第四章图形的轴对称（期中知识清单）八年级数学上学期新教材青岛版

第4章 图形的轴对称　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 图形的轴对称 1.1 轴对称 把一个平面图形沿某条直线折叠后，得到另一个与它全等的图形，图形的这种变化叫作轴对称，这条直线叫作对称轴。轴对称是一类基本的图形变化，它只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小。 示例：把 沿直线 折叠后，得到与它全等的 ，直线 就是对称轴。 1.2 成轴对称 一个图形以某条直线为对称轴，经过轴对称后，能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线成轴对称，重合的点叫作对应点。 示例： 与 关于直线 成轴对称，点 ，， 的对应点分别是 ，，。 1.3 对称点 如果两个点关于一条直线成轴对称，那么其中一个点叫作另一个点关于这条直线的对称点。 示例：点 与点 关于直线 成轴对称，则点 是点 关于直线 的对称点。 1.4 轴对称的基本性质 成轴对称的两个图形中对应点的连线被对称轴垂直平分。 示例： 与 关于直线 成轴对称，则直线 分别垂直平分 ，，。 图1：成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分 1.5 轴对称的判定 如果两个全等图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线成轴对称。 示例：两个全等三角形的对应点连线都被同一条直线 垂直平分，则这两个三角形关于直线 成轴对称。 1.6 轴对称图形 一个图形的一部分，以某一条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫作轴对称图形。 示例：线段、角、等腰三角形、等边三角形、圆等都是轴对称图形。 1.7 轴对称图形与成轴对称的关系 把轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形成轴对称；把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形。 示例：把正六边形沿某条对称轴分成左右两部分，这两部分关于该直线成轴对称。 2. 线段的垂直平分线 2.1 线段是轴对称图形 线段是轴对称图形。直线 是线段 的对称轴，它垂直于线段 ，并且平分线段 。 示例：线段 沿过中点且垂直于它的直线对折，两旁部分完全重合。 2.2 线段垂直平分线的定义 垂直并且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线。 示例：直线 垂直于线段 且平分 ，则直线 是线段 的垂直平分线。 图2：直线 垂直并且平分线段 2.3 线段垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。 示例：点 在线段 的垂直平分线 上，则 。 2.4 线段垂直平分线的判定定理 到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 示例：点 满足 ，则点 在线段 的垂直平分线上。 2.5 作线段的垂直平分线（尺规作图） 已知线段 ，求作它的垂直平分线。作法：①分别以点 与点 为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧分别交于 ， 两点；②过 ， 两点作直线 。直线 就是线段 的垂直平分线。 示例：要作一条线段的垂直平分线，只需作出两个到线段两端距离相等的点，这两点所确定的直线就是所求。 3. 角的平分线 3.1 角是轴对称图形 角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴。 示例：把 沿它的平分线所在的直线对折，角的两边完全重合。 3.2 角平分线的性质定理与判定 角平分线上的点到角两边的距离相等；反之，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。 示例：点 在 的平分线上，，，则 ；反过来，若 ，则点 在 的平分线上。 图3：角平分线上的点 到角两边 ， 的距离相等 3.3 作角的平分线（尺规作图） 已知 ，求作它的平分线。作法：①以点 为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交这个角的两边于 ， 两点；②分别以点 ， 为圆心，以大于 的长为半径作弧，两条弧交于点 ；③作射线 。 即为所求作的角平分线。 示例：”作一个角的平分线”是基本作图。 4. 等腰三角形 4.1 等腰三角形是轴对称图形 等腰三角形是轴对称图形。把等腰三角形纸片对折，使两腰重合，折痕所在的直线就是它的对称轴。 示例：把等腰三角形 （）沿顶角平分线对折，两腰与两个底角分别重合。 4.2 等腰三角形的性质定理1（等边对等角） 等腰三角形的两个底角相等（简写成”等边对等角“）。 示例：在 中，，则 。 4.3 等腰三角形的性质定理2（三线合一） 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高互相重合（简写成”三线合一“）。 示例：在 中，， 是底边 上的中线，则 也是顶角 的平分线和底边 上的高。 图4：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 4.4 等腰三角形的判定定理（等角对等边） 有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成”等角对等边“）。 示例：在 中，，则 。 4.5 等边三角形的性质 等边三角形的各角都等于 。 示例：等边三角形 中，。 4.6 等边三角形的判定 三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是 的等腰三角形是等边三角形。 示例： 中 ，则它是等边三角形； 中 且 ，则它是等边三角形。 4.7 直角三角形中 角的性质 在直角三角形中， 角所对的直角边等于斜边的一半。 示例：在 中，，，则 。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 成轴对称的两个图形全等，对应线段、对应角分别相等 成轴对称的两个图形全等，因此它们的对应线段相等、对应角相等，且对称轴垂直平分对应点的连线。如 与 关于直线 成轴对称，则 ，，且 垂直平分 。 1.2 线段垂直平分线是”到线段两端距离相等的点的集合” 由性质定理与判定定理可知，线段的垂直平分线可以看作到这条线段两端距离相等的所有点组成的图形。如点 满足 ，则点 必在线段 的垂直平分线上。 1.3 角平分线是”角的内部到角两边距离相等的点的集合” 角的平分线可以看作角的内部到角两边距离相等的所有点组成的图形。如点 在 内部，且到 ， 的距离相等，则点 在 的平分线上。 1.4 “三线合一”的逆用：作其一，即得其二 等腰三角形中，底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线知道其一，另两条线也随之确定，常用于添辅助线。如 ，作 ，则 同时是底边中线、顶角平分线，于是 。 1.5 等腰三角形两腰上的高、中线、底角的平分线分别相等 等腰三角形是轴对称图形，两腰上的高相等、两腰上的中线相等、两底角的平分线也相等。如 中 ，则 ， 边上的高相等。 1.6 等边三角形的”三线合一”在每条边上都成立 等边三角形是特殊的等腰三角形，任意一边上的高、中线及对角（对边所对的角）的平分线互相重合。如等边三角形 中， 边上的高也是 的平分线和 的中线。 1.7 直角三角形中 角性质的逆用 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于 。如 中 ，，则 。 【使用提醒】逆用时要先确认是直角三角形，且”等于斜边一半”的必须是直角边。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 画一个图形关于某直线的轴对称图形 先确定图形中的关键点（如三角形的顶点），分别作出这些点关于对称轴的对称点，再顺次连接各对称点即得。如画 关于直线 的对称图形，先画点 ，， 关于 的对称点 ，，，再连接 ，，。 2.2 用线段垂直平分线的性质求线段长或周长 看到”垂直平分线”就连接垂直平分线上的点与线段两端，得到相等线段，再与已知条件合并求长。如直线 垂直平分 ，连接 ，则 ， 的周长 。 2.3 用角平分线的性质求距离或面积 角平分线上的点到角两边的距离相等，故先过角平分线上的点向两边作垂线，得到相等垂线段。如点 在 的平分线上，则 到 的距离等于 到 的距离。 2.4 用”三线合一”添辅助线证相等 等腰三角形中，作底边上的高（或中线、顶角平分线），得到相等线段、直角或相等角，再结合全等求解。如 ，作 ，则 ，。 2.5 等腰三角形的分类讨论 ①已知一个角求其余角，须讨论这个角是顶角还是底角；②已知两边求周长，须讨论哪条边是腰，并用”两边之和大于第三边”检验。如等腰三角形一个角为 ，另两个角为 ， 或 ，。 3. 几何图形常用小技巧 技巧 要点 示例 折叠还原对称 折叠的折痕就是对称轴，折叠后重合的点是对称点，重合的线段、角分别相等 把点 沿 折叠与点 重合，则 垂直平分 ， 角平分线＋平行线 角平分线遇平行线（或平行线遇角平分线）可得到等腰三角形 ， 平分 ，则 等腰， 等腰三角形求角 已知顶角 求底角：底角 ；已知底角 求顶角：顶角 顶角 时，底角 找对称轴 对称轴是连接对应点的线段的垂直平分线，作两条对应点连线的中点并连成直线即可 两个图形关于 成轴对称，则 垂直平分任一组对应点的连线 4. 常见考试模型 4.1 将军饮马（最短路径）模型 公式：已知点 ， 在直线 的同侧，在 上求一点 ，使 最小——作点 关于 的对称点 ，连接 ，交 于点 ，点 即为所求。 限定：点 必须落在直线 上。 示例：如求 的最小值，作 关于 的对称点 ，则 的最小值为 。 4.2 折叠（翻折）模型 公式：图形沿某直线折叠，折痕即对称轴；折叠前后重合的线段相等、重合的角相等，重合的点是对称点。 限定：折叠前后对应关系不变，折痕垂直平分对应点的连线。 示例： 沿直线 折叠使点 与点 重合，则 ， 垂直平分 。 4.3 等腰三角形分类讨论模型 公式：已知等腰三角形的一边或一角求其余，须按”顶角/底角”或”腰/底边”分类讨论。 限定：所得边长必须满足三角形三边关系（两边之和大于第三边）。 示例：如等腰三角形两边长为 ，，周长只能是 （，， 不能构成三角形）。 4.4 网格中作轴对称图形模型 公式：在方格纸中，利用格点与对称轴作各关键点的对称点，再顺次连接得到轴对称图形。 限定：对称轴过格点或沿格线时，对称点仍落在格点上。 示例：如以某格线为对称轴，把格点三角形各顶点作对称点后连接，即得所求的轴对称三角形。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：等腰三角形已知一个角求其余角，漏了”顶角/底角”分类 典例：等腰三角形的一个内角为 ，求另外两个内角的度数。 错解：两底角相等，均为 ，顶角 ，所以另外两个角为 ，。 正解：分两类：①若 是顶角，则两底角 ；②若 是底角，则另一底角为 ，顶角 。所以另外两个角为 ， 或 ，。 原因：漏分类讨论。学生默认已知角是底角（或顶角），只算了一种情形。等腰三角形中”已知一个角”并不确定它是顶角还是底角，必须分两类分别求；尤其当已知角 时只能是顶角，当已知角 时两种情形都要讨论。 易错点 2：等腰三角形已知两边求周长，漏”哪条是腰”且忽略三边关系 典例：等腰三角形的两边长分别为 和 ，求它的周长。 错解：周长 ，或周长 。 正解：①若 为腰，三边为 ，，，但 ，不能构成三角形，舍去；②若 为腰，三边为 ，，，满足三边关系。所以周长为 。 原因：漏分类讨论且忽略三边关系。学生只取一种”腰”的假设，或虽分类但忘记用”两边之和大于第三边”检验，导致把 ，， 这种不能构成三角形的组合也当成答案。 易错点 3： 角性质用反，把” 所对直角边 斜边的一半”记成”斜边 直角边的一半” 典例：在 中，，，，求 。 错解：因为 角所对的直角边等于斜边的一半，所以 。 正解： 角所对的直角边是 ，所以 ，即 。 原因：概念理解与记忆错误。学生把”谁是谁的一半”弄反，把”所对的直角边 斜边的一半”错记成”斜边 直角边的一半”。解决关键是先判断 角对着哪条边，那条边是”短边”（斜边的一半），斜边才是”长边”。 易错点 4：角平分线上的点到角两边的”距离”是垂线段，误当成到边端点或顶点的连线 典例：点 在 的平分线上，且点 到 的距离为 ，求点 到 的距离。 错解：点 到 的距离不能确定，因为不知道 到 的连线长度。 正解：由角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，故点 到 的距离也是 。 原因：对”点到直线的距离”概念不清。角平分线性质定理中的”距离”专指点到边的垂线段的长度，学生误以为要”连线到边的端点或顶点”才能度量，其实只需从 分别向 ， 作垂线，两条垂线段必相等。 易错点 5：“三线合一”的”三线”记错，误用于底角的平分线 典例：判断：在等腰三角形 （）中，底角 的平分线 一定也是边 上的中线和高。 错解：正确。因为等腰三角形”三线合一”。 正解：错误。“三线合一”指的是顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高这三条线互相重合，即顶点处的角平分线同时是底边中线和底边高；底角的平分线 不具备这个性质。 原因：概念理解错误。学生对”三线合一”中”三线”具体指哪三条认识不清，误以为等腰三角形中任意一条角平分线（或高、中线）都三线合一。三线合一严格限定为”顶角平分线、底边中线、底边高”，且前提是 。 易错点 6：“轴对称图形”与”两个图形成轴对称”概念混淆 典例：判断：“轴对称图形”是指关于某条直线对称的两个图形。 错解：正确。轴对称图形就是关于某直线对称的两个图形。 正解：错误。“轴对称图形”是指一个图形沿对称轴对折后，两部分能互相重合，针对的是”一个图形”；而”两个图形关于某直线成轴对称”针对的是”两个图形”之间的位置关系。二者不同。 原因：概念混淆。“轴对称图形”（一个图形自身的对称性）与”成轴对称”（两个图形的对称关系）是本章最易混的一对概念。可借助教材结论区分：把轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形成轴对称；把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形。 学科网（北京）股份有限公司 $