第二章有理数的运算（期中知识清单）七年级数学上学期新教材青岛版

第二章 有理数的运算　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 有理数的加法与减法 1.1 有理数加法法则 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得 0。 一个数与 0 相加，仍得这个数。 示例：（同号两数相加）；（异号两数相加）；；。 注意：同号两数相加，“和”的符号与两加数相同，把绝对值相加；异号两数相加，“和”的符号取绝对值较大的加数的符号，把绝对值相减。 1.2 加法交换律、加法结合律 加法交换律 两个数相加，交换加数的位置，和不变，即 。 加法结合律 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变，即 。 示例：。 1.3 有理数减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数，即 。 示例：；；。 注意：在有理数范围内，不仅可以用较大的数减去较小的数，也可以两个相等的数相减，还可以用较小的数减去较大的数。 1.4 有理数的加减混合运算 有理数的加减混合运算的一般步骤是先将有理数加减混合运算统一成加法运算，省略括号及括号前面的加号后，再按照有理数的加法运算律和加法法则进行运算。 示例：。 2. 有理数的乘法与除法 2.1 有理数乘法法则 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 任何数与 0 相乘，积仍得 0。 示例：（同号得正）；（异号得负）。 2.2 倒数 乘积是 1 的两个有理数互为倒数。 示例：，所以 与 互为倒数。 2.3 乘法运算律 乘法交换律 两个数相乘，交换因数的位置，积不变，即 。 乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变，即 。 乘法对加法的分配律 一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加，即 。 示例：。 2.4 几个非零数相乘的符号规律 几个非零数相乘，积的符号取决于负因数的个数。当负因数的个数为奇数时，积为负；当负因数的个数为偶数时，积为正。 示例： 中共有 3 个负因数，积为负，得 。 2.5 有理数除法法则 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 0 除以任何一个不等于 0 的数都得 0。 示例：（同号得正）；（异号得负）。 2.6 除法转化为乘法 有理数的除法运算可以转化为乘法运算，即除以一个不为 0 的数，等于乘这个数的倒数。 示例：。 3. 有理数的乘方 3.1 乘方的定义 一般地， 个相同的因数 相乘，记作 。这种求几个相同因数的积的运算，叫作乘方，乘方的结果叫作幂。 示例：； 表示 5 个 相乘。 3.2 底数、指数 在 中， 叫作底数， 叫作指数。 读作 “ 的 次方”；当把 看作 的 次方的结果时，也可读作 “ 的 次幂”。 一个数可以看作这个数本身的一次方，指数 1 通常省略不写。 示例： 中，底数是 ，指数是 5； 可以看作 。 3.3 幂的符号规律 正数的任何次幂都是正数；负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数；0 的任何正整数次幂都是 0。 示例：（偶次幂）；（奇次幂）；。 4. 科学记数法与近似数 4.1 科学记数法 把一个绝对值大于 10 的数记作 的形式，其中 ， 是正整数，这种记数方法叫作科学记数法。 示例：；。 4.2 近似数 四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。 示例： 精确到 0.01 得 ；精确到个位得 。 5. 有理数的混合运算 5.1 运算顺序 一般地，有理数的混合运算应按下面的运算顺序进行： 先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，按从左到右的顺序进行；如果有括号，先算括号里面的，并按小括号、中括号、大括号的顺序进行。 示例：；；。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 多因数乘除的符号判定 多个非零有理数相乘（或连除），结果的符号只由负因数（负数）的个数决定：负数的个数为奇数，结果为负；为偶数，结果为正。先定符号，再算绝对值。 1.2 负数的幂的符号 设 为正整数，则 （偶次幂为正），（奇次幂为负）；而 恒为负（先算乘方，再取相反数）。 1.3 平方与绝对值的非负性 对任意有理数 ，都有 ，，且 当且仅当 。可用于判断式子正负、求最值及”非负数之和为 0”类问题。 1.4 科学记数法中 与原数整数位数的关系 绝对值大于 10 的数写成 时， 等于原数整数位数减 1；反过来，把 还原时，在 的小数点后补足 位。如 有 6 位整数，，故 。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 有理数加法的运算步骤 先定”和”的符号（同号取相同符号，异号取绝对值较大者的符号），再算绝对值（同号相加、异号相减）。如 ：异号，取绝对值较大的 的符号”负”，，故得 。 2.2 有理数加减混合运算的步骤 利用减法法则把减法统一成加法 → 省略加号与括号，写成”和”的形式 → 运用加法交换律、结合律（同号凑整、相反数相消）→ 按加法法则求和。如 。 2.3 有理数乘除混合运算的步骤 先定符号（看负数个数奇偶）→ 把除法转化为乘法（除以一个数等于乘它的倒数）→ 绝对值相乘、约分。如 ：负数 3 个，结果为负，。 【使用提醒】任何数除以 0 都无意义，除法转化为乘法时除数必须不为 0。 2.4 有理数混合运算的顺序 按”乘方 → 乘除 → 加减”由高到低，同级从左到右，有括号先算括号（小 → 中 → 大）。如 ：先算括号 ，再算乘除 、，最后 。 2.5 正负数表示与基准量问题 实际问题中先规定正、负（如”前进为正、后退为负”，“超出标准记正、不足记负”），把文字描述统一成有理数，再按题意求和。如以标准质量 为基准，记录 ，这些数之和就是总质量与标准质量的差。 3. 运算小技巧 技巧 要点 示例 加法凑整 运用交换律、结合律把同号数、互为相反数、能凑成整数的数先加 乘法凑整 把互为倒数、能约分凑整的数先乘 分配律正用 一个数与几个数的和相乘，分别相乘再相加 分配律逆用 提取公因数，先合并再算 分数先定符号 把分子、分母的负号统一移到分数前 拆分凑整 把接近整百、整十的数拆成”整数＋零头”再用分配律 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：异号两数相加，符号取错、绝对值相减算成相加 典例：计算：。 错解：。 正解：异号两数相加，取绝对值较大的加数 的符号”负”，并用较大绝对值 5 减较小绝对值 3，得 。 原因：法则记忆错乱。同号相加”绝对值相加”、异号相加”绝对值相减”，学生常把两条混为一谈，或因只盯数字 5、3 而把绝对值相加。异号相加的关键是先看符号：谁的绝对值大，“和”就取谁的符号，绝对值一定相减。 易错点 2：减法化为加法时，减数没有变为相反数 典例：计算：。 错解：。 正解：减去 等于加上 的相反数 ，所以 。 原因：对”减去一个数等于加上这个数的相反数”理解不到位，把”减号”与”负号”混在一起，看到 仍当作”减 5”。减法必须把”减数”换成它的相反数、减号换成加号，两步同时完成，不能只变其中一个。 易错点 3：乘方中底数判断错误， 与 混淆 典例：计算：。 错解：。 正解： 表示 的相反数，应先算 ，再取相反数，得 ； 才表示 的平方。 原因：概念混淆。学生没分清”负号在括号内还是括号外”：括号内（）负号参与乘方，括号外（）负号只是结果取相反。底数是负数时必须加括号， 的底数是 2 而不是 。 易错点 4：混合运算顺序错误 典例：计算：。 错解：。 正解：先算乘方，再算乘法：。 原因：运算顺序错误。学生看到”乘法”和”乘方”连在一起，错误地先算了乘法，把 整体平方。混合运算必须”先乘方、再乘除、后加减”，乘方的优先级高于乘法， 是 3 的平方，与前面的 无关。 易错点 5：科学记数法中 的范围出错 典例：用科学记数法表示 。 错解：。 正解：科学记数法要求 ，25 不在这个范围，应为 。 原因：条件遗漏。学生记住了”写成 的形式”，却忘了 必须满足 （整数位只有一位）。 虽然数值相等，但不叫科学记数法。 易错点 6：用科学记数法表示的数，精确度判断错误 典例：近似数 精确到哪一位？ 错解： 精确到 0.01（百分位），所以 精确到百分位。 正解：，其中末位数字 0 在千位上，所以 精确到千位。 原因：概念理解错误。用科学记数法表示的近似数，要还原成原数再看末位数字在哪一位，不能只看 的小数位数。 中末尾的 0 是有效数字，它对应原数中的千位。 学科网（北京）股份有限公司 $