专题02 分式（3知识&8题型&4易错&2方法清单）（期中知识清单）八年级数学上学期新教材青岛版

6学科网·上好课 专题02分式 分式 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3知识&8题型&4易错&2方法清单) 知识图谱 1.分式的概念 2.分式有意义的条件 3,分式的值为零的条件 4.分式的基本性质 分式的概念及基本性质 5.约分 6.通分 7.最简分式 8.最简公分母 1.分式的加减法 2.分式的乘除法 分式的运算 3.分式的混合运算 4.分式的化简求值 1.分式方程的定义 2,分式方程的解 3.解分式方程 分式方程及应用 4.换元法解分式方程 5. 分式方程的增根 6.分式方程的应用 知识清单 1/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 清单01分式的概念及基本性质 1.分式的概念 (1)分式的概念：一般地，如果A,B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A叫做分式。 (2)因为0不能做除数，所以分式的分母不能为0. (3)分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除号，还兼有括号 的作用， (4)分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是A的形式，从本 B 质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简. 2.分式有意义的条件 (1)分式有意义的条件是分母不等于零 (2)分式无意义的条件是分母等于零. (3)分式的值为正数的条件是分子、分母同号. (4)分式的值为负数的条件是分子、分母异号. 3.分式的值为零的条件 分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零. 4.分式的基本性质 (1)分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变. (2)分式中的符号法则：分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变 5.约分 (1)约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分， (2)确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定 ①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式. ②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面， ③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式. 6.通分 (1)通分的定义：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做 分式的通分 (2)通分的关键是确定最简公分母. ①最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数， 2/12 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂的积， 7.最简分式 最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式. 8.最简公分母 (1)最简公分母的定义：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公 分母叫做最简公分母， 清单02分式的运算 1.分式的加减法 (1)同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. (2)异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分 母分式的加减就转化为同分母分式的加减。 2.分式的乘除法 (1)分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母， (2)分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘. (3)分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方 (4)分式的乘、除、乘方混合运算.运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，即 “先乘方，再乘除” 3.分式的混合运算 (1)分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有 括号的先算括号里面的 (2)最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式 (3)分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题月的特点，运用乘法的运算律进行灵活运 算。 4.分式的化简求值 先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值 在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简.化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果 要化成最简分式或整式， 清单03分式方程及应用 1.分式方程的定义 分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程 3/12 学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数. 2.分式方程的解 求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解. 3.解分式方程 (1)解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论 (2)解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验： ①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解， ②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解。 所以解分式方程时，一定要检验 4.换元法解分式方程 (1)解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法， 换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对 象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理， (2)我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而 简化问题，当然有时候要通过变形才能发现 5.分式方程的增根 (1)增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或 是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根， (2)增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未 知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件.当把分式方程转化为整式 方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是 原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根， (3)检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果 为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根 6.分式方程的应用 (1)列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答 必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等 (2)要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度=路程时间；工作量问题：工作效率=工作量工作 时间等等， 列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力， 4/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 期中常考题型清单 【题型一】分式、最简分式、最简公分母 【例】(2425八年级上湖北武汉期末)在：，日，，严，，中，分式有() x 6 πx+y A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【变式1-1】(24-25八年级上河北沧州期末)下列分式中，为最简分式的是() 3a A.5ab a+2 B.G+2 2a C. a2+3a D.a-ab a2-b2 【变式1-2】(24-25八年级上广东东莞期末)分式， 5 3r2’12y 的最简公分母是() A.12x2y B.12xy C.3x D.12xy 【题型二】分式有无意义的条件 【例2】(24-25八年级上北京延庆期末)分式a,有意义，实数a的取值范围是() a-3 A.a≠3 B.a≠0 C.a<3 D.a≥3 【变式2-1】(24-25八年级上·重庆綦江·期末)当x为任意实数时，下列分式一定有意义的是() x+1 A:时刊 B. x+1 x2 C.- x2 D.+1 x2-4 【变式2-2】(24-25八年级上江苏苏州期末)当x=1时，下列分式无意义的是() A.+1 B. C.x-1 D.x x x+1 -1 【题型三】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【例3】(24-25八年级上福建福州期末)下列各式从左到右的变形，一定正确的是() A. x+1 x B.-x=-x C. D.= y+1 y x-y y-x y2 y 【变式3-1】（24-25八年级上·安徽黄山期末)下列各式从左到右变形一定正确的是（) A.m=m B.1-m+n n n2 m-n m2-n C.m=mta D.m-=-1 nn+a m +n 变式3-2】(2425八年级上四广安期末)如果将分式x本中的x和y都扩大到原来的3倍，那么 式的值（) 5/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.不变 B.扩大到原来的3倍 C缩小照来的兮 D.缩小到原来的 【题型四】分式的混合运算 【例4】(24-25九年级下·江苏连云港期中)化简： a2-4 【变式4-1】(23-24八年级上·山东淄博·期中)化简下列各式： ①r-1x2+x x2-2x+1x-1 g 7÷a-1-2a-1） a+1 【变式4-2】(24-25八年级下·江苏扬州·期中)计算： (1) 2b a+b a-b b-a 2m1m- 【题型五】分式化简求值 【例5】(24-25八年级上·湖南岳阳·期中)先化简，再求值： x-1-3）s2+4x+4 其中x=5. x+1 x+1 【变式5-1】(24-25八年级下·四川成都期中)先化简，再求值： a2-a ÷1、1 并从-1、1、2 a2-2a+1a-1 中选一个你喜欢的值代入求值. 【俊式】2425八年级下该都期中)先化简司》站再从-101中法释 ，x2-1 个恰当的数代入求值. 【题型六】分式方程的定义 【例6】(24-25八年级上·广西贵港期中)下列各式中是关于x的分式方程的是() A.2x=4 B.x2+1=y C+1=0 D.1=2 x+1 【变式6-1】(24-25八年级下·上海崇明·期中)在下列方程中，分式方程是() A.2 B.Vxtl=2 3 3 C.2 D.2 【变式2】2425八年级上山东威海期)已知方程：@写-2：@-2，@y子，④ 5+x2:⑤ 6/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2 y+1=二；⑥1+3(x-2)=7-x,是分式方程的是() y A.①②③④⑤ B.②③④ C.②④)⑤ D.②④ 【题型七】解分式方程 【例7】(24-25八年级上山东青岛期中)解分式方程： 1 ①43x2 ②1 x-2 【变式7-1】(24-25八年级上湖南益阳·期中)解方程： (03 +1= 3 x-2 2-x 1 12 (2) x-1*x+1x-1 【变式7-2】(24-25八年级下·江苏无锡期中)解方程： 20 ②--2=2 x-3 3-x 【题型八】分式方程的实际应用 【例8】(24-25八年级下·四川成都期中)为提升成都历史文化街区风貌，市政府计划修建一条连接锦里 古街与金沙遗址的文化步道，全长7000米，甲工程队修3000米后，因另有其它任务离开，调来乙工程队 接着修路，乙队修完后，甲、乙两队共用50天，乙工程队每天修路的长度是甲工程队每天修路长度的2倍， 求甲队每天修路多少米。 【变式8-1】(23-24八年级上·广西桂林·期中)随着城际铁路的开通，从桂林到深圳的高铁里程比普快里程 缩短了120千米，运行时间减少了3.2小时，已知从桂林到深圳的普快列车里程约600千米，高铁平均速度 是普快平均速度的2.4倍 ()求高铁的平均速度. (②)从桂林到深圳的高铁途经贺州，途中需要停留12分钟，且从桂林到贺州的高铁里程为300千米.某日王 老师要从桂林到贺州参加11：00召开的会议，如果他买到当日9：15从桂林到贺州高铁票，而且从贺州火车 站到会议地点最多需要0.4小时，试问在高铁准点到达的情况下，王老师能在开会之前赶到吗？ 【变式8-2】(24-25八年级下，河南南阳·期中)【问题背景】4月23日是“世界读书日”，为给师生提供更 加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进书架用于摆放书籍， 7/12 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【素材呈现】 素材一：有A,B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架的单价高10%； 素材二：用11000元购买A种书架的数量比用8000元购买B种书架的数量多4个. 【问题解决】 问题：分别求出A,B两种书架的单价. 高频易错归因清单 【题型一】求使分式为正（负）数时未知数的取值范围 【例1】已知分式华的值是非负数，那么x的取值范围是{) A.x>-4且x≠0B.x≥-4 C.x≠0 D.x≥-4且x≠0 【变式1】若分式2x的值为正，则x的取值范围是 ) B.x>2 1 C.x- 1 A.x>0 2 D.>-2且x≠0 变式12】23-24人致袋菏泽期中)若分式的为负数，则x的取值花圆 【题型二】求使分式值为整数时未知数的整数值 【例2】对于非负整数x,使得+2是一个正整数，则x可取的个数有() x+2 A.3 B.4 C.5 D.6 【变式2-1】若分式6。的值是正整数，则m可取的整数有() m-2 A.4个 B.5个 C.6个 D.8个 【变式22】若分式10x-1 的值为整数，则整数x的值为」 2x-1 【题型三】分式方程无解与增根 【例3】若关于x的分式方程-”-3=1无解，则实数m= x-3x 【变式3-1】(2425八年级上湖南娄底期中)已知关于x的分式方程长，，3=1有塔根，则 x-22-x k= 变式3-2】(2324八年级上贵州围仁期末关于x的分式方程”42有增根，则m为 8/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【题型四】已知方程的根的情况求参数的取值范围 【例4】(2425八年级上重肤水川斯末)考分式方程年1”有正数解，则m的联位范围为 m 【变式4-1】(24-25七年级上上海期末)如果关于x的方程-！+2-=2x+a的解为负数，那么a x-2x+1x2-x-2 的取值范围是 【变式42】(23-24八年级上新疆乌鲁木齐期末)若关于x的分式方程x-4= 有正整数解，则整数 x-22-x k为 方法技巧速通清单 【题型一】与分式及分式方程有关的规律性问题 方法技巧总结： 1.观察特例：先写出前34个具体的分式，不要急于化简。这样更容易发现分子、分母各自的变化规律。 2.分离变量：把分子和分母分开来看。看看它们是跟序号n有什么关系，比如是不是的倍数、平方，或 者是n加减一个固定的数。 3.归纳通项：用含n的式子把找到的规律表示出来。得到通项公式后，一定要代入序号验证，确保公式 正确。 【例1】(24-25九年级下·安微准南·期中)观察下列式子，并探索它们的规律： 。品 2 24 2= 3×55×7219 224 a=5x7+7×945 … (1)写出第5个等式a= (2)猜想并写出第n个等式an= 9/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)试证明(2)中你猜想的正确性， 【变式1-1】(24-25八年级上·北京顺义·期中)观察下列方程及其解的特征 第1个方程：+=2的解为x,=x2=1 第2个方程：x+=的解为6=2，x,=) x 2 2 第3个方程x+上9俏解为西=3月 解答下列问题： ①)猜想，第5个方程，方程x+下=的解为 (2)关于x的第n个方程为 ，它的解为 ； (3)利用上述规律解关于x的分式方程：x+,1=+3a+1 4x-6 2a 【变式1-2】(24-25七年级下.安微蚌埠·期中)观察下列等式： 第1个等式：a,= 112 十一 1×2×321×3 第2个等式：4，= 113 x3×432×4 1 14 第3个等式：4，=3x4x5+43x5 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式a=; (2)猜想并写出第n个等式an=(用含n的式子表示)； (3)通过代数运算说明(2)中猜想正确. 【题型二】与分式及分式运算有关的新定义型问题 方法技巧总结： 1.读懂定义：这是最关键的一步。仔细阅读题目给出的新定义或新运算规则，圈出关键词。用具体数字代 替字母，亲手算一遍，确保完全理解。 2.转化问题：理解新定义后，把它看作一个己知的"公式"或工具"。然后分析题目要求，将新定义问题转 化为熟悉的数学问题，如化简、求值或解方程。 3.严格套用：解题过程中，严格按照新定义的规则进行运算。不要凭感觉或套用旧公式。每一步都要有根 据，确保逻辑清晰，符合题目设定。 10/12 专题02 分式（3知识&8题型&4易错&2方法清单） 清单01 分式的概念及基本性质 1.分式的概念 （1）分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式． （2）因为0不能做除数，所以分式的分母不能为0． （3）分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除号，还兼有括号的作用． （4）分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是的形式，从本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简． 2．分式有意义的条件 （1）分式有意义的条件是分母不等于零． （2）分式无意义的条件是分母等于零． （3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号． （4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号． 3．分式的值为零的条件 分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零． 4．分式的基本性质 （1）分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． （2）分式中的符号法则：分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变． 5.约分 （1）约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分． （2）确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定． ①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式． ②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面． ③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式． 6.通分 （1）通分的定义：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分． （2）通分的关键是确定最简公分母． ①最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数． ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂的积． 7.最简分式 最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式． 8.最简公分母 （1）最简公分母的定义：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母． 清单02 分式的运算 1．分式的加减法 （1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减． （2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减． 2．分式的乘除法 （1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母． （2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． （3）分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方． （4）分式的乘、除、乘方混合运算．运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，即“先乘方，再乘除”． 3．分式的混合运算 （1）分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的． （2）最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． （3）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算． 4．分式的化简求值 先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值． 在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 清单03 分式方程及应用 1．分式方程的定义 分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数． 2．分式方程的解 求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解． 3．解分式方程 （1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论． （2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验： ①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解． ②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解． 所以解分式方程时，一定要检验． 4．换元法解分式方程 （1）解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． （2）我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现． 5．分式方程的增根 （1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根． （2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根． （3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根． 6．分式方程的应用 （1）列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答． 必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等． （2）要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间等等． 列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力． 【题型一】分式、最简分式、最简公分母 【例1】（24-25八年级上·湖北武汉·期末）在，，，，中，分式有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【知识点】分式的判断 【分析】本题考查了分式的定义，即形如，其中，都是整式，且中含有字母，熟练掌握定义是解题的关键．根据分式的定义判断即可． 【详解】解：在，，，，中，分式有，，共个， 故选：B． 【变式1-1】（24-25八年级上·河北沧州·期末）下列分式中，为最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】最简分式 【分析】本题考查了最简分式的识别，与最简分数的意义类似，当一个分式的分子与分母，除去1以外没有其它的公因式时，这样的分式叫做最简分式．根据定义判断即可． 【详解】解：A．，故不是最简分式； B．，是最简分式； C．，故不是最简分式； D．，故不是最简分式； 故选B． 【变式1-2】（24-25八年级上·广东东莞·期末）分式，的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】最简公分母 【分析】本题主要考查了最简公分母，理解最简公分母的定义是解题关键．最简公分母：取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母，据此解答即可． 【详解】解：分式，的最简公分母是． 故选：A． 【题型二】分式有无意义的条件 【例2】（24-25八年级上·北京延庆·期末）分式有意义，实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】分式有意义的条件 【分析】根据分式有意义，分母不为零列式计算即可得解． 本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式的值为零⇔分子为零且分母不为零． 【详解】解：由题意得，，解得：， 故选：A． 【变式2-1】（24-25八年级上·重庆綦江·期末）当为任意实数时，下列分式一定有意义的是（） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】分式有意义的条件 【分析】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握相关定义是解题关键．直接利用分式有意义的条件分别分析得出答案．分式有意义的条件是分母不等于零． 【详解】解：A．当时，即为任意实数时，分式有意义，故本选项符合题意； B．当时，即时，分式有意义，故本选项不合题意； C．当时，即时，分式有意义，故本选项不合题意； D．当时，即时，分式有意义，故本选项不合题意； 故选：A． 【变式2-2】（24-25八年级上·江苏苏州·期末）当时，下列分式无意义的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分式有意义的条件、分式无意义的条件 【分析】此题考查了分式无意义．解题的关键是熟练掌握分式有意义的条件．分母为零，分式无意义；分母不为零，分式有意义． 根据分母为0，分式无意义；分母不为零，分式有意义，逐一判断即得． 【详解】A、当时，分式有意义； B、当时，，分式有意义； C、当时，分式有意义； D、当时，，分式无意义． 故选：D． 【题型三】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【例3】（24-25八年级上·福建福州·期末）下列各式从左到右的变形，一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断分式变形是否正确 【分析】本题考查了分式的基本性质．根据分式的基本性质，分式的分子与分母同时乘以或除以一个不为0的整式，分式的值不变，然后进行逐项判断． 【详解】解：A、原变形错误，故本选项不符合题意； B、原变形错误，故本选项不符合题意； C、原变形错误，故本选项不符合题意； D、原变形正确，故本选项符合题意． 故选：D． 【变式3-1】（24-25八年级上·安徽黄山·期末）下列各式从左到右变形一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断分式变形是否正确 【分析】此题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质逐项进行判断即可． 【详解】A.，故选项错误，不符合题意； B. 当时，，故选项错误，不符合题意； C. ，故选项错误，不符合题意； D. ，故选项正确，符合题意； 故选：D 【变式3-2】（24-25八年级上·四川广安·期末）如果将分式中的x和y都扩大到原来的3倍，那么分式的值（   ） A．不变 B．扩大到原来的3倍 C．缩小到原来的 D．缩小到原来的 【答案】A 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】本题考查了分式的基本性质．解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，即可解题． 【详解】解：如果将分式中的x和y都扩大到原来的3倍， 则， 分式的值不变， 故选：A． 【题型四】分式的混合运算 【例4】（24-25九年级下·江苏连云港·期中）化简： 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算是解题的关键．先把括号内通分，再进行同分母的加法运算，接着把除法运算化为乘法运算，然后约分即可． 【详解】解： ． 【变式4-1】（23-24八年级上·山东淄博·期中）化简下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】题目主要考查分式的混合运算，掌握分式混合运算的法则是解题的关键． （1）将每个分式的分子、分母分解因式后将除法变为乘法后约分即可． （2）先通分计算括号内的运算，然后再计算除法运算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【变式4-2】（24-25八年级下·江苏扬州·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了异分母分式加减运算，分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先将异分母分式化为同分母分式，再相加约分即可； （2）先将括号的式子通分，再将除法变为乘法，再约分即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【题型五】分式化简求值 【例5】（24-25八年级上·湖南岳阳·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法，然后将代入计算即可得． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 【变式5-1】（24-25八年级下·四川成都·期中）先化简，再求值：，并从、1、2中选一个你喜欢的值代入求值． 【答案】； 【分析】本题考查了分式的化简求值．先对分子分母因式分解，再对括号内的进行通分，将除法变为乘法，约分后代入求值即可． 【详解】解： ， ，， ，2， 当时，原式 【变式5-2】（24-25八年级下·四川成都·期中）先化简，再从，0，1中选择一个恰当的数代入求值． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，先通分括号内的式子，再算括号外的乘法，然后从，0，1中选择一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： ， ， ， 当时，原式． 【题型六】分式方程的定义 【例6】（24-25八年级上·广西贵港·期中）下列各式中是关于x的分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是分式方程的定义，分式方程的定义：①形如的式子；②其中，均为整式，且中含有字母.根据分式方程的定义，即可得出答案. 【详解】解：A. ，B. ，C. 都是整式方程，故不符合题意； D. 是分式方程，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【变式6-1】（24-25八年级下·上海崇明·期中）在下列方程中，分式方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的定义．判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、它不是分式方程； B、它不是分式方程； C、它是分式方程； D、它不是分式方程． 故选：C 【变式6-2】（24-25八年级上·山东威海·期中）已知方程：①；②；③；④；⑤；⑥，是分式方程的是（    ） A．①②③④⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．②④ 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的概念：分母中含有字母的方程，根据此概念进行判断即可． 【详解】解：②④⑤是分式方程，①⑥是一元一次方程，③是二元一次方程； 故选：C． 【题型七】解分式方程 【例7】（24-25八年级上·山东青岛·期中）解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)无解． 【分析】本题考查了解分式方程，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解，求出未知数的值后不要忘记检验． （1）两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可． （2）两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可． 【详解】（1） 两边都乘以，得 解得 检验：当时， ∴是原方程的解 （2） 两边都乘以，得 解得 检验：当时， ∴是原方程的增根，原方程无解 【变式7-1】（24-25八年级上·湖南益阳·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)原方程无解 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟知解分式方程的方法是解题的关键． （1）按照去分母，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，再检验即可得到答案； （2）按照去分母，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，再检验即可得到答案． 【详解】（1）解： 去分母得；， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验，当时，， ∴是原方程的解； （2）解： 去分母得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验，当时，， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． 【变式7-2】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可． 【详解】（1）解：去分母得：， 整理得：， 解得：， 检验：当时，， 故原方程的解为． （2）去分母得：， 整理得：， 解得：， 检验：当时，， 故原方程的解为． 【题型八】分式方程的实际应用 【例8】（24-25八年级下·四川成都·期中）为提升成都历史文化街区风貌，市政府计划修建一条连接锦里古街与金沙遗址的文化步道，全长7000米，甲工程队修3000米后，因另有其它任务离开，调来乙工程队接着修路，乙队修完后，甲、乙两队共用50天，乙工程队每天修路的长度是甲工程队每天修路长度的2倍，求甲队每天修路多少米． 【答案】100米 【分析】本题考查分式方程的应用，设甲队每天修路x米，则乙队每天修路米，根据甲、乙两队共用50天，列分式方程，求出解后进行检验即可． 【详解】解：设甲队每天修路x米，则乙队每天修路米， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：甲队每天修路100米． 【变式8-1】（23-24八年级上·广西桂林·期中）随着城际铁路的开通，从桂林到深圳的高铁里程比普快里程缩短了120千米，运行时间减少了3.2小时，已知从桂林到深圳的普快列车里程约600千米，高铁平均速度是普快平均速度的2.4倍． (1)求高铁的平均速度． (2)从桂林到深圳的高铁途经贺州，途中需要停留12分钟，且从桂林到贺州的高铁里程为300千米．某日王老师要从桂林到贺州参加11:00召开的会议，如果他买到当日9:15从桂林到贺州高铁票，而且从贺州火车站到会议地点最多需要0.4小时，试问在高铁准点到达的情况下，王老师能在开会之前赶到吗？ 【答案】(1)高铁的平均速度为300千米/时 (2)王老师能在开会之前赶到 【分析】本题主要考查了分式方程的应用， 对于（1），设普快的平均速度为x千米/时，可得高铁的速度，再根据时间的差等于3.2小时列出分式方程，检验可得答案； 对于（2），先求出王老师实际所需时间，再和规定时间比较可得答案． 【详解】（1）解：设普快的平均速度为x千米/时，则高铁的速度为千米/时，根据题意得： ，          解得：．                           经检验，是原方程的解，          ． 答：高铁的平均速度为300千米/时． （2）解：王老师能在开会之前赶到，                （小时），          （小时），         ∵， ∴王老师能在开会之前赶到． 【变式8-2】（24-25八年级下·河南南阳·期中）【问题背景】4月23日是“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进书架用于摆放书籍． 【素材呈现】 素材一：有A，B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架的单价高； 素材二：用11000元购买A种书架的数量比用8000元购买B种书架的数量多4个． 【问题解决】 问题：分别求出A，B两种书架的单价． 【答案】A种书架的单价为550元，B种书架的单价为500元 【分析】本题考查分式方程的实际应用，设B种书架的单价为x元，根据A种书架的单价比B种书架的单价高，用11000元购买A种书架的数量比用8000元购买B种书架的数量多4个，列出分式方程进行求解即可． 【详解】解：设B种书架的单价为x元，则A种书架的单价为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴（元）． 答：A种书架的单价为550元，B种书架的单价为500元． 【题型一】求使分式为正(负)数时未知数的取值范围 【例1】已知分式的值是非负数，那么x的取值范围是（    ） A．且 B． C． D．且 【答案】D 【知识点】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围、求不等式组的解集 【分析】本题考查分式值的正负性问题，也考查了解一元一次不等式．根据的值是非负数得到且，进而能求出x的取值范围． 【详解】解：∵， ∴且， ∴且． 故选：D． 【变式1-1】若分式的值为正，则的取值范围是(    ) A． B． C． D．且 【答案】D 【知识点】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 【分析】本题考查不等式的解法和分式值的正负条件．解不等式时当未知数的系数是负数时，两边同除以未知数的系数需改变不等号的方向，当未知数的系数是正数时，两边同除以未知数的系数不需改变不等号的方向． 根据题意，因为任何实数的平方都是非负数，分母不能为0，所以分母是正数，主要分子的值是正数则可，从而列出不等式求解即可． 【详解】解：由题意得，，且， ∵分式的值为正， ∴， ∴， ∴且． 故选：D． 【变式1-2】（23-24八年级上·山东菏泽·期中）若分式的值为负数，则的取值范围是 ． 【答案】且 【知识点】分式有意义的条件、求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件、分式值为负数时未知数的取值范围；根据分式的分母不能为0得出，再根据分式的值为负数得出，进行计算即可得到答案． 【详解】解：根据题意得：， ， 分式的值为负数，， ， ， 的取值范围是且， 故答案为：且． 【题型二】求使分式值为整数时未知数的整数值 【例2】对于非负整数，使得是一个正整数，则可取的个数有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】本题主要考查了分式的化简变形，解题时要能熟练掌握并理解．依据题意，由，再结合为正整数，为非负整数，进而可以得解． 【详解】解：由题意，，且为正整数，为非负整数， 必为正整数． 为的正因数，可能为，，，， 为非负整数， 可能为，，． 又为正整数， 或或均符合题意，共种可能． 故选：A． 【变式2-1】若分式的值是正整数，则可取的整数有（　　） A．4个 B．5个 C．6个 D．8个 【答案】A 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】本题主要考查了分式的值，利用已知条件得到关于m的不等式，再利用有理数的整除的性质解答即可． 【详解】解：若分式的值是正整数，且为整数， 则是6的约数，． ∴或或或， 即的值为8或5或4或3，共4个． 【变式2-2】若分式的值为整数，则整数x的值为 ． 【答案】或或或 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】本题考查了求使分式值为整数时未知数的整数值问题，将分式化为，分别代值计算，即可求解；掌握这类典型问题的解法是解题的关键． 【详解】解： ， 分式的值为整数，且x是整数， 或 或或， 解得：或或或， 故答案：或或或． 【题型三】分式方程无解与增根 【例3】若关于x的分式方程无解，则实数 ． 【答案】0或3 【知识点】根据分式方程解的情况求值、分式方程无解问题、解分式方程 【分析】本题考查分式方程的解．熟练掌握分式方程的解法，注意方程增根的情况是解题的关键． 分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项合并同类项，得， ①当无解时，m=0； ②当整式方程的解为分式方程的增根时， ，，矛盾； 或，， ∴． 故答案为：0或3． 【变式3-1】（24-25八年级上·湖南娄底·期中）已知关于的分式方程有增根，则 ． 【答案】 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查分式方程的增根．先将分式方程去分母转化为整式方程，然后根据分式方程有增根求出x的值，再把x的值代入整式方程计算即可求出k的值． 【详解】解：去分母得，， ∵分式方程有增根， ∴，则， 把代入得 ， 解得：， 故答案为：． 【变式3-2】（23-24八年级上·贵州铜仁·期末）关于x的分式方程有增根，则m为 ． 【答案】4或0 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】本题主要考查分式方程增根的定义，分式方程的增根是使得最简公分母为0的未知数的取值，根据分式方程的增根定义即可求解． 【详解】解：∵关于x的分式方程有增根， ∴， ∴， 解分式方程： 去分母得：， 当时， ， 当时， ， 故m的值为4或0． 故答案为∶ 4或0． 【题型四】已知方程的根的情况求参数的取值范围 【例4】（24-25八年级上·重庆永川·期末）若分式方程有正数解，则的取值范围为 ． 【答案】且 【知识点】求一元一次不等式的解集、根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查了分式方程的解、一元一次不等式的解集，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．将分式方程化为整式方程，解得，再利用原方程的解为正数，得到且，解不等式即可求出的取值范围． 【详解】解：， 去分母得，， 解得：， 分式方程有正数解， 且， 且， 且且， 且． 故答案为：且． 【变式4-1】（24-25七年级上·上海·期末）如果关于x的方程的解为负数，那么a的取值范围是 ． 【答案】且 【知识点】解分式方程、根据分式方程解的情况求值、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了解分式方程．熟练掌握解分式方程方法步骤，根据解的取值范围，确定字母系数的取值范围，是解决问题的关键． 去分母解所得整式方程，根据方程的解为负数与分母不为0，解不等式，即得． 【详解】两边都乘以最简公分母， 得， 解得， ∵方程的解为负数， ∴且 ，， 解得且． 故答案为：且． 【变式4-2】（23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）若关于的分式方程有正整数解，则整数为 ． 【答案】0或3/3或0 【知识点】解分式方程、根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查了分式方程的解，难点在于对所求出的k的值进行检验，必须使分式方程有意义． 方程两边都乘以最简公分母，把分式方程化为整式方程求出x的表达式，再根据x是正整数且k是整数，求出k，然后进行检验即可． 【详解】解：， 去分母得：， 解得：， ∵分式方程有正整数解，k是整数， ∴或或， 解得或1或3， 当时，， 解得，此时，符合题意； 当时，， 解得，此时，不合题意，舍去； 当时， 解得，此时，符合题意； 所以或3． 故答案为：0或3． 【题型一】与分式及分式方程有关的规律性问题 方法技巧总结： 1. 观察特例：先写出前3-4个具体的分式，不要急于化简。这样更容易发现分子、分母各自的变化规律。 2. 分离变量：把分子和分母分开来看。看看它们是跟序号n有什么关系，比如是不是n的倍数、平方，或者是n加减一个固定的数。 3. 归纳通项：用含n的式子把找到的规律表示出来。得到通项公式后，一定要代入序号n验证，确保公式正确。 【例1】（24-25九年级下·安徽淮南·期中）观察下列式子，并探索它们的规律： ； ； ； ... (1)写出第5个等式___________； (2)猜想并写出第个等式___________； (3)试证明（2）中你猜想的正确性． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查了分式的规律探究，正确理解题干信息、得到规律是解题的关键； （1）根据题干中前面的几个式子找到规律解答即可； （2）根据题干中前面的几个式子找到规律解答即可； （3）根据分式的运算法则计算验证即可． 【详解】（1）解：∵； ； ； ... ∴第5个等式； （2）解：第个等式为； （3）证明： ， . 【变式1-1】（24-25八年级上·北京顺义·期中）观察下列方程及其解的特征 第1个方程：的解为 第2个方程：的解为 第3个方程的解为 解答下列问题： (1)猜想，第5个方程，方程的解为________． (2)关于的第个方程为________，它的解为________； (3)利用上述规律解关于的分式方程： 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查了解分式方程，数式规律问题，分式方程的解，根据题意找出规律是解题的关键． （1）仿照题中规律，解答即可； （2）仿照题中规律，解答即可； （3）先把原方程两边同时乘2，进行变形为，利用得出的规律解答即可． 【详解】（1）解：，即， ∴，， 故答案为：，； （2）解：可猜想第n个方程为：的解为，， 故答案为：，； （3）解：方程两边乘2得，， 移项，得， ∴或， 解得：，， 经检验得，，是原方程的解． 【变式1-2】（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式_____； (2)猜想并写出第n个等式_____（用含n的式子表示）； (3)通过代数运算说明（2）中猜想正确． 【答案】(1)； (2)； (3)见解析 【分析】本题主要考查数字规律，理解题意，找出规律是关键． （1）根据材料提示方法计算即可； （2）结合材料提示方法得到猜想； （3）根据分式的混合运算法则计算判定即可． 【详解】（1）解：根据材料提示方法得到，， 故答案为：； （2）解：根据材料的计算方法得到，， 故答案为：； （3）解：说明如下， 左边 ， ∴左边右边， ∴等式成立，即猜想正确． 【题型二】与分式及分式运算有关的新定义型问题 方法技巧总结： 1. 读懂定义：这是最关键的一步。仔细阅读题目给出的新定义或新运算规则，圈出关键词。用具体数字代替字母，亲手算一遍，确保完全理解。 2. 转化问题：理解新定义后，把它看作一个已知的"公式"或"工具"。然后分析题目要求，将新定义问题转化为熟悉的数学问题，如化简、求值或解方程。 3. 严格套用：解题过程中，严格按照新定义的规则进行运算。不要凭感觉或套用旧公式。每一步都要有根据，确保逻辑清晰，符合题目设定。 【例2】（24-25八年级下·河南新乡·期中）定义：若分式A与分式B的差等于它们的积，即，则称分式B是分式A的“关联分式”． 例如：与 ，， 是的“关联分式”． (1)已知分式，则__________的“关联分式”（填“是”或“不是”）； (2)求分式的“关联分式”； (3)观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“关联分式”：__________． 【答案】(1)是 (2) (3) 【分析】本题考查用新定义解决数学问题，熟练掌握分式混合运算法则是求解本题的基础． （1）根据关联分式的定义判断； （2）仿照和谐小组成员的方法，设的关联分式是N，则，求出N即可； （3）根据（1）（2）的结果找出规律，再利用规律求解． 【详解】（1）解：∵， ， ∴是的“关联分式”． 故答案为：是； （2）解：设的关联分式是N，则： ， ∴， ∴ ∴； （3）解：由（1）（2）知：的关联分式为：． 故答案为：． 【变式2-1】（24-25八年级下·江苏扬州·期中）给出定义：若一个分式约分后分子是一个常数，分母是一个一次整式，则称这个分式为“好看分式”，例如，，则是“好看分式”．根据上述定义，解决问题． (1)分式、，其中是“好看分式”的是________． (2)①若分式（为常数且）是一个“好看分式”，求的值； ②若分式（为常数且）是一个“好看分式”，求的值； (3)若分式（、为常数且）是一个“好看分式”，且、都是正整数，直接写出的所有可能结果． 【答案】(1) (2)①；② (3)1，2，3 【分析】本题主要考查了分式的约分，解题时要能根据所给新定义问题结合所学分式的知识进行化简是关键． （1）依据题意，由，分式分母无法在实数范围内分解，分子分母无公因式，无法约分为常数分子，进而可以判断得解； （2）①依据题意，分母分解：，结合题意分子需与分母中的或有公因式，从而，则，进而可以判断得解； ②依据题意，分母分解：需分解为，使常数项为，即，从而分母为，对应，即可判断得解； （3）依据题意，由分式分母分解：设，则，故需等于，即，从而此时分式化简为正整数解：①，则；②，则；③，则，进而可以判断得解． 【详解】（1）解：∵， ∴，符合“好看分式”定义． 又 ∵分式分母无法在实数范围内分解，分子分母无公因式，无法约分为常数分子， ∴分式不符合“好看分式”定义． 故答案为：． （2）解：①由题意，分母分解：． 又 ∵分式为“好看分式”， ∴分子需与分母中的或有公因式． ∵，则， ∴此时分式化简为，符合定义． ∴． ②由题意，分母分解：需分解为，使常数项为，即， ∴分母为，对应． （3）解：由题意，∵分式分母分解： 设， 则． ∴需等于，即． ∴此时分式化简为， 正整数解： ①，则； ②，则 ； ③，则． ∴的可能值为． 【变式2-2】（24-25八年级下·江苏扬州·期中）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”． 如，，则和都是“和谐分式”． (1)下列各式中，属于“和谐分式”的是： （填序号）； ①②③④ (2)将“和谐分式”和化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：＝，＝． (3)和谐分式的最大值为． (4)如果和谐分式的值为整数，求出所有符合条件的正整数x的值． 【答案】(1)①③ (2)； (3)3 (4)2或8 【分析】本题考查了分式的化简、分式有意义的条件及分式的混合运算．解决本题的关键是弄清楚“和谐分式”的定义． （1）根据“和谐分式”的定义可判定求解； （2）根据分式的性质，结合“和谐分式”的定义进行化简求解； （3）先对变形，配凑出，依据得范围，进而确定范围，求出最大值． （4）把变形为，因值为整数，故是的因数，据此找正整数． 【详解】（1）解：①，是“和谐分式”． ②，不是“和谐分式”（分子不是常数）． ③，是“和谐分式”． ④，不是“和谐分式”（分子不是常数）． 故答案为①③． （2）解：． ． （3）解：． 因为， 则，， 所以， 最大值为． （4）解：． 因为值为整数， 所以是的因数， 或（正整数）， 解得或． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $