3.6 正多边形与圆 题型专练 ·2026-2027学年苏科版九年级数学上册

苏科版（2024）九年级上册 3.6 正多边形与圆 题型专练 【题型1】正多边形与圆的综合 【典例】下列图形中，正多边形内接于半径相等的圆，其中正多边形周长最大的是（  ） A． B． C． D． 【举一反三1】⊙O的内接正方形和内接正六边形的边心距分别为a，b，则的值为（  ） A． B． C． D． 【举一反三2】已知⊙O过正方形ABCD顶点A、B，且与CD相切，若正方形边长为2，则圆的半径为__________． 【举一反三3】如图，正△ABC外接圆的半径为2，求正△ABC的边长，边心距，周长和面积． 【举一反三4】如图，在正五边形ABCDE中，DF⊥AB． （1）求∠CDF的度数； （2）求证：AF＝BF． 【题型2】正多边形的性质 【典例】小刚设计了用n个完全相同的△ABC纸片（如图1）拼接正多边形的游戏，用6个△ABC纸片按照图2所示的方法拼接起来，能够围成正六边形．如果用若干个△ABC纸片按照图3所示的方法拼接起来，那么能够围成的正多边形为（　　） A．正六边形 B．正八边形 C．正九边形 D．正十边形 【举一反三1】下列说法正确的是（　　） A．正五边形的中心角是108° B．正十边形的每个外角是18° C．正五边形是中心对称图形 D．正五边形的每个外角是72° 【举一反三2】如图，半径为2的⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，则下列说法错误的是（　　） A．点O是正六边形ABCDEF的中心 B．正六边形ABCDEF的半径是2 C．正六边形ABCDEF的中心角是60° D．正六边形ABCDEF的边心距 【举一反三3】如图所示，直线分别经过正五边形的顶点,且,若,则_____. 【举一反三4】你知道什么叫做正多边形吗？你知道正多边形与圆的关系吗？把⊙O分成n等份，顺次连接这n个分点，便得到了一个⊙O的内接 __________． 【举一反三5】(课本习题1.1 P7 6T)如图为一个正边形的一部分，和延长后相交于点.若，求. 【举一反三6】各内角都相等的圆内接多边形是正多边形吗？ 【题型3】正三边形、正四边形、正五边形与圆 【典例】如图，正五边形ABCDE内接于☉O，点F为☉O上一点，则∠EFC的度数为 （      ）  A．36° B．45° C．60° D．72° 【举一反三1】如图，五边形ABCDE是☉O的内接正五边形，则∠EBC的度数为__________ . 【举一反三2】鲜艳的中华人民共和国国旗始终是当代中华儿女永不褪色的信仰，国旗上的每颗星都是标准五角星，为了增强学生的国家荣誉感、民族自豪感等，数学老师组织学生对五角星进行了较深入的研究，延长出五边形的各边直到不相邻的边相交，得到一个标准五角星，如图，正五边形ABCDE的边BA，DE的延长线相交于点F，AF＝EF，∠EAF 的平分线交EF于点M. (1)求证：AE2＝EF·EM； (2)若AF＝2，求AE的长； (3)求的值. 【举一反三3】如图，已知☉O，A是☉O上一点，只用圆规将☉O的圆周四等分.（按如下步骤完成，保留作图痕迹） ①以点A为圆心，OA长为半径，自点A起，在☉O上逆时针方向顺次截取\overset{̑}{AB} \mathrm{＝} \overset{̑}{BC} \mathrm{＝} \overset{̑}{CD}； ②分别以点A、点D为圆心，AC长为半径作弧，两弧交于☉O上方点E； ③以点A为圆心，OE长为半径作弧交☉O于G，H两点.即点A，G，D，H将☉O的圆周四等分. 【题型4】正六边形与圆 【典例】如图，在拧开一个边长为a的正六角形螺帽时，扳手张开的开口b＝10 mm，则这个正六边形的面积为（　　） A． mm2 B．300 mm2 C．150 mm2 D．75 mm2 【举一反三1】已知正六边形ABCDEF内接于☉O，图中阴影部分的面积为12，则☉O的半径为__________ . 【举一反三2】如图，在平面直角坐标系中，正六边形OABCDE边长是6，点A，D分别在x轴、y轴的正半轴上，则它的外接圆的圆心P的坐标是__________ . 【举一反三3】如图，正六边形ABCDEF为☉O的内接正六边形，过点D作☉O的切线，交AF的延长线于点P，连接FD，AD，☉O的半径为6. ①求∠ADF的度数； ②求线段PD的长； ③若点M为FD上一点(不与点F，D重合)，连接AM，CM，直接写出△AFM与△CDM的面积之和. 【举一反三4】如图，AB，CD是☉O中互相垂直的两条直径，以A为圆心，OA为半径画弧，与☉O交于E，F两点. (1)求证：AE是正六边形的一边； (2)请在图上继续画出这个正六边形. 【题型5】除正三、四、五、六边形外的正多边形与圆 【典例】如图，点B是☉O上一点，AC为☉O内接正九边形的一边，则∠ABC的度数为 （      ）  A．40° B．20° C．18° D．10° 【举一反三1】如图，在正八边形ABCDEFGH中，连接BE，可知BE∥CD.以点G为圆心，大于点G到线段BE的距离为半径作弧，分别交线段BE于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧交于点P，连接GP并延长交线段BE于点I，连接GE，则∠GEI的度数为 （      ）  A．67.5° B．22.5° C．45° D．60° 【举一反三2】如图，A，B，C，D为一个正多边形的相邻四个顶点，点O为该多边形外接圆的圆心，若∠ADB＝15°，则这个正多边形的边数为__________ . 【举一反三3】司南是我国古代辨别方向用的一种仪器.其早在战国时期就已被发明，是现在所用指南针的始祖.如图，司南中心为一圆形，圆心为点O，直径为20，根据八个方位将圆形八等分(图2中点A~H)，过点E作☉O的切线与AG的延长线交于点M，连接EG. (1)相邻两个方位间所夹的圆心角的度数为　　　　； (2)求AG的长； (3)求ME的长. 【举一反三4】一角硬币的正面有一个正九边形，示意图如图所示，其外接圆直径为2.25 cm.求该正九边形的边长(精确到0.01 cm)和面积(精确到0.01 cm2). 【题型6】与圆内接正多边形有关的计算 【典例】如图，在平面上将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠放在一起，则∠3+∠1﹣∠2＝（　　） A．24° B．26° C．28° D．30° 【举一反三1】已知圆内接正六边形的边长是1，则该圆的内接正三角形的面积为（　　） A． B．2 C． D． 【举一反三2】）已知△ABC是⊙O的内接正三角形，⊙O的半径是12 cm，则△ABC边心距的值为 __________． 【举一反三3】已知⊙O的半径为1，则它的内接正三角形边心距为__________． 苏科版（2024）九年级上册 3.6 正多边形与圆 题型专练（参考答案） 【题型1】正多边形与圆的综合 【典例】下列图形中，正多边形内接于半径相等的圆，其中正多边形周长最大的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】随着圆内接正多边形边数的增加，它的周长和面积越来越接近圆周长和圆面积. 故选：D． 【举一反三1】⊙O的内接正方形和内接正六边形的边心距分别为a，b，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设⊙O的半径为R，如图，连接OB，OC， ∵多边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC＝60°，∴OB＝OC＝BC＝R， ∵OM⊥BC，∴BM＝BC＝，∴OM＝＝， 如图，连接OB，OC， ∵四边形ABCD是正方形，∴∠BOC＝90°，∴BC＝OB＝R， ∵ON⊥BC，∴ON＝BC＝R，∴＝＝. 故选：D． 【举一反三2】已知⊙O过正方形ABCD顶点A、B，且与CD相切，若正方形边长为2，则圆的半径为__________． 【答案】 【解析】连接OE、OB，延长EO交AB于F； ∴E是切点，∴OE⊥CD，∴OF⊥AB，OE＝OB； 设OB＝R，则OF＝2﹣R， 在Rt△OBF中，BF＝AB＝×2＝1，OB＝R，OF＝2﹣R， ∴R2＝（2﹣R）2+12，解得R＝． 【举一反三3】如图，正△ABC外接圆的半径为2，求正△ABC的边长，边心距，周长和面积． 【答案】解：连接OB，OA，延长AO交BC于D， ∵正△ABC外接圆是⊙O， ∴AD⊥BC，BD＝CD＝BC，∠OBD＝∠ABC＝×60°＝30°， 即边心距OD＝OB＝×2＝1， 由勾股定理得：BD＝＝＝， 即三角形边长为BC＝2BD＝2，AD＝AO+OD＝2+1＝3， 则△ABC的周长是3BC＝3×2＝6； 则△ABC的面积是BC×AD＝×2×3＝3． 【举一反三4】如图，在正五边形ABCDE中，DF⊥AB． （1）求∠CDF的度数； （2）求证：AF＝BF． 【答案】解：（1）在正五边形中，∠ABC＝∠C＝540°÷5＝108°， ∵DF⊥AB，∴∠DFB＝90°， 在四边形BCDF中，∵∠ABC+∠C+∠DFB+∠CDF＝360°， ∴∠CDF＝360°﹣∠ABC﹣∠C﹣∠DFB＝360°﹣108°﹣108°﹣90°＝54°. （2）证明：如图，连接DB、AD， ∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠E＝∠C，DE＝AE＝DC＝BC， 在△AED和△BCD中，，∴△AED≌△BCD（SAS），∴AD＝BD， ∵DF⊥AB，∴∠DFA＝∠DFB＝90°， Rt△DAF和Rt△DFB，，∴Rt△DAF≌Rt△DFB（HL），∴AF＝BF． 【题型2】正多边形的性质 【典例】小刚设计了用n个完全相同的△ABC纸片（如图1）拼接正多边形的游戏，用6个△ABC纸片按照图2所示的方法拼接起来，能够围成正六边形．如果用若干个△ABC纸片按照图3所示的方法拼接起来，那么能够围成的正多边形为（　　） A．正六边形 B．正八边形 C．正九边形 D．正十边形 【答案】C 【解析】∵正六边形每一个内角为120°，∴∠ACB＝120°﹣80°＝40°， ∴∠CAB＝180°﹣120°＝60°， ∴图3中正多边形的每一个内角为60°+80°＝140°， ∵＝9，∴可以得到外轮廓的图案是正九边形． 故选：C． 【举一反三1】下列说法正确的是（　　） A．正五边形的中心角是108° B．正十边形的每个外角是18° C．正五边形是中心对称图形 D．正五边形的每个外角是72° 【答案】D 【解析】正五边形的中心角是＝72°；正十边形的每个外角是＝36°；正五边形的每个外角是＝72°；正五边形不是中心对称图形． 故选：D． 【举一反三2】如图，半径为2的⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，则下列说法错误的是（　　） A．点O是正六边形ABCDEF的中心 B．正六边形ABCDEF的半径是2 C．正六边形ABCDEF的中心角是60° D．正六边形ABCDEF的边心距 【答案】D 【解析】如图，连接OC、OD， 由于半径为2的⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆， 所以点O是正六边形ABCDEF的中心，因此选项A不符合题意； ∵∠COD＝＝60°，∴正六边形ABCDEF的中心角是60°，因此选项C不符合题意； 又∵OC＝OD，∴△COD是正三角形，∴CD＝OC＝OD＝2，∴正六边形ABCDEF的半径是2，因此选项B不符合题意； ∵OM⊥CD，∴CM＝DM＝CD＝1，∴OM＝＝， 即正六边形ABCDEF的边心距为，因此选项D符合题意． 故选：D． 【举一反三3】如图所示，直线分别经过正五边形的顶点,且,若,则_____. 【答案】22 【解析】正五边形的各个内角都是, . , , . 【举一反三4】你知道什么叫做正多边形吗？你知道正多边形与圆的关系吗？把⊙O分成n等份，顺次连接这n个分点，便得到了一个⊙O的内接 __________． 【答案】正n边形 【解析】各边相等、各角也相等的多边形是正多边形， 任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，它们是同心圆， 把⊙O分成n等份，顺次连接这n个分点，便得到了一个⊙O的内接正n边形. 【举一反三5】(课本习题1.1 P7 6T)如图为一个正边形的一部分，和延长后相交于点.若，求. 【答案】解：因为图形是一个正边形的一部分， 所以. 又因为， 所以. 故，则. 【举一反三6】各内角都相等的圆内接多边形是正多边形吗？ 【答案】解：各内角都相等的圆内接多边形不一定是正多边形， 如图，矩形ABCD内接于⊙O， 虽然∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，但是四边形ABCD不是正方形， 所以各内角都相等的圆内接多边形不一定是正多边形． 【题型3】正三边形、正四边形、正五边形与圆 【典例】如图，正五边形ABCDE内接于☉O，点F为☉O上一点，则∠EFC的度数为 （      ）  A．36° B．45° C．60° D．72° 【答案】D 【解析】∵正五边形ABCDE内接于☉O， ∴∠CDE＝＝108°. ∵四边形CDEF是☉O内接四边形， ∴∠EFC＋∠CDE＝180°， ∴∠EFC＝180°－∠CDE＝180°－108°＝72°. 【举一反三1】如图，五边形ABCDE是☉O的内接正五边形，则∠EBC的度数为__________ . 【答案】72° 【解析】如图，连接OC，OD，OE， ∵五边形ABCDE是☉O的内接正五边形， ∴∠COD＝∠DOE＝＝72°， ∴∠COE＝2∠COD＝144°， ∴∠EBC＝∠COE＝72°. 【举一反三2】鲜艳的中华人民共和国国旗始终是当代中华儿女永不褪色的信仰，国旗上的每颗星都是标准五角星，为了增强学生的国家荣誉感、民族自豪感等，数学老师组织学生对五角星进行了较深入的研究，延长出五边形的各边直到不相邻的边相交，得到一个标准五角星，如图，正五边形ABCDE的边BA，DE的延长线相交于点F，AF＝EF，∠EAF 的平分线交EF于点M. (1)求证：AE2＝EF·EM； (2)若AF＝2，求AE的长； (3)求的值. 【答案】(1)证明　∵五边形ABCDE是正五边形， ∴∠BAE＝∠AED＝108°， ∴∠FAE＝180°－∠BAE＝72°，∠AEF＝180°－∠AED＝72°， ∴∠F＝180°－∠FAE－∠AEF＝36°， ∵AM平分∠FAE， ∴∠FAM＝∠MAE＝∠FAE＝36°， ∴∠F＝∠MAE， ∵∠AEM＝∠AEF， ∴△AEM∽△FEA， ∴， ∴AE2＝EF·EM. (2)解　设AE＝x， 由(1)可得∠F＝∠FAM＝36°， ∴FM＝AM， 由(1)可得∠FAE＝∠AEF＝72°， ∴FE＝AF＝2， ∵∠AME＝∠F＋∠FAM＝72°， ∴∠AME＝∠AEF＝72°， ∴AM＝AE， ∴AM＝FM＝AE＝x， ∴ME＝EF－FM＝2－x， 由(1)可得AE2＝EF·EM， ∴x2＝2·(2－x)， 解得x＝－1或x＝－－1（舍去）， ∴AE＝－1， ∴AE的长为－1. (3)解　连接BE，CE，如图所示. ∵五边形ABCDE是正五边形， ∴AB＝AE＝DE＝CD＝BC，∠BAE＝∠AED＝∠EDC＝∠ABC＝∠BCD＝108°， ∵AB＝AE＝ED＝DC，∠BAE＝∠CDE＝108°， ∴△ABE△DCE， ∴∠ABE＝∠AEB＝36°，∠DEC＝∠DCE＝36°， ∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝72°，∠ECB＝∠BCD－∠DCE＝72°， 由(1)可得∠FAE＝∠FEA＝72°， ∴∠FAE＝∠EBC，∠FEA＝∠ECB， ∴△FAE△EBC， 由(2)得， ∴， ∴， ∴设△ABE的面积为k，则△AEF的面积为2k， ∴△DEC的面积＝△ABE的面积＝k，△BCE的面积＝△AEF的面积＝2k， ∴正五边形ABCDE的面积＝△ABE的面积＋△DCE的面积＋△BCE的面积＝2k， ∴， ∴的值为. 【举一反三3】如图，已知☉O，A是☉O上一点，只用圆规将☉O的圆周四等分.（按如下步骤完成，保留作图痕迹） ①以点A为圆心，OA长为半径，自点A起，在☉O上逆时针方向顺次截取\overset{̑}{AB} \mathrm{＝} \overset{̑}{BC} \mathrm{＝} \overset{̑}{CD}； ②分别以点A、点D为圆心，AC长为半径作弧，两弧交于☉O上方点E； ③以点A为圆心，OE长为半径作弧交☉O于G，H两点.即点A，G，D，H将☉O的圆周四等分. 【答案】解　如图， 即点A，G，D，H将☉O的圆周四等分. 【题型4】正六边形与圆 【典例】如图，在拧开一个边长为a的正六角形螺帽时，扳手张开的开口b＝10 mm，则这个正六边形的面积为（　　） A． mm2 B．300 mm2 C．150 mm2 D．75 mm2 【答案】C 【解析】解：如图：作BD⊥AC于D， 由正六边形，得∠ABC＝120°，AB＝BC＝a，∠BCD＝∠BAC＝30°． 由AC＝10 mm，得CD＝5 mm． 解得a＝10， 这个正六边形的面积6××10×5＝150（mm2）， 故选C． 【举一反三1】已知正六边形ABCDEF内接于☉O，图中阴影部分的面积为12，则☉O的半径为__________ . 【答案】4 【解析】阴影部分是一个正三角形， 连接DO并延长，交BF于点G，如图， 设△BDF的边长是a，则面积是a2， 得到a2＝12， 解得a＝4， 则DG＝BD·sin 60°＝4×＝6，因而半径OD＝DG＝6×＝4. 【举一反三2】如图，在平面直角坐标系中，正六边形OABCDE边长是6，点A，D分别在x轴、y轴的正半轴上，则它的外接圆的圆心P的坐标是__________ . 【答案】(3，3) 【解析】如图所示，连接PO，PA，过点P作PG⊥OA于点G，则∠OGP＝90°， ∵多边形OABCDE为正六边形， ∴∠OPA＝60°， ∵PO＝PA， ∴△OPA为等边三角形， 又∵PG⊥OA， ∴PG平分∠OPA， ∴∠OPG＝30°， 又∵OA＝6， ∴OG＝OP＝OA＝×6＝3， ∴由勾股定理得PG＝＝3， ∴点P的坐标是(3，3). 【举一反三3】如图，正六边形ABCDEF为☉O的内接正六边形，过点D作☉O的切线，交AF的延长线于点P，连接FD，AD，☉O的半径为6. ①求∠ADF的度数； ②求线段PD的长； ③若点M为FD上一点(不与点F，D重合)，连接AM，CM，直接写出△AFM与△CDM的面积之和. 【答案】解　①如图，连接FO， ∵正六边形ABCDEF为☉O的内接正六边形， ∴AD为☉O的直径，∠AFD=90°， ∴∠AOF=60°， ∴∠ADF=∠AOF=30°. ②∵PD与☉O相切，AD为☉O的直径， ∴∠ADP=90°， ∵正六边形ABCDEF为☉O的内接正六边形， ∴∠PAD=60°， 在Rt△PAD中，AD=12， ∴PD=AD·tan 60°=12×=12. ③S△AFM+S△CDM=S△AFM+S△AMD=S△AFD， 在Rt△AFD中， AF=AD·cos∠FAD=12×cos 60°=6， DF=AD·sin∠FAD=12×sin 60°=6， ∴S△AFD=×6×6=18， ∴S△AFM+S△CDM=18. 【举一反三4】如图，AB，CD是☉O中互相垂直的两条直径，以A为圆心，OA为半径画弧，与☉O交于E，F两点. (1)求证：AE是正六边形的一边； (2)请在图上继续画出这个正六边形. 【答案】(1)证明　连接OE，OF，AF，如图， ∵AE＝OA＝OE， ∴△AOE是等边三角形，∠OAE＝60°.同理可证△OAF是等边三角形. ∴∠OAF＝60°， ∴AE＝AF，且∠EAF＝∠OAE＋∠OAF＝120°， ∴AE是正六边形的一边. (2)解　用圆规去截AE弧的弧长，然后以E点、B点为圆心，分别在圆上截得相等的弧长，取得G，H点，然后顺次将A，E，G，B，H和F连接起来就得到正六边形. 【题型5】除正三、四、五、六边形外的正多边形与圆 【典例】如图，点B是☉O上一点，AC为☉O内接正九边形的一边，则∠ABC的度数为 （      ）  A．40° B．20° C．18° D．10° 【答案】B 【解析】∵AC为☉O内接正九边形的一边， ∴∠AOC＝＝40°， ∴∠ABC＝∠AOC＝×40°＝20°. 【举一反三1】如图，在正八边形ABCDEFGH中，连接BE，可知BE∥CD.以点G为圆心，大于点G到线段BE的距离为半径作弧，分别交线段BE于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧交于点P，连接GP并延长交线段BE于点I，连接GE，则∠GEI的度数为 （      ）  A．67.5° B．22.5° C．45° D．60° 【答案】A 【解析】∵八边形ABCDEFGH为正八边形， ∴∠D＝∠DEF＝∠F＝135°，FG＝FE. ∵CD∥BE， ∴∠DEB＝180°－∠D＝180°－135°＝45°. ∵∠FEG＝∠FGE＝×(180°－135°)＝22.5°， ∴∠GEI＝135°－22.5°－45°＝67.5°. 【举一反三2】如图，A，B，C，D为一个正多边形的相邻四个顶点，点O为该多边形外接圆的圆心，若∠ADB＝15°，则这个正多边形的边数为__________ . 【答案】12 【解析】如图，设正多边形的外接圆为☉O，连接OA，OB， ∵∠ADB＝15°， ∴∠AOB＝2∠ADB＝30°， 而360°÷30°＝12， ∴这个正多边形为正十二边形. 【举一反三3】司南是我国古代辨别方向用的一种仪器.其早在战国时期就已被发明，是现在所用指南针的始祖.如图，司南中心为一圆形，圆心为点O，直径为20，根据八个方位将圆形八等分(图2中点A~H)，过点E作☉O的切线与AG的延长线交于点M，连接EG. (1)相邻两个方位间所夹的圆心角的度数为　　　　； (2)求AG的长； (3)求ME的长. 【答案】解　(1)由题意可知，八个方位将圆形八等分， ∴相邻两个方位间所夹的圆心角的度数为＝45°. (2)∵AE为☉O的直径， ∴∠AGE＝90°. ∵\overset{̑}{AG} \mathrm{＝} \overset{̑}{EG}， ∴AG＝EG， ∴∠GAE＝∠AEG＝45°， ∴AG＝EG＝10. ∴AG的长是10. (3)∵ME为☉O的切线， ∴∠AEM＝90°. 由(2)知∠GAE＝45°， ∴ME＝AE＝20. ∴ME的长是20. 【举一反三4】一角硬币的正面有一个正九边形，示意图如图所示，其外接圆直径为2.25 cm.求该正九边形的边长(精确到0.01 cm)和面积(精确到0.01 cm2). 【答案】解　由题意可知∠AOB＝＝40°， ∵OA＝OB，OC⊥AB， ∴∠AOC＝20°. 在Rt△AOC中，OA＝×2.25＝1.125(cm)， ∴AC＝OA·sin 20°≈1.125×0.342 0≈0.385(cm)， OC＝OA·cos 20°≈1.125×0.939 7≈1.057(cm). 根据垂径定理可知AB＝2AC≈0.770(cm)， ∴S正九边形＝9·S△AOB＝9×AB·OC ≈4.5×0.770×1.057≈3.66(cm2). 故正九边形的边长为0.77 cm，面积为3.66 cm2. 【题型6】与圆内接正多边形有关的计算 【典例】如图，在平面上将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠放在一起，则∠3+∠1﹣∠2＝（　　） A．24° B．26° C．28° D．30° 【答案】A 【解析】解：如图： ∵正三角形、正方形、正五边形、正六边形的每个内角相等且分别为60°、90°、108°、120°， ∴∠AOE＝∠1+∠2+∠3+∠DOE＝120°，∠DOE＝60°，∠2＝BOE﹣∠COE＝108°﹣90°＝18°． ∴∠1+∠2+∠3＝60°， ∴∠3+∠1﹣∠2＝∠1+∠2+∠3﹣2∠2＝60°﹣2×18°＝24°． 故选：A． 【举一反三1】已知圆内接正六边形的边长是1，则该圆的内接正三角形的面积为（　　） A． B．2 C． D． 【答案】C 【解析】解：如图（二）， ∵圆内接正六边形边长为1， ∴AB＝1， 可得△OAB是等边三角形，圆的半径为1， ∴如图（一）， 连接OB，过O作OD⊥BC于D， 则∠OBC＝30°， ∴OB=2OD 由勾股定理得 BD＝， 故BC＝2BD＝．OD＝OB＝， ∴圆的内接正三角形的面积＝＝， 故选：C． 【举一反三2】）已知△ABC是⊙O的内接正三角形，⊙O的半径是12 cm，则△ABC边心距的值为 __________． 【答案】6 cm 【解析】解：∵△ABC是⊙O的内接正三角形， ∴∠ACB＝60°， 过O作OD⊥AC于D，连接OC，则OD长为边心距， 在直角△OCD中，∠OCD＝30°， ∴OD= cm． 【举一反三3】已知⊙O的半径为1，则它的内接正三角形边心距为__________． 【答案】 【解析】解：如图所示，连接OB、OC，作OD⊥BC于D，则∠ODB＝90°， ∵∠BOC＝×360°＝120°， ∵OB＝OC＝1， ∴∠OBC＝∠OCB＝30°， ∴OD＝OB＝． 学科网（北京）股份有限公司 $