专题3.6 正多边形与圆（专题训练）-2026-2027学年苏科版九年级数学上册

专题3.6 正多边形与圆（专题训练） 【新教材苏科版】 题型归纳 【题型1求正多边形的中心角】 1 【题型·2·尺规作图--正多边形】 2 【题型 3·己知正多边形的中心角求边数】 3 【题型·4·正多边形和圆的综合】 4 【题型·5·正多边形与坐标综合】 5 【题型1求正多边形的中心角】 1．如图，正六边形内接于，点P是上的任意一点，则的大小是（     ） A． B． C． D． 2．正十边形的中心角度数是（   ） A． B． C． D． 3．如图，这是一枚2025年发行的正十二边形的纪念币，则该正十二边形的中心角为（    ） A． B． C． D． 4．如图，是的内接正三角形，五边形是的内接正五边形，若线段恰好是的一个内接正n边形的一条边，则n的值为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 5．如图，、、是上顺次三点，若、、分别是内接正三角形、正方形、正边形的一边，则______． 【题型·2·尺规作图--正多边形】 6．用尺规作图法作正多边形是数学史上很经典的几何问题，在边数小于10的正多边形中，可以用尺规作图法作出的有正三、正四、正五、正六和正八边形，德国数学家高斯已经证明不能用尺规作图法作出正七边形和正九边形，但是我们可以用下列方法近似地作出一个正七边形：如图，已知为的直径． 步骤一：作出半径的垂直平分线，与分别交于E，F两点，垂足为D． 步骤二：以为半径，在上依次截取． 步骤三：顺次连接各分点，即可得到一个近似的正七边形． 动手操作：请用上面方法，用直尺（没有刻度）和圆规在已知中作出正七边形．要求：不写作法，但保留作图痕迹． 7．如图，已知，点在圆上，请以为一顶点作圆内接正方形．（保留作图痕迹，不写作法） 8．尺规作图：如图，AD为⊙O的直径。 (1)求作：⊙O的内接正六边形ABCDEF.(要求：不写作法,保留作图痕迹)； (2)已知连接DF，⊙O的半径为4，求DF的长。 【题型 3·己知正多边形的中心角求边数】 9．若正边形的半径等于它的边长，则的值为（   ） A． B． C． D． 10．如图，是的内接正边形的一边，点在上，，则的值为（    ） A． B． C． D． 11．如图，正六边形与正方形有重合的中心O，若是正n边形的一个中心角，则n的值为（   ） A．16 B．12 C．10 D．8 12．如图，、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（　　） A． B． C． D． 【题型·4·正多边形和圆的综合】 13．如图，正五边形内接于，点在上，则的度数为（     ） A． B． C． D． 14．中国传统凉亭是自然与人文交融的载体，既是游人遮阳避雨的休憩佳处，亦是园林造景的点睛之笔．如图，福州光禄吟台坐落着一座六角亭——追昔亭，该亭的基座平面可近似看作半径为的正六边形，则此正六边形的面积是（   ）． A． B． C． D． 15．如图，的内接正六边形的边长为3，则的长为（   ） A．6 B． C． D． 16．如图，螺母的外围可以看作是正六边形，已知这个正六边形的半径是2，则正六边形的面积是（   ）    A． B．12 C． D．24 【题型·5·正多边形与坐标综合】 17．如图，在平面直角坐标系中，边长为6的正六边形的中心与原点重合，轴，将六边形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第900次旋转结束时，点的对应点坐标为（　　） A． B． C． D． 18．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形的中心与原点重合，轴，交轴于点．将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束时，点的坐标为（　　） A． B． C． D． 19．2023年11月，临邑县迎来了较大程度的降雪，某数学兴趣小组在实验过程中发现每片雪花都有不同的形状．如图，将具有“雪花”图案（边长为4的正六边形）的图形，放在平面直角坐标系中，若与x轴垂直，顶点A的坐标为，则顶点C的坐标为（    ）    A． B． C． D． 20．如图，边长为1的正六边形放置于平面直角坐标系中，边在轴正半轴上，顶点在轴正半轴上，将正六边形绕坐标原点逆时针旋转，每次旋转，那么经过2025次旋转后，顶点的坐标为（   ） A． B． C． D． 21．在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同、天下一家”的主题，让世界观众感受了中国人的浪漫．如图，将“雪花”图案（边长为4的正六边形）放在平面直角坐标系中，若与轴垂直，顶点A的坐标为，则顶点的坐标为（　　）    A． B． C． D． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.6 正多边形与圆（专题训练） 【新教材苏科版】 题型归纳 【题型1求正多边形的中心角】 1 【题型·2·尺规作图--正多边形】 4 【题型 3·己知正多边形的中心角求边数】 7 【题型·4·正多边形和圆的综合】 10 【题型·5·正多边形与坐标综合】 13 【题型1求正多边形的中心角】 1．如图，正六边形内接于，点P是上的任意一点，则的大小是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接、，根据正六边形的性质求出圆心角的度数，再利用圆周角定理即可求出的大小 【详解】解：连接、，如图所示： 六边形是正六边形， ， 点是上的任意一点，是所对的圆周角， ． 2．正十边形的中心角度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求正多边形的中心角度数，正n边形的中心角度数等于，据此求解即可． 【详解】解：正十边形的中心角度数是， 故选：C． 3．如图，这是一枚2025年发行的正十二边形的纪念币，则该正十二边形的中心角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查多边形的中心角，掌握知识点是解题的关键． 根据多边形的中心角的定义求解即可． 【详解】解：该正十二边形的中心角为． 故选A． 4．如图，是的内接正三角形，五边形是的内接正五边形，若线段恰好是的一个内接正n边形的一条边，则n的值为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形与圆，连接、、、，由题意可得，，，由圆周角定理计算得出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图：连接、、、， 由题意可得：，，， ∴， ∴若线段恰好是的一个内接正n边形的一条边，则n的值为， 故选：A． 5．如图，、、是上顺次三点，若、、分别是内接正三角形、正方形、正边形的一边，则______． 【答案】12 【分析】如图，连接OA、OC、OB，根据角的转换求出中心角即可解决问题． 【详解】如图，连接OA、OC、OB． ∵若AC、AB分别是内接正三角形、正方形的一边， ∴，， ∴， 由题意得：， ∴12， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了正多边形与圆：把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，一次连接各分点所得到的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆，熟练的掌握正多边形的有关概念是解答本题的关键． 【题型·2·尺规作图--正多边形】 6．用尺规作图法作正多边形是数学史上很经典的几何问题，在边数小于10的正多边形中，可以用尺规作图法作出的有正三、正四、正五、正六和正八边形，德国数学家高斯已经证明不能用尺规作图法作出正七边形和正九边形，但是我们可以用下列方法近似地作出一个正七边形：如图，已知为的直径． 步骤一：作出半径的垂直平分线，与分别交于E，F两点，垂足为D． 步骤二：以为半径，在上依次截取． 步骤三：顺次连接各分点，即可得到一个近似的正七边形． 动手操作：请用上面方法，用直尺（没有刻度）和圆规在已知中作出正七边形．要求：不写作法，但保留作图痕迹． 【答案】如图所示，七边形即为所求． 【详解】解：略 7．如图，已知，点在圆上，请以为一顶点作圆内接正方形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 如图，正方形ABCD为所作． 【分析】先作直径AC，再过O点作AC的垂线交⊙O于B、D，则四边形ABCD为正方形． 【详解】略 【点睛】本题考查了作图——复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 8．尺规作图：如图，AD为⊙O的直径。 (1)求作：⊙O的内接正六边形ABCDEF.(要求：不写作法,保留作图痕迹)； (2)已知连接DF，⊙O的半径为4，求DF的长。 【答案】 （1）如图，正六边形ABCDEF为所作； （2）4 【分析】（1）如图，在⊙O上依次截取六段弦，使它们都等于OA，从而得到正六边形ABCDEF； （2）连接OF，可得△OFE是等边三角形，边长为4，可求得∠OEF=60°，∠DFE=30°，设BE与DF交于G点，可得∠FGE=90°，即可求得FG的长，进而求得FD的长. 【详解】（1）略． （2）连接OF，设BE与DF交于G点 ∵六边形ABCDEF为正六边形 ∴∠FOE=60°，DF=DE，∠DEF=120° ∴∠DFE=30° ∵OE=OF ∴△FOE为等边三角形 ∴EF=OE=4，∠OEF=60° ∴∠FGE=90° ∴EG=OE=2 ∴FG= ∴FD=2FG= 【点睛】此题主要考查了复杂作图及正多边形的计算，关键是掌握圆的内接正六边形的边长等于圆的半径． 【题型 3·己知正多边形的中心角求边数】 9．若正边形的半径等于它的边长，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，连接、，证明是等边三角形，得，即可得出答案． 【详解】解：如图，连接、， ∵正边形的半径等于它的边长， ∴， ∴是等边三角形， ∴，即该正边形的中心角为， 又∵正边形所有中心角的和为， ∴． 10．如图，是的内接正边形的一边，点在上，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形和圆，圆周角定理，求出中心角的度数是解题的关键．连接，，由圆周角定理得，再根据正边形的边数中心角，即可得解． 【详解】解：如图，连接，， ， ， 是的内接正边形的一边，   ． 故选：C． 11．如图，正六边形与正方形有重合的中心O，若是正n边形的一个中心角，则n的值为（   ） A．16 B．12 C．10 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了求正多边形的中心角，已知正多边形的中心角求边数等知识点，熟练掌握正边形的每个中心角都等于是解题的关键． 连接，由正六边形与正方形可得，，进而可得，再由“正边形的每个中心角都等于”即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， 正六边形与正方形， ，， ， 是正n边形的一个中心角， ， 故选：． 12．如图，、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，连接，，根据圆周角定理得到，即可得到结论，熟练掌握圆周角定理的应用及正确理解正多边形与圆的关系是解题的关键． 【详解】解：连接，， ∵、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心， ∴点、、、在以点为圆心，为半径的同一个圆上， ∵， ∴， ∴这个正多边形的边数， 故选：． 【题型·4·正多边形和圆的综合】 13．如图，正五边形内接于，点在上，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正五边形性质求出每条边所对弧的度数，确定所对的弧，根据圆周角定理求解． 【详解】解：五边形是正五边形， 弧与弧的度数均为， 弧的度数为， 是弧所对的圆周角， ． 14．中国传统凉亭是自然与人文交融的载体，既是游人遮阳避雨的休憩佳处，亦是园林造景的点睛之笔．如图，福州光禄吟台坐落着一座六角亭——追昔亭，该亭的基座平面可近似看作半径为的正六边形，则此正六边形的面积是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形和圆，等边三角形的性质，勾股定理，熟练把正多边形的面积转化为三角形面积的倍数计算是解题的关键．正六边形的面积由个全等的边长为的等边三角形面积组成，计算一个等边三角形的面积，乘以即可． 【详解】解：如图，过点作交于点， ∵正六边形， ∴，， ∴为等边三角形． ∴，． ∵在中，，，， ∴， ∴． ∵正六边形含有全等的个正三角形， ∴． 故选：C． 15．如图，的内接正六边形的边长为3，则的长为（   ） A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形与圆，涉及正六边形性质、等腰三角形判定与性质、含的直角三角形性质及勾股定理求线段长等知识，熟练掌握含的直角三角形性质及勾股定理求线段长的方法是解决问题的关键． 先由正六边形的性质得到，，再由等腰三角形性质得到，，在中，利用含的直角三角形性质及勾股定理求线段长即可得到答案． 【详解】解：过点作于，如图所示： 在正六边形中，，， 由等腰三角形三线合一性质得到是的中线及角平分线， ，， 在中，，，则， 由勾股定理可得， ， 故选：C． 16．如图，螺母的外围可以看作是正六边形，已知这个正六边形的半径是2，则正六边形的面积是（   ）    A． B．12 C． D．24 【答案】A 【分析】此题主要考查了正多边形和圆、等边三角形的判定与性质；根据题意得出△AOB是等边三角形是解题关键．由正六边形的性质证出是等边三角形，由等边三角形的性质得出，即可得出答案． 【详解】解：设正六边形的中心为O，连接，，过点O作于点H，如图所示：    ∵O是正六边形的中心， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴正六边形的面积． 故选：A． 【题型·5·正多边形与坐标综合】 17．如图，在平面直角坐标系中，边长为6的正六边形的中心与原点重合，轴，将六边形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第900次旋转结束时，点的对应点坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形和圆，规律型：点的坐标，坐标与图形变化-旋转，连接，设交y轴于点P，由正多边形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理求出，再根据旋转8次为一个循环，由此即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，设交y轴于点P， ， ∵边长为6的正六边形的中心与原点O重合，轴， ∴轴， ∴是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴同理得，，，， ∵将六边形绕点O顺时针旋转，每次旋转，8次一个循环， ∵， ∴第900次旋转结束时，点A与点D重合， ∴点A的坐标为， 故选：B． 18．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形的中心与原点重合，轴，交轴于点．将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束时，点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正多边形和圆、勾股定理；正确掌握正多边形的性质是解题关键，利用正多边形的性质结合勾股定理计算，找到规律即可得解． 【详解】解：在中，，， ， 点的坐标为， 第1次顺时针旋转，点的对应点第四象限，其坐标为， 第2次顺时针旋转，点的对应点第三象限，其坐标为， 第3次顺时针旋转，点的对应点第二象限，其坐标为， 第4次顺时针旋转，点的对应点第一象限，其坐标为， 第5次顺时针旋转，点的对应点第四象限，其坐标为， 每4个一循环，则， 第2024次顺时针旋转，点的对应点第二象限，其坐标为， 故选：． 19．2023年11月，临邑县迎来了较大程度的降雪，某数学兴趣小组在实验过程中发现每片雪花都有不同的形状．如图，将具有“雪花”图案（边长为4的正六边形）的图形，放在平面直角坐标系中，若与x轴垂直，顶点A的坐标为，则顶点C的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题重点考查图形与坐标、正多边形与圆、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 设正六边形的中心为点H，连接，作于点G，由，，证明和都是等边三角形，则，，所以，而与x轴垂直，所以轴，由，求得，因为，所以，即要求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：设正六边形的中心为点H，连接，作于点G，   ， ， 和都是等边三角形， ∵正六边形的边长为4， ，， ， 与x轴垂直， 轴， 轴， ， ，， ， ，， ， ， ，， ，， ， 故选：A． 20．如图，边长为1的正六边形放置于平面直角坐标系中，边在轴正半轴上，顶点在轴正半轴上，将正六边形绕坐标原点逆时针旋转，每次旋转，那么经过2025次旋转后，顶点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形的性质，旋转的性质以及旋转引起的坐标变化规律问题，掌握正多边形各边相等，各角相等的性质，熟练掌握旋转的性质，找出规律是解题的关键．根据正六边形的性质及它在坐标系中的位置，求出点的坐标，再根据旋转的性质以及旋转的规律求出旋转2025次后顶点的坐标即可． 【详解】解：连接，，如图，    在正六边形中，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ， 在中，，， ， ， ， 点的坐标为， 将正六边形绕坐标原点逆时针旋转，每次旋转， 次一个循环， ， 经过2025次旋转后，顶点的坐标与第一次旋转后得到的的坐标相同， 过点作轴于P， ∴， 由旋转可知，， ∴， ∴ ， ∵点在第二象限， ∴点的坐标为， 经过2025次旋转后，顶点的坐标为， 故选：A． 21．在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同、天下一家”的主题，让世界观众感受了中国人的浪漫．如图，将“雪花”图案（边长为4的正六边形）放在平面直角坐标系中，若与轴垂直，顶点A的坐标为，则顶点的坐标为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接、于点，根据正六边形的性质以及坐标与图形的性质进行计算即可． 【详解】解：如图，连接、于点，      ∵正六边形边长为4，， ∴， 在中，，， ，， 点的横坐标为，纵坐标为， 点的坐标为． 故选：B． 【点睛】本题考查正多边形与圆，勾股定理，掌握正六边形的性质以及勾股定理是正确计算的前提，理解坐标与图形的性质是解决问题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $