第一章推理与证明（期中知识清单）八年级数学上学期新教材青岛版

第1章 推理与证明　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 定义与命题 1.1 定义 能够说明一个概念含义的语句叫作这个概念的定义。 示例：同一平面内没有公共点的两条直线叫作平行线；三个角都是锐角的三角形叫作锐角三角形。 注意：定义既可以作为性质使用，又可以提供判定的依据。如平行线的定义既揭示了平行线“没有公共点”的本质属性，又指出了平行线与相交线的区别。 1.2 命题 对某件事情作出判断的语句叫作命题。命题通常由条件和结论两部分组成：条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项。命题的一般叙述形式是“如果……，那么……”。 示例：“如果两个角的和是 ，那么这两个角互补”中，“两个角的和是 ”是条件，“这两个角互补”是结论。 1.3 真命题与假命题 当条件成立时，结论一定成立的命题叫作真命题。当条件成立时，结论不一定成立的命题叫作假命题。 1.4 反例 满足命题条件，而结论却与命题结论不同的例子叫作命题的反例。只要能举出一个反例，就可以说明这个命题是假命题。 示例：命题“如果 是有理数，那么 ”是假命题，当 时，，不满足 ，故 是该命题的一个反例。 2. 证明 2.1 基本事实 人们在长期的实践中，经过分析总结后，把那些公认的真命题作为基本事实，以基本事实为依据来证实其他命题。一个量可以用它的等量来替换，即等量代换，这就是一个基本事实。 在几何命题中，我们已学过的基本事实有： 1. 两点确定一条直线； 1. 两点之间线段最短； 1. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； 1. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行； 1. 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。 2.2 代数推理 在代数中，可以依据定义、运算法则、运算律、公式、等式（不等式）的基本性质等进行运算和推理。 2.3 证明与定理 从定义、基本事实及已知条件出发，通过逻辑推理的方法证实命题的过程叫作证明。经过推理证实的真命题叫作定理。定理和基本事实一样，也可以作为证明的依据。 示例：“对顶角相等”是经过推理证实的真命题，是定理。 几何证明过程一般有三个步骤： 1. 根据题意，画出图形； 1. 结合图形，写出“已知”“求证”； 1. 写出“证明”。 3. 几何证明举例 3.1 平行线的性质定理 定理 内容 性质定理Ⅰ 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等 性质定理Ⅱ 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等 性质定理Ⅲ 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补 3.2 平行线的判定定理 定理 内容 判定定理Ⅰ 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行 判定定理Ⅱ 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 3.3 互逆命题与逆定理 在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫作互逆命题。如果把其中一个命题叫作原命题，那么另一个命题叫作它的逆命题。如果一个定理的逆命题也是真命题，那么这个逆命题叫作原定理的逆定理。原命题成立，逆命题不一定成立。 示例：“对顶角相等”的逆命题是“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”，是假命题。 3.4 三角形内角和定理及其推论 三角形的内角和等于 。 为了证明的需要，在原来图形上添加的线叫作辅助线，辅助线通常画成虚线。 由基本事实或定理直接推出的真命题叫作推论。推论可以作为定理使用。三角形内角和定理的推论： 1. 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； 1. 三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角。 3.5 直角三角形的性质定理与判定定理 直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余。直角三角形的判定定理：有两个角互余的三角形是直角三角形。 3.6 反证法 这种先提出与命题的结论相反的假设，再从假设出发推出矛盾，从而证明命题成立的方法叫作反证法。 用反证法证明一个命题，一般有三个步骤： 1. 否定结论——假设命题的结论不成立； 1. 推出矛盾——从假设出发，根据已知条件，经过推理，得出一个与命题的条件、定义、基本事实、定理等相矛盾的结果； 1. 肯定结论——由矛盾判定假设不成立，从而证明命题成立。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 平行线的传递性 平行于同一条直线的两条直线也互相平行。如直线 ，直线 ，则 。 1.2 三角形的外角和 三角形的三个外角之和等于 。如 的三个外角之和等于 。 1.3 多边形内角和 边形的内角和等于 。如五边形的内角和为 ，四边形内角和为 。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 判断命题真假的方法 真命题须经过逻辑推理证实；要说明一个命题是假命题，只需举出一个反例。如说明“如果 ，那么 ”是假命题，举 ， 即可。 2.2 把命题改写成“如果……，那么……”的形式 先分清条件和结论，再写成“如果（条件），那么（结论）”。如“对顶角相等”改写为“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”。 2.3 几何证明的一般步骤 根据题意画出图形；结合图形写出“已知”“求证”；写出“证明”，每一步都注明推理依据。如证明“对顶角相等”，先画两直线相交图，再写“已知”“求证”，最后逐步推理。 2.4 反证法的适用情形 当从已知条件出发不易直接证得结论时，宜用反证法。步骤：否定结论→推出矛盾→肯定结论。如证明“一个三角形中不可能有两个直角”，假设有两个直角再推出与三角形内角和定理矛盾。 3. 小技巧 技巧 要点 举反例 优先取特殊数 、、 或特殊图形，反例必须满足条件但不满足结论 写逆命题 把原命题的条件和结论直接互换即可 作辅助线 证明角的关系常作平行线，构造同位角、内错角、同旁内角 证两直线垂直 转化为证明两直线所成的角等于 4. 常见考试模型 4.1 三角形内角平分线夹角模型 公式： 中，、 的平分线交于点 ，则 。 限定：、 必须是两条内角平分线； 是与 相对的那个角。 示例：如 ，则 。 4.2 三角形内、外角平分线夹角模型 公式： 中， 的平分线与 的外角平分线交于点 ，则 。 限定：一条是内角平分线、一条是外角平分线。 示例：如 ，则 。 4.3 五角星角度模型 公式：五角星的五个尖角之和等于 ，即 。 限定：五个角均为凸角（尖角），可利用三角形外角定理把五个角集中到一个三角形内证明。 示例：若五角星五个角相等，则每个角为 。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：举反例时没有满足命题的条件，导致反例无效 典例：判断命题“如果 ，那么 ，”的真假，并说明理由。 错解：取 ，，此时 、 都不成立，所以命题是假命题。 正解：取 ，，则 ，满足条件；但 、，不满足结论，所以命题是假命题。 原因：对“反例”的理解不到位。反例必须同时满足两个要求——满足命题的条件、但不满足命题的结论。学生举的反例 、 根本不满足条件“”，不能说明命题为假。判断命题真假时应先看清条件，反例要先让条件成立，再看结论是否被推翻。 易错点 2：误认为“原命题为真，逆命题也一定为真” 典例：命题“对顶角相等”是真命题，它的逆命题“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”是真命题还是假命题？ 错解：因为原命题是真命题，所以它的逆命题也是真命题。 正解：逆命题是假命题。反例：两个相等的角不一定是对顶角，如两条平行线被第三条直线所截形成的同位角相等，但它们不是对顶角。 原因：错误迁移了“原命题与逆命题同真假”的直觉。原命题成立，逆命题不一定成立，只有定理（经过证实的真命题）的逆命题为真时才叫逆定理。判断逆命题真假必须单独验证，不能由原命题的真假直接推出。 易错点 3：混淆平行线的性质与判定 典例：如图，直线 ，直线 与 、 相交，、 是一对内错角。填空：因为 （已知），所以 （　　）。 错解：填“内错角相等，两直线平行”。 正解：填“两直线平行，内错角相等”。 原因：性质与判定方向颠倒。由“两直线平行”推出“角相等（或互补）”用的是平行线的性质；由“角相等（或互补）”推出“两直线平行”用的是平行线的判定。学生看到角与平行的关系就凭印象填依据，未分辨推理方向：已知平行求角用性质，已知角求平行用判定。 易错点 4：反证法第一步“否定结论”写错 典例：用反证法证明“在一个三角形中，至少有一个内角大于或等于 ”时，第一步应假设什么？ 错解：假设三角形中恰好有一个内角大于或等于 。 正解：假设三角形的三个内角都小于 。 原因：不会正确写出结论的否定。“至少有一个内角大于或等于 ”的否定是“没有一个内角大于或等于 ”，即“所有内角都小于 ”。学生把“至少有一个”误解为“恰好有一个”或“至多有一个”，写出的假设与原结论不构成对立，导致后续无法推出矛盾。 易错点 5：三角形外角定理使用错误，忽略“不相邻”这一限定 典例：在 中，，，则与 相邻的外角等于（　）。 错解：与 相邻的外角 。 正解：，与 相邻的外角 （也等于 ）。 原因：对外角定理“与它不相邻的两个内角”理解有误。与 相邻的外角应等于与 不相邻的 与 之和，而不是包含 在内的任意两角之和。学生看到“外角等于两内角之和”就随意挑两个内角相加，忽略了“不相邻”这一限定。 易错点 6：把“祈使句、疑问句”误认为命题 典例：下列语句中，是命题的是（　）。① 过点 作一条射线；② 线段 的长是多少？③ 如果 ，那么 。 错解：①②③ 都是命题。 正解：只有 ③ 是命题。① 是作图要求（祈使句），② 是疑问句，都没有对某件事情作出判断；③ 作出了判断，是命题。 原因：没有抓住命题的本质“对某件事情作出判断”。命题必须是一个能判断真假的陈述句，祈使句（要求、命令）、疑问句、感叹句都不是命题。学生只看到句子含有数学内容就误判为命题，忽略了“是否作出判断”这一根本标准。 学科网（北京）股份有限公司 $