3.3 探索与表达规律 题型专练 2026-2027学年北师大版数学七年级上册

北师大版（2024）七年级上册 第三章 整式及其加减3 探索与表达规律 题型专练 【题型1】数或式的表达规律 【典例】计算的结果，正确的是(　　) A. B. C. D. 【举一反三1】对于正整数x，我们可以用符号表示代数式，并规定：若x为奇数，则；若x为偶数，则．例如：，．设，，，…，依此规律进行下去，得到一列数：，，，…，（n为正整数），则的值是（ ） A.16   B.18   C.20   D.2024 【举一反三2】如图所示的数阵叫“莱布尼茨调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第行有个数，且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，若用表示第a行从左到右第b个数，如表示的数是，表示的数是，表示的数是，则表示的数是（ ） A.    B.    C.    D. 【举一反三3】在下列几组数里，找出规律，并填空： (1)1，10，3，13，5，16，7，19，　　　　，　　　　；  (2)2，5，6，10，18，20，54，40，　　　　，　　　　；  (3)4，16，36，64，　　　　，144，196，　　　　；  (4)0，1，2，3，6，11，20，　　　　，　　　　；  (5)，-，，-，，-，，-，　　　　，　　　　.  【举一反三4】如图，对阴影部分里的4个数，你能得出什么结论？ 【题型2】图形的表达规律 【典例】如图，将形状、大小完全相同的“·”和线段按照一定规律摆成下列图形，图1中“·”的个数为3，图2中“·”的个数为8，图3中“·”的个数为15，…以此类推，则图18中“·”的个数是(　　) A.34 B.55 C.360 D.720 【举一反三1】将图①中的正方形剪开得到图②，图②中共有4个正方形；将图②中一个正方形剪开得到图③，图③中共有7个正方形；将图③中一个正方形剪开得到图④，图④中共有10个正方形，…，如此下去，则第2 020个图中共有正方形的个数为(　　) A.2 021 B.2 020 C.6 058 D.6 061 【举一反三2】观察如图所示的图形中数字间的关系，得出图4中x的值是(　　) A.11 B.5 C.3 D.4 【举一反三3】北京时间2025年4月24日17时17分，神舟二十号载人飞船成功发射．某中学科技小组的同学用形状大小相同的基本图形“”按照一定规律拼接得到火箭模型图．如图，第①个图案中需要4个基本图形“”，第②个图案中需要6个基本图形“”，第③个图案中需要8个基本图形“”，第④个图案中需要10个基本图形“”…，按照此规律，第2025个图案中需要       个基本图形“”． 【举一反三4】如图，用若干大小相同的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按下列规律铺成一列图案，则第n个图案中黑色瓷砖比白色瓷砖多　    　个． 【举一反三5】(1)按图1方式摆放餐桌和椅子，照这样的方式继续排列餐桌，摆4张桌子可坐多少人？摆5张桌子呢？摆n张桌子呢？ (2)按图2方式摆放餐桌和椅子，照这样的方式继续排列餐桌，摆4张桌子可坐多少人？摆5张桌子呢？摆n张桌子呢？ 【举一反三6】用火柴棒按下图的方式搭图形. (1)按图示规律填空： (2)按照这种方式搭下去，搭第n个图形需要         根火柴棒． 北师大版（2024）七年级上册 第三章 整式及其加减3 探索与表达规律 题型专练（参考答案） 【题型1】数或式的表达规律 【典例】计算的结果，正确的是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由题知， ＝2n， ＝3m， 所以＝． 故选：D． 【举一反三1】对于正整数x，我们可以用符号表示代数式，并规定：若x为奇数，则；若x为偶数，则．例如：，．设，，，…，依此规律进行下去，得到一列数：，，，…，（n为正整数），则的值是（ ） A.16   B.18   C.20   D.2024 【答案】B 【解析】 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由此可发现，从开始，每项按4，2，1为一个循环，且开始，n是3的倍数时，值为1， ∵余2，，，， ∴ ． 故答案为：B． 【举一反三2】如图所示的数阵叫“莱布尼茨调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第行有个数，且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，若用表示第a行从左到右第b个数，如表示的数是，表示的数是，表示的数是，则表示的数是（ ） A.    B.    C.    D. 【答案】B 【解析】 由图形的变化可知 第n行有n个数，且两端都是，每个数是它下一行左右相邻两数的和， ∴第5，6，7行从左至右第一个数分别是， ∴第6，7行从左至右第二个数分别是， ∴第7行从左至右第三个数是， 由“莱布尼茨调和三角形”的特征可得(7，5)表示的数与(7，3)表示的数为相同的数， ∴(7，5)表示的数为， 故选B． 【举一反三3】在下列几组数里，找出规律，并填空： (1)1，10，3，13，5，16，7，19，　　　　，　　　　；  (2)2，5，6，10，18，20，54，40，　　　　，　　　　；  (3)4，16，36，64，　　　　，144，196，　　　　；  (4)0，1，2，3，6，11，20，　　　　，　　　　；  (5)，-，，-，，-，，-，　　　　，　　　　.  【答案】 (1)9　22　(2)162　80　(3)100　256　(4)37　68　(5)　- 【解析】 (1)这组数中，奇数位上的数后一项总比前一项多2，偶数位上的数后一项总比前一项多3. (2)这组数中，奇数位上的数后一项总是前一项的3倍，偶数位上的数后一项总是前一项的2倍. (3)同除以4后可得新的一组数：1，4，9，16，…36，49；…，很显然是位置数的平方，即这组数中，第n个数为4n2. (4)这组数中从第4个数开始某项的数等于它前面3项数之和. (5)根据已给的数据得出符号的变化规律为(-1)n+1 ，分子与分母的变化规律为分子是依次差4的数，分母是依次差3的数，进而得出第n个数分子是(4n-3)，分母是3n，进而得出这一组数的整体的变化规律. 【举一反三4】如图，对阴影部分里的4个数，你能得出什么结论？ 【答案】 解　斜对角上的两个数字的和与同列的两个数字的和相等. 若设方框中第一行第一个数为a，则第二个数为a+1，第二行第一个数为a+6，第二个数为a+7，而a+(a+7)=2a+7，(a+1)+(a+6)=2a+7，所以a+(a+7)=(a+1)+(a+6). 【题型2】图形的表达规律 【典例】如图，将形状、大小完全相同的“·”和线段按照一定规律摆成下列图形，图1中“·”的个数为3，图2中“·”的个数为8，图3中“·”的个数为15，…以此类推，则图18中“·”的个数是(　　) A.34 B.55 C.360 D.720 【答案】C 【解析】观察图形，可知：第1个图形中“●”的个数为：2+1＝3＝1×3， 第2个图形中“●”的个数为：2+3+2+1＝8＝2×4， 第3个图形中“●”的个数为：2+3+4+3+2+1＝15＝3×5， 第4个图形中“●”的个数为：2+3+4+5+4+3+2+1＝24＝4×6， ∴第n个图形中“●”的个数为：n (n+2)， ∴图18中“·”的个数是18×20＝360， 故选：C． 【举一反三1】将图①中的正方形剪开得到图②，图②中共有4个正方形；将图②中一个正方形剪开得到图③，图③中共有7个正方形；将图③中一个正方形剪开得到图④，图④中共有10个正方形，…，如此下去，则第2 020个图中共有正方形的个数为(　　) A.2 021 B.2 020 C.6 058 D.6 061 【答案】C 【解析】图①中的正方形剪开得到图②，图②中共有3×1+1＝4个正方形； 将图②中一个正方形剪开得到图③，图③中共有3×2+1＝7个正方形； 将图③中一个正方形剪开得到图④，图④中共有3×3+1＝10个正方形 … 发现规律： 第n个图中共有正方形的个数为：3(n﹣1)+1＝3n﹣2 则第2 020个图中共有正方形的个数为3×2 020﹣2＝6 058． 故选：C． 【举一反三2】观察如图所示的图形中数字间的关系，得出图4中x的值是(　　) A.11 B.5 C.3 D.4 【答案】A 【解析】观察图形可得： 图1中：2×4﹣1×5＝3， 图2中：4×3﹣2×6＝0， 图3中：3×5﹣4×(﹣2)＝23， 规律：右上角数字与左下角数字的乘积减去左上角数字与右下角数字的乘积所得的差等于中间的数字； ∴2×4﹣(﹣1)×3＝x， ∴x＝11． 故选：A． 【举一反三3】北京时间2025年4月24日17时17分，神舟二十号载人飞船成功发射．某中学科技小组的同学用形状大小相同的基本图形“”按照一定规律拼接得到火箭模型图．如图，第①个图案中需要4个基本图形“”，第②个图案中需要6个基本图形“”，第③个图案中需要8个基本图形“”，第④个图案中需要10个基本图形“”…，按照此规律，第2025个图案中需要       个基本图形“”． 【答案】4052． 【解析】解：由所给图形可知， 第1个图案需要的基本图形个数为：4＝1×2+2； 第2个图案需要的基本图形个数为：6＝2×2+2； 第3个图案需要的基本图形个数为：8＝3×2+2； …， 所以第n个图案需要的基本图形个数为（2n+2）个． 当n＝2025时， 2n+2＝2×2025+2＝4052（个）， 即第2025个图案需要的基本图形个数为4052个． 故答案为：4052． 【举一反三4】如图，用若干大小相同的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按下列规律铺成一列图案，则第n个图案中黑色瓷砖比白色瓷砖多　    　个． 【答案】(2n﹣1) 【解析】由所给图形可知， 第1个图形中黑色瓷砖比白色瓷砖多的个数为：1＝1×2﹣1； 第2个图形中黑色瓷砖比白色瓷砖多的个数为：3＝2×2﹣1； 第3个图形中黑色瓷砖比白色瓷砖多的个数为：5＝3×2﹣1； …， 所以第n个图形中黑色瓷砖比白色瓷砖多的个数为(2n﹣1)个． 故答案为：(2n﹣1)． 【举一反三5】(1)按图1方式摆放餐桌和椅子，照这样的方式继续排列餐桌，摆4张桌子可坐多少人？摆5张桌子呢？摆n张桌子呢？ (2)按图2方式摆放餐桌和椅子，照这样的方式继续排列餐桌，摆4张桌子可坐多少人？摆5张桌子呢？摆n张桌子呢？ 【答案】解：(1)∵摆1张餐桌上可以坐6人， 摆2张餐桌上可以坐8人， 摆3张餐桌上可以坐10人， … ∴摆n张餐桌共可以坐6+2(n-1)=(2n+4)人； ∴摆4张桌子可坐2×4+4=12(人)，摆5张桌子2×5+4=14(人)； (2)∵摆1张餐桌上可以坐6(人)， 摆2张餐桌上可以坐10(人)， 摆3张餐桌上可以坐14(人)， … ∴摆n张餐桌共可以坐6+4(n-1)=(4n+2)人； ∴摆4张桌子可坐4×4+4=18(人)，摆5张桌子4×5+2=22(人)． 【举一反三6】用火柴棒按下图的方式搭图形. (1)按图示规律填空： (2)按照这种方式搭下去，搭第n个图形需要         根火柴棒． 【答案】解：(1)按图示规律填空： (2)由(1)可得出规律：按照这种方式搭下去，搭第n个图形需要(4n+1)根火柴棒； 故答案为：(4n+1)． 学科网（北京）股份有限公司 $