圆锥曲线的方程专项训练-2027届高三数学一轮复习

高中数学人教A版选择性必修一圆锥曲线的方程 一、单选题 1．已知抛物线C：的焦点为，准线为，若点在上，则到直线的距离为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知椭圆的焦点在 轴上，且离心率为 ，则 （    ） A． B． C． D． 3．设为抛物线：的焦点，点在上，点，若，则（     ） A．2 B． C． D．4 4．设双曲线C：经过点和点，则C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 5．已知双曲线 （）的一条渐近线方程为 ，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．椭圆的一个焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 7．与椭圆有公共焦点的椭圆是（     ） A． B． C． D． 8．设直线与双曲线的一条渐近线平行，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C．3 D． 二、多选题 9．已知双曲线的离心率为，实轴长为4，则（    ） A．双曲线C的方程为 B．双曲线C的渐近线方程为 C．双曲线C的焦点坐标为 D．点在双曲线C上 10．已知椭圆E：的左，右焦点分别为，，是上一点，且，则（   ） A．的短轴长为4 B．的离心率为 C．的周长为 D．的面积为2 11．若方程所表示的曲线为，则（   ） A．曲线可能是圆 B．若为椭圆，且焦点在轴上，则 C．若为双曲线，且焦点在轴上，则 D．当时，表示焦点在轴上的椭圆，离心率为 三、填空题 12．已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，且，，则双曲线的离心率为___________． 13．已知点分别为椭圆的左、右焦点，点在直线上运动.若的最大值为，则椭圆的离心率为___________ 14．已知抛物线：上点，斜率为1的直线过点，抛物线上存在两点，关于直线对称，则______． 四、解答题 15．平面上动点到定点的距离与到直线距离之比为，求动点轨迹方程. 16． 某公园要建造一个直径为的圆形喷水池，计划在喷水池的周边靠近水面的位置安装一圈喷水头，使喷出的水柱在离池中心处达到最高，最高高度为.另外还要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷来的水柱在此处汇合，求这个装饰物的高度. 17．（1）已知曲线方程，，若方程表示焦距为的椭圆，求的值． （2）已知一动圆与圆外切，同时与圆内切，求该动圆圆心的轨迹方程． 18．已知椭圆：过点，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于，两点，若点为线段的中点，求直线的方程； (3)过点的直线与椭圆交于，两点，若原点总在以为直径的圆内，求直线斜率的取值范围. 19．过圆上的动点向轴作垂线，垂足为，动点满足． (1)求动点的轨迹的方程； (2)过点且斜率不为的动直线与相交于，两点，点，求面积的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学人教A版选择性必修一圆锥曲线的方程 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A C C C B C D ACD AC 题号 11 答案 ABD 1．B 【详解】因为点在C上， 所以，解得， 所以F到直线l的距离为2． 2．A 【详解】因为椭圆的焦点在 轴上，所以 ，，． 由离心率 得 ，故 ，即 ，解得 ． 3．C 【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点的横坐标，进而求得点坐标. 【详解】由题意可得，焦点，则， 即点到准线的距离为，所以点的横坐标为， 不妨设点在轴上方，代入，则， 所以. 4．C 【详解】将代入双曲线方程得， 解得， 所以的渐近线方程为 5．C 【详解】双曲线 的渐近线方程为 . 由得 ，又， 所以离心率. 6．B 【分析】根据椭圆标准方程的性质即可求解. 【详解】把椭圆方程化为标准方程可得 ， 所以椭圆焦点在轴，，坐标为. 7．C 【详解】椭圆，，，，，焦点在y轴上. 选项A、B和D的焦点在x轴上，不符合题意，排除. 选项C：椭圆，，，，，焦点在y轴上，符合题意，所以选C. 8．D 【详解】双曲线的渐近线方程为，则， 所以双曲线C的离心率． 9．ACD 【分析】由实轴长求，由离心率求，再由求，进而判断各选项. 【详解】因为双曲线的实轴长为，所以，解得. 又因为离心率，所以. 由双曲线中，得，解得. 所以双曲线方程为，故A正确； 双曲线的渐近线方程为，故B错误； 焦点坐标为，故C正确； 将点代入方程：，成立，所以点在双曲线上，故D正确. 10．AC 【详解】对于A，设椭圆E的长轴长，短轴长，焦距分别是2a，2b，2c， 由E：，得，， 所以，，， 所以E的短轴长为4，故A正确； 对于B，离心率，故B错误； 对于C， 由椭圆的定义，得， 又， 所以的周长为，故C正确； 对于D， 因为，所以， 因为， 所以， 所以， 的面积为，故D错误. 11．ABD 【分析】根据题意，结合圆、椭圆和双曲线的标准方程，以及椭圆的几何性质，逐项求解，即可得到答案. 【详解】对于A，当，解得，此时方程为，表示圆，故A正确； 对于B，若C为椭圆，且焦点在x轴上，则，解得，故B正确. 对于C，若C为双曲线，且焦点在y轴上，则，解得，故C错误. 对于D，当时，方程为表示焦点在x轴上的椭圆，且，， 所以，解得，，所以离心率为，故D正确； 12． 【分析】先用双曲线定义表示出两条焦半径长度，再对焦点三角形用余弦定理，建立关系式，算出离心率． 【详解】设，则， 由双曲线定义可得， 即， 所以，， 又，， 在中，由余弦定理得， 即， 整理得，解得， 故离心率． 13．/ 【分析】设直线，的倾斜角分别为，，，且，利用差角正切公式、基本不等式求关于椭圆中参数的表达式，结合已知求椭圆参数的数量关系，进而求离心率. 【详解】由题意知，，，直线为， 设直线，的倾斜角分别为，， 由椭圆的对称性，不妨设为第一象限的点，即，， 则，. ， ， 当且仅当，即时取等号， 又的最大值为， ，即，整理得，故椭圆的离心率是. 14． 【分析】由点在抛物线上求参数值，即可得抛物线，应用点斜式写出直线方程后设直线MN的方程为，联立抛物线得到韦达定理，且MN的中点坐标为，再由点在直线上求参数，最后由弦长公式可得. 【详解】如图，因为在抛物线上，所以，解得， 所以抛物线方程为，    因为直线的斜率为1，所以直线的方程为； 设直线MN的方程为， 由，消去得， 设，则，于是线段MN的中点坐标为， 显然点在直线上，即，解得， 所以， 所以. 15． 【分析】设点，可求得的长及到直线的距离，根据题意，列出方程，化简计算，即可得答案. 【详解】设点， 所以，到直线的距离为， 由题意得，即， 所以，整理得， 所以点的轨迹方程为. 16． 【详解】以圆形水池的圆心为原点，一条直径所在直线为轴，垂直于水面建立平面直角坐标系，如图所示， 依题意，水柱高度与之间的函数关系式可设为： 或， 由，可得；由，可得， 于是，所求函数解析式为 或， 当时，，所以装饰物的高度为. 17．（1）或； （2） 【分析】（1）两个分母与都含参数，谁大谁小不确定，故需分类讨论；同时 “表示椭圆”还要求两个分母均为正，这是隐含条件，由焦距为得，故只需按与 的大小分两类，利用建立方程求； （2）动点是动圆的圆心，等量关系来自两个相切条件：外切时圆心距等于两半径之和，内切时圆心距等于两半径之差，设动圆半径为，则两个条件可写成与 ；两式相加即可消去，得到，其中、为定点，且 ，结合椭圆的定义得解. 【详解】（1）由题意得且，解得. ① 当，即时，焦点在轴上， ，，. 又焦距，得，即，解得，符合. ② 当，即时，焦点在轴上， ，，. 由得，解得，符合. 当时，方程为，表示圆，不合题意. 综上，或. （2）圆：，配方得 ， 所以圆心 ，半径 ， 圆：，配方得， 所以圆心，半径， 设动圆圆心为，半径为， 动圆与圆外切，则， 动圆与圆内切，则， 两式相加，得， 又， 所以点的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆， 设椭圆方程为为， 则由得，半焦距为，所以， 故动圆圆心的轨迹方程为. 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题目所给信息以及之间的关系，列出等式求解即可； （2）设出直线的方程，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理求出斜率的值，进而可解； （3）先考虑斜率不存在的情况，不符合条件；进而设直线的方程为，，联立方程，结合韦达定理，求解即可. 【详解】（1）因为椭圆过点，离心率为， 所以，解得， 所以，椭圆的方程为； （2）易知直线的斜率存在， 设直线的方程为， 联立，消去并整理得 ， 由韦达定理得， 若点为线段的中点，此时，解得， 将代入判别式，满足题意； 所以，直线的方程为，即； （3）斜率不存在的情况：直线，代入椭圆得交点， 此时，原点在以为直径的圆外，不符合条件； 所以，直线的斜率存在，设直线的方程为，， 联立方程，整理得 所以， 因为原点在以为直径的圆内，所以，      整理得： 进一步整理得：，解得 综上，直线斜率的取值范围为. 19．(1) (2) 【分析】（1）利用相关点法，结合向量的坐标运算即可得解； （2）设，，，联立直线与轨迹的方程，结合韦达定理，用表示面积，利用基本不等式求得其最大值. 【详解】（1）设，，则， 所以，， 又，所以， 即解得. 又点在圆上，所以， 即， 故动点的轨迹的方程为． （2）由题可设，，． 联立，消去整理得， ，即， 所以，， ，     令，则， 所以. 当且仅当，即时，等号成立. 故面积的最大值为. 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $