； （2）过点作于，通过证明得到，求出的长，通过证明四边形是矩形得到，即可求出的长； （3）利用平行四边形和等腰三角形的性质推出，，得到，利用比例的性质即可求出的值． 【详解】解：（1），理由如下： 四边形是矩形， ， ， ，， ，， ，， ， ， ； （2）如图，过点作于， ， ， ， ， ， ， ， ， 由（1）知，， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， （3），理由如下： 四边形是平行四边形， ，，， ，， 又， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ，即， ． 【点睛】添加适当的辅助线构造“”型相似是解题的关键． 【变式1-2】如图，四边形是矩形，，，点在边上，连接，当点不与点、重合时，作线段的垂直平分线，点在边上，点在边上，连接，过点作，交边于点，连接． (1)求证：； (2)当时，的面积为 ； (3)当为等腰直角三角形时，求线段的长； (4)作点关于的对称点，连接．当时，直接写出的值． 【答案】(1) 证明：∵，四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． (2) (3) (4) 【分析】（1）由同角的余角相等可以证明，再根据有两个角分别对应相等的两个三角形相似得出， （2）先求出，，再由，可得，列比例方程求出，由此即可求出的面积， （3）当为等腰直角三角形时，即，由得出，设，则，，，在中，列方程即可求解， （4）解：延长、交于点，延长、交于点，、是关于对称，由此得出点在上，进而可得，再利用当时，四边形是矩形，得出，由此可知，设，，利用列比例式即可求出，于是可得． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴的面积． （3）解：当为等腰直角三角形时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴ ∵在中，， ∴， 解得：，（不合题意舍去）， 即． （4）解：延长、交于点，延长、交于点， ∵线段的垂直平分线， ∴、是关于对称， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴点、相互重合， ∴、是关于对称， ∵作点关于的对称点， ∴点在上，如图所示， ∴， 当时，，， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 设，， 则， ∴，， 由（3）得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形相似的判断和性质，三角函数，熟练掌握三角形相似的判定定理．难点是问题（4）证明点关于的对称点在上，进而得出． 【变式1-3】（1）问题发现：如图1，在中，，将边绕点C顺时针旋转得到线段，在射线上取点D，使得，线段与的数量关系是______； （2）类比探究：如图2，若，作，且，其他条件不变，写出变化后线段与的数量关系，并给出证明； （3）拓展延伸：如图3，正方形的边长为6，点E是边上一点，且，把线段逆时针旋转得到线段，连接，直接写出线段的长． 【答案】（1）； （2）． 证明：同（1）可得，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3） 【分析】（1）结合“一线三等角”推出，从而证得结论即可； （2）利用条件证明，然后根据相似三角形的性质证明即可； （3）作延长线于点，过点作，交于点，交于点，结合“一线三垂直”证明，从而利用全等三角形的性质求出和，最后利用勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：∵将边绕点C顺时针旋转得到线段， ∴， ∵，， ∴． 在和中， ∴， ∴． 故答案为： （2）略 （3）如图所示，作延长线于点，过点作，交于点，交于点， 则，，， 由（1）同理可证，， ∴，， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，掌握一线三等角全等和相似模型，并熟练运用是解题关键． 【变式1-4】某数学兴趣小组在学习了尺规作图、等腰三角形和相似三角形的有关知识后，在等腰△ABC中，其中，如图1，进行了如下操作： 第一步，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交BA的延长线和AC于点E，F，如图2； 第二步，分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点D，作射线AD； 第三步，以D为圆心，DA的长为半径画弧，交射线AE于点G； (1)填空；写出∠CAD与∠GAD的大小关系为___； (2)①请判断AD与BC的位置关系，并说明理由． ②当时，连接DG，请直接写出___； (3)如图3，根据以上条件，点P为AB的中点，点M为射线AD上的一个动点，连接PM，PC，当时，求AM的长． 【答案】(1)∠CAD=∠GAD； (2)①AD∥BC； ②3 (3)9 【分析】（1）根据题目的尺规作图发现AD平分∠CAG即可得到∠CAD=∠GAD； （2）①由AD平分∠CAG再结合等腰三角形ABC的外角可得AD平行BC； ②易证，可得 （3）以M为圆心，MA的长为半径画弧，交射线BA于点N，由（2）可得， 即可用一线三等角模型构造相似解题． 【详解】（1）由尺规作图步骤发现AD平分∠CAG ∴∠CAD=∠GAD； （2）①∵ ∴ ∵∠CAD=∠GAD, ∴ ∴AD∥BC ②∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ （3）以M为圆心，MA的长为半径画弧，交射线BA于点N，如图 由（1）（2）可得, 设则 ∵点P为AB的中点 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴，解得 ∴． 【点睛】本题考查尺规作图中的作角平分线以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是能根据尺规作图的步骤判断是作角平分线． 【模型一】A字型模型 模型特征：在中，（在上，在上），形成"A字"形。 核心结论：，。 【模型二】8字型模型 模型特征：两组对应边分别延长交于一点，形成"8字"形（也称X型）。 核心结论：若，则，。 适用场景：涉及交叉线段比例的计算。 【模型三】母子型（反A字）模型 模型特征：中，在上，满足，则。 核心结论：（射影定理的推广形式）。 适用场景：证明线段乘积关系、求线段长度。 【模型四】一线三等角模型 模型特征：在直线上依次有三点、、，，则。 核心结论：利用三个相等的角构造相似三角形，建立线段比例关系。 适用场景：压轴题中常见的相似模型，涉及角度相等条件的转化。 【模型五】旋转相似模型 模型特征：共顶点， 核心结论：旋转前后对应边成比例，对应角相等。常结合"共顶点+等角"条件使用。 适用场景：压轴题中的综合几何问题，常与全等、旋转联合考查。 【模型六】射影定理模型 模型特征：在直角中，，于。 核心结论：①；②；③。 适用场景：直角三角形中求线段长度，证明线段乘积关系。 技巧 一句话要点 找相似三角形的策略 优先找公共角、对顶角，再找平行线产生的等角 写比例式的注意事项 先标对应顶点，再写对应边的比，大边对大边 面积比与相似比转换 线段比→面积比要平方；面积比→线段比要开方 位似变换坐标口诀 同侧取正，异侧取负，都乘位似比 相似比的方向性 A与B的相似比≠B与A的相似比，注意题目顺序 实际应用题建模 画图→标已知→设未知→列比例式→解方程→检验 动点问题分类讨论 按不同对应关系分类，每种情况单独求解 证明线段成比例 优先用相似三角形，也可用平行线分线段成比例 试卷第78页（共78页） 份有限公1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 图形的相似 目 录 识记类 思维导图 知识清单(5类) 考点清单(4类) 公式清单(8类) 辨析清单(5类) 题型类 高频题型清单(6类) 易错题型清单(4类) 重难题型清单(7类) 答题类 解题模型清单(6类) 答题技巧清单 知识点01 相似图形与相似多边形 1. 相似图形：形状相同的图形叫做相似图形。相似图形与大小无关，只与形状有关。 2. 相似多边形：对应角分别相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形。 3. 相似比：相似多边形______的比叫做相似比。若多边形与多边形相似，相似比为，则。 4. 相似多边形的性质：______。 5. 周长比等于______，面积比等于______。即若相似比为，则周长比为，面积比为。 知识点02 相似三角形的判定 判定方法1：______，两三角形相似。（AA） 符号语言：在和中，若，，则。 判定方法2：______，两三角形相似。（SAS） 符号语言：在和中，若且，则。 判定方法3：______，两三角形相似。（SSS） 符号语言：在和中，若，则。 判定方法4（预备定理）：______截另外两边（或延长线），所得三角形与原三角形相似。 知识点03 相似三角形的性质 性质1：相似三角形的______。 性质2：相似三角形的______________________________都等于______。 性质3：相似三角形的______。 性质4：相似三角形的______。 知识点04 相似三角形的实际应用 1. 利用相似三角形测量物体的高度（如旗杆、建筑物）：构造相似三角形，利用对应边成比例列方程求解。 2. 利用相似三角形测量不可到达的距离（如河宽）：构造相似三角形，利用比例关系间接求解。 3. 解题步骤：①审题，构造相似三角形；②设未知数；③列比例式；④解方程求解。 知识点05 图形的位似 1. 位似图形的定义：如果两个图形不仅是______，而且每组________________________，那么这两个图形叫做位似图形。这个点叫做______。 2. 位似比：对应点到位似中心的______等于位似比（也等于相似比）。 3. 位似图形的性质：①位似图形一定是相似图形；②对应点连线所在直线交于位似中心；③对应线段平行（或共线）且成比例。 4. 坐标系中的位似变换：以原点为位似中心，位似比为，则点的对应点为或。 考点01 相似三角形的判定 考点内容：相似三角形的判定方法 常见考法： ①利用"两角对应相等"判定相似（最常用）； ②利用"两边对应成比例且夹角相等"判定相似； ③利用"三边对应成比例"判定相似； ④选择或补充条件使两个三角形相似（开放性试题）。 考点02 相似三角形的性质证明与计算 考点内容：利用相似三角形的性质的应用 常见考法： ①利用相似比求线段长度； ②利用面积比等于相似比的平方求面积； ③证明线段成比例或角相等； ④相似三角形中的动点问题。 考点03 位似变换与坐标 考点内容：利用图形位似的性质与作图 常见考法： ①判断两个图形是否为位似图形，找位似中心； ②求位似图形的相似比（位似比）； ③在坐标系中求位似变换后对应点的坐标； ④画已知图形放大或缩小后的位似图形。 考点04 相似三角形的实际应用 考点内容：在实际背景下抽象出几何图形，利用相似三角形的性质求解 常见考法： ①测量物体高度（旗杆、建筑物、树高等）； ②测量不可到达的距离（河宽等）； ③利用影子长度求物体高度。 相似多边形定义 对应角相等，对应边成比例 相似比 判定（AA） ， 判定（SAS） 且 判定（SSS） 对应线段之比 周长比 面积比 位似变换坐标 点 或 辨析01 全等与相似的关系 全等是相似的特殊情况（相似比）。全等三角形一定相似，相似三角形不一定全等。 辨析02 "对应边成比例"与"任意两边成比例"的区别 判定相似时必须强调"对应边"成比例，不能随意搭配。例如的三边为3、4、5，的三边为6、8、10，应按大小对应：。 辨析03 "两边成比例且夹角相等"中"夹角"的含义 "夹角"必须是成比例的两条边的夹角。若不是夹角，则不能判定相似（SSA不能判定相似）。 辨析04 相似比的方向性 与的相似比为，则与的相似比为，不是同一个值！ 辨析05 位似与相似的区别 位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形。位似要求对应点连线交于同一点（位似中心），而一般相似无此要求。 【题型一】利用平行线分线段成比例定理求解 【例1】已知直线及直线外一点C，嘉淇用尺规按①~③的步骤操作，如图：   ①在直线上任取两点D，E，作射线； ②以点D为圆心，长为半径画弧交射线于点F，作射线； ③以点E为圆心，长为半径画弧交射线于点G，作直线． 根据嘉淇的作图，下列结论： 结论Ⅰ：； 结论Ⅱ：； 结论Ⅲ：； 结论Ⅳ：． 其中一定正确的是（    ） A．只有结论Ⅰ B．只有结论Ⅱ C．结论Ⅱ和Ⅳ D．结论Ⅱ和Ⅲ 【变式1-1】如图，在中，，，，，求的长． 【变式1-2】如图，若，，则的长为_____． 【变式1-3】如图，在中，．求证：． 【题型二】利用两角对应相等判定相似求解 【例1】如图，在中，，，，，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式1-1】顶角是的等腰三角形称为“黄金三角形”，其底边和腰的比为黄金比，如图，请在“黄金三角形”的边上求作一点，使得． 【变式1-2】如图，在中，E是边上一点，且，连接与对角线相交于点F． (1)求与的周长比； (2)若的面积是，求的面积． 【变式1-3】如图，等边三角形的边长为3，是边上的一点且，现将折叠，使得点与点重合，折痕为，点、分别在和上． (1)求证：； (2)求线段的长． 【变式1-4】如图所示，在矩形中，E是上一点，于点F． (1)求证：． (2)若，点E是边的中点，求的长． 【题型三】选择或添加条件使两个三角形相似 【例1】如图，在中，，，，则下列各对三角形中相似的有（    ）个 ①与        ②与 ③与        ④与 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-1】如图，已知，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】在和中，，，根据下列条件，一定能判断和相似的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，在中，为边上一点，下列给出的条件不能判定的是（     ）． A． B． C． D． 【题型四】相似多边形的性质 【例1】如图，在中，，设，若都与相似，试确定a与b之间的关系． 【变式1-1】如图，四边形四边形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，将矩形沿线段翻折，使点恰好落在边上的点处，再沿边将矩形剪开，所得的另一个矩形和原来的矩形相似，则原来的矩形的宽与长的比值为______． 【变式1-3】如图，在中，点分别在边上，连接，平分，． (1)求证：； (2)若，四边形与四边形相似，求的长． 【题型五】坐标系中的位似变换问题 【例1】如图，在平面直角坐标系中，和是以原点O为位似中心的位似图形，已知，，则的值为（     ） A． B．2 C． D．3 【变式1-2】如图，五边形是以坐标原点为位似中心的位似图形，已知点的坐标分别为．若五边形的周长为16，则五边形的周长为（     ） A．24 B．32 C．40 D．48 【变式1-3】如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点O．若点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为________． 【变式1-4】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)①以原点为位似中心，在轴的右侧画出将放大为原来的倍得到的． ②画出将向左平移个单位，再向上平移个单位后得到的． (2)判断与是不是位似图形，若是，请在图中标出位似中心，并写出点的坐标． 【题型六】相似三角形的实际应用 【例1】如图，为一块铁板余料．已知，高．要用这块余料裁出一个正方形材料，且使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上，这个正方形的边长为多少厘米？ 【变式1-1】图1是广场上的矩形公益广告牌的示意图，数学小组借助平面镜测量公益广告牌的高度． 如图2，所在直线垂直地面于点，甲把光源放置于点处，垂直地面于点，点，在同一水平线上，乙沿方向移动平面镜，移到点时，从点发出的光线反射到点处；移到点时，从点发出的光线反射到点处．经测量：米，米，米，米，记点，处的法线分别为，，即，，根据光的反射定律，，． (1)求证：； (2)求此公益广告牌的高度． 【变式1-2】为了测量学校教学大楼的高度，三个数学小组设计了不同的方案，测量方案与数据如下表： 课题 测量教学大楼（）的高度 测量小组 第一组 第二组 第三组 测量示意图       说明 人站在大楼影子的顶端，为人的影长 为标杆，人的眼睛与标杆顶端与大楼顶端在同一条直线上 点处放一个平面镜，人的眼睛恰好在平面镜中看到大楼的顶端 测量数据 ， ，，， ，， 说明：图中所有点都在同一平面内 (1)交流反思时，老师发现三组中有一组测量数据不完整，是第_________________组； (2)请你在正确的方案中选择一种，求教学大楼的高度． 【变式1-4】综合与实践 【问题情境】 数学活动课上，老师要求九年级（2）班各学习小组的同学测量操场上不同旗杆的高度，活动过程如下： (1)利用镜子测量：如图1，小康站在操场上点E处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶端A，．小组中的同学测得小康的眼睛距地面的高度米，小康到镜面的距离米，镜面到旗杆的距离米．求旗杆的高度． (2)利用标杆测量：如图2，小英站在操场上的点E处，她的眼睛D，标杆的顶端C和旗杆的顶端A在一条直线上，小组中的同学测得小英的眼睛到地面的高度米，标杆高米，米，米，，，均垂直于地面，与水平面平行．求旗杆的高度． 【题型一】相似三角形的对应边找错 【例1】如图，已知，，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 易错警示：在判定相似时，没有按"对应"关系写比例式，导致搭配错误。 纠正：先确定对应顶点，再写对应边的比。大边对大边，小边对小边。 【变式1-1】如图，中，点、分别是边、上的点，且，下列结论不一定能得出的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】若的三边长分别为，和2，的两边长分别为1和，要使，则第三边的长应为_______． 【变式1-3】如图，在和中，．求证： (1)； (2)． 【题型二】SAS判定中两边及夹角条件遗漏 【例1】如图，已知，，，．将沿图中的剪开，则剪下的阴影三角形与不相似的是（     ） A． B． C． D． 易错警示：只验证"两边成比例"，忘记验证"夹角相等"就判定相似。 纠正：使用SAS判定法时，必须同时验证"两边对应成比例"和"夹角相等"两个条件。 【变式1-1】如图，四边形的对角线，相交于，且将这个四边形分成①②③④四个三角形，若，则下列结论正确的是（     ） A．①和②相似 B．①和③相似 C．①和④相似 D．②和④相似 【变式1-2】在与中，有下列条件：①；②；③；④．如果从中任取两个条件组成一组，那么能判定的共有_______组． 【变式1-3】依据下列各组条件，说明和是否相似： (1)； (2)； (3)． 【变式1-4】如图，已知，，，．求证：． 【题型三】相似三角形的面积比与相似比混淆 【例1】若两个相似三角形对应高的比为，则这两个相似三角形的相似比为______． 易错警示：误将面积比当作相似比，或误将相似比当作面积比。 纠正：相似比 面积比，反过来面积比为 相似比为。 【变式1-1】如果两个相似三角形对应高的比为，那么这两个相似三角形的对应中线的比为_______，对应角平分线的比为_________． 【变式1-2】若两个相似三角形的相似比为，则这两个相似三角形周长的比为____________，面积的比为____________． 【变式1-3】如图，这是一个由一块三角形草坪按的比例画出的图形，它的底边长为，高为．草坪的实际面积是多少平方米？ 【题型四】位似变换解答问题时漏解 【例1】如图，已知点，，以为位似中心，按比例，把缩小，则点的对应点的坐标为（     ） A． B． C．或 D．或 易错警示：在坐标系中求位似变换后的坐标时，只写了一种情况，遗漏了。 纠正：位似中心在两个图形之间时，对应点坐标取负值，两种情况都要考虑。 【变式1-1】在直角坐标平面上有、两点，以原点为位似中心把线段缩小到原来的一半，得到线段，那么的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 【变式1-2】在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心画一个三角形，使它与位似，且相似比为，则点的对应点的坐标是______________． 【变式1-3】如图，直线与x轴，y轴分别交于A、B两点，与是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为，则点的坐标为_______________． 【题型一】相似三角形与动点问题 【例1】如图，已知中，，，，点由点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从出发沿方向以的速度向点运动．连接，设运动的时间为（单位：）（其中）．当为何值时，与相似（     ） A． B． C．或 D．或 【变式1-1】如图，在中，，，．点P从点C出发，沿折线向终点A运动，在上以每秒3个单位长度的速度运动，在上以每秒4个单位长度的速度运动，点Q从点A出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，P、Q两点同时出发，当一点到达端点时另一点也随之停止运动，设点P运动的时间为t秒． (1)线段的长 ．（用含t的代数式表示） (2)当与的一边平行时，求t的值． 【变式1-2】如图，在中，，，，为的中点．动点从点开始沿边以的速度运动，过点作，垂足为．设点的运动时间为（）． (1)当为何值时，四边形为矩形？ (2)设四边形的面积为，写出与的关系式； (3)是否存在某一时刻，使四边形与的面积比为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； (4)当为何值时，的值最小？ 【题型二】四边形背景下的相似三角形性质与判定应用 【例1】如图1，在锐角中，是边上的高，，动点P沿线段从点A向点D运动，过点P作，交于E，交于F，以为边向下作正方形． (1)设长为x，利用相似三角形的性质，可用含x的代数式表示正方形的边长为___________；如图2，当_________时，恰好落在边上，此时长为_________； (2)如图3，当在外部，且正方形与公共部分的面积为6时，求点P的位置（即求的值）． 【变式1-1】已知，正方形，连接对角线，点、分别在边、上，连接、交于、两点，，有如下结论：①；②；③；④若，最小时，；上述结论中，所有正确结论的序号是______． 【变式1-2】如图，在中，，相交于点，点在上，且，连接交于点，则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（     ）． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式1-3】如图，在平行四边形中，，，点P沿方向以每秒个单位长度运动，点M为中点，连接，作点A关于直线的对称点．设点P的运动时间为t秒． (1)求的长． (2)求的长（用含t的代数式表示）． (3)当点M、P、C三点共线时，求t的值． (4)当点落在直线上时，直接写出的面积． 【题型三】图形动态变化背景下的相似三角形性质与判定应用 【例1】如图，在中，，点在上，点在上，点关于直线的轴对称点为点，连接，，分别与相交于点，点，若，，，则的长度为 __________________ ． 【变式1-1】如图，在矩形纸片中，点，是边，上的点，连接，将四边形沿折叠，点的对应点恰好落在边上，点的对应点为点，连接．若，，则的最小值是_________． 【变式1-3】如图1，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，动点P沿着边AB从点A运动到点B，同时动点Q沿着边BC，CD从点B运动到点D，它们同时到达终点，BD与PQ交于点E．若记点Q的运动路程为x，线段BP的长记为y． (1)求y关于x的函数表达式． (2)如图2，当点Q在CD上时，求． (3)将矩形沿着PQ折叠，点B的对应点为点F，连结EF，当EF所在直线与△BCD的一边垂直时，求BP的长． 【例2】如图1，正方形和正方形，连接，． (1)【发现】当正方形绕点A旋转，如图2， ①线段与之间的数量关系是 ； ②直线与直线之间的位置关系是 ； (2)【探究】如图3，若四边形与四边形都为矩形，且，时，上述两个结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请写出新结论，并说明理由． (3)【应用】在（2）的情况下，连接（点E在上方），如图4，若，且，，求线段的长． 【变式2-1】【课本再现】 (1)如图1，是的角平分线，的直角顶点在上，两条直角边分别交、于、，，求证：． 【深度探究】 (2)在平行四边形中，，点为上一动点（不与，重合），，，点为直线上一动点，连结，将射线绕点逆时针旋转度（）交直线于点． ①如图2，若，，，求的值； ②如图3，若，求的值（用含有，的代数式表示）． 【变式2-2】江老师在教学《图形的旋转》时，发现特殊位置的图形，通过旋转后，在一般情况下的图形中，很多性质有一致性，并且在解决问题的方法上，也有一致性．下面是江老师设计的一个教学片段，请结合问题进行探究思考． 【问题呈现】 在正方形的边上分别有点和，，，，连接，结合图形旋转，探究的数量关系． 【问题探究】 (1)如图1，此时与的数量关系是______，位置关系是______； (2)如图2，当绕点逆时针旋转时，与的数量关系是否有变化？如果不变化，请证明结论；如果变化，请说明理由． 【拓展应用】 (3)如图3，当绕点A逆时针旋转时，延长交于点．已知，求线段的长度． 【变式2-3】如图1，四边形为正方形，，将边绕点顺时针旋转至，连接，，交于点． (1)用含的代数式表示和的大小． (2)求证：． (3)如图2，作和的平分线分别交和的延长线于点，．若，求的长． 【题型四】一线三等角模型的应用 【例1】在中，，，点在边上运动（不与、点重合），点在边边上，且．    (1)如图1，求证：； (2)如图1，当时，求的长； (3)过点作交射线于点，连接，当时，求的长． 【变式1-1】【问题情景】 （1）如图①，小红把三角板（）放置到矩形中，使得顶点、、分别落在、、上，则线段与的数量关系为_________； 【变式探究】 （2）如图②，小红把三角板（）放置到矩形中，使得顶点、、分别在、、边上，若，，求的长； 【拓展应用】 （3）如图③，小红把放到平行四边形中，使得顶点、、分别在、、边上，，，以为顶点作，交于点，交的延长线于点，直接写出的值． 【变式1-2】如图，四边形是矩形，，，点在边上，连接，当点不与点、重合时，作线段的垂直平分线，点在边上，点在边上，连接，过点作，交边于点，连接． (1)求证：； (2)当时，的面积为 ； (3)当为等腰直角三角形时，求线段的长； (4)作点关于的对称点，连接．当时，直接写出的值． 【变式1-3】（1）问题发现：如图1，在中，，将边绕点C顺时针旋转得到线段，在射线上取点D，使得，线段与的数量关系是______； （2）类比探究：如图2，若，作，且，其他条件不变，写出变化后线段与的数量关系，并给出证明； （3）拓展延伸：如图3，正方形的边长为6，点E是边上一点，且，把线段逆时针旋转得到线段，连接，直接写出线段的长． 【变式1-4】某数学兴趣小组在学习了尺规作图、等腰三角形和相似三角形的有关知识后，在等腰△ABC中，其中，如图1，进行了如下操作： 第一步，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交BA的延长线和AC于点E，F，如图2； 第二步，分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点D，作射线AD； 第三步，以D为圆心，DA的长为半径画弧，交射线AE于点G； (1)填空；写出∠CAD与∠GAD的大小关系为___； (2)①请判断AD与BC的位置关系，并说明理由． ②当时，连接DG，请直接写出___； (3)如图3，根据以上条件，点P为AB的中点，点M为射线AD上的一个动点，连接PM，PC，当时，求AM的长． 【模型一】A字型模型 模型特征：在中，（在上，在上），形成"A字"形。 核心结论：，。 【模型二】8字型模型 模型特征：两组对应边分别延长交于一点，形成"8字"形（也称X型）。 核心结论：若，则，。 适用场景：涉及交叉线段比例的计算。 【模型三】母子型（反A字）模型 模型特征：中，在上，满足，则。 核心结论：（射影定理的推广形式）。 适用场景：证明线段乘积关系、求线段长度。 【模型四】一线三等角模型 模型特征：在直线上依次有三点、、，，则。 核心结论：利用三个相等的角构造相似三角形，建立线段比例关系。 适用场景：压轴题中常见的相似模型，涉及角度相等条件的转化。 【模型五】旋转相似模型 模型特征：共顶点， 核心结论：旋转前后对应边成比例，对应角相等。常结合"共顶点+等角"条件使用。 适用场景：压轴题中的综合几何问题，常与全等、旋转联合考查。 【模型六】射影定理模型 模型特征：在直角中，，于。 核心结论：①；②；③。 适用场景：直角三角形中求线段长度，证明线段乘积关系。 技巧 一句话要点 找相似三角形的策略 优先找公共角、对顶角，再找平行线产生的等角 写比例式的注意事项 先标对应顶点，再写对应边的比，大边对大边 面积比与相似比转换 线段比→面积比要平方；面积比→线段比要开方 位似变换坐标口诀 同侧取正，异侧取负，都乘位似比 相似比的方向性 A与B的相似比≠B与A的相似比，注意题目顺序 实际应用题建模 画图→标已知→设未知→列比例式→解方程→检验 动点问题分类讨论 按不同对应关系分类，每种情况单独求解 证明线段成比例 优先用相似三角形，也可用平行线分线段成比例 试卷第78页（共78页） 份有限公1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $